精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题

初一数学 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题： （本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A. 飞机起飞前对零部件的检查 B. 学校招聘语文教师，对应聘人员面试 C. 鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数 D. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 3. 如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 相等的角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 6. 某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某果园为推广葡萄新品种，计划将100千克的葡萄分装成3千克和5千克“葡萄礼盒”赠给水果采购商（每种礼盒不少于6盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为，以下依次为，，，，，……．其中记第个格点的坐标值为，前个格点的坐标值之和为，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 1 D. 3 10. （不定项选择）已知关于x的整式，其中n，为正整数，，，…，，均为整数，记：，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则满足条件的整式M仅有1个，且为单项式 B. 若，，则满足条件的所有整式M的和为0 C. 若，，，则满足条件的所有整式M的系数的绝对值和为208 D. 若，，则满足条件的整式M共有28个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 4的算术平方根是_____． 12. 如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 13. 为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 14. 已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 15. 若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 16. 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 17. 已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 18. 一个各位数字均不为零的四位正整数，若满足各数位数字之和能被百位数字整除，则称这个数为“星曜数”．若为“星曜数”，则所有满足条件的x的和为________．将P的千位数字放在个位数字后，记新形成的四位数为，称该操作为将P左旋一位，接着再将左旋一位得到为，左旋一位得到为．规定，已知一个四位数（，，）是“星曜数”，且Q的千位数字和百位数字不相等．若能被8整除，则满足条件的Q的最大值与最小值的和为________． 三、解答题：（本大题7个小题，第19题20分，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题 （1） （2） （3）解不等式，并写出所有满足不等式的非负整数解． （4）解不等式组． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，，将沿射线方向平移，得到，上任意一点平移后的对应点为． （1）请画出平移后的，并写出点和的坐标． （2）求在平移过程中线段扫过的图形的面积． 21. 先化简，再求值： ，其中． 22. 列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． （1）每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ （2）本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 23. 在平面直角坐标系中，，，其中，满足． （1）如图1，已知点，求的面积； （2）如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，对于点，定义点的“最大离轴距”．如：对于点，因为，所以． 【初步认识】 （1）已知、，将、按从小到大的顺序排列为：________（请用“”符号连接） 【深入探究】 （2）如图，，，点在直线上． 若，请求出的值； 若，则的取值范围为：___________； 【拓展运用】 （3）已知正方形的四个顶点、、、，正方形沿轴平移，设平移后点的坐标为，请问在平移过程中，正方形的边上是否存在“最大离轴距”为的点，若存在，请求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 25. 重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． （1）________，________． （2）如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． （3）如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题： （本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：二元一次方程满足：是整式方程，含两个未知数，含未知数的项的次数都是1； 选项A：方程 只含1个未知数，且的次数为2，不是二元一次方程，不符合要求； 选项B：方程 整理为 ，含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合要求； 选项C：方程 中不是整式，不是整式方程，不符合要求； 选项D：方程 含三个未知数，不是二元一次方程，不符合要求. 2. 以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A. 飞机起飞前对零部件的检查 B. 学校招聘语文教师，对应聘人员面试 C. 鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数 D. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 【答案】C 【解析】 【分析】当调查具有破坏性 或调查范围较大时，不适合采用全面调查，结合选项判断即可. 【详解】解：全面调查适用于范围小，对结果准确性要求高，不具有破坏性的调查； A选项：飞机起飞前零部件检查要求结果绝对准确，适合全面调查； B选项：学校招聘语文教师对应聘人员面试，范围小，需要逐个考察 适合全面调查； C选项：检查鞋底弯折次数的调查具有破坏性，会损毁产品，不适合全面调查； D选项：了解全班同学每周锻炼时间，调查范围小，适合全面调查. 3. 如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】估算出的范围，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故这个比值最接近的整数是4. 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵ ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ∴ ，A不成立，不符合题意； B选项：∵ ，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴ ，B不成立，不符合题意； C选项：∵ ，∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，符合题意； D选项：∵ 可得，但无法确定 一定成立， 例如当，时， ， ， 此时 ，不等式不成立，不符合题意． 5. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 相等的角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线性质，线段公理，对顶角定义和平行公理，只需逐一判断每个命题的真假即可. 【详解】解：A选项：∵只有两直线平行时，同旁内角才互补， ∴A是假命题； B选项：∵两点之间，线段最短，不是直线最短， ∴B是假命题； C选项：∵相等的角不一定是对顶角，例如两个不相邻的直角也相等， ∴C是假命题； D选项：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴D是真命题. 6. 某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两种坐船方案，抓住总人数不变的等量关系，分别用船数表示总人数即可得到正确方程组. 【详解】解：∵ 设船有条，学生有人， 第一种情况：每条船坐6人，空出2条船，实际使用的船数为条，总人数等于每条船人数乘实际用船数， ∴ ； 第二种情况：每条船坐4人，还有8人没有船坐，总人数等于已经上船的人数加没有上船的人数， ∴ ； 因此得到方程组. 7. 某果园为推广葡萄新品种，计划将100千克的葡萄分装成3千克和5千克“葡萄礼盒”赠给水果采购商（每种礼盒不少于6盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】设两种礼盒的盒数为未知数，根据总重量列二元一次方程，结合两种礼盒盒数均为不小于6的正整数的条件，求出所有符合条件的正整数解，即可得到方案数. 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∴， ∵为正整数， ∴为的倍数， ∴，，， ∴符合条件的方案共有种． 8. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限内点的坐标符号特征，先由点A的位置得到m和n的符号，再判断点B横纵坐标的符号，即可确定点B所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征可得 ，， ∵，∴与同号， 又∵，∴，， 对于点， ∵，，∴ ， ∵，∴； ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的符号特征，因此点在第二象限. 9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为，以下依次为，，，，，……．其中记第个格点的坐标值为，前个格点的坐标值之和为，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可得推出是前8个为一组，后面16个为一组，再是24个为一组，以此类推，推出第2026个格点为第几组的第几个，再推出的值即可，同理可求． 【详解】解：根据图形上的点分为为第一圈，有个点，即个点， 为第二圈，有个点，即个点， 为第三圈，有个点，即个点， 则第圈有个点， 则总计为个点， 当时，， 则第2025个格点是第23圈的第2个点， ∵第一圈的第一个点为，第二圈的第一个点为，第三圈的第一个点为，第四圈的第一个点为， 则第圈的第一个点为个点， ∴第23圈的第一个点为， ∴第2025个格点为，第2026个格点为， ，， 根据图形上的点分为为第一圈，根据对称性可得坐标值之和为0，为第二圈，同理坐标值之和为0， 以此类推，第三圈的坐标值之和为0，第圈的坐标值之和为0， ∴， ∴． 10. （不定项选择）已知关于x的整式，其中n，为正整数，，，…，，均为整数，记：，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则满足条件的整式M仅有1个，且为单项式 B. 若，，则满足条件的所有整式M的和为0 C. 若，，，则满足条件的所有整式M的系数的绝对值和为208 D. 若，，则满足条件的整式M共有28个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目给出的定义，逐个选项代入条件分类讨论，利用整数性质，平方和条件验证选项正误． 【详解】解：判断A项： 当，时，，其中为正整数，为整数，， ∵， ∴，，得，，满足条件的整式为x和，共2个，A项错误； 判断B项： 当，时，，， ∵，三个整数平方和为3，只能是，即每个系数都可取，共个整式， 将所有整式相加，的系数和为， 同理x的系数和、常数项和均为0，因此所有整式的和为0，B项正确； 判断C项： 当，，， 设四个系数绝对值为，均为正整数，满足， 通过枚举可得仅，，，满足条件，，无其他组合， 每个系数可取正负，共个整式，每个整式的系数绝对值和为，所有整式的系数绝对值总和为，C项正确； 判断D项： 等式说明所有系数同号，分全非负和全负两类， ∵，n为正整数， ∴和， 计算全非负的情况： ①：，， 当时，的组合有：，，，共3个， 当时，的组合有：，，共2个，合计5个； ②：，， 当时，的组合有：，，，，，，共个； 当时，的组合有：，，，共个，合计个， 全非负共（个），对应全负也有个，总共有（个），D项正确． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立坐标系，再根据坐标系作答即可. 【详解】解：由、可知原点的位置， 建立平面直角坐标系，如图， ∴． 13. 为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 【答案】1000 【解析】 【分析】根据题意列方程求解种群数量即可. 【详解】解：设该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只， ， 交叉相乘得： ， ∴， 解得：， 该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只． 14. 已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，解绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得：或． ∴的值为或． 15. 若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义，可得，即，先将代入第一个方程求出与的值，再代入第二个方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解，互为相反数， ，即， 将代入方程得，， 解得， ∴ ， 把，代入方程，得， 化简得， ， 解得． 16. 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得出，因为，可得的度数，再说明，利用平行线的性质可得出，从而可得的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点G作，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 17. 已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【解析】 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 18. 一个各位数字均不为零的四位正整数，若满足各数位数字之和能被百位数字整除，则称这个数为“星曜数”．若为“星曜数”，则所有满足条件的x的和为________．将P的千位数字放在个位数字后，记新形成的四位数为，称该操作为将P左旋一位，接着再将左旋一位得到为，左旋一位得到为．规定，已知一个四位数（，，）是“星曜数”，且Q的千位数字和百位数字不相等．若能被8整除，则满足条件的Q的最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. 10 ②. 4852 【解析】 【分析】根据“星曜数”定义得到x需满足的整除条件，找出符合的x求和；表示出Q经过三次左旋后的和，化简得到，再结合“星曜数”定义，整除条件和范围，找出最大和最小的求和即可得出． 【详解】解：由题意知，，为正整数， ∵“星曜数”满足各数位数字之和能被百位数字整除， ∴为整数， 在中，符合要求的数字有1、2、7， ∴所有满足条件的x的和为； 由题意知，， ∴为整数，即能被整除， ∵，，， ∴， ∴， ∵能被8整除， ∴，即能被8整除， ∵Q的千位数字和百位数字不相等，，，， 此时分情况讨论： ①当时，则为整数，能被8整除， ∴满足的值为，，，， ∴，1296，3216，3296； ②当时，则为整数，能被8整除， ∴满足的值为， ∵，不满足Q的千位数字和百位数字不相等， ∴舍去； ③当时，则为整数，能被8整除， ∴满足的值为， ∴； ④当时，则为整数，能被8整除， 此时无满足要求的值， ∴满足条件的Q有1216，1296，3216，3296，3636， ∴Q的最大值与最小值的和为． 三、解答题：（本大题7个小题，第19题20分，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题 （1） （2） （3）解不等式，并写出所有满足不等式的非负整数解． （4）解不等式组． 【答案】（1） （2） （3），不等式的非负整数解为0，1，2，3，4 （4） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根，绝对值，立方根，再合并即可； （2）利用加减消元法解方程即可； （3）先去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （4）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可. 【小问1详解】 解：原式. 【小问2详解】 解： 由②得：③， 将③代入①得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为. 【小问3详解】 解：， ∴ ， ∴， ∴不等式的非负整数解为0，1，2，3，4. 【小问4详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 . 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，，将沿射线方向平移，得到，上任意一点平移后的对应点为． （1）请画出平移后的，并写出点和的坐标． （2）求在平移过程中线段扫过的图形的面积． 【答案】（1）见解析，的坐标；的坐标 （2）12 【解析】 【分析】（1）先确定平移规则，进而画出，写出点和的坐标即可； （2）分割法求面积即可. 【小问1详解】 解：∵上任意一点平移后的． ∴将先向右平移6个单位，再向上平移3个单位，得到， 如图，为所求： 的坐标；的坐标． 【小问2详解】 解：连接，，由题可知，扫过的图形为四边形， 扫过的图形的面积为： . 21. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】，12 【解析】 【分析】先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再利用负数没有算术平方根求解的值，可得的值，进一步计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入中：原式． 22. 列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． （1）每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ （2）本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 【答案】（1）每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元 （2）件 【解析】 【分析】（）设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元，根据题意列出方程组解答即可； （）设购进甲材料件，则购进乙材料件，根据题意列出不等式解答即可求解． 【小问1详解】 解：设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元； 【小问2详解】 解：设购进甲材料件，则购进乙材料件， 由题意得，， 解得， 为非负整数， 的最大值为， 答：最多购进甲材料为件． 23. 在平面直角坐标系中，，，其中，满足． （1）如图1，已知点，求的面积； （2）如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）40 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . 【小问2详解】 解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 24. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，对于点，定义点的“最大离轴距”．如：对于点，因为，所以． 【初步认识】 （1）已知、，将、按从小到大的顺序排列为：________（请用“”符号连接） 【深入探究】 （2）如图，，，点在直线上． 若，请求出的值； 若，则的取值范围为：___________； 【拓展运用】 （3）已知正方形的四个顶点、、、，正方形沿轴平移，设平移后点的坐标为，请问在平移过程中，正方形的边上是否存在“最大离轴距”为的点，若存在，请求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的值为或；或； （3）存在，或． 【解析】 【分析】）根据新定义求出、，然后比较即可； （）分当点在点上方时；当点在线段上时；当点在点下方时，进行求解即可； 分当时和当时，进行求解即可； （）以原点为中心，构造一个边长为的正方形，在正方形平移的过程中，只要与所构造的正方形有交点，则满足“最大离轴距”为，找出临界点即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由、， ∴，， ∴、， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由，， ∴， 如图，当点在点上方时，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时，，舍去； 如图，当点在点下方时，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的值为或； ∵点， ∴当时，即，不符合题意； 当时，，则的取值范围为：或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图，以原点为中心，构造一个边长为的正方形，在正方形平移的过程中，只要与所构造的正方形有交点，则满足“最大离轴距”为， 如图，当经过点和当经过点时，此时； 如图，当在上时，此时； 如图，当经过点和当经过点时，此时； 如图，当在上时，此时； 此时的取值范围为：或． 25. 重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． （1）________，________． （2）如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． （3）如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）或秒 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质解答即可； （2）根据 ，得出，进而得出 ，则或，进而求得或； （3）分别过点作，根据角平分线的定义以及平行线的性质，，则，设，进而根据得出，即①，，得出②，解方程组得出，得出，进而分三种情况讨论，根据平行线的性质列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ， 解得 ， ∵， ∴或， ∵， ∴或； 【小问3详解】 解：如图，分别过点作 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设 ∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即① ∵平分 ∴，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴② 联立①②得 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 已知灯从开始顺时针旋转，速度为3度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为2度/秒，则，， 灯从射线开始顺时针旋转，速度为2度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为3度/秒，则， 当时，如图 ∴当时，，解得：（舍去） 当时，，无解 当时，，解得：（舍去） ∴不存在的情形， 当时，如图，设交于点 当 ∴ ∴ 解得：（舍去） 当从返回时， 则 解得： 当时，如图，设直线，交于点，过点作 ∴， 当时， ∴ 解得：（舍去） 当时， 解得： 综上所述，时间或时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $