10.3 实际问题与二元一次方程组（分层题型专练，11夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 同步练聚焦二元一次方程组实际应用，分12类题型系统设计，基础题与综合题梯度衔接，覆盖方案、行程等多情境，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一实际问题（方案、行程等）|选择填空为主，情境简单（如购物方案）| |提升层|综合应用（工程与几何结合）|解答题含多步骤推理（如幻方数字问题）| |拓展层|跨领域与新定义问题|探究性问题（如古代数学问题、规律探究）|

第十章 二元一次方程组 10.3实际问题与二元一次方程组 （分层题型专练） 题型一 利用二元一次方程组解决方案问题 1．九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解的应用，设购买了x本笔记本，y支的签字笔，可得，再利用二元一次方程的正整数解解题即可． 【详解】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔， 则， 即． ∴，，，， ∴购买方案有4种； 故选：A 2．为奖励某次演讲比赛中表现优异的同学，某中学决定用400元购买篮球和排球（两种球均要买），其中篮球每个40元，排球每个30元，在购买资金刚好用完的情况下，购买方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程，从而可以求得相应的购买方案，本题得以解决． 【详解】解：设购买篮球a个，购买排球b个， 由题意可得：40a+30b=400， 化简得：4a+3b=40， 解得，，，， 在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种， 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和排球个数都是正整数． 3．2021年6月，某校开展了“别让爱缺席”关爱留守儿童活动，需要给予物质关爱，李老师给班长30元钱去买笔记本做为慰问品．已知甲种笔记本每本5元，乙种笔记本每本3元，要保证钱全部花完，那么购买奖品的方案（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本， 依题意得：5x+3y＝30， ∴y＝10﹣x． 又∵x，y均为非负整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，理解题意列出二元一次方程是解题的关键． 4．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有______种． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据题意，得到关系式，即；由于，均为正整数，故，即，据此可得的所有可能取值；接下来根据可得的可能取值，至此可得购买方案． 【详解】解：设购买个羽毛球，个乒乓球， 由题可得：， 变形得：， 因为，均为正整数， 所以， 解得：， 故的取值为，，，， 故其解为：或或或， 故有种购买方案， 故答案为：． 5．为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． (1)求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ (2)学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 【答案】(1)每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元 (2)共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元，列出方程组，解方程组即可； （2）设采购A型机m台，采购B型机n台，根据A型机和B型机总费用为7万元，列出二元一次方程，求出二元一次方程的正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元； （2）解：设采购A型机m台，采购B型机n台，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，，， 答：共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机． 题型二 利用二元一次方程组解决行程问题 1．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 2．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 3．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 4．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 题型三 利用二元一次方程组解决工程问题 1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 2．某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是 A．12人，15人 B．14人，13人 C．15人，12人 D．13人，14人 【答案】C 【详解】设分配挖土x人，运土y人， 则，解得， ∴应分配挖土15人，运土12人． 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，在做题时应先找到定量：工程队的人数，土的吨数．根据定量找等量关系，列出方程组求解． 3．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 4．市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进______米． 【答案】12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 5．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题； （2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成米公路的修建任务，列出关于、二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 题型四 利用二元一次方程组解决数字问题 1．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 2．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据表格中的内容，可用含的代数式表示出，及时看到里程表上的数，根据“时里程碑上的两个数字之和是，及行驶的路程与时间成正比”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设：时里程碑上的这个两位数十位数字为，个位数字为， 根据题意得：时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：时里程碑上的数为． 故选：D. 3．若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（    ） A．266 B．288 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设这两个数为x和y，由题意得等量关系：两数之和是36，两数之差是12，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设这两个数为x和y， 依题意得：， 解得， ∴， 故选：B． 4．有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为、，则原数表示为_____，新数表示为_____；故列方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设个位上和十位上的数字分别为、，根据题意表示出原数、新数，再由“所得新数比原数小36”，即可列出方程组． 【详解】解：设个位上和十位上的数字分别为、， 则原数表示为，新数表示为， 由题意得，列方程组为， 故答案为：①；②；③． 5．将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 题型五 利用二元一次方程组解决年龄问题 1．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 2．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 3．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 4．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大_______岁． 【答案】12 【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁． 【详解】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意， 可得，解得， ∴甲比乙大24-12=12岁． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 5．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 题型六 利用二元一次方程组解决分配问题 1．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键． 设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得 解得 则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子． 故选：B． 2．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总工人人数和配套比例关系，列出对应方程组即可判断正确选项． 【详解】解：共有名生产工人，个工人生产车架，个工人生产车轮， 总人数满足； 个车架需要配个车轮，即生产出的车轮总数量等于车架总数量的倍，个工人每天生产车架总数量为，个工人每天生产车轮总数量为， 可得； 因此方程组为． 3．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 4．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有________本. 【答案】5 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 答：共有图书5本， 故答案为：5． 5．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 题型七 利用二元一次方程组解决营销利润问题 1．在文具店，若买个橡皮、支铅笔共需元；若买个橡皮、支铅笔共需元，则买一个橡皮和一支铅笔共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设买一个橡皮元，买一支铅笔元，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设买一个橡皮元，买一支铅笔元， 由题意得，， ①②，得， ∴， 即买一个橡皮和一支铅笔共需元， 故选：． 2．学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程组是解决此题的关键． 设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元，根据等量关系列方程组解得即可． 【详解】解：设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元， 由题意，得： 解得：． ∴每张甲票、每张乙票的价格分别为10元，8元． 故选：A ． 3．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 【答案】 去年的总收入为x万元 去年的总支出为y万元 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故答案为：去年的总收入为x万元，去年的总支出为y万元 4．端午节前后，“我们的节日•端午”主题文化活动在全国各地开展，龙舟竞渡、舞龙舞狮、经典诵读、文艺表演……各地因地制宜，突出当地文化特色，开展了喜闻乐见、生动鲜活的节日文化活动．小张为了迎接端午节，购买了许多粽子，他发现若购买4个豆沙粽和2个蜜枣粽需要25元，若购买1个豆沙粽和3个蜜枣粽刚好也需要25元，则购买1个豆沙粽和1个蜜枣粽共需要_______元． 【答案】10 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组即可求解． 【详解】解：设购买1个豆沙粽x元，1个蜜枣粽y元， 根据题意，得， 两个方程相加，得， 解得， 故购买1个豆沙粽和1个蜜枣粽共需10元， 故答案为：10． 5．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组________． 【答案】 【分析】审题，明确等量关系，建立方程组． 【详解】解：由题意知，今年收入为，今年支出，故 故答案为： 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键． 6．推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 【答案】精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元 【分析】设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．根据等量关系“每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元”，“15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价共2500元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．   根据题意，得 解得 答：精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元． 7．某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的应用． （1）根据题意列出代数式． （2）根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司前年收入为x元，支出为y元， ∵去年收入比前年增加，支出比前年减少 ∴去年收入为：，去年支出为：． （2）解：由题意得 解得． 题型八 利用二元一次方程组解决和差倍分问题 1．某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；得到关于总分的关系式是解决本题的难点．题目难度相对不大，属于基础题，注重考查同学们的基础知识，同学们平时需要多加积累基础知识，认真审题，正确解答．根据及格人数和不及格人数之和为150，及总分的关系式得到的两个关系式求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得 ， 故选：A． 2．某市现有人口42万人，预计一年后城镇人口将增加，农村人口将增加．这样全市人口将增加，则该市现有城镇人口和农村人口分别是（   ） A．28万人，14万人 B．24万人，18万人 C．14万人，28万人 D．18万人，24万人 【答案】C 【分析】该题考查了二元一次方程的应用，设该市现在有城镇人口万人，农村人口万人，根据题中等量关系：现该市城镇人口和农村人口之和为42万人；一年后新增城镇人口与新增农村人口之和为万人；由此可列出方程组求解． 【详解】解：设这个市现在的城镇人口万人，农村人口万人， 依题意得： 解得： 答：这个市现在的城镇人口14万人，农村人口28万人． 故选：C． 3．在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 【答案】 5 10 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设男生有x人，女生有y人，然后根据题意可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人，由题意得： ， 解得：， ∴男生有5人，女生有10人； 故答案为5；10． 4．3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 【答案】参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵 【详解】解：设参加植树的人数为人，这批树苗总数为棵， 根据题意，得， 解得， 答：参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵． 5．“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 题型九 利用二元一次方程组解决几何问题 1．将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意和图形，可以先设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图1和图2可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∴， 解得， ∴直角三角形的面积为：． 2．如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：∵长方形的周长为64，， ∴． 设小长方形的长为x，宽为y，依题意得， ， 解得， ∴图中阴影部分面积． 故选：B． 3．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 4．如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形区域（图中阴影部分）种植鲜花，则种植鲜花区域的面积是______． 【答案】750 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 设小长方形的为，宽为，根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ， 即种植鲜花区域的面积是， 故答案为：750． 5．分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【答案】小长方形的长为，宽为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． 6．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 题型十 利用二元一次方程组解决图表信息问题 1．若a、b表示非零常数，的值随x的取值而发生变化，如表，则关于x的一元一次方程的解为（   ） x 1 y 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确求出的值是解题的关键．根据题意，代入和到，得到关于的方程组，解出的值，再代入，即可求解． 【详解】解：代入和到，得， 解得：， 代入到，得， 解得：， 关于x的一元一次方程的解为． 故选：C． 2．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（   ） 4 2 7 A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据横向、纵向及对角线上的实数之和相等列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：B． 3．为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a与b的值分别为（　　） 参赛队 题目数量（题） 答对（题） 答错（题） 不回答（题） 得分（分） A 8 6 0 2 56 B 8 a b 0 35 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后根据二元一次方程的组解可进行求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． 4．传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一图案．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键．根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列得二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 整理得， 解得， 解得：； 故答案为：2． 5．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 6．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 题型十一 利用二元一次方程组解决古代问题 1．古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，一匹7尺绫布和一匹9尺罗布价格相等，可得方程；每尺罗布比绫布便宜36文，可得方程，即可解答． 【详解】解： 由“绫七尺，罗九尺，共价适等”得， 由“罗每尺价比绫每尺少钱三十六文”得， 故方程组为． 2．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出钱，余钱；每人出钱，差钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（     ） A．鸡的数量 B．鸡的总价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 【答案】B 【分析】读懂题意理清量之间的关系，即可判断的意义． 【详解】解：设买鸡的人数为，若设鸡的总价为钱， ∵每人出9钱，余11钱，说明所有人出的总钱数比鸡价多11钱，可得， ∵每人出6钱，差16钱，说明所有人出的总钱数比鸡价少16钱，可得， 所得方程组与题目给出的方程组一致，因此表示鸡的总价． 3．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”大意是：优质酒（醇酒）1斗价值50钱，普通酒（行酒）1斗价值10钱．现用30钱，共买到2斗酒．问醇酒、行酒各买了多少斗？根据题意可知，醇酒买了______斗． 【答案】 【分析】可以设醇酒买斗，则行酒买斗，根据题意列出二元一次方程组求解即可．本题考查二元一次方程组的应用，根据题意等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买斗，则行酒买斗． 由题意得，， 由①得， 把③代入②得， 解，得， 把代入③得， 所以原方程组解为， 所以醇酒买了斗． 4．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤”（明代的度量衡中斤两）．其题意为：客人一起分银子，若每人两还剩两；若每人两还差两，银子共有______两．（注：“两”为古代货币单位） 【答案】 【分析】设客人共有人，银子为两，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设客人共有人，银子为两， 根据题意，银子总数不变，可得方程， 解得：， ∴银子共有两． 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组. 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为. 6．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫，每尺绢各值多少分？（注：1钱=10分） 【答案】每尺绫值8分，每尺绢值6分 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列出方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设1尺绫值分，1尺绢值分， 得：， 解得：， ∴每尺绫值8分，每尺绢值6分． 答：每尺绫值8分，每尺绢值6分． 7．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意， ，解得， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 题型一 二元一次方程组与其它领域综合 1．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车可得方程，根据技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设升级前每天装配辆，现在每天装配辆， 由题意得，． 2．北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设两种吉祥物的单价，根据题意得到两个基础关系式，结合已知方程的由来，对两个基础关系式作差即可得到另一个方程． 【详解】解：设购买1件“冰墩墩”的价格为元，购买1件“雪容融”的价格为元， 根据题意可得， 已知给出的方程是得到的结果，对两个方程做减法运算， ，左边，右边为， ，即另一个方程为． 3．据统计，茶树因病、虫、草害，每年损失大量茶叶，并导致茶叶的品质下降，故刘爷爷将一瓶含量为的农药溶液和另一瓶含量为的农药溶液混合，得到含量为的农药溶液，则含量为和含量为的农药溶液各有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据溶液混合问题中的等量关系列出方程组是解题的关键．通过设两种农药溶液的体积，根据溶液总体积和溶质总量的关系列出方程组，进而求解． 【详解】解：设含量为的农药溶液有，含量为的农药溶液有，根据题意，得 解得 所以含量为的农药溶液有，含量为的农药溶液有． 故选： 4．《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（   ） A．25 B．26 C．27 D．31 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得，解得，，再根据x、y都是整数，得到或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可得：， ∴， 得：， ∴，， ∵x、y都是整数， ∴或， ∴或， 故选：C． 5．第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图①是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．为了确保参赛马匹拥有舒适的居住环境，每匹马都有自己的“单人间”，即高标准马厩（如图②），中心设置了约240个高标准马厩．其中主赛场和马厩总共占16320平方米，主赛场面积是马厩的2倍还多3360平方米．每个“单人间”马厩的面积_______平方米． 【答案】18 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出相应方程组是解题关键． 设主赛场面积为x平方米，马厩面积为y平方米，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设主赛场面积为x平方米，马厩面积为y平方米． 根据题意，得 解得 （平方米） 答： “单人间”的面积为18平方米． 故答案为：18． 6．某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系．具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出）：步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为；步骤二：向甲烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；步骤三：向乙烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为．则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的解，设1个球能使烧杯中上面上升，1个球能使烧杯中上面上升，根据烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；列出方程组，求出的值，再设向丙烧杯内放入种球个，种球个，根据丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为，列出的元一次方程，求解即可解答． 【详解】解：设1个球能使烧杯中上面上升，1个球能使烧杯中上面上升， 根据题意：，即， 解得：， 设向丙烧杯内放入种球个，种球个， 根据题意：，即， 则， ∵为非负整数， ∴或或或， ∵丙烧杯内放入的球的总个数为奇数， ∴或， ∴向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为或． 故答案为：或． 7．假设某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元且节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过____________小时车库恰好停满． 【答案】2 【分析】设1个进口平均1小时开进x辆车，1个出口平均1小时开出y辆车，车位总数为a；再根据题意列关于x、y的二元一次方程组，解之用a表示出x、y；然后列式计算求出所经过的时间即可． 【详解】解：设1个进口平均1小时开进x辆车，1个出口平均1小时开出y辆车，车位总数为a，由题意可得： ，解得 因为早晨7点时的车位空置率变为60%，所以（小时）． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解答本题的关键． 8．科学研究表明：植物叶片的表面具备多皱、粗糙等特征，使得空气中漂浮颗粒物被阻挡、吸附，具有滞尘净化空气的作用．已知某地枇杷叶片的滞尘量比喜树叶片滞尘量的7倍少0.3克，枇杷叶片与喜树叶片滞尘总量为23.2克．枇杷叶片、喜树叶片的滞尘量分别是多少？ 【答案】 枇杷叶片的滞尘量是9.5克、喜树叶片的滞尘量是1.4克 【分析】设枇杷叶片的滞尘量是克、喜树叶片的滞尘量是克，结合已知条件可列二元一次方程组即可完成解答． 【详解】解：设枇杷叶片的滞尘量是克、喜树叶片的滞尘量是克， 根据题意得：，解得． 答：枇杷叶片的滞尘量是9.5克、喜树叶片的滞尘量是1.4克． 题型二 二元一次方程组与新定义问题 1．对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义、两个已知等式的值可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据新运算的定义即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新运算的定义是解题关键． 2．定义一种新运算“”：．若有，，则_____． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．根据已知新运算列二元一次方程组，求出、的值，得到，再计算求值即可． 【详解】解：，，， ，解得：， ， ， 故答案为：11 3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将暗文发送给接收方，接收方收到暗文后按照某种规则解密为明文．某种加密规则为：，其中，，例如，，当发送方发送的暗文是时，解密得到的明文是____． 【答案】 【分析】本题主要考查映射的应用和二元一次方程组的应用，根据映射的定义，按照加密方式列方程组，然后解方程即可． 【详解】解：根据加密规则可得：， 解得：， 故对应的明文为， 故答案为：． 4．对于正整数，定义其“交替差”运算如下：将的各个数位上的数字按降序排列得到数，按升序排列得到数，定义．例如：，降序排列：，升序排列：，则． （1）计算： _______； （2）如果一个三位数，三个数位上的数字均不相同， ，且的十位数字比个位数字大，则_______．（写出所有满足条件的） 【答案】 ，， 【分析】（1）根据定义的运算法则，计算即可求解； （2）设三位数的降序排列为，升序排列为，根据定义的运算法则，求出，结合是三位数，且的十位数字比个位数字大，分情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）； （2）设三位数的降序排列为，升序排列为， ∴， 根据题意，可得， 得． 当时，， ∵是三位数，且的十位上的数字比个位上的数字大， 故不是百位上的数字，也不是十位上的数字，只能是个位上的数字， ∴的十位上的数字为，的百位上的数字是， 此时，为． 当时，， ∵是三位数，且的十位上的数字比个位上的数字大， 故不是十位上的数字，不是个位上的数字， 当是个位上的数字时，十位上的数字是，是百位上的数字， 即的百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， 此时，为． 当是百位上的数字时，是十位上的数字，个位上的数字是， 即的百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， 此时，为． 或或． 题型三 二元一次方程组在规律问题中的应用 1．如图，用火柴棍连续搭建三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建三角形和正方形共用了77根火柴棍，并且三角形的个数比正方形的个数少5个，那么一共能连续搭建三角形、正方形个数分别是（   ）    A．12个；17个 B．17个；12个 C．17个；22个 D．22个；17个 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，二元一次方程组的应用，设连续搭建三角形个，连续搭建正方形个，根据搭建三角形和正方形共用了77根火柴棍，并且三角形的个数比正方形的个数少5个，列方程组求解，解答本题的关键是读懂题意，仔细观察图形， 找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：搭建1个三角形，需要3根火柴， 搭建2个三角形，需要根火柴， 搭建3个三角形，需要根火柴， 搭建个三角形，需要根火柴，即根火柴； 搭建1个正方形，需要4根火柴， 搭建2个正方形，需要根火柴， 搭建3个正方形，需要根火柴， 搭建个正方形，需要根火柴，即根火柴； 设连续搭建三角形个，连续搭建正方形个， 由题意得，， 解得：． 故选：C． 2．如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（　　） A．291 B．292 C．293 D．294 【答案】C 【分析】设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个，根据搭建三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且三角形的个数比正六边形的个数多7个，列方程组求解即可. 【详解】解：设连续搭建等边三角形x个，连续搭建正六边形y个， 由题意，得, 解得. 故选C. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及图形的变化类问题，解答本题的关键是读懂题意，仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组求解． 3．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于x，y，m，n的取值，下列说法不正确的是（   ） A．的值一定是2 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（其他问题），读懂题意，根据各选项说法正确列式计算是解题的关键． 由题意得，解得，再结合，对各选项说法逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ， ， ， 故说法正确，选项不符合题意； ， ， ， ， ， 故说法正确，选项不符合题意； ，， ， ， 故说法正确，选项不符合题意； ， ，， ， ， ， 故说法不正确，选项符合题意； 故选：． 1．用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】令较大的正整数为x，较小的正整数为y，则，然后分四步进行解答即可得到答案． 【详解】解：令较大的正整数为x，较小的正整数为y， ， ，， 第一步，，此时两个数为和y； 第二步，，此时两个数为和y； 第三步：，此时两个数为和y， 第四步有两种情况： 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 综上可得，这两个正整数中较大数是或． 2．如图，把50张形状、大小完全相同的小长方形砖块（长是宽的3倍），既不重叠又无空隙地围成一个长方形花坛，花坛的长与宽之比为．则花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设在长方形花坛的长上放了x张小长方形砖块，在宽上放了y张小长方形砖块，根据四边共放了50张小长方形砖块且长与宽的比为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入． 【详解】解：设在长方形花坛的长上放了x张小长方形砖块，在宽上放了y张小长方形砖块，设小长方形砖块的宽为，则长为，则，即， 依题意，得：， 解得：， ∴花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为． 3．为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“辅助智能体测”系统．该系统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建议．项目组在采购训练用智能跳绳时，发现供应商提供两种优惠方案： 方案一：全部按定价的8折购买． 方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折． 经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元；而如果用方案一的金额按方案二购买，可多买10根．设每根跳绳定价为元，计划购买根（），则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种优惠方案，结合题干给出的两个等量关系，分别列出方程，再对应选项选出正确方程组． 【详解】解：原计划购买根跳绳，． ∵方案二比方案一节省元， ∴，整理得． ∵用方案一原计划的总金额按方案二购买，可多买根，即共购买根， ∴． 综上，方程组为． 4．小明有张背面图案相同的扑克牌，分别是红心到红心，现从中任意抽取三张．已知第一张与第二张的点数之和为，第二张与第三张的点数之和为．则抽中的张牌依次是红心___________．（计算中，红心按数字处理） 【答案】，， 【分析】利用题意列方程组求特殊解即可. 【详解】解：设第一张为，第二张为，第三张为， ∵有张背面图案相同的扑克牌，分别是红心到红心，第一张与第二张的点数之和为，第二张与第三张的点数之和为， ∴，，是正整数， ∴当时，，与题意不符，此情况不成立； 当时，第二张为，； 故答案为：． 5．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，因为，所以，则____；若，都是“相异数”，其中，，，且，都是正整数，规定，当时，则符合条件的所有的值之和为 _____． 【答案】 9 【分析】根据题干提供的信息计算即可；由，结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，即可求出的值得解． 【详解】解：，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，因为，所以； ∵，都是“相异数”，其中，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵，，，都是正整数， ∴或或或或或或， ∵是“相异数”， ∴且， ∵是“相异数”， ∴且， 综上，满足条件的解为：或或或， ①当时，，则， ②当时，，则， ③当时，，则， 当时，，则， ∴符合条件的所有的值之和为． 6．请阅读下列材料，并解答相应的问题： “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)表三阶幻方中间的数字是______； (2)表是一个三阶幻方，那么的值是多少？请写出解题过程． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图所示的“幻圆”幻方中，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，求图中的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）根据幻方的定义列方程求解即可； （2）根据幻方的定义可知表2中第三行第一个数为，第三行第二个数为，第二行第三个数为，设最中间的数为a，第三行第三个数为b，根据幻方的定义列方程组求解即可； （3）根据幻方的定义求出，进而可知可以为或，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，表2中第三行第一个数为， 第三行第二个数为， 第二行第三个数为， 设最中间的数为a，第三行第三个数为b， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，解得：． ， 又∵横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， ∴横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， ∴， ∴在“幻圆”中填上部分数，如图所示： ∴可以为或． 当时，， 当时，， 的值为或． 7．【问题情境】 我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使用寿命． 信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到时报废，而放置在后轮，应在行驶达到时报废； 信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶进行一次轮胎换位． 根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务： (1)任务一： 可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数． ①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________； ②若汽车没有按照建议，只在行驶了时进行了1次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废时，汽车行驶的总里程为________； (2)任务二： 如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． (3)任务三： 若按建议每更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多少？（精确到） 【答案】(1)①，；②； (2)应在行驶时交换轮胎，报废时总行驶里程为； (3)最高行驶里程约为． 【分析】（1）①根据信息1即可解答；②先求出行驶剩余磨损，即可求出换到后轮后还可行驶的路程，即可解答； （2）设行驶时交换前后轮，总行驶里程为时两对轮胎同时报废，由题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设经过（为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了，求出总磨损为，设换位后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：① 设每个轮胎总磨损量为单位， 前轮报废，因此每千米磨损为；后轮报废，因此每千米磨损为； ② 行驶后，原前轮总磨损，剩余磨损， 换到后轮后还可行驶， 总里程为， （2）解：设行驶时交换前后轮，总行驶里程为时两对轮胎同时报废， 根据题意得 ， 解得， 则 答：应在行驶时交换轮胎，报废时总行驶里程为； （3）解：设经过（为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了，每两次换位后，每个轮胎在前轮、后轮各行驶， 总磨损为， 设换位后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶， 则， 解得， 总里程为， ∵，即，为整数， ∴最大， 则， 答：最高行驶里程约为． 8．综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 共有种租车方案，最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元 (3) 能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆 【分析】（1）根据若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；列二元一次方程组求解； （2）设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，根据租车的数量是整数，可知共有种租车方案，分别计算出种方案所需费用，通过比较得出最省钱的租车方案； （3）由（2）可知共有种租车方案：分别计算出降价后种租车方案所需租金，得到符合要求的租车方案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：型号大巴车最大载客数为人，型号大巴车最大载客数为人； （2）解：设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆， 为整数且， 解得：， 且为整数， 当时，， 当时，， 共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； ， 最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元； （3）解：由（2）可知共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 学校的计划能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 10.3实际问题与二元一次方程组 （分层题型专练） 题型一 利用二元一次方程组解决方案问题 1．九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．为奖励某次演讲比赛中表现优异的同学，某中学决定用400元购买篮球和排球（两种球均要买），其中篮球每个40元，排球每个30元，在购买资金刚好用完的情况下，购买方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．2021年6月，某校开展了“别让爱缺席”关爱留守儿童活动，需要给予物质关爱，李老师给班长30元钱去买笔记本做为慰问品．已知甲种笔记本每本5元，乙种笔记本每本3元，要保证钱全部花完，那么购买奖品的方案（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有______种． 5．为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． (1)求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ (2)学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 题型二 利用二元一次方程组解决行程问题 1．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 2．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 3．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 4．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 题型三 利用二元一次方程组解决工程问题 1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是 A．12人，15人 B．14人，13人 C．15人，12人 D．13人，14人 3．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 4．市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进______米． 5．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 题型四 利用二元一次方程组解决数字问题 1．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 2．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 3．若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（    ） A．266 B．288 C． D． 4．有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为、，则原数表示为_____，新数表示为_____；故列方程组为_____． 5．将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    题型五 利用二元一次方程组解决年龄问题 1．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 2．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 4．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大_______岁． 5．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 题型六 利用二元一次方程组解决分配问题 1．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 2．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 4．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有________本. 5．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 题型七 利用二元一次方程组解决营销利润问题 1．在文具店，若买个橡皮、支铅笔共需元；若买个橡皮、支铅笔共需元，则买一个橡皮和一支铅笔共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 3．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 4．端午节前后，“我们的节日•端午”主题文化活动在全国各地开展，龙舟竞渡、舞龙舞狮、经典诵读、文艺表演……各地因地制宜，突出当地文化特色，开展了喜闻乐见、生动鲜活的节日文化活动．小张为了迎接端午节，购买了许多粽子，他发现若购买4个豆沙粽和2个蜜枣粽需要25元，若购买1个豆沙粽和3个蜜枣粽刚好也需要25元，则购买1个豆沙粽和1个蜜枣粽共需要_______元． 5．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组________． 6．推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 7．某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 题型八 利用二元一次方程组解决和差倍分问题 1．某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 2．某市现有人口42万人，预计一年后城镇人口将增加，农村人口将增加．这样全市人口将增加，则该市现有城镇人口和农村人口分别是（   ） A．28万人，14万人 B．24万人，18万人 C．14万人，28万人 D．18万人，24万人 3．在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 4．3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 5．“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 题型九 利用二元一次方程组解决几何问题 1．将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 3．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 4．如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形区域（图中阴影部分）种植鲜花，则种植鲜花区域的面积是______． 5．分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 6．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 题型十 利用二元一次方程组解决图表信息问题 1．若a、b表示非零常数，的值随x的取值而发生变化，如表，则关于x的一元一次方程的解为（   ） x 1 y 5 A． B． C． D． 2．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（   ） 4 2 7 A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5 3．为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a与b的值分别为（　　） 参赛队 题目数量（题） 答对（题） 答错（题） 不回答（题） 得分（分） A 8 6 0 2 56 B 8 a b 0 35 A．， B．， C．， D．， 4．传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一图案．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则的值为___________． 5．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 6．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 题型十一 利用二元一次方程组解决古代问题 1．古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出钱，余钱；每人出钱，差钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（     ） A．鸡的数量 B．鸡的总价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 3．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”大意是：优质酒（醇酒）1斗价值50钱，普通酒（行酒）1斗价值10钱．现用30钱，共买到2斗酒．问醇酒、行酒各买了多少斗？根据题意可知，醇酒买了______斗． 4．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤”（明代的度量衡中斤两）．其题意为：客人一起分银子，若每人两还剩两；若每人两还差两，银子共有______两．（注：“两”为古代货币单位） 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 6．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫，每尺绢各值多少分？（注：1钱=10分） 7．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 题型一 二元一次方程组与其它领域综合 1．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 2．北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 3．据统计，茶树因病、虫、草害，每年损失大量茶叶，并导致茶叶的品质下降，故刘爷爷将一瓶含量为的农药溶液和另一瓶含量为的农药溶液混合，得到含量为的农药溶液，则含量为和含量为的农药溶液各有（    ） A． B． C． D． 4．《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（   ） A．25 B．26 C．27 D．31 5．第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图①是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．为了确保参赛马匹拥有舒适的居住环境，每匹马都有自己的“单人间”，即高标准马厩（如图②），中心设置了约240个高标准马厩．其中主赛场和马厩总共占16320平方米，主赛场面积是马厩的2倍还多3360平方米．每个“单人间”马厩的面积_______平方米． 6．某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系．具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出）：步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为；步骤二：向甲烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；步骤三：向乙烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为．则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为________． 7．假设某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元且节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过____________小时车库恰好停满． 8．科学研究表明：植物叶片的表面具备多皱、粗糙等特征，使得空气中漂浮颗粒物被阻挡、吸附，具有滞尘净化空气的作用．已知某地枇杷叶片的滞尘量比喜树叶片滞尘量的7倍少0.3克，枇杷叶片与喜树叶片滞尘总量为23.2克．枇杷叶片、喜树叶片的滞尘量分别是多少？ 题型二 二元一次方程组与新定义问题 1．对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算“”：．若有，，则_____． 3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将暗文发送给接收方，接收方收到暗文后按照某种规则解密为明文．某种加密规则为：，其中，，例如，，当发送方发送的暗文是时，解密得到的明文是____． 4．对于正整数，定义其“交替差”运算如下：将的各个数位上的数字按降序排列得到数，按升序排列得到数，定义．例如：，降序排列：，升序排列：，则． （1）计算： _______； （2）如果一个三位数，三个数位上的数字均不相同， ，且的十位数字比个位数字大，则_______．（写出所有满足条件的） 题型三 二元一次方程组在规律问题中的应用 1．如图，用火柴棍连续搭建三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建三角形和正方形共用了77根火柴棍，并且三角形的个数比正方形的个数少5个，那么一共能连续搭建三角形、正方形个数分别是（   ）    A．12个；17个 B．17个；12个 C．17个；22个 D．22个；17个 2．如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（　　） A．291 B．292 C．293 D．294 3．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于x，y，m，n的取值，下列说法不正确的是（   ） A．的值一定是2 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（    ） A． B． C． D．或 2．如图，把50张形状、大小完全相同的小长方形砖块（长是宽的3倍），既不重叠又无空隙地围成一个长方形花坛，花坛的长与宽之比为．则花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 3．为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“辅助智能体测”系统．该系统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建议．项目组在采购训练用智能跳绳时，发现供应商提供两种优惠方案： 方案一：全部按定价的8折购买． 方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折． 经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元；而如果用方案一的金额按方案二购买，可多买10根．设每根跳绳定价为元，计划购买根（），则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明有张背面图案相同的扑克牌，分别是红心到红心，现从中任意抽取三张．已知第一张与第二张的点数之和为，第二张与第三张的点数之和为．则抽中的张牌依次是红心___________．（计算中，红心按数字处理） 5．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，因为，所以，则____；若，都是“相异数”，其中，，，且，都是正整数，规定，当时，则符合条件的所有的值之和为 _____． 6．请阅读下列材料，并解答相应的问题： “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)表三阶幻方中间的数字是______； (2)表是一个三阶幻方，那么的值是多少？请写出解题过程． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图所示的“幻圆”幻方中，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，求图中的值． 7．【问题情境】 我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使用寿命． 信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到时报废，而放置在后轮，应在行驶达到时报废； 信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶进行一次轮胎换位． 根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务： (1)任务一： 可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数． ①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________； ②若汽车没有按照建议，只在行驶了时进行了1次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废时，汽车行驶的总里程为________； (2)任务二： 如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． (3)任务三： 若按建议每更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多少？（精确到） 8．综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $