精品解析：2026年黑龙江省大庆市肇源县第二次模拟考试 数学试题

2026年肇源县毕业年级“二摸” 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，依据“乘积为1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意； B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意； C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意； D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意． 故选：C ． 3. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 4. 分式方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验得到原方程的解. 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：将代入得， ∴是原分式方程的解． 5. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据天平知2＜A＜3，然后观察数轴即可． 【详解】解：根据题意，知2＜A＜3． 故选C． 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的性质作答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：C． 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆圈，第②个图中有4个圆圈，第③个图中有9个圆圈，按照这一规律，则第⑤个图中圆圈的个数是（ ） A. 20个 B. 25个 C. 28个 D. 36个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形数字规律的探索，关键是通过观察前三个图形的圆圈数量，总结出数量与图形序号的对应关系．观察第①到第③个图的圆圈数，发现第①个图的圆圈数为，第②个图为，第③个图为，可推导得出第个图的圆圈个数为，据此计算第⑤个图的圆圈数即可． 【详解】解：观察图形可得： 第①个图中圆圈的个数为； 第②个图中圆圈的个数为； 第③个图中圆圈的个数为； …… 由此总结规律：第个图中圆圈的个数为， 则第⑤个图中圆圈的个数为； 故选：B． 8. 如图，在平行四边形中，点在上，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，然后证明,接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案. 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴与的面积比为：， 故选：. 9. 如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作法得平分，垂直平分，连接，根据角平分线的定义得出，根据垂直平分线的性质得出，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，如图； 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴，， 故， 解得， 即， 故， 解得，经检验，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，垂直平分线的作法，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 10. 数学课上，夏老师给出关于x的函数（k为实数）．学生们独立思考后，把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了以下四条： ①存在函数，其图象经过点； ②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小； ③函数图象不可能只经过两个象限； ④若函数有最大值，则最大值必为负数，若函数有最小值，则最小值必为正数． 上述结论中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题分（一次函数）和（二次函数）两种情况，结合一次函数、二次函数的性质，逐一验证四个结论即可． 【详解】解：①验证是否存在函数过点， 将代入函数得：， 化简得：，解得， ∵存在实数满足条件， ∴①正确． ②验证是否存在函数使始终随增大而减小， 当时，函数为， ∵， ∴此时随的增大而减小，存在符合条件的函数， ∴②正确． ③验证函数图象是否可能只经过两个象限， 当时，经过3个象限，不是两个象限； 当时，函数为二次函数，计算判别式： 恒成立， ∴二次函数与轴总有两个不同交点，无论开口向上还是向下，都至少经过三个象限，不可能只经过两个象限， ∴③正确． ④验证结论： 若函数有最大/最小值，则，顶点纵坐标为， 若函数有最大值，则开口向下，，此时，最大值为正数，不是负数； 若函数有最小值，则开口向上，，此时，最小值为负数，不是正数， ∴④错误． 综上，正确结论为①②③． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，且二次根式下被开方数需要大于等于0，可得答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故答案为：且． 12. 因式分解______. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，扇形是某湿地公园扇形绿化区域示意图，，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形和三角形的面积公式，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在扇形中，，， ， ，， 是等边三角形，即， ， ，则， ， 阴影部分的面积为． 14. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元，20元，30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定两球金额和为50元的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元， 一次性随机摸出两个小球，所有等可能的结果共有3种： 10元和20元，和为30元， 10元和30元，和为40元， 20元和30元，和为50元． 其中，两球金额和为50元的结果只有1种． 根据概率公式可得，所求概率为． 15. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为： 故答案为：． 16. 对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算将原方程化为一般式，利用根与系数的关系求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的两根记为、， ∴， ∴， 故答案为：2． 17. 如图，在菱形中，，，点为边上的动点，点为边上的动点，将沿折叠，使得点的对应点落在所在的直线上，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定，分情况讨论是解题关键． 分为两种情况：当和时，再利用菱形的性质和角的直角三角形的性质性质进行解答即可． 【详解】由折叠的性质，得. 四边形是菱形， ，. 分两种情况讨论： ①当时，如解图1所示. ， . . . 又， ， 解得； ②当时，如解图2所示. ， . . . 又， ， 解得； 综上所述，的长为1或． 18. 在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、、．根据勾股定理可得，在点与之间总有（如图1），、、、四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段取最大值． 【详解】解：如图1，，，取的中点，连接、、． ． 同理． 正方形，为中点，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 如图1，在点与之间总有， 由于的大小为定值，只有，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立，如图2， 线段取最大值， 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，以及二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原始． 21. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（取，取，结果保留到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，直接求解的长度． （2）先通过三角函数求出的长度，再利用等腰直角三角形的性质表示出相关线段，通过构造矩形，建立方程求解塔高． 【小问1详解】 解：在中，， ， 即的长为； 【小问2详解】 解：设． 在中，， ，在中，由，，得， ，即的长为， 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形， ，， 可得， 在中，，， ．即． ． 答：塔的高度约为． 22. 文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔，已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元．在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元． （1）文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？ （2）文教店以原价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售，当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔每支最低售价应为多少元？ 【答案】（1）文教店购进甲种钢笔50支， 乙种钢笔60支 （2）甲种钢笔每支售价最低应14元 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题的方法和步骤，列一元一次不等式及解一元一次不等式的方法和过程．在解答的过程中建立等量与不等量关系式是关键． （1）设文教店购进甲种钢笔x支，乙种钢笔y支，根据其进价和利润建立等量关系列出方程组求出其解即可． （2）设甲种钢笔每只的售价为m元，就可以求出甲种钢笔每只的利润，表示出甲种钢笔的总利润再加上乙种钢笔的总利润就是两种钢笔销售完后的总利润，由题意就可以建立不等式．从而求出其解． 【小问1详解】 解：设文教店购进甲种钢笔x支，乙种钢笔y支 解得： 答：文教店购进甲种钢笔50支， 乙种钢笔60支 【小问2详解】 解：设甲种钢笔每支售价应为m元 解得： 答：甲种钢笔每支售价最低应14元． 23. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 【答案】（1）①80，77；②180 （2）①乙款软件的评分为92．2分；②k的最小值为91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80， ∴甲组数据的众数为80，即； ∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人， ∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即． ②∵乙款软件评分在有3人， ∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个． 故答案为：①80；77；②180． 【小问2详解】 解：①乙款软件的评分（分）； ②由题意得，解得：． ∴k的最小整数值为91． 故答案为：①；②91． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、众数、中位数的定义、加权平均数、用样本估计总体等知识点．熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 25. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，请直接写出关于的不等式的解． （3）若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求得的值，从而可得反比例函数的解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点的坐标，再将点、的坐标代入一次函数解析式中即可得解； （2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可得解； （3）设直线与 直线的交点为，求出点的坐标， 设， 根据三角形的面积公式表示出，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象， ， 反比例函数解析式为， 将代入， 得， ． 将，两点分别代入，得 ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：如图，设直线与 直线的交点为， 把代入得， ，即， 设， 的面积为， ， ， 解得或， 点的坐标为或 ． 26. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； （2）求全全警察提速后的速度，并求、的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 【答案】（1）全全 （2）全全提速后速度为米/秒，， （3）折线①中线段所在直线的函数解析式为 （4）全全警官加速后经过秒追上安安警官 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用待定系数法求所在直线的函数解析式，与所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全； 【小问2详解】 解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米， 安安警官的速度为（米/秒）， ； 【小问3详解】 解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为； 【小问4详解】 解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立， 解得， 时，全全警官追上安安警官， （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官． 27. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接交于，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，推出，进而利用平行线的性质证明切线即可； （2）由，得到，，证明，，根据相似三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，即点是的中点，可求出，进而求出，即可得证； （3）证明得到，即，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ， ． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 【答案】（1） （2）， （3），或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）设平移的距离为n个单位长度，得到，待定系数法求出函数解析式，证明，设点，分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵直线与轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴， 令，， 解得或， 故点， ∵，， ∴， 设点， 当在轴上方时，过点T作于点G，则：， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 当在轴下方时，同理可得， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上，点T的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，抛物线的平移，熟练掌握待定系数法，相似的应用，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年肇源县毕业年级“二摸” 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（   ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 分式方程的解是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆圈，第②个图中有4个圆圈，第③个图中有9个圆圈，按照这一规律，则第⑤个图中圆圈的个数是（ ） A. 20个 B. 25个 C. 28个 D. 36个 8. 如图，在平行四边形中，点在上，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 数学课上，夏老师给出关于x的函数（k为实数）．学生们独立思考后，把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了以下四条： ①存在函数，其图象经过点； ②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小； ③函数图象不可能只经过两个象限； ④若函数有最大值，则最大值必为负数，若函数有最小值，则最小值必为正数． 上述结论中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围为_______． 12. 因式分解______. 13. 如图，扇形是某湿地公园扇形绿化区域示意图，，，则阴影部分的面积为_____． 14. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元，20元，30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是___________． 15. 不等式组的解集是_______． 16. 对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 17. 如图，在菱形中，，，点为边上的动点，点为边上的动点，将沿折叠，使得点的对应点落在所在的直线上，当为直角三角形时，的长为__________． 18. 在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（取，取，结果保留到）． 22. 文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔，已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元．在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元． （1）文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？ （2）文教店以原价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售，当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔每支最低售价应为多少元？ 23. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 24. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 25. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，请直接写出关于的不等式的解． （3）若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 26. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； （2）求全全警察提速后的速度，并求、的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 27. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接交于，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $