精品解析：2025年黑龙江省大庆市肇源县中考二模数学试题

肇源县初四毕业班第二次摸底考试 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下面四个数中，最小的数是（ ） A 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是：． 故选：B． 2. 在2025年春节档期，电影市场热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，确定的值是解题的关键． 科学记数法的形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值；由此即可求解． 【详解】解：前三日，总票房便达到亿元， ∴平均每天的票房为（亿）， ∴亿， 故选：D ． 3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的定义判断． 【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形， 故答案为：C． 【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键． 4. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，利用分式的乘法法则解答即可． 详解】解：原式 ． 故选：C． 5. 如图，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，若，则∠BAC的大小为（ ） A. 35° B. 50° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据余角的性质，计算得；再根据角平分线的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵， ∴ ∵AD是∠BAC的平分线 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了余角、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握余角、角平分线的性质，从而完成求解． 6. 如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求出交点的坐标，再观察图象，写出直线图象在直线图象的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ， 解得：， ， 由图象可得：当函数图象在函数图象下方时，， ∴不等式的解集为． 故选：C． 7. 有一系列式子，按照一定的规律排列成，，，，…，则第个式子为（为正整数）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定系数与序号数的关系，再确定a的指数与序号数的关系，从而得到第n个式子. 【详解】解：∵第1个数为； 第2个数为； 第3个数为； 第4个数为； ∴第n个数为. 故选：A. 【点睛】本题考查了规律型－数字变化类，探寻数列规律、认真观察、仔细思考、善用联想是解决问题的关键. 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，由题意知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦的长为， 故选：D． 9. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 10. 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，共24分． 11. 分式方程=1的解是_______． 【答案】x=1 【解析】 【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可． 【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1， 解得x=1． 检验：当x=1时，x+1=2≠0． 所以原方程的解为x=1． 故答案为：x=1． 【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 13 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 在一次体检后，王老师对本班名学生的血型作了统计，并作如下统计表，则该班学生型血的频率为_________． 血型 型 型 型 型 人数 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，解答本题关键是掌握频数频率数据总数．根据频率频数数据总数进行求解． 【详解】解：学生型血的频率为： 故答案为： 15. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16. 若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，根据“共生数对”的定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为是“共生数对”， 所以， 解得． 故答案为： 17. 如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，在直线的上方有一点，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征．先求出点、的坐标，过点作轴，交于点，求出点的坐标，再根据列出关于的方程式求出的值，即可作答． 【详解】解：直线与坐标轴分别交于，两点， 令，则；令，则； ，， 如图所示，过点作轴，交于点， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 18. 在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 三、解答题：本题共10小题，共66分． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用绝对值、乘方、立方根进行计算即可． 【详解】解： 20. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式，解题的关键是掌握解不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．该题的不等式先去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：去分母得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 即原不等式的解集为． 21. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． （1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】（1）每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； 【小问2详解】 降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用含角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，的坡度为，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度的意义，角的直角三角形，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 24. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形； （2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： 根据旋转： ∵四边形是正方形 ∴∠DAB=90° ∴∠FAE＝∠DAB=90° ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形． （2）连接 ∵， 在中， ∵四边形是正方形 ∴ 在中，，又， ∴． 故答案是17． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 25. 在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）__________米/秒，__________秒； （2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）4；15 （2） （3）6秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【小问1详解】 解：由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； 【小问2详解】 解：由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得（舍去）或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）点C的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，两点间距离公式，数形结合思想，直接开平方法解方程，熟练掌握待定系数法，数形结合思想，直接开平方法解方程是解题的关键． （1）根据点B的坐标，先确定反比例函数解析式，再确定点A的坐标，最后确定一次函数的解析式． （2）根据，，得到，设，则，根据勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴这个反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， 所以点的坐标满足，即， 解得， ∴点A的坐标为， ∵一次函数经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴D点坐标为， ∴， 设，则， 根据勾股定理：，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴点C的坐标为或． 27. 已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，求证：； （3）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）15 【解析】 【分析】（1）先由圆周角定理和已知条件说明，再证，进而证得即可证明结论； （2）如图：连接，由垂径定理得出得出、，再由公共角可得，由相似三角形的性质可得即可得出结论； （3）如图：连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：如图：连接BE， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵⊙O的半径为10， ∴AB=20，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似成为解答本题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； （3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可； （2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标； （3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值． 【详解】解：（1）依题意，设， 代入得：，解得： ∴； （2）由， 设=x，则， ∵BE⊥OD， ∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：， 即，解得：（舍）， ∴，， 过点E做平行于交y轴于T， ∴， ∴， ∴， 即，解得：， ∴， ∴ ， ∴直线的解析式为， ∵的延长线交抛物线于点D， ∴，解得：（舍）， 当时，， ∴ ； （3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H 作轴交于点T，过M点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， 设直线的解析式为，将B，C两点代入得 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇源县初四毕业班第二次摸底考试 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下面四个数中，最小数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B. C. D. 4. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，若，则∠BAC的大小为（ ） A. 35° B. 50° C. 65° D. 70° 6. 如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 有一系列式子，按照一定的规律排列成，，，，…，则第个式子为（为正整数）（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 二、填空题：本题共8小题，共24分． 11. 分式方程=1的解是_______． 12. 分解因式：______． 13. 如图，与交于点，且．若，则__________． 14. 在一次体检后，王老师对本班名学生的血型作了统计，并作如下统计表，则该班学生型血的频率为_________． 血型 型 型 型 型 人数 15. 已知一元二次方程两根为与，则的值为_______． 16. 若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则______． 17. 如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，在直线的上方有一点，若，则点C的坐标为______． 18. 在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 三、解答题：本题共10小题，共66分． 19. 计算： 20. 解不等式：． 21. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． （1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 23. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 24. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 25. 在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）__________米/秒，__________秒； （2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标． 27. 已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，求证：； （3）若的半径为10，，求的长． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线函数解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D坐标； （3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$