河北省解答题（3-3）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦河北中考解答题，以函数与几何综合为核心，通过分层递进的典例构建"问题情境-模型建立-变式拓展"的解题体系，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|12题|待定系数法/分类讨论/参数思想|从一次函数图像性质到二次函数动态综合，构建"解析式-图像-性质"逻辑链| |几何综合|14题|轴对称变换/圆的性质/相似模型|以三角形、四边形为载体，渗透"性质探究-判定应用-动态变化"的推理路径|

河北省解答题（3-3）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题 一．单项式乘多项式（共1小题） 1．（2026•邯郸模拟）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积S1＝x（x﹣4）平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积S2＝（x+6）x平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出S＝S2﹣S1平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解：S＝（x+6）x﹣x（x﹣4） ＝x2+6x﹣（x2﹣4x）…第一步 ＝x2+6x﹣x2﹣4x…第二步 ＝2x…第三步 （1）该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； （2）若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 二．一次函数的应用（共2小题） 2．（2026•邯郸校级模拟）如图是8个台阶的示意图（各拐角均为90°），每个台阶宽、高均分别为30cm和20cm、A1B1为第一个台阶面，A2B2为第二个台阶面，…以此类推，A8M为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线MN的解析式，并判断点B1是否在直线MN上； （2）点B2，B3，B4，B5，B6，B7　 　 （选填“在”或“不在”）直线MN上，点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8在直线　 　 （填直线解析式）上； （3）琪琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线y＝mx﹣260m+180（m≠0）表示，若通过m的变化使光线刚好照到所有台阶（包含点M，N），求m的取值范围． 3．（2026•任丘市一模）如图，某花园护栏是由直径为80cm的半圆形条钢组装而成，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加acm（a＞0）．设半圆形条钢的个数为x（x为正整数），护栏总长度为ycm． （1）当a＝60时，y与x之间的函数关系式为　 　 ； （2）若护栏总长度为3380cm，则当a＝60时，所用半圆形条钢个数为　 　 ，当a＝50时，所用半圆形条钢个数为　 　 ； （3）若护栏总长度不变，则当a＝60时，用了n个半圆形条钢；当a＝50时，用了（n+k）个半圆形条钢，请求出n，k之间的关系式． 三．一次函数综合题（共1小题） 4．（2026•宽城县一模）如图，某高速路有一段区间测速，限速100km/h．现有一辆大货车QB经过测速区，以测速区起始线为y轴，以高速路路边的围栏为x轴，建立平面直角坐标系如图2，AC为区间测速货车行驶的笔直路线（AC∥x轴），AC＝20km． （1）该货车通过测速区间的时间为12分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为　 　 千米/小时，是否超速　 　 （填“是”或“否”）； （2）在测速区起始线且距车头12米的O点处有一个固定激光测速仪，激光射线OP与AC交于点P（480，12）；在点M（600，0）处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光MQ追踪货车头点Q，当车头Q刚好在测速区起始线时． ①求射线OP所在直线的函数表达式； ②射线MQ、射线OP的交点坐标，并解释这个点的实际意义； （3）若车头Q刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线MQ与射线OP有交点的时长． 四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 5．（2026•张家口一模）如图，抛物线L1：y＝x2+t经过点A（﹣2，2），顶点为M．抛物线L2：y＝a（x﹣h）2+k（a＜0，h≠0）的顶点N在L1上，与y轴交于点C（0，c），与L1交于点B． （1）求L1的解析式，并用含h的式子表示k； （2）嘉嘉说：若a＝﹣1，L2总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； （3）若a，L1与L2两个交点的对称中心在x轴上，求h的值； （4）若点D（﹣3，m）和E（1，n）都在L2上，且m＜c＜n，直接写出h的取值范围． 五．抛物线与x轴的交点（共2小题） 6．（2026•宽城县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．直线x＝t与两条抛物线L1，L2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求的顶点坐标及b，c的值； （2）若点M到x轴的距离为时，判断点N是否可能在第二象限，若在，求出点N的坐标，若不在，请说明理由． （3）点M在第二象限内： ①求t的取值范围； ②设点M，N到x轴的距离分别为m，n且时，请直接写出t的值． 7．（2026•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．直线x＝t与两条抛物线L1，L2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求b，c的值； （2）当点N在第三象限内时，求t的取值范围； （3）设点M，N到x轴的距离分别为m，n．当点M在第二象限，且时，请直接写出t的值． 六．二次函数的应用（共3小题） 8．（2026•张家口模拟）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度y甲是x的二次函数，其图象L1经过点O（0，0）和点B（20，0），且最高点M的坐标为（10，20）；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度y甲关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度； （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点（0，0）和（t，0），且最高点纵坐标不变，t满足10≤t≤20，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 9．（2026•邯郸校级模拟）体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似地看作是抛物线的一部分，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），以第一个蛙跳的起跳点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系．嘉嘉起跳后，在（1，0.4）处达到最高点，在点A处落地，形成路线抛物线L1，落地后立即起跳进行第二个蛙跳，形成路线抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同． （1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的解析式； （2）如图1，若嘉嘉第二个蛙跳最高点为． ①求第二个蛙跳落地点距离第一个蛙跳的起跳点的距离； ②在距离原点3m处，水平放置一个距离地面高度为0.12m的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由； （3）如图2，为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线y＝mx（m≠0））处进行训练，P为斜坡与抛物线L1的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且PQ⊥x轴．当．且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围． 10．（2026•沧州模拟）如图．某同学利用电脑软件来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c均为常数），通过输入不同的b，c的值，在电脑软件的展示区得到对应的抛物线．已知所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点． （1）求与抛物线L1对应的b、c的值； （2）若把抛物线L1对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2． ①求抛物线L2与x轴交点的坐标； ②判断L2能否经过L1的顶点，说明理由； （3）作一直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若，直接写出n的值． 七．二次函数综合题（共6小题） 11．（2026•枣强县一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+2ax+c与直线：y＝x+3交y轴于点A． （1）求c的值； （2）当a＝2时，设直线和抛物线的另一个交点为C． ①求点C的坐标； ②直线AC上方的抛物线上存在点B，使得∠ABC＝90°，求点B的坐标； （3）如图2，若抛物线L在直线y＝x+3上方的图象仅存在y随x增大而增大的性质，直接写出a的取值范围． 12．（2026•邯郸模拟）如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线L的顶点． （1）求抛物线L的解析式及顶点D的坐标； （2）点P是抛物线L上位于点C和点B之间的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PQ的长； ②求PQ的最大值及此时点P的坐标； （3）现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线L沿x轴向右平移t（0＜t＜4）个单位长度，得到抛物线L′，如图3．抛物线L′交线段AB于点E、交抛物线L于点F．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出t的取值范围．（注：阴影部分为线段AE，抛物线L上点A到点F部分和抛物线L′上点E到点F部分围成的图形，不包含图形的边界） 13．（2026•石家庄一模）如图，点A，B在直线上，OA＝AB，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，顶点为M． （1）若点A横坐标为3， ①直接写出点A，B的坐标； ②求L的函数表达式及点M的坐标； （2）设点A横坐标为t（t＞0）， ①用含t的代数式表示b和c，并求当t为何值时，点M到x轴和y轴的距离相等？ ②将L向左平移后得到的抛物线记作L′，若L′恰好经过点A，直接写出L′与l的另一个交点的坐标． 14．（2026•石家庄校级一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“相反点”． （1）若点（3，a）和（m，n）都是相反点，则a＝　 　 ，m+n＝　 　 ． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4（a≠0）时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2）．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线C1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，若C2上有两个“相反点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2）（其中x1＜x2，且）． ①求m的值； ②当x1≤x≤x2时，直接写出C2中y的最大值与最小值的差． 15．（2026•邯郸模拟）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片DEBF，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转180°，得到矩形D′E′BF′以及对应的图象G′． ①求旋转过程中G扫过的面积S． ②通过计算，判断抛物线P与G′在矩形DEBF的内部（含边界）的公共点的个数． 16．（2026•沧州二模）图1是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图．光点从屏幕点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏幕底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x．建立如图所示平面直角坐标系xOy，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 2 3 3 （1）观察表格，抛物线的顶点坐标为　 　 ，点（3，1）　 　 （填“在”或“不在”）抛物线上； （2）求满足条件的抛物线解析式； （3）当光点P落在屏幕边缘OB上时，求OP的长； （4）如图2，电子屏幕边长OB为6，垂直OB的边长为无限长，中间位置CD为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘OB时，挡板CD就会发光．若只改变光点P的初始高度OA（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板（不含点P经过D的情况），又能击中边缘OB时，请直接写出OA的取值范围． 八．三角形综合题（共1小题） 17．（2026•定州市一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD是中线，△DEF是等边三角形，点E，F分别在直线CD，AB的上方，∠CDE＝∠ADF＝α（0°＜α＜180°，且α≠60°），G是DE的中点，连接BG并延长至点H，使GH＝BG，连接EH． （1）若0°＜α＜60°． ①判断EH与BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接FC，FH，求证：FC＝FH． （2）若BC＝3，DE＝1，直接写出点C与点H距离的最大值． 九．四边形综合题（共6小题） 18．（2026•枣强县一模）【活动与实践】利用两个正方形硬纸板制作赵爽弦图． 【活动准备】两个边长分别为3和4的正方形硬纸板，A4纸一张，直尺、三角板、小刀、铅笔． 【知识储备】勾股定理、正方形证明方法、面积公式、拼接相关知识． 【制作过程】 （1）如图1，用边长为3和4的两个正方形硬纸板拼接成一个赵爽弦图，拼成的赵爽弦图外围的大正方形的面积为　 　 ； （2）如图2，将边长分别为3和4的正方形ABCD和EFGH的顶点C和E重合，且使点D，E，F三点共线，连接DH，过点H作HL⊥DH交GF于点L，分别过L，D作HL，DH的垂线，两条垂线交于点J，LJ交EF于点K，求证：四边形DHLJ为正方形； （3）如图3，过点L作LM⊥HE于点M，过点J作N⊥LM于点N，N交EF于点P，求BM和JN的长； （4）将△GHL放到△EHD的位置，如图4所示，请你将后面的拼接任务完成，拼成如图1所示的赵爽弦图，请简要说明你的拼接过程．（图中没有字母的点不要添加字母） 19．（2026•邯郸模拟）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为点B′． （1）当B′落在AD上时，BE的长为　 　 ；此时，四边形ABEB′的面积为　 　 ； （2）当点E运动到BC边的中点时，在图2中用尺规作出折痕AE和点B的对应点B′（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图3，连接BB′，交AE于点F．当点E在BC边上从点B运动到点C时，点F也随之运动，求点F的运动路径长（结果保留π）．（参考数据：） 20．（2026•石家庄一模）如图1和图2，矩形纸片ABCD长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片ABCD，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形EFGH； 琪琪的方法：如图2，沿AC分别折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB，点E，F分别在边BC，AD上，得到四边形AECF； 解答下列问题： （1）如图1，求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，求CE的长； （3）通过计算，比较图1中四边形EFGH和图2中四边形AECF面积的大小． 21．（2026•河源一模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索．实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线DF，并把DF折到图3中FN处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP，得到矩形CDPN． 问题解决： （1）求证：矩形CDPN是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形CDPN”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 22．（2026•邯郸校级模拟）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1所示摆放，若AB＝12，点E恰好为AB的中点．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°），观察图形的变化，完成探究活动． （1）【初步探究】如图2，连接BE并延长与DF的延长线相交于点G，BG交AD于点M． ①求证：∠ABG＝∠ADF； ②猜想并证明BE与DF之间的数量关系与位置关系； （2）【深入探究】应用（1）中的结论解决下面的问题． 如图3，连接BD，O是BD的中点，连接OA，OG，求OA与OG的数量关系； （3）【尝试应用】如图4，在（1）的条件下，当旋转角α从0°变化到60°时，请直接写出点G经过路线的长度． 23．（2026•河北模拟）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； （2）【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为　 　 （用含a，b的式子表示）； （3）【应用】若（2a+3）2＝4a2+ka+9，则k＝　 　 ；若（5x+m）2＝25x2+10x+n，则m＝　 　 ，n＝　 　 ． 十．圆的综合题（共8小题） 24．（2026•宽城县一模）如图，在▱ABCD中，BC＝8，点E是BC的中点，过点E在BC上方作，且与CD相切于点C，其圆心为O，连接OC，OE．发现随着∠B的变化，所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化． （1）如图1，当α＝56°时，求劣弧所对的圆心角的度数和圆的半径；（参考数据：sin34°≈0.55，cos34°≈0.82，tan34°≈0.67） （2）如图2，点O在BC下方，EO∥CD．求扇形EOC的面积； （3）若点O在BC上时，直接写出此时α值． 25．（2026•邯郸模拟）如图1，在正方形ABCD中，AB＝6．以AB为直径在正方形内部作半圆⊙O，点O为圆心．点E在AD边上，且．连接BE，交半圆于点F．点G为上的动点． （1）如图1，连接AF，求AF的长； （2）如图2，连接CG，DG，当CG＝DG时，求的长； （3）如图3，连接BG，FG，求△BFG面积的最大值． 26．（2026•张家口模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC上一点O为圆心过点A作⊙O，⊙O交AB于点D． （1）尺规作图：作DB的垂直平分线EF，分别交BC、AB于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DE，求证：DE是⊙O的切线； （3）若∠B＝40°，OA＝6，求弧AD的长． 27．（2026•香河县模拟）如图，等腰三角形ABC（AB＝AC）内接于⊙O，点D是上一点，连接BD，连接AD并延长，交BC的延长线于点E． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）在线段AB上找一点G，连接DG，交AC于点H，使得BG＝DG．求证：AH＝DH； （3）若，，CE＝4，求△ABC的面积． 28．（2026•石家庄一模）情境 如图1，半圆O的直径AB＝12，点C是直径AB上一点，点D在半圆O上，且∠BCD＝α（0°＜α＜90°）． 操作 将半圆O沿线段CD裁剪后，得到图形ACD和图形BCD两部分，然后保持图形BCD不动，将图形ACD翻转后，再与图形BCD拼接成如图2所示的平面图形，过点D作AC的平行线l，交弧AD于点P，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现 （1）直接写出α与∠ACD满足的数量关系； （2）如图3，若点D在圆心O的左侧，DO＝2，当l⊥BD时． ①求α的值； ②求CD的长． 探究 如图4，若点D在圆心O的左侧，且DO＝2，连接PC，当l⊥PC时． （3）在图4的基础上，用尺规作图作出弧AD所在圆的圆心G（保留作图痕迹，不写作法）； （4）求线段DC的长． 拓展 （5）如图5，若点D在圆心O的右侧，当弧AD所在的圆与BO相切于点D时，弧BC的长为π，直接写出线段DC的长． 29．（2026•石家庄校级一模）某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个1：1的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 （1）任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． （2）任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为20cm，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73． 30．（2026•张家口一模）如图1和图2，▱ABCD中，对角线BD⊥AD，P是AB上一点（不与点A重合），以AP为直径作半圆，圆心为点O，交AD于点E． （1）如图1，若半圆与BD相切，点F为切点，连接AF并延长，交CD于点G，求证：DA＝DG． （2）如图2，若半圆与BD交于点M，N，且OM⊥ON，，． ①求MN的长； ②连接PE，直接写出与PE长的大小关系．（注：π取3.14） 31．（2026•河北模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝3，半圆O的直径为AE，在初始位置时，圆心O与点B重合，D为半圆O上的点，且∠DAE＝30°． （1）AB＝　 　 ； （2）求证：△ABC≌△EDA； （3）如图2，将半圆O绕点A逆时针旋转（旋转角度不超过180°）． ①当AE恰好平分∠BAC时，点E到AC的距离为　 　 ； ②当半圆O恰好与△ABC的边相切时，求点O运动的路径长； （4）当半圆O绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置时，△ADE与直线BC交于点M，N，且点M位于点B左侧，点N位于点B右侧．当时，直接写出CN的长． 十一．作图—基本作图（共1小题） 32．（2026•邯郸校级模拟）如图，量角器放置在长方形纸面中，AB为其直径，点O为其圆心，点C，D在量角器的半弧上，对应刻度分别为30°和60°，OA＝6．连接OC，OD，BD． （1）尺规作图：求作线段OC的垂直平分线l，直线l与BD交于点E，与OC交于点F，与OD交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接CG，求CG的长； （3）求DE的长． 十二．作图-轴对称变换（共1小题） 33．（2026•张家口一模）【操作】在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一点（不含点B，C），将△ABC沿AD折叠，点C落在点E处，点F是点B关于AD的对称点，连接DF，AF． 【作图】如图1，当点E在BC上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E，D，F在一条直线上，且EF＝BC． 【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 34．（2026•邯郸模拟）综合与实践： 已知宽与长的比是：（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线DF，并把DF折到图3中FN处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP，得到矩形CDPN． 问题解决： （1）求证：矩形CDPN是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形CDPN．”请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 十四．几何变换综合题（共2小题） 35．（2026•枣强县一模）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝4，，CD＝BC＝8，点P从点D出发沿折线D﹣C﹣B运动，运动速度为每秒1个单位长度，连接AP，PD，将△APD沿AP翻折得到△APD′，设运动时间为t秒． （1）如图1，连接BD，求证：△BCD为等边三角形； （2）如图2，当t＝3时，连接DD′交AP于点E，求DD'的长； （3）如图3，连接CD'，AC，当∠ACD'最大时，求t的值； （4）当点D'落在射线CB上时，直接写出t的值． 36．（2026•张家口模拟）综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点B为坐标原点，AB＝6，AD＝10．点E在边CD或边BC上运动，将△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点为D′，连接DD′，AE与DD′交于点O． 请完成以下闯关任务： （1）第一关•初试锋芒 如图2当点E在边DC上且点D′恰好落在边BC上时，完成基础探究： ①直接写出：BD′＝　 　 ，DE＝　 　 ； ②此时AE与DD′的位置关系是　 　 ． （2）第二关•解锁规律 ①当点E为边DC上任意一点时，AE与DD′在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由； ②如图3取AD的中点M，连接MO，当点E从点D运动到点C时，求点O的运动路径长．（参考数据：tan31°≈0.6，sin37°≈0.6，cos53°≈0.6） （3）第三关•终极挑战 当D′到BC的距离为2时，直接写出所有满足条件的点E的坐标． 十五．相似形综合题（共2小题） 37．（2026•宽城县一模）综合与实践 【情境】在矩形ABCD中，点P是AD边上一点（不与点A，D重合），且AB＝6，AD＝5，设PA的长为x． 【探究】将矩形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，展开后得到折痕EF，连接BP． （1）如图1，求折痕EF的长度，并直接写出线段BP的长（用含x的代数式表示）． （2）如图1，将△APB沿直线PB折叠，点A恰好落在CD边上的点A1处． ①求证：△PDA1∽△A1CB； ②求此时x的值． （3）【操作】当x＝3时，将矩形ABCD沿过点P的直线a折叠，使点A的对应点为A3． 如图2，若点A3落在DC边上，用尺规作图作出直线a；（说明：保留作图痕迹，不写作法） （4）【拓展】在（3）的条件下，直接写出点B到点A3之间距离的最小值． 38．（2026•沧州二模）综合与实践 【情境】数学活动课上，嘉淇利用尺规作图探究矩形的性质，如图1，已知在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O． 【操作】嘉淇利用尺规作图，按如下步骤操作： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OC于E，F两点； 第二步，分别以点E，F为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线OM．如图2； 【探究】根据以上操作，解决下列问题． （1）∠EOM与∠FOM的大小关系为　 　 ，OM与AB的位置关系为　 　 ； （2）在图2的基础上． ①尺规作图：以点M为圆心，OM长为半径画弧，交OC于点N，连接MN（保留作图痕迹）； ②求的值； 【拓展】结合“探究”的思路以及作图，进行如下拓展． （3）根据以上条件，如图3，点P为OA的中点，点Q为射线OM上一点，连接PB，PQ，当∠BPQ＝∠BAC时，直接写出OQ的长． 河北省解答题（3-3）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题 参考答案与试题解析 一．单项式乘多项式（共1小题） 1．（2026•邯郸模拟）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积S1＝x（x﹣4）平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积S2＝（x+6）x平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出S＝S2﹣S1平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解：S＝（x+6）x﹣x（x﹣4） ＝x2+6x﹣（x2﹣4x）…第一步 ＝x2+6x﹣x2﹣4x…第二步 ＝2x…第三步 （1）该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； （2）若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，原解答不正确，从第二步开始出错， 正确过程：S＝S2﹣S1 ＝x（x+6）﹣x（x﹣4） ＝x2+6x﹣x2+4x ＝10x； （2）根据题意可知，方案一得到的矩形长、宽为：x和x﹣4；方案二得到的矩形长、宽为：x+6和x， ， x2＝（x﹣4）（x+6）， x2＝x2+2x﹣24， 2x＝24， 解得：x＝12， 验证：x＝12时，x﹣4＝8＞0，符合实际意义， 答：原正方形边长为12厘米． 二．一次函数的应用（共2小题） 2．（2026•邯郸校级模拟）如图是8个台阶的示意图（各拐角均为90°），每个台阶宽、高均分别为30cm和20cm、A1B1为第一个台阶面，A2B2为第二个台阶面，…以此类推，A8M为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线MN的解析式，并判断点B1是否在直线MN上； （2）点B2，B3，B4，B5，B6，B7　在　 （选填“在”或“不在”）直线MN上，点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8在直线　　 （填直线解析式）上； （3）琪琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线y＝mx﹣260m+180（m≠0）表示，若通过m的变化使光线刚好照到所有台阶（包含点M，N），求m的取值范围． 【解答】解：（1）设直线MN的解析式为：y＝kx+b， ∵每个台阶宽、高分别为30cm和20cm， ∴M（0，160），N（240，0）， 将（0，160）和（240，0）代入解析式得：， 解得． ∴， 当x＝210时，， ∴B1（210，20）在直线MN上； （2）由（1）问可得B2（180，40）， 当x＝180时，， ∴B2（180，40）在直线， 同理可得B3、B4、B5、B6、B7均在直线上； ∵N（240，0），A1（240，20）， ∴由图可知：将直线向上平移20个单位长度可得：， 点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8在直线， 故答案为：在；； （3）解：把N（240，0）代入y＝mx﹣260m+180（m≠0）， 240m﹣260m+180＝0，得m＝9， 把M（0，160）代入y＝mx﹣260m+180（m≠0）， ﹣260m+180＝160，得， 则． 3．（2026•任丘市一模）如图，某花园护栏是由直径为80cm的半圆形条钢组装而成，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加acm（a＞0）．设半圆形条钢的个数为x（x为正整数），护栏总长度为ycm． （1）当a＝60时，y与x之间的函数关系式为y＝60x+20　 ； （2）若护栏总长度为3380cm，则当a＝60时，所用半圆形条钢个数为　56　 ，当a＝50时，所用半圆形条钢个数为　67　 ； （3）若护栏总长度不变，则当a＝60时，用了n个半圆形条钢；当a＝50时，用了（n+k）个半圆形条钢，请求出n，k之间的关系式． 【解答】解：（1）根据第一个半圆形条钢直径为80cm，每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加acm，半圆形条钢的个数为x，列式可得： ∴y＝80+60（x﹣1）＝60x+20． （2）当a＝60时得：60x+20＝3380， 解得：x＝56， 当a＝50时， 得：80+50（x﹣1）＝50x+30＝3380， 解得：x＝67． （3）若护栏总长度不变，则当a＝60时，用了n个半圆形条钢， 则护栏长度为：（60n+20）； 则当a＝50时，用了（n+k）个半圆形条钢， 则护栏长度为：[50（n+k）+30]； ∴60n+20＝[50（n+k）+30]， 整理得：n＝5k+1． 三．一次函数综合题（共1小题） 4．（2026•宽城县一模）如图，某高速路有一段区间测速，限速100km/h．现有一辆大货车QB经过测速区，以测速区起始线为y轴，以高速路路边的围栏为x轴，建立平面直角坐标系如图2，AC为区间测速货车行驶的笔直路线（AC∥x轴），AC＝20km． （1）该货车通过测速区间的时间为12分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为　100　 千米/小时，是否超速　否　 （填“是”或“否”）； （2）在测速区起始线且距车头12米的O点处有一个固定激光测速仪，激光射线OP与AC交于点P（480，12）；在点M（600，0）处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光MQ追踪货车头点Q，当车头Q刚好在测速区起始线时． ①求射线OP所在直线的函数表达式； ②射线MQ、射线OP的交点坐标，并解释这个点的实际意义； （3）若车头Q刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线MQ与射线OP有交点的时长． 【解答】解：（1）20100（km/h）， ∵限速100km/h， ∴不超速， 故答案为：100，否； （2）①设射线OP所在直线的函数表达式为y＝kx，把P（480，12）代入得， 12＝480k， 解得， ∴射线OP所在直线的函数表达式为； ②设射线MQ的函数表达式为y＝mx+n，把Q（0，12）、M（600，0）代入， ∴， 解得， ∴， 由得， ∴射线MQ、射线OP的交点坐标为； 交点实际意义：固定激光测速仪的射线OP与可转动测速仪的射线QC（车头在起始线时）的交点； （3）当MQ∥OP时，激光射线MQ与射线OP没有交点，设此时Q（a，12），射线MQ所在直线的函数表达式为，把M（600，0）代入， ∴， ∴b＝﹣15， ∴yx﹣15， 把Q（a，12）代入得，， 解得a＝1080， ∵， ∴， ∴激光射线MQ与射线OP有交点的时长为38.88s． 四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 5．（2026•张家口一模）如图，抛物线L1：y＝x2+t经过点A（﹣2，2），顶点为M．抛物线L2：y＝a（x﹣h）2+k（a＜0，h≠0）的顶点N在L1上，与y轴交于点C（0，c），与L1交于点B． （1）求L1的解析式，并用含h的式子表示k； （2）嘉嘉说：若a＝﹣1，L2总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； （3）若a，L1与L2两个交点的对称中心在x轴上，求h的值； （4）若点D（﹣3，m）和E（1，n）都在L2上，且m＜c＜n，直接写出h的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可知2＝4+t， 解得t＝﹣2， ∴L1的解析式为y＝x2﹣2， 抛物线的顶点N的坐标为（h，k）， 将点N（h，k）代入y＝x2﹣2，得k＝h2﹣2； （2）当a＝﹣1时，y＝﹣（x﹣h）2+k， ∵k＝h2﹣2， ∴y＝﹣（x﹣h）2+h2﹣2， 当x＝0时，y＝﹣h2+h2﹣2＝﹣2为定值， ∴嘉嘉说得正确，定点坐标为（0，﹣2）； （3）L2为， 联立， 解得或， ∴抛物线L1与L2的两个交点的坐标为，（h，h2﹣2），对称中心的坐标为， ∵两个交点的对称中心在x轴上， ∴，解得； （4）由条件可知抛物线L2的开口向下，在抛物线L2中，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵y＝a（x﹣h）2+h2﹣2的对称轴为直线x＝h， ∴点D（﹣3，m）到对称轴的距离为|h﹣（﹣3）|＝|h+3|，点E（1，n）到对称轴的距离为|h﹣1|，点C（0，c）到对称轴的距离为|h|， ∵m＜c＜n， ∴|h+3|＞|h|＞|h﹣1|， 平方得h2+6h+9＞h2＞h2﹣2h+1， 整理得， 解得． 五．抛物线与x轴的交点（共2小题） 6．（2026•宽城县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．直线x＝t与两条抛物线L1，L2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求的顶点坐标及b，c的值； （2）若点M到x轴的距离为时，判断点N是否可能在第二象限，若在，求出点N的坐标，若不在，请说明理由． （3）点M在第二象限内： ①求t的取值范围； ②设点M，N到x轴的距离分别为m，n且时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）对于抛物线L1：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点坐标为（﹣1，4）； 当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0）， 当x＝0时，y＝3， 由题意，点C的坐标为（0，3）， 抛物线经过点A，C， ∴， 解得， 即b的值为4，c的值为3； （2）N点可能在第二象限． ∵点M到x轴距离为， ∴y＝±， 当时，即， 解得：x1，x2， 由（1）知，抛物线L2解析式为y＝x2+4x+3， ∴N1（，），N2（，）， 当时，即， 解得：x1，x2， ∴N3（，），N4（，）， ∴N点在第二象限的坐标和； （3）①抛物线L2：y＝x2+4x+3， 当y＝0时，x2+4x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1， ∴当点N在第三象限内时，t的取值范围为﹣3＜t＜﹣1； ②设M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3）， ∵M在第二象限， ∴﹣3＜t＜0， ∴， ∵当﹣3＜t＜0时，， ∴， 分情况讨论： 当﹣3＜t＜﹣1时，yN＜0， ∴n＝﹣t2﹣4t﹣3， ∴， 整理得4t2+12t+9＝0， 解得； 当﹣1≤t＜0时，yN≥0， ∴n＝t2+4t+3， ∴， 解得， 所以t的值为或． 7．（2026•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．直线x＝t与两条抛物线L1，L2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求b，c的值； （2）当点N在第三象限内时，求t的取值范围； （3）设点M，N到x轴的距离分别为m，n．当点M在第二象限，且时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）对于抛物线L1：y＝﹣x2﹣2x+3， 当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， 由题意，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0）， 当x＝0时，y＝3， 由题意，点C的坐标为（0，3）， 抛物线经过点A，C．直线x＝t与两条抛物线L1，L2分别交于点M，N，与x轴交于点P． ∴，解得， 即b的值为4，c的值为3； （2）∵b＝4，c＝3， ∴抛物线L2：y＝x2+4x+3， 当y＝0时，x2+4x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1， ∴当点N在第三象限内时，t的取值范围为﹣3＜t＜﹣1． （3）设点M，N到x轴的距离分别为m，n．当点M在第二象限，且时， 设M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3）， ∵M在第二象限， ∴﹣3＜t＜0 ∴， ∵当﹣3＜t＜0时，， ∴， 分情况讨论： ①当﹣3＜t＜﹣1时，yN＜0， ∴n＝﹣t2﹣4t﹣3， ∴， ∴4t2+12t+9＝0， 解得（满足﹣3＜t＜﹣1）； ②当﹣1≤t＜0时，yN≥0， ∴n＝t2+4t+3， ∴， 解得（满足﹣1≤t＜0）； 所以t的值为或． 六．二次函数的应用（共3小题） 8．（2026•张家口模拟）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度y甲是x的二次函数，其图象L1经过点O（0，0）和点B（20，0），且最高点M的坐标为（10，20）；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度y甲关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度； （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点（0，0）和（t，0），且最高点纵坐标不变，t满足10≤t≤20，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【解答】解：（1）由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点M（10，20）， 设顶点式． 代入点O（0，0）得：0＝a（0﹣10）2+20，解得：． 所以，即． （2）由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点，B（20，0） 设无人机乙下降过程的函数解析式为：y＝kx+b， ， 解得：， ∴， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． （3）垂直距离d＝|y甲﹣y乙|，分两段讨论： ①乙起飞段：时，易得：y乙＝5x， ， ∴对称轴为， 令，解得：x＝0或x＝﹣5， 如图，当时，d随x的增大而增大， ∴时，； ∴d的最大值为． ②乙下降段：时， 令，解得：x＝5或x＝20， ∴对称轴为， 如图：当时，； 当时，； 当x＝20时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离． （4）最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点（0，0）和（t，0），且最高点纵坐标不变，t满足10≤t≤20，则： 由乙无人机过（0，0）和（t，0），最高点纵坐标不变20， ∴10≤t≤20， 设y甲＝ax（x﹣t），顶点横坐标，代入顶点： ， 解得：， ∴． 令y甲＝y乙， ，解得： ∴当x＝x1时，第一处处于高度相同；当x＝x2时第二次处于高度相同， ∵“最优垂直距离”指在两机首次、第二次同高的时间x的取值范围为x1＜x＜x2，最大垂直距离的最小值，且y甲＞y乙， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为t＝﹣80，即当t＞﹣80时，dmax随t的增大而增大， ∵10≤t≤20， ∴当t＝10时，dmax有最小值， ∴当t＝10秒时，最优垂直距离最小，最小值为米． 9．（2026•邯郸校级模拟）体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似地看作是抛物线的一部分，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），以第一个蛙跳的起跳点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系．嘉嘉起跳后，在（1，0.4）处达到最高点，在点A处落地，形成路线抛物线L1，落地后立即起跳进行第二个蛙跳，形成路线抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同． （1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的解析式； （2）如图1，若嘉嘉第二个蛙跳最高点为． ①求第二个蛙跳落地点距离第一个蛙跳的起跳点的距离； ②在距离原点3m处，水平放置一个距离地面高度为0.12m的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由； （3）如图2，为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线y＝mx（m≠0））处进行训练，P为斜坡与抛物线L1的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且PQ⊥x轴．当．且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围． 【解答】解：（1）设抛物线L1的解析式为y＝a（x﹣1）2+0.4， ∵点O（0，0）在抛物线L1上， ∴a+0.4＝0， 解得a＝﹣0.4， ∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的解析式为y＝﹣0.4（x﹣1）2+0.4． （2）①在y＝﹣0.4（x﹣1）2+0.4中， 令y＝0，可得﹣0.4（x﹣1）2+0.4＝0， 解得x＝0或x＝2， ∴A（2，0）， 由（1）得a＝﹣0.4， ∵嘉嘉第二个蛙跳最高点为， ∴抛物线L2：， 根据题意可知h＞2， 把A（2，0）代入， 可得，h＞2， 解得h＝2.6， ∴第二个蛙跳落地点的横坐标为2.6+（2.6﹣2）＝3.2， ∵第一个蛙跳的起跳点为原点， ∴第二个蛙跳落地点距离第一个蛙跳的起跳点的距离为3.2m； ②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由： 抛物线L2：， 在中， 令x＝3，可得， ∴在距离原点3m处，嘉嘉距离地面高度为0.08m， ∵0.08＜0.12， ∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆． （3）当．且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时， ∴L2与抛物线L1的关于直线PQ对称， ∴抛物线L2与抛物线L1的顶点的距离为点P到L1的对称轴距离的2倍， ∴， 解得：点P的横坐标＝2， 抛物线L2的对称轴为h＝1+2（1）＝3﹣5m， ∵． ∴2≤3﹣5m， ∴2≤h． 10．（2026•沧州模拟）如图．某同学利用电脑软件来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c均为常数），通过输入不同的b，c的值，在电脑软件的展示区得到对应的抛物线．已知所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点． （1）求与抛物线L1对应的b、c的值； （2）若把抛物线L1对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2． ①求抛物线L2与x轴交点的坐标； ②判断L2能否经过L1的顶点，说明理由； （3）作一直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若，直接写出n的值． 【解答】解：（1）给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c均为常数），通过输入不同的b，c的值，在电脑软件的展示区得到对应的抛物线．已知所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点． ∴，解得， 则与抛物线L1对应的b的值为﹣2，c的值为0； （2）∵b＝﹣2，c＝0， ∴L1：y＝x2﹣2x， ∵抛物线L2是由抛物线L1对应的b、c的值交换所得， ∴L2：y＝x2﹣2， ①当y＝0时，x2﹣2＝0，解得，， 则抛物线L2与x轴交点的坐标为，； ②抛物线L2经过L1的顶点，理由如下， ∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴L1的顶点坐标为（1，﹣1）， 当x＝1时，y＝12﹣2＝﹣1， 则抛物线L2经过L1的顶点； （3）n的值为， 理由如下：∵直线l：y＝n与抛物线L1和抛物线L2均有两个交点，L1的顶点坐标为（1，﹣1）， ∴由图可得，n＞﹣1， 当y＝n时，x2﹣2x＝n，解得，则， 当y＝n时，x2﹣2＝n，解得，则， ∵，即MN＝2PQ， ∴，即， 左右平方，整理得，2+n＝4（1+n）， 解得， 则n的值为． 七．二次函数综合题（共6小题） 11．（2026•枣强县一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+2ax+c与直线：y＝x+3交y轴于点A． （1）求c的值； （2）当a＝2时，设直线和抛物线的另一个交点为C． ①求点C的坐标； ②直线AC上方的抛物线上存在点B，使得∠ABC＝90°，求点B的坐标； （3）如图2，若抛物线L在直线y＝x+3上方的图象仅存在y随x增大而增大的性质，直接写出a的取值范围． 【解答】解：（1）对于直线y＝x+3，当x＝0时，y＝3， ∴点A（0，3） 把点A（0，3）代入y＝﹣x2+2ax+c得c＝3； （2）①由（1）知c＝3， 当a＝2时，y＝﹣x2+4x+3， 令﹣x2+4x+3＝x+3， 解得x1＝0，x2＝3， 当x＝3时，y＝3+3＝6， ∴点C的坐标为（3，6）； ②过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥DB，交DB延长线于点E， 设点B的坐标为（m，﹣m2+4m+3）， ∵点A（0，3），点C（3，6）， ∴BD＝m，AD＝﹣m2+4m+3﹣3＝﹣m2+4m， BE＝3﹣m，CE＝﹣m2+4m+3﹣6＝﹣m2+4m﹣3， 由辅助线可知∠ADB＝90°，∠CEB＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBA+∠EBC＝90°， ∴∠DAB＝∠EBC， ∴△ABD∽△BCE， ∴， ∴， 即， 整理，得m2﹣5m+5＝0， 解得：（舍去），， 此时﹣m2+4m+3， ∴点B的坐标为； （3）抛物线y＝﹣x2+2ax+3顶点为：（a，a2+3）， 当顶点和点A重合时，a＝0， 当抛物线y＝﹣x2+2ax+3和直线y＝x+3有唯一交点时， ﹣x2+2ax+3＝x+3， 整理得x+（1﹣2a）x＝0， ∴Δ＝（1﹣2a）2﹣4×1×0＝0， 解得， 当顶点落在直线y＝x+3上时（不与点A重合）， a+3＝a2+3， ∴a＝0（舍去）或a＝1， 综上：满足条件的a的值为：0≤a≤1且． 12．（2026•邯郸模拟）如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线L的顶点． （1）求抛物线L的解析式及顶点D的坐标； （2）点P是抛物线L上位于点C和点B之间的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PQ的长； ②求PQ的最大值及此时点P的坐标； （3）现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线L沿x轴向右平移t（0＜t＜4）个单位长度，得到抛物线L′，如图3．抛物线L′交线段AB于点E、交抛物线L于点F．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出t的取值范围．（注：阴影部分为线段AE，抛物线L上点A到点F部分和抛物线L′上点E到点F部分围成的图形，不包含图形的边界） 【解答】解：（1）抛物线L：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点D是抛物线L的顶点．将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点D的坐标为（1，﹣4）； （2）①抛物线L：y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∵PQ⊥x轴， ∴xP＝xQ＝m， ∴点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点Q的坐标为（m，m﹣3）， ∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m； ②， ∵﹣1＜0， ∴当时，PQ取得最大值，此时点P的坐标为； （3）t的取值范围为．理由如下： 根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线L的A、B两点之间， ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），且抛物线L关于直线x＝1对称， ∴抛物线L的A、B两点之间的所有整点（不含边界）为（0，﹣1），（0，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），一共7个， 如图3， 根据题意，若恰有5个整点，则点（1，﹣1）在抛物线L′的下方，且点（2，﹣2）在抛物线L′的上方或者在抛物线上， 根据平移规律可得，抛物线L′的解析式为y＝（x﹣1﹣t）2﹣4， 将x＝1代入y＝（x﹣1﹣t）2﹣4，得：y＝t2﹣4， ∵点（1，﹣1）在抛物线L′的下方， ∴t2﹣4＞﹣1，即t2＞3， 解得：或（不合题意，舍去）； 将x＝2代入y＝（x﹣1﹣t）2﹣4，得：y＝（t﹣1）2﹣4， ∵点（2，﹣2）在抛物线L′的上方或者在抛物线上， ∴（t﹣1）2﹣4≤﹣2，即（t﹣1）2≤2， 解得：， 综上所述，t的取值范围为． 13．（2026•石家庄一模）如图，点A，B在直线上，OA＝AB，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，顶点为M． （1）若点A横坐标为3， ①直接写出点A，B的坐标； ②求L的函数表达式及点M的坐标； （2）设点A横坐标为t（t＞0）， ①用含t的代数式表示b和c，并求当t为何值时，点M到x轴和y轴的距离相等？ ②将L向左平移后得到的抛物线记作L′，若L′恰好经过点A，直接写出L′与l的另一个交点的坐标． 【解答】解：（1）①∵点A横坐标为3，OA＝AB， ∴点B横坐标为6， ∵点A，B在直线l：yx上，把x＝3，6分别代入直线l的解析式分别得到y＝1，2， ∴点A，B的坐标分别是（3，1），（6，2）； ②把（3，1），（6，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c中， 得，解得， ∴L的函数表达式为：y＝﹣x218， ∵抛物线的对称轴是直线：x，把x代入L的解析式得到y， ∴M的坐标是（）； （2）①∵A横坐标为t， ∴B横坐标为2t， ∴将A（t，），B（2t，），代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得， ∴L的解析式为：y＝﹣x2+（）x﹣2t2， ∴顶点M的横坐标为：x， 将x，代入y＝﹣x2+（）x﹣2t2， 解得y， ∵M到x轴和y轴的距离相等， ∴，解得，（舍去）； ②∵抛物线L的对称轴是直线x，∵点A的横坐标是t， ∴点A关于对称轴的对称的A′的横坐标是2t， ∴抛物线向左平移了（t）个单位， ∴平移后抛物线的顶点的横坐标是，纵坐标不变， ∴L′的解析式为：y＝﹣（x）2， 由x＝﹣（x）2，整理得﹣x2+（t）x0， 设L′与直线yx的另一交点的横坐标是x′，利用根与系数的关系， ∴t•x′， ∴x′，将其代入y，得到y， ∴L′与l的另一个交点的坐标为：（）． 14．（2026•石家庄校级一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“相反点”． （1）若点（3，a）和（m，n）都是相反点，则a＝　﹣3　 ，m+n＝　0　 ． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4（a≠0）时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2）．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线C1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，若C2上有两个“相反点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2）（其中x1＜x2，且）． ①求m的值； ②当x1≤x≤x2时，直接写出C2中y的最大值与最小值的差． 【解答】解：（1）∵点（3，a）是相反点， 依据“相反点”的定义得：3+a＝0， 解得：a＝﹣3， ∵点（m，n）是相反点， 依据“相反点”的定义得：m+n＝0， 故答案为：﹣3；0； （2）直线L的解析式为y＝﹣x；理由如下： 设（x，y）是“相反点”， 依据“相反点”的定义得：x+y＝0， ∴y＝﹣x， ∴所有相反点都满足y＝﹣x， ∴直线L的解析式为y＝﹣x； （3）由（2）知，相反点在y＝﹣x上， 联立得：， 整理得：ax2+（b+1）x﹣4＝0， ∵抛物线C1的图象上有且只有一个“相反点”， ∴Δ＝（b+1）2﹣4a×（﹣4）＝（b+1）2+16a＝0， 将x＝2代入ax2+（b+1）x﹣4＝0得： 4a+2（b+1）﹣4＝0， ∴b＝1﹣2a， 将b＝1﹣2 a代入（b+1）2+16a＝0得： （1﹣2a+1）2+16a＝0， 解得：a＝﹣1， ∴b＝1﹣2×（﹣1）＝3； （4）①由（3）可知，抛物线C1：y＝﹣x2+3x﹣4， ∴平移后抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣4+m， 根据题意得：， 整理得：x2﹣4x+（4﹣m）＝0， ∵抛物线C2上有两个“相反点”， ∴设方程有两个不等实根x1、x2， 由韦达定理得：x1+x2＝4、x1x2＝4﹣m， ∵M（x1，y1），N（x2，y2）是相反点， ∴y1＝﹣x1、y2＝﹣x2， ∴， ∴|x2﹣x1|＝2， ∴， ∵， ∴4m＝4， 解得：m＝1； ②C2中y的最大值与最小值的差为．理由如下： 由①知，m＝1，则抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣3， ∴该抛物线对称轴为直线， 将m＝1代入x2﹣4x+（4﹣m）＝0得： x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴当1≤x≤3时， 在对称轴处有最大值，最大值为：， 将x＝1代入C2的解析式得：﹣1+3﹣3＝﹣1， 将x＝3代入C2的解析式得：﹣9+3×3﹣3＝﹣3， ∴C2中y的最大值与最小值的差为：． 15．（2026•邯郸模拟）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片DEBF，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转180°，得到矩形D′E′BF′以及对应的图象G′． ①求旋转过程中G扫过的面积S． ②通过计算，判断抛物线P与G′在矩形DEBF的内部（含边界）的公共点的个数． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入得， ， 解得， ∴抛物线P的解析式为； ∴， ∴顶点D的坐标为（1，2）； （2）①如图，连接DD′ ∵D（1，2），B（3，0）， ∴DE＝2，BE＝3﹣1＝2， ∴DE＝BE， ∵四边形DEBF是矩形， ∴四边形DEBF是正方形， ∴DE＝BE＝BF＝DF＝2， ∵以点B为中心把该胶片旋转180°，得到矩形D′E′BF′， ∴点D，B，D′共线，BF′＝D′F′＝2，∠BF′D′＝90°， ∴DB2＝DE2+EB2＝8， ∴旋转过程中G扫过的面积； ②∵D（1，2），B（3，0）， ∴由旋转的性质得，D′（5，﹣2）， ∴G′所在抛物线的表达式为， ∴联立抛物线和得，， 整理得，x2﹣6x+9＝0， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0， ∴抛物线P与G′在矩形DEBF的内部（含边界）的公共点的个数为1． 16．（2026•沧州二模）图1是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图．光点从屏幕点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏幕底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x．建立如图所示平面直角坐标系xOy，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 2 3 3 （1）观察表格，抛物线的顶点坐标为　　 ，点（3，1）　不在　 （填“在”或“不在”）抛物线上； （2）求满足条件的抛物线解析式； （3）当光点P落在屏幕边缘OB上时，求OP的长； （4）如图2，电子屏幕边长OB为6，垂直OB的边长为无限长，中间位置CD为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘OB时，挡板CD就会发光．若只改变光点P的初始高度OA（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板（不含点P经过D的情况），又能击中边缘OB时，请直接写出OA的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝1和x＝2时，y＝3， ∴抛物线的对称轴是， ∴抛物线的顶点坐标为； ∵抛物线的对称轴是， ∴点（0，2）关于对称轴对称的点的坐标是（3，2）， 所以点（3，1）不在抛物线上， 故答案为：，不在； （2）设抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的关系式为． 将点（0，2）代入，得， 解得， ∴抛物线的关系式为； （3）当y＝0时，即， 解得x1＝4，x2＝﹣1（不合题意舍去）， 所以OP＝4； （4）设抛物线的关系式为， 由题意可知点D（3，3），B（6，0）， ∵光点能跨过挡板时， 当x＝3时，，解得h＞1， 在中，当x＝0时，， ∴此时OA＞3． ∵光点能击中边缘OB， ∴当x＝6时，，解得h≤7， 在中，当x＝0时，y＝h+2≤9， ∴OA≤9， ∴OA的取值范围是3＜OA≤9． 八．三角形综合题（共1小题） 17．（2026•定州市一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD是中线，△DEF是等边三角形，点E，F分别在直线CD，AB的上方，∠CDE＝∠ADF＝α（0°＜α＜180°，且α≠60°），G是DE的中点，连接BG并延长至点H，使GH＝BG，连接EH． （1）若0°＜α＜60°． ①判断EH与BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接FC，FH，求证：FC＝FH． （2）若BC＝3，DE＝1，直接写出点C与点H距离的最大值． 【解答】（1）解：①EH＝BD，且EH∥BD，理由如下： ∵G是DE的中点， ∴DG＝EG， 在△BDG和△HEG中， ， ∴△BDG≌△HEG（SAS）， ∴EH＝BD，∠DBG＝∠EHG， ∴EH∥BD； ②证明：∵∠ACB＝90°，CD是中线， ∴CD＝AD＝BD， ∵∠ABC＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝120°， ∴∠BDG＝∠BDC+∠CDE＝120°+α， 由①可知，△BDG≌△HEG， ∴∠HEG＝∠BDG＝120°+α，EH＝BD＝CD， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝∠DEF＝60°，DF＝EF， ∴∠FDC＝∠FDE+∠CDE＝60°+α，∠FEH＝∠HEG﹣∠DEF＝60°+α， ∴∠FDC＝∠FEH， 在△FDC和△FEH中， ， ∴△FDC≌△FEH（SAS）， ∴FC＝FH； （2）解：如图，连接CH， 由（1）可知，△FDC≌△FEH， ∴∠DFC＝∠EFH，FC＝FH， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DFE＝∠DFC+∠CFE＝60°，DF＝DE＝1， ∴∠CFH＝∠CFE+∠EFH＝∠CFE+∠DFC＝60°， ∴△CFH是等边三角形， ∴CH＝CF， 在Rt△ABC中，， ∵△ACD是等边三角形， ∴， ∵DF+CD≥CF， ∴当F、D、C三点共线时，CF取得最大值，此时α＝180°﹣∠FDE＝120°，符合题意， ∴CH的最大值为． 九．四边形综合题（共6小题） 18．（2026•枣强县一模）【活动与实践】利用两个正方形硬纸板制作赵爽弦图． 【活动准备】两个边长分别为3和4的正方形硬纸板，A4纸一张，直尺、三角板、小刀、铅笔． 【知识储备】勾股定理、正方形证明方法、面积公式、拼接相关知识． 【制作过程】 （1）如图1，用边长为3和4的两个正方形硬纸板拼接成一个赵爽弦图，拼成的赵爽弦图外围的大正方形的面积为　25　 ； （2）如图2，将边长分别为3和4的正方形ABCD和EFGH的顶点C和E重合，且使点D，E，F三点共线，连接DH，过点H作HL⊥DH交GF于点L，分别过L，D作HL，DH的垂线，两条垂线交于点J，LJ交EF于点K，求证：四边形DHLJ为正方形； （3）如图3，过点L作LM⊥HE于点M，过点J作N⊥LM于点N，N交EF于点P，求BM和JN的长； （4）将△GHL放到△EHD的位置，如图4所示，请你将后面的拼接任务完成，拼成如图1所示的赵爽弦图，请简要说明你的拼接过程．（图中没有字母的点不要添加字母） 【解答】解：（1）S＝32+42＝25， 故答案为：25； （2）证明：∵HL⊥DH，LH⊥LJ，DJ⊥DH， ∴四边形DHLJ为矩形，∠DHL＝90°， ∴∠DHE+∠EHL＝90°， ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠HGL＝∠HEF＝∠EHG＝90°，HG＝HE＝4， ∴∠EHL+∠LHG＝90°， ∴∠DHE＝∠LHG， 又∠DEH＝180°﹣∠HEF＝90°， ∴∠DEH＝∠HGL， ∴△DHE≌△LHG（AAS）， ∴DH＝LH， ∴矩形DHLJ为正方形； （3）解：∵△DHE≌△LHG， ∴LG＝DE＝3， ∵GF＝4， ∴FL＝4﹣3＝1， ∴ME＝FL＝1， ∴BM＝BE+ME＝3+1＝4， ∵∠HML＝∠LN＝∠HLJ＝90°， ∴∠HLM+∠LHM＝90°， ∠HLM+∠JLN＝90°， 又∵HL＝LJ， ∴△HML≌△LNJ（AAS）， ∴JN＝ML＝4； （4）解：先将四边形NPFL拼接到四边形EPJB的位置，再将拼接后得到的△ADJ拼接到△LNJ的位置即可． 19．（2026•邯郸模拟）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为点B′． （1）当B′落在AD上时，BE的长为　6　 ；此时，四边形ABEB′的面积为　36　 ； （2）当点E运动到BC边的中点时，在图2中用尺规作出折痕AE和点B的对应点B′（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图3，连接BB′，交AE于点F．当点E在BC边上从点B运动到点C时，点F也随之运动，求点F的运动路径长（结果保留π）．（参考数据：） 【解答】解：（1）当B′落在AD上时，如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝6， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为点B′． ∴∠AB′E＝∠B＝90°，AB′＝AB＝6， ∴四边形ABEB′是矩形， ∴BE＝AB′＝6， S矩形ABEB′＝AB×BE＝6×6＝36， 故答案为：6；36； （2）折痕AE和点B的对应点B′，如图2即为所求； 根据尺规作图可得，AB＝AB′，EB＝EB′， 在△ABE和△AB′E中， ， ∴△ABE≌△AB′E（SSS）， ∴点B与点B′关于AE对称； （3）由折叠的性质可得，AE⊥BB′， ∴∠AFB＝90°， ∴点F在以AB为直径的圆上， 当点E在点B处时，点F与点B重合； 当点E在点C处时，如图3，取AB的中点O，连接OF， 此时，点F在AC上， ∴点F的运动路径为， 在Rt△ABC中，， ∴∠ACB＝37°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝53°， ∴∠BOF＝2∠BAC＝2×53°＝106°， ∵， ∴的长为， ∴点F的运动路径长为． 20．（2026•石家庄一模）如图1和图2，矩形纸片ABCD长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片ABCD，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形EFGH； 琪琪的方法：如图2，沿AC分别折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB，点E，F分别在边BC，AD上，得到四边形AECF； 解答下列问题： （1）如图1，求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，求CE的长； （3）通过计算，比较图1中四边形EFGH和图2中四边形AECF面积的大小． 【解答】（1）证明：如图1所示，连接AC，BD， ∵点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD的中点， ∴EF，EH分别是△ABC，△ABD的中位线， ∴，EHBD， 同理可得FGBD，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴EF＝EH＝HG＝FG， ∴四边形EFGH是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB， ∵∠CAE＝∠CAD， ∴∠CAE＝∠ACB， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝24﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝BE2+AB2， ∴x2＝（24﹣x）2+102， 解得， ∴； （3）解：图1中四边形EFGH的面积， 同理可求出， 图2中四边形AECF的面积， ∵， ∴图2中四边形AECF的面积比图1中四边形EFGH的面积大． 21．（2026•河源一模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索．实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线DF，并把DF折到图3中FN处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP，得到矩形CDPN． 问题解决： （1）求证：矩形CDPN是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形CDPN”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【解答】（1）证明：由折叠可知CD＝BC＝2CF， 设CF＝k，则CD＝2k， ∴， 由题意知， ∴， ∴， ∴矩形CDPN是黄金矩形． （2）解：如图． 拓展延伸：解：矩形ABNP也是黄金矩形， 证明：由问题解决（1）可得AB＝BC＝CD＝2k，CN， ∴BN＝BC+CN＝2k+（1）k＝（1）k， ∴， ∴矩形ABNP也是黄金矩形． 22．（2026•邯郸校级模拟）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1所示摆放，若AB＝12，点E恰好为AB的中点．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°），观察图形的变化，完成探究活动． （1）【初步探究】如图2，连接BE并延长与DF的延长线相交于点G，BG交AD于点M． ①求证：∠ABG＝∠ADF； ②猜想并证明BE与DF之间的数量关系与位置关系； （2）【深入探究】应用（1）中的结论解决下面的问题． 如图3，连接BD，O是BD的中点，连接OA，OG，求OA与OG的数量关系； （3）【尝试应用】如图4，在（1）的条件下，当旋转角α从0°变化到60°时，请直接写出点G经过路线的长度． 【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵∠AEF＝45°， ∴∠AFE＝45°＝∠AEF， ∴AE＝AF， ∵∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠DAE＝∠DAF， 在△BAE和△DAF中， ， ∴△BAE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABG＝∠ADF； ②解：BE＝DF，BE⊥DF； 证明：∵△BAE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADF，BE＝DF， ∵∠AMB＝∠DMG， ∴∠G＝∠BAM＝90°， ∴BE⊥DF； （2）解：∵∠BAD＝90°，O是BD中点， ∴， 由（1）知∠BGD＝90°， ∴， ∴OA＝OG． （3）解：点G经过路线的长度为．理由如下： 由（2）知，OA＝OD＝OG， ∴点G在以O为圆心，OA为半径⊙O上， 如图3，作FN⊥AD于点N， ∵将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°），α＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝60°，∠AFN＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝12，点E恰好为AB的中点， ∴，AD＝12， ∴，DN＝12﹣3＝9， 由勾股定理得：FN2＝62﹣32＝27， ∴FD2＝27+92＝108， ∴AF2+FD2＝62+108＝144＝AD2， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AOG＝2∠ADF＝60°， 又∵∠EAF＝∠EGF＝90°，AE＝AF＝6， ∴四边形AEGF是正方形， ∴当旋转角α从0°变化到60°时，G在上运动， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝12， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴， ∴点G经过路线的长度为． 23．（2026•河北模拟）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； （2）【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为　（a+2b）　 （用含a，b的式子表示）； （3）【应用】若（2a+3）2＝4a2+ka+9，则k＝　12　 ；若（5x+m）2＝25x2+10x+n，则m＝　1　 ，n＝　1　 ． 【解答】解：（1）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2， ∴若要拼成图3的矩形，需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）∵利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形， 依题意得：a2+4b2+4ab＝a2+4ab+4b2＝（a+2b）2， ∴该正方形的边长为（a+2b）， 故答案为：（a+2b）； （3）∵（2a+3）2＝（2a）2+2•2a•3+32＝4a2+12a+9，（2a+3）2＝4a2+ka+9， 解得：k＝12； ∵（5x+m）2＝（5x）2+2•5x•m+m2＝25x2+10mx+m2，（5x+m）2＝25x2+10x+n， ∴10m＝10，m2＝n， 解得：m＝1，n＝1， 故答案为：12，1，1． 十．圆的综合题（共8小题） 24．（2026•宽城县一模）如图，在▱ABCD中，BC＝8，点E是BC的中点，过点E在BC上方作，且与CD相切于点C，其圆心为O，连接OC，OE．发现随着∠B的变化，所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化． （1）如图1，当α＝56°时，求劣弧所对的圆心角的度数和圆的半径；（参考数据：sin34°≈0.55，cos34°≈0.82，tan34°≈0.67） （2）如图2，点O在BC下方，EO∥CD．求扇形EOC的面积； （3）若点O在BC上时，直接写出此时α值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝α＝56°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣56°＝124°， ∵CD与相切， ∴∠OCD＝90°， ∴∠OCE＝∠BCD﹣∠OCD＝124°﹣90°＝34°， ∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE＝34°； ∴∠EOC＝112°； 过O作OH⊥EC， 在Rt△OCH中， 即0.82， ∴OC≈2.4， ∴圆的半径为2.4； （2）∵OO与CD相切于点C， ∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°． 又∵EO∥CD， ∴∠COE＝180°﹣∠OCD＝180°﹣90°＝90°． ∵BC＝8，E为BC的中点， ∴EC＝4， ∵OE2+OC2＝EC2，OE＝OC， ∴， ∴S扇形EOC2π； （3）∵OC⊥CD，AB∥CD， ∴OC⊥AB． 当点O在BC上时，BC⊥AB，即α＝90°． 25．（2026•邯郸模拟）如图1，在正方形ABCD中，AB＝6．以AB为直径在正方形内部作半圆⊙O，点O为圆心．点E在AD边上，且．连接BE，交半圆于点F．点G为上的动点． （1）如图1，连接AF，求AF的长； （2）如图2，连接CG，DG，当CG＝DG时，求的长； （3）如图3，连接BG，FG，求△BFG面积的最大值． 【解答】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝6，， ∵， ∴∠ABE＝30°． ∵AB为直径， ∴∠AFB＝90°． ∴； （2）连接OG，OF， 当CG＝DG时，点G在CD的垂直平分线上，此时CD的垂直平分线过圆心O． ∴OG⊥AB，∠AOG＝90°， ∵∠AOF＝2∠ABF＝60°， ∴∠FOG＝∠AOG﹣∠AOF＝90°﹣60°＝30°． 又∵AB＝6， ∴圆的半径为3， ∴的长； （3）当点G为中点时，△BFG面积最大，如图3，连接AF，连接OG交BF于点H，则OG⊥BF，且点H为BF的中点， 在直角三角形ABF中，AB＝6，AF＝3， 由勾股定理得：， ∵∠AFB＝90°，∠ABE＝30°， ∴∠BAF＝60°， ∵点O为AB的中点， ∴OH∥AF， ∴∠OHB＝∠AFB＝90°，∠BOG＝∠BAF＝60°， ∵OB＝OG， ∴△BOG为等边三角形， ∴， ∴△BFG面积最大值． 26．（2026•张家口模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC上一点O为圆心过点A作⊙O，⊙O交AB于点D． （1）尺规作图：作DB的垂直平分线EF，分别交BC、AB于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DE，求证：DE是⊙O的切线； （3）若∠B＝40°，OA＝6，求弧AD的长． 【解答】（1）解：作DB的垂直平分线EF，分别交BC、AB于点E、F，如图1直线EF即为所求： （2）证明：如图2，连接OD，则OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴ED＝EB， ∴∠B＝∠EDB， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠EDB+∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （3）解：∵∠B＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵OA＝6， ∴的长为． 27．（2026•香河县模拟）如图，等腰三角形ABC（AB＝AC）内接于⊙O，点D是上一点，连接BD，连接AD并延长，交BC的延长线于点E． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）在线段AB上找一点G，连接DG，交AC于点H，使得BG＝DG．求证：AH＝DH； （3）若，，CE＝4，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：如图：连接CD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 由圆周角定理可得：∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠ADB＝∠DBE+∠E， ∴∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）证明：由（1）可得：∠ADB＝∠ABC， ∵BG＝DG， ∴∠GBD＝∠GDB， ∴∠ABC﹣∠GBD＝∠ADB﹣∠GDB， ∴∠CBD＝∠ADG， ∵， ∴∠CBD＝∠CAD， ∴∠ADG＝∠CAD， ∴AH＝DH； （3）解：∵， ∴DE＝3， ∴AE＝AD+DE＝8， 如图，作AM⊥BC于点M， ∵AB＝AC， ∴， 设BM＝CM＝a，则BC＝2a，EM＝CM+CE＝a+4， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：ME2+AM2＝AE2， ∴， 解得：a＝1或（不符合题意，舍去）， ∴BC＝2，， ∴△ABC的面积． 28．（2026•石家庄一模）情境 如图1，半圆O的直径AB＝12，点C是直径AB上一点，点D在半圆O上，且∠BCD＝α（0°＜α＜90°）． 操作 将半圆O沿线段CD裁剪后，得到图形ACD和图形BCD两部分，然后保持图形BCD不动，将图形ACD翻转后，再与图形BCD拼接成如图2所示的平面图形，过点D作AC的平行线l，交弧AD于点P，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现 （1）直接写出α与∠ACD满足的数量关系； （2）如图3，若点D在圆心O的左侧，DO＝2，当l⊥BD时． ①求α的值； ②求CD的长． 探究 如图4，若点D在圆心O的左侧，且DO＝2，连接PC，当l⊥PC时． （3）在图4的基础上，用尺规作图作出弧AD所在圆的圆心G（保留作图痕迹，不写作法）； （4）求线段DC的长． 拓展 （5）如图5，若点D在圆心O的右侧，当弧AD所在的圆与BO相切于点D时，弧BC的长为π，直接写出线段DC的长． 【解答】解：（1）∵∠ACD+∠BCD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣α； （2）①∵l⊥BD， ∴∠PDB＝90°， 由图1，可得∠BCD+∠ACD＝180°， ∵DP∥AC， ∴∠PDC+∠ACD＝180°， ∴， ∴α＝45°； ②延长AC交BD于点E，连接CO，如图，有， ∵DP∥AC， ∴∠DCE＝∠PDC＝45°， ∴∠CED＝180°﹣∠CDE﹣∠DCE＝90°， ∴CE2＝OC2﹣OE2＝62﹣OE2＝36﹣OE2，△CDE是等腰直角三角形，且DE＝CE＝2+OE， ∴36﹣OE2＝（2+OE）2， 解得OE＝17﹣1或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴； （3）如图所示，点G即为所求； 理由如下：由（1）可知，弧AD所在的圆的圆心在AC的延长线上，弧AD所在的圆的圆心也在PD的垂直平分线MG上， ∴AC的延长线与MG的交点即为弧AD所在的圆的圆心G； （4）如图4，连接DG，由图（1），圆G与圆O为等圆， ∴AC＝6﹣OD＝4，DG＝6， ∴CG＝AG﹣AC＝2， ∵MG是PD的垂直平分线，l⊥PC时，弧AD所在圆的圆心G， ∴，∠GMP＝∠CPM＝90°， ∵DP∥AC， ∴∠PCG＝180°﹣∠CPM＝90°， ∴四边形PMGC是矩形， ∴PM＝CG＝2，PC＝MG，即PD＝2×2＝4，MD＝2， ∴，， ∴． （5）过点D作GD⊥OB于点D，交AC于点G，过点C作CN⊥DG于点N，如图， ∴∠GDO＝∠GDB＝90°，∠CND＝∠CNG＝90°， 由图（1）可知，弧AD所在的圆的圆心在AC上， ∵弧AD所在的圆与BO相切于点D时， ∴弧AD所在的圆的圆心在射线DG上， ∴AC与射线DG的交点G即为弧AD所在的圆的圆心， ∴DG＝6， 补全圆G，延长AC交圆G于点K，如图， ∵弧BC的长为π， ∴， 解得∠KGD＝30°， ∵PD∥AC， ∴∠PDG＝∠KGD＝30°， ∴∠PDO＝∠GDO﹣∠PDG＝60°， ∴， ∴∠CDG＝∠PDC﹣∠PDG＝30°， ∴∠CDG＝∠CGD＝30°， ∴CG＝CD， ∴， ∴． 29．（2026•石家庄校级一模）某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个1：1的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 （1）任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． （2）任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为20cm，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73． 【解答】解：（1）这面青铜镜镜面的圆心O，如图2即为所求； 操作步骤： 第一步，在圆上任取三点A，B，C，连接AB，BC； 第二步，作AB的垂直平分线FG； 第三步，作BC的垂直平分线DE，DE与FG相交于点O； 点O就是这面青铜镜镜面的圆心； （2）如图3，五边形ABCDE为正五边形，连接OC，OD，作OF⊥CD于点F． ∴．AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∵OC＝OD，OF⊥CD， ∴，CD＝2CF． 在Rt△OCF中，． ∴CF＝OC•sin∠COF＝10•sin36°＝10×0.59＝5.9（cm）， ∴CD＝2CF＝2×5.9＝11.8（cm）， 答：镜面的内接正五边形ABCDE的边长11.8cm． 30．（2026•张家口一模）如图1和图2，▱ABCD中，对角线BD⊥AD，P是AB上一点（不与点A重合），以AP为直径作半圆，圆心为点O，交AD于点E． （1）如图1，若半圆与BD相切，点F为切点，连接AF并延长，交CD于点G，求证：DA＝DG． （2）如图2，若半圆与BD交于点M，N，且OM⊥ON，，． ①求MN的长； ②连接PE，直接写出与PE长的大小关系．（注：π取3.14） 【解答】（1）证明：如图1，半圆与BD相切，点F为切点，连接OF， ∴OF⊥BD， ∵BD⊥AD， ∴AD∥OF， ∴∠DAG＝∠OFA； ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∴∠DAG＝∠OAF； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DGA＝∠OAF， ∴∠DAG＝∠DGA， ∴DA＝DG； （2）解：①如图2，OM⊥ON，过点O作OT⊥BD于点T， ∴∠MON＝90°， ∵OM＝ON， ∴∠ONM＝∠OMN＝45°； 设OT＝3x， 在Rt△OTN中，， 在Rt△OTB中，， ∴， ∴BT＝4x； ∵BT＝TN+BN，， ∴， 解得：， ∴； ∵OT⊥MN， ∴； ②的长小于PE的长．理由如下： 如图3，连接PE，由（2）①可得， 在直角三角形ONT中，由勾股定理得：∴， ∴AP＝2ON＝12，的长为； ∵AP是半圆O的直径， ∴∠AEP＝90°，即AE⊥PE， ∵AD⊥BD， ∴PE∥BD， ∴∠APE＝∠ABD， ∴， ∴； 设AE＝3m，PE＝4m， 在Rt△AEP中，由勾股定理得：AP2＝AE2+PE2， ∴122＝（3m）2+（4m）2， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∵9.42＜9.6， ∴的长小于PE的长． 31．（2026•河北模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝3，半圆O的直径为AE，在初始位置时，圆心O与点B重合，D为半圆O上的点，且∠DAE＝30°． （1）AB＝　　 ； （2）求证：△ABC≌△EDA； （3）如图2，将半圆O绕点A逆时针旋转（旋转角度不超过180°）． ①当AE恰好平分∠BAC时，点E到AC的距离为　　 ； ②当半圆O恰好与△ABC的边相切时，求点O运动的路径长； （4）当半圆O绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置时，△ADE与直线BC交于点M，N，且点M位于点B左侧，点N位于点B右侧．当时，直接写出CN的长． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝3， ， 故答案为：； （2）证明：∵AE是半圆O的直径， ∴AE＝2AO，∠ADE＝90°＝∠ABC， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°， ∴AC＝2AB， ∵圆心O与点B重合， ∴AB＝AO， ∴， 在△ABC和△EDA中， ， ∴△ABC≌△EDA（AAS）； （3）解：①如图2.1，∠ABC＝90°，∠C＝30°，作EF⊥AC于点F， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴， 在Rt△EAF中，∠EAF＝30°， ∴， ∴点E到AC的距离为， 故答案为：； ②当半圆O与AB相切时，如图2.2，作OG⊥BC于点G， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°＝∠ABC， ∵OG⊥BC， ∴∠OGB＝90°， ∴四边形OABG是矩形， ∴， ∵， ∴点G在半圆O上， ∴半圆O与BC相切， ∴点O的运动路径是以点A为圆心，为半径，圆心角为90°的圆弧， ∴点O运动的路径长； 当半圆O与AC相切时，如图2.3， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠OAB＝∠OAC+∠BAC＝150°， ∴点O的运动路径是以点A为圆心，为半径，圆心角为150°的圆弧， ∴点O运动的路径长； 综上所述，点O运动的路径长为或； （4）解：CN的长为．理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝180°﹣∠ABC＝90°， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：， ∵∠DAE＝∠C＝30°，∠AMN＝∠CMA， ∴△AMN∽△CMA， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 十一．作图—基本作图（共1小题） 32．（2026•邯郸校级模拟）如图，量角器放置在长方形纸面中，AB为其直径，点O为其圆心，点C，D在量角器的半弧上，对应刻度分别为30°和60°，OA＝6．连接OC，OD，BD． （1）尺规作图：求作线段OC的垂直平分线l，直线l与BD交于点E，与OC交于点F，与OD交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接CG，求CG的长； （3）求DE的长． 【解答】解：（1）根据垂直平分线的作法作图，如图所示即为所求； （2）如图所示，连接CG， 根据题意得：∠AOD＝60°，∠AOC＝30°， ∴∠COD＝30°， ∵l垂直平分线段OC， ∴， ∴； （3）由条件可知∠AOD＝60°，， ∴∠BOD＝120°， ∵OD＝OB， ∴， ∴∠ODB＝∠COD＝30°， ∴OC∥BD， ∴△GFO∽△GED， ∴，即， 解得：． 十二．作图-轴对称变换（共1小题） 33．（2026•张家口一模）【操作】在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一点（不含点B，C），将△ABC沿AD折叠，点C落在点E处，点F是点B关于AD的对称点，连接DF，AF． 【作图】如图1，当点E在BC上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E，D，F在一条直线上，且EF＝BC． 【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【解答】【作图】解：点B关于AD的对称点，如图，点F即为所求； 【验证】证明：由折叠的性质得：∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，BD＝DF，AB＝AF， ∴EF＝DE+DF＝CD+BD＝BC， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（SSS）， ∴∠ADB＝∠ADF， ∴∠ADE+∠ADF＝∠ADC+∠ADB＝180°， ∴点 E、D、F在一条直线上． 十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 34．（2026•邯郸模拟）综合与实践： 已知宽与长的比是：（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线DF，并把DF折到图3中FN处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP，得到矩形CDPN． 问题解决： （1）求证：矩形CDPN是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形CDPN．”请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【解答】（1）证明：由操作过程可知，CD＝BC＝2CF， 设CF＝k，则CD＝2k， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴矩形CDPN是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸： 解：矩形ABNP也是黄金矩形，证明如下： 由问题解决（1）可得，AB＝BC＝CD＝2k，， ∴， ∴， ∴矩形ABNP也是黄金矩形． 十四．几何变换综合题（共2小题） 35．（2026•枣强县一模）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝4，，CD＝BC＝8，点P从点D出发沿折线D﹣C﹣B运动，运动速度为每秒1个单位长度，连接AP，PD，将△APD沿AP翻折得到△APD′，设运动时间为t秒． （1）如图1，连接BD，求证：△BCD为等边三角形； （2）如图2，当t＝3时，连接DD′交AP于点E，求DD'的长； （3）如图3，连接CD'，AC，当∠ACD'最大时，求t的值； （4）当点D'落在射线CB上时，直接写出t的值． 【解答】（1）证明：在Rt△ABD中，AB＝4，， ∴， ∵CD＝BC＝8， ∴CD＝BC＝BD， ∴△BCD为等边三角形． （2）解：∵AB∥CD，∠A＝90°， ∴∠ADC＝90°， 由翻折可知AP⊥DD′，DE＝D′E， 在Rt△ADP中，，PD＝3， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可知，点D′的运动轨迹是以A为圆心，AD长为半径的半圆A，如图， 当CD'与半圆A相切时，∠ACD′最大， ∴∠AD'C＝90°＝∠ADC， 又∵AD′＝AD，AC＝AC， ∴Rt△AD′C≌Rt△ADC（HL）， ∴， 由翻折可知， ∴∠PAD＝∠CAD， ∴点P和点C重合， 此时t＝8． （4）t＝4或t＝16． 当点P在CD上时，如图，过点A作AM⊥BC，交CB的延长线于点M， 在Rt△ABM中，∠ABM＝∠C＝60°，AB＝4， ∴BM＝2，， ∴， ∴∠AD'M＝30°， ∴∠CD'P＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴∠CPD'＝180°﹣∠CD'P﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴PC＝PD′＝PD＝4， ∴t＝4； 当点P在CB上时，如图，当点P和点B重合时，点D′落在CB的延长线上，此时t＝16； 综上，t＝4或t＝16． 36．（2026•张家口模拟）综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点B为坐标原点，AB＝6，AD＝10．点E在边CD或边BC上运动，将△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点为D′，连接DD′，AE与DD′交于点O． 请完成以下闯关任务： （1）第一关•初试锋芒 如图2当点E在边DC上且点D′恰好落在边BC上时，完成基础探究： ①直接写出：BD′＝　8　 ，DE＝　　 ； ②此时AE与DD′的位置关系是　垂直　 ． （2）第二关•解锁规律 ①当点E为边DC上任意一点时，AE与DD′在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由； ②如图3取AD的中点M，连接MO，当点E从点D运动到点C时，求点O的运动路径长．（参考数据：tan31°≈0.6，sin37°≈0.6，cos53°≈0.6） （3）第三关•终极挑战 当D′到BC的距离为2时，直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∠ABC＝∠DCB＝90°， 由折叠可知，AD′＝AD＝10，D′E＝DE， 在Rt△ABD′中，， ∴CD′＝BC﹣BD′＝10﹣8＝2， 设D′E＝DE＝x，则EC＝DC﹣DE＝6﹣x， 在Rt△CED′中，CD′2+EC2＝D′E2， 即22+（6﹣x）2＝x2，解得， 即； ②由折叠可知，AE是DD′的对称轴，即AE垂直平分DD′， ∴AE⊥DD′； （2）①存在，AE⊥DD′仍然成立； 理由：由折叠可知，点D与点D′关于直线AE对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， ∴AE垂直平分DD′， ∴AE⊥DD′； ②由①知，AE⊥DD′， ∴∠AOD＝90°， ∵M是AD的中点， ∴， ∴∠MAO＝∠MOA， ∵MO＝5，是定值， ∴点O的运动轨迹为以M为圆心，半径为5的一段圆弧， 当点E在点D时，点O与点D重合；当点E运动到点C时，如图所示， 此时， ∴∠MAO＝31°， ∴∠DMO＝∠MAO+∠MOA＝2∠MAO＝62°， ∴点O的运动路径长为； （3）当点E在边DC上，D′在BC上方时，如图所示，过点D′作HN∥BC交AB于H，交DC于N，作D′K⊥BC于K，则四边形BHD′K、CKD′N、BHNC是矩形， 当D′到BC的距离为2时，即D′K＝2， ∴BH＝NC＝D′K＝2， ∴AH＝AB﹣BH＝6﹣2＝4， ∴， ∴， 设D′E＝DE＝x，则EN＝DC﹣NC﹣DE＝6﹣2﹣x＝4﹣x， 在Rt△END′中，D′N2+EN2＝D′E2， 即，解得， 即， ∴， ∴； 当点E在边BC上，如图所示，过点D′作DN∥x轴交y轴于H，作D′K⊥x轴于K，过点E作EN⊥D′N于N，则四边形BHD′K、BHNE、END′K是矩形， 当D′到BC的距离为2时，即D′K＝2， ∴BH＝NE＝D′K＝2， ∴AH＝AB+BH＝6+2＝8， ∴， 设EC＝x，则HN＝BE＝BC﹣EC＝10﹣x， ∴D′N＝HD′+HN＝6+10﹣x＝16﹣x，D′E2＝DE2＝EC2+DC2＝x2+62＝x2+36， 在Rt△END′中，D′N2+NE2＝D′E2， 即（16﹣x）2+22＝x2+36，解得x＝7， ∴BE＝10﹣x＝10﹣7＝3， ∴E（3，0）； 当点E在边DC上，D′到BC下方时，如图所示，过点D′作HN∥BC交AB于H，交DC于N，作D′K⊥BC于K，则四边形BHD′K、CKD′N、BHNC是矩形， 当D′到BC的距离为2时，即D′K＝2， ∴BH＝NC＝D′K＝2， ∴AH＝AB+BH＝6+2＝8， ∴， ∴D′N＝HN﹣HD′＝BC﹣HD′＝10﹣6＝4， 设D′E＝DE＝x，则EN＝DC+NC﹣DE＝6+2﹣x＝8﹣x， 在Rt△END′中，D′N2+EN2＝D′E2， 即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5， 即DE＝5， ∴EC＝DC﹣DE＝6﹣5＝1， ∴E（10，1）； 以A为圆心，10为半径画圆， 则矩形ABCD，A（0，6），折叠△ADE得ΔAD'E，AD'＝AD＝10D′到BC（x轴）距离为2，E在BC上， D'纵坐标y＝2，代入圆x2+（y﹣6）2＝100， 得，即， 设E（t，0），由D′E＝DE，得 解得t＝15， ∴E坐标为． 综上，满足条件的点E的坐标为或（10，1）或（3，0）或． 十五．相似形综合题（共2小题） 37．（2026•宽城县一模）综合与实践 【情境】在矩形ABCD中，点P是AD边上一点（不与点A，D重合），且AB＝6，AD＝5，设PA的长为x． 【探究】将矩形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，展开后得到折痕EF，连接BP． （1）如图1，求折痕EF的长度，并直接写出线段BP的长（用含x的代数式表示）． （2）如图1，将△APB沿直线PB折叠，点A恰好落在CD边上的点A1处． ①求证：△PDA1∽△A1CB； ②求此时x的值． （3）【操作】当x＝3时，将矩形ABCD沿过点P的直线a折叠，使点A的对应点为A3． 如图2，若点A3落在DC边上，用尺规作图作出直线a；（说明：保留作图痕迹，不写作法） （4）【拓展】在（3）的条件下，直接写出点B到点A3之间距离的最小值． 【解答】（1）解：∵将矩形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，展开后得到折痕EF， ∴EF＝AB＝6； 设PA的长为x，AB＝6，∠A＝90°， 在Rt△PAB中，BP． （2）①证明：由题意可得，∠PDA1＝∠A1CB＝∠PA1B＝90°， ∴∠DPA1+∠PA1D＝∠PA1D+∠BA1C＝90°， ∴∠DPA1＝∠BA1C， ∴△PDA1∽A1CB． ②∵△PDA1∽A1CB， ∴， 即， 解得； （3）解：如图，直线l即为所求； （4）解：BA3的最小值． 由题意可得，在折叠过程中，总有PA3＝PA＝3， ∴点A3在以点P为圆心，半径为3的圆上， 故当点P，A3和点B在同一条直线上时，点B到点A3之间距离最小，如图， 此时， ∴BA3的最小值． 38．（2026•沧州二模）综合与实践 【情境】数学活动课上，嘉淇利用尺规作图探究矩形的性质，如图1，已知在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O． 【操作】嘉淇利用尺规作图，按如下步骤操作： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OC于E，F两点； 第二步，分别以点E，F为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线OM．如图2； 【探究】根据以上操作，解决下列问题． （1）∠EOM与∠FOM的大小关系为　∠EOM＝∠FOM ，OM与AB的位置关系为OM∥AB ； （2）在图2的基础上． ①尺规作图：以点M为圆心，OM长为半径画弧，交OC于点N，连接MN（保留作图痕迹）； ②求的值； 【拓展】结合“探究”的思路以及作图，进行如下拓展． （3）根据以上条件，如图3，点P为OA的中点，点Q为射线OM上一点，连接PB，PQ，当∠BPQ＝∠BAC时，直接写出OQ的长． 【解答】解：（1）∠EOM＝∠FOM；OM∥AB； 根据尺规作图的步骤可知OM平分∠COB， ∴∠EOM＝∠FOM； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO， ∴∠OAB＝∠OBA． ∵∠BOC是△AOB的外角， ∴∠BOC＝2∠FOM＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB， 即∠FOM＝∠OAB， ∴OM∥AB， 故答案为：∠EOM＝∠FOM；OM∥AB； （2）①以点M为圆心，OM长为半径画弧，交OC于点N，连接MN，如图即为所求； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA． 在直角三角形ABD中，AB＝6，AD＝8， 由勾股定理得：， ∴． ∵OM平分∠BOC， ∴∠BOM＝∠COM，即∠BOC＝2∠COM． ∵∠BOC＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB， ∴∠COM＝∠OAB． ∵OM＝NM， ∴∠MON＝∠MNO， ∴∠OAB＝∠MON，∠OBA＝∠MNO， ∴△OAB∽△MON， ∴， ∴； （3）OQ的长为．理由如下： 在OC上取一点K，使OQ＝KQ，由（2）得， ∴∠KOQ＝∠OKQ， ∴∠OKQ＝∠PAB． ∵∠KPQ+∠BPQ+∠APB＝∠OAB+∠ABP+∠APB＝180°，∠BPQ＝∠OAB， ∴∠KPQ＝∠ABP， ∴△KPQ∽△ABP， ∴． ∵点P是OA的中点，且OA＝5， ∴． 设OQ＝5x，OK＝6x，则， ∴， 解得：， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $