专题10 圆（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题10 圆 考点一、圆心角的应用 1．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 2．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 考点二、切线的性质和判定 3．（2022·河北·中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 4．（2021·河北·中考真题）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 5．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 6．（2023·河北·中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 7．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 考点三、正多边形与圆 8．（2021·河北·中考真题）如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（    ） A．20 B．30 C．40 D．随点位置而变化 考点四、圆性质的综合应用 9．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．（2021·河北·中考真题）如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作： ①以为圆心，为半径画圆； ②在上任取一点（不与点，重合），连接； ③作的垂直平分线与交于，； ④作的垂直平分线与交于，． 结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 11．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 12．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，． (1)求证：△PQM≌△CHD； (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 专练一、圆的基本概念辨析 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 14．（2025·河北邯郸·一模）在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（   ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 专练二、垂径定理的应用 15．（2025·河北唐山·一模）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出1600多种不同的图形．嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图9-2所示，A，B，C三点在圆上． （1）的长为 ； （2）圆的半径是 ． 16．（2025·河北邯郸·二模）如图-1是清末时期的文房用具纹铜吸墨碾，做工精细，体现了我国文化的博大精深．用途是书画创作时，通过转动吸墨碾（碾上附着吸墨纸），吸收多余墨汁．吸墨碾侧面示意图如图-2，已知，圆弧最低点到的距离为． (1)在不添加点的情况下，利用无刻度直尺和圆规作出劣弧的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求劣弧的半径； (3)当使用吸墨碾从点沿转动到点时，求圆心移动的距离．（取，结果精确到．参考数据：，） 17．（2025·河北石家庄·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 专练三、垂径定理 弧长、图形面积计算 18．（2025·河北·模拟预测）某镇计划修复一座古建筑景点内的圆弧形拱门，如图所示，施工队测得拱脚宽为米，拱高（拱门最高点距离地面的垂直高度）为米，如图所示．现需要计算拱门的相关数据，以便定制相关耗材． (1)求拱门所在圆的半径； (2)计算拱门所在圆中对应的弧长． 19．（2025·河北张家口·模拟预测）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．假定在水流量稳定的情况下，水车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动． 如图2，把水车抽象为一个半径为的．水车涉水宽度，水车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： (1)求该水车半径． (2)水车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，随着水车的转动，该盛水筒转到点，且．求图中阴影部分的面积． 20．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明同学设计的鱼缸截面图是的一部分，是鱼缸的玻璃隔断，弓形部分（阴影）不注水，已知，且圆心O 在上，． (1)求的半径； (2)注水时，水面，且与交于点E，与交于点F． ①当水面恰好经过圆心O时（如图所示）求水面宽； ②直接写出注水过程中，水面宽度EF的最大值． 21．（2025·河北唐山·二模）唐代李皋发明了“桨轮船”，为后续车船的发展奠定了基础．如图，表示该轮船轮子的截面，已知轮子被水面截得的线段为，过点作于点，交于点，轮子的吃水深度为．        (1)求的半径； (2)求的长，并比较与半径的大小． 22．（2025·河北邯郸·一模）图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆O，，及是支撑杆，点C在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点P．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点Q，的延长线交半圆O于点． (1)求半径的长； (2)乘坐时（如图3），点D到地面的高度为多少？ (3)请直接写出的长是_______． 23．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 24．（2025·河北石家庄·模拟预测）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点，已知． ①求车轮轮胎中心到水平地面的距离（结果保留根号）； ②直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留） 25．（2025·河北邯郸·二模）如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． (1)求的半径； (2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； (3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 26．（2025·河北邢台·三模）某排水口如图1所示，嘉嘉作出示意图如图2，排水管横截面为，水面为，测得为，她查阅资料得知该排水管的内径为（的直径为）．（参考数据：，） (1)水面的最大深度为______． (2)几天后水位上涨，排水管横截面如图3，水面宽度为． ①求水位上涨的高度． ②按规定，排水口水流横截面积（阴影部分）大于排水管横截面积的时需要清淤．请通过计算，判断现在是否需要清淤． 专练四、弦、弧、圆心角之间的关系 27．（2024·河北邢台·一模）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 28．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 29．（2025·河北·模拟预测）如图，是半圆O的直径，弦，弦，连接，若，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 30．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 专练五、圆周角定理及其推论的应用 31．（2025·河北·一模）如图，球员分别在点A，B，C处定点射门，表示球门，点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．都一样 32．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，借助量角器，可以计算的度数为 （   ） A． B． C． D． 33．（2025·河北邯郸·三模）一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·河北沧州·模拟预测）司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 35．（2025·河北石家庄·一模）是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 36．（2025·河北廊坊·一模）如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点为其圆心，点，在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，连接． (1)尺规作图：求作线段的垂直平分线，直线与交于点，与交于点．（保留作图痕迹，标注清楚字母，不写作法） (2)连接，求证：． 37．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点分别是射线上的点，连接，以为边在右侧作矩形，已知．是的外接圆． (1)使用直尺和圆规画出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的半径长； (3)直接写出点间的最大距离． 38．（2025·河北廊坊·一模）如图1，为的外接圆，为的半径． (1)当所在的直线垂直于时，___________．（填“>”“=”或“<”） (2)若，求的长． (3)嘉嘉发现，当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值，请证明这种说法． (4)如图2，，交于点，于点．若，直接写出的长． 专练六、三角形的外心与外接圆问题 39．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A．B．C． D． 41．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 42．（2025·河北邯郸·二模）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 专练七、切线的性质与判定 43．（2025·河北邯郸·二模）如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆O，交于点D，过点D作半圆O的切线，交的延长线于点E，交于点F，，则 ． 44．（2025·河北石家庄·二模）如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 45．（2025·河北石家庄·一模）如图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点O，门缝经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，点A，B在⊙O上，，都垂直于．已知米，米，米． (1)尺规作图：在图2中画出圆心O；（保留作图痕迹，不写作图过程） (2)求的半径； (3)判断与的位置关系，并说明理由． 46．（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 47．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，在中，，，，点E在上，以为直径的经过上的点D，且 (1)求证：是的切线； (2)求的半径长度； (3)将沿射线方向平移，如图2，与切于点F，与交于P、Q两点，与交于M、N两点，求的长度． 48．（2025·江西·模拟预测）如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 49．（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 50．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是对角线的中点，是边上一点（不与点，重合），过，，三点作交于点，，． (1)连接，求的最小值； (2)若与相切，求的长；（结果保留） (3)直接写出长的取值范围． （参考数据：，，．） 专练八、三角形的内心与内切圆问题 51．（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，是的内心，连接并延长分别交于点，设，；则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 52．（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 53．（2025·河北·一模）如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 54．（2025·河北石家庄·三模）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为 ． 55．（2025·河北唐山·二模）如图，正六边形中，P、Q两点分别为、的内心，，则的长度为 ． 56．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 专练九、正多边形和圆 57．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 58．（2025·河北·模拟预测）如图，点是的八等分点，直线与切于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 59．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形中，有两点同时、同速从中点出发，点沿方向运动，点沿射线方向运动，后，两点与多边形中心的连线及多边形（延长线）所围成图形如图所示（阴影部分），两部分的面积分别为，若，则 （用含的代数式表示）． 60．（2025·河北唐山·二模）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为4，则 ． 61．（2025·河北保定·二模）光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是 ． 62．（2025·河北廊坊·二模）如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，是其中一顶点，连结，，交于点，若，则线段的长为 ． 63．（2025·河北唐山·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为____． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 专练十、扇形弧长、面积的计算 64．（2025·河北石家庄·二模）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数 ． 65．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 66．（2025·河北唐山·二模）用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图2． 操作：当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径． （1）①尺规作图：作的垂直平分线交于C，D两点（点C在点D的上方），连接，再以点C为圆心，长为半径画劣弧，得到扇形； ②求出①中所作的扇形的面积（结果保留π）； 计算：当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，． （2）求出点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留π）； 探究：（3）在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留π）． 67．（2025·河北沧州·二模）音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图1），图2为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点P，点C在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)①尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点Q（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求长方体木块的高； (3)如图3，弦交于G，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图4中的U型塑料管，将拨弦线与U型截面平行，并套在U型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 68．（2025·河北·模拟预测）如图1，内接于半径为6的，以C为圆心，以为半径画弧交于点D，连接． (1)在不添加任何辅助线的情况下，请你写出三对相等的量； (2)若与关于弦成轴对称，且． ①请用尺规作图在图2中画出符合条件的标准图形（要求保留作图痕迹，不写作图过程）； ②请直接写出图2中的弦与作图过程中用到的圆弧有怎样的位置关系； ③用劣弧所对的扇形围成一个如图3所示的无缝隙、无重叠的圆锥筒，求这个圆锥筒口的半径r． 专练十一、动态圆问题 69．（2025·河北唐山·二模）如图，斜坡与地面的夹角，斜坡顶端．半径为2的相切于点，相切于点，上固定的一点恰在的平分线上．某一时刻，带动点沿斜坡向上滚动（无滑动），当与切于点时停止滚动，发现此时点恰与点重合，此时圆心记为． (1)当在初始位置时，证明：； (2)求斜坡的长（结果保留）； (3)设与的延长线交于另一点，求的长度． 70．（2025·河北唐山·一模）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； (2)如图2，当时，连接． ①直接写出的度数，并求点C到桌面的距离（结果保留根号）； ②比较与直径的长度； 71．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，点在边所在的直线上，，以为直径的半圆与相切于点，点为半圆弧上一动点． 【探索】如图1，当点与点重合时，求线段的最小值和最大值； 【思考】若点从开始绕圆心逆时针旋转，速度为度秒，同时半圆从点出发沿做平移运动，速度为个单位长度秒，运动时间为t秒． 解决下列问题： （1）如图2，当与点在一条直线上时，求点到的距离及扇形的面积； （2）当半圆与相切于点时，直接写出的度数． 72．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图1，图2，在中，，点E为边上一点（包括端点），经过点E，点C作，总满足与相切于点E，设的半径为r．    (1)通过计算判断与的位置关系； (2)如图2，当点O落在上时， ①求r的值； ②求落在内部的弧的弧长（包括端点）； (3)直接写出r的取值范围． 73．（2025·河北·一模）如图1，在四边形中，，，过点C作于点E，连接，将半圆O的直径放在边上，且点P与A重合，，将半圆O绕点A顺时针旋转α（）． (1)求证：； (2)在旋转过程中，当点O到的距离最短时，求α的度数； (3)当时，点H从点Q开始沿以每秒个单位长的速度运动，同时半圆O从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向右平移． ①如图2，当半圆O与相切于点K时，通过计算判断点H是否在上； ②当半圆O（不包括点P）与四边形的边有两个公共点时，点H运动的总路程是多少？请直接写出． 74．（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 75．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1~图3，是半圆O的直径，且，是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合），将半圆O沿直线翻折．     (1)当点N与点B重合，且时，如图1． ①求劣弧的长； ②当半圆O沿直线翻折后，劣弧是否经过圆心O？__________（填“是”或“否”）； (2)当时，如图2，过点O作，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点C，且点C是半径的中点，如图3，求折痕的长； (4)若折叠后的劣弧始终与直径相切，设，直接写出d的取值范围． 76．（2025·河北唐山·二模）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 77．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______． 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是______． 【拓展】（1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 专练十二、与圆有关的最值问题 78．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，正六边形的边长为2，在其内部（包括边界）画一个正方形，则长的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 79．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 80．（2025·河北邢台·二模）如图，直径为2的半圆O与的边相切，圆心O在边上，若，，，P，Q分别是与半圆弧上的动点，则的最大值和最小值之积是（   ） A． B． C． D． 81．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，，点，分别为，上的点，且，连接，将沿直线折叠，得到．设． (1)的值为_____时，为直角三角形； (2)如图，当时． 利用尺规作图找出的外心；（保留作图痕迹，不写过程） 连接，，，求的长及四边形的面积． (3)试说明：无论如何改变的值，点始终在的平分线上； (4)如图，设的外心为，连接，直接写出的最小值． 82．（2025·河北石家庄·一模）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径． （1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，求的值． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则______． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值． 想一想 （4）嘉嘉同学通过多次实验发现，若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），当圆与都有交点时，就能测出圆的半径，请你直接写出可测出的的最小值和最大值． 83．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 专练十三、圆的压轴问题 84．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形内接于圆，其中平分，交于点，为上一点，且平分，连接． (1)求证：． (2)若，设，，用含的代数式表示β． (3)若圆的半径为，，请直接写出四边形面积的最大值． 85．（2025·河北唐山·二模）如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 86．（2025·河北沧州·一模）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（阴影部分，且大、小圆的圆心都是点）面积的方法． (1)小组甲同学说：“我只用一根木条和一个卷尺就可求环形花坛的面积，做法：将木条与小圆相切于点，与大圆交于点，，如图所示．”若测量出，求环形花坛的面积的过程如下所示，请补全； 解：如图，连接，． ∵与小圆相切于点，∴，∴________，． ________________． (2)在（）的基础上，点在上，且是的中点，向上平移木条，直到点，均在大圆上时停止，此时木条与小圆交于点，，如图所示．将木条绕点逆时针旋转得到，与大圆交于点，点的对应点为点． 当大圆的半径为，时，求的长度； 小组乙同学说：“只要测出图中和的长度，也可求出环形花坛的面积．”你认为乙同学的说法正确吗？若正确，请用含，的式子表示环形花坛的面积；若不正确，请说明理由； 连接，．已知大圆的半径为，．在木条旋转过程中，当的度数最大时，请直接写出的度数． 87．（2025·河北邢台·三模）如图1，中，，，为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点落在点处，交于点，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． (2)如图2，当时，求的长度． (3)如图3，当为中点时，直接写出的长度． (4)在（1）的条件下，将的点在边上滑动到点，点随之在边上滑动到点，点的对应点为点，如图4，直接写出点与点的最大距离． 88．（2025·河北邯郸·二模）如图1，图2，点、、、是半径为5的圆的四等分点，将一个直角三角板的直角顶点与点重合，两直角边分别交于点、点（点在点的左侧），直线交直线于点． (1)①尺规作图：在图1上作出圆的切线（点在点的左侧），切点为（保留作图痕迹，不写作法）； ②在①的条件下，连接，若，求的度数； (2)在图2中，若是的中点，求的长度； (3)连接，若，求的长． 89．（2025·河北·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，以为半径的与相切于点，点是边上的点（不与点重合），过点作交于点，与关于直线对称． (1)求的长； (2)当点落在上时，求的长，并求与重叠部分的面积（包括边界）； (3)设与矩形重叠部分的面积为的长度为． ①用含的式子表示； ②若与相切，求的值． 90．（2025·河北保定·二模）如图1和图2，在矩形中，，点在线段上，其中．以点为圆心，长为半径作．若交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（若与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）． (1)如图1，当点在延长线上时，求点到直线的距离； (2)当圆心到的距离为时，如图2． 请用无刻度的直尺和圆规作线段，用其长度表示圆心到的距离（保留作图痕迹，不写作法）； 求此时落在矩形内部的弧长； (3)若点在上方．当点恰好落在边上时，如图3，求点到直线的距离之比； (4)当与边相切时，请直接写出线段的长． 试卷第2页，共187页 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆 考点一、圆心角的应用 1．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 2．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 【答案】 【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D 由图可得，线段的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴ ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． ∴这条线段的长为． 故答案为：． 考点二、切线的性质和判定 3．（2022·河北·中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【详解】解：如图， PA，PB分别与所在圆相切于点A，B． ， ∠P＝40°， ， 该圆半径是9cm， cm， 故选：A． 4．（2021·河北·中考真题）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 【答案】（1）劣弧更长； （2）和互相垂直，理由见解析； （3）． 【详解】（1）劣弧， 直径， 因为，故劣弧更长． （2）如下图所示连接，，由图可知是直径， ∴对应的圆周角 ∴和互相垂直． （3）如上图所示， ∵是的切线 ∴， ∴． 5．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 【答案】(1) (2)点B到的距离为； (3)①；② 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵的半径为3，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为； （2）解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为； ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②如图，当为中点时， 过作于，过作于， ∴， ∴，此时最短， 如图，过作于，而， ∵为中点，则， ∴由（2）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴的最小值为． 6．（2023·河北·中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ．    （2）∵与半圆的切点为， ∴ ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． （3）∵于点， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 7．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)；(4)；． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； （2）解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； （3）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； （4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 考点三、正多边形与圆 8．（2021·河北·中考真题）如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（    ） A．20 B．30 C．40 D．随点位置而变化 【答案】B 【详解】解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心， ∵多边形是正六边形， ∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°， ∴∠BAC=30°， ∴∠FAC=90°， 同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°， ∴四边形ACDF是矩形， ，， ， 故选：B． 考点四、圆性质的综合应用 9．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 10．（2021·河北·中考真题）如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作： ①以为圆心，为半径画圆； ②在上任取一点（不与点，重合），连接； ③作的垂直平分线与交于，； ④作的垂直平分线与交于，． 结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【详解】解：Ⅰ、如图所示． ∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线， ∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径． ∴OM=ON，OE=OF． ∴四边形MENF是平行四边形． ∵线段MN是⊙O的直径， ∴∠MEN=90°． ∴平行四边形MENF是矩形． ∴结论Ⅰ正确； Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时， ∵AP=AB， ∴． ∵MN⊥AB，EF⊥AP， ∴ ∴ ∴ ∴． ∴． ∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等， ∴． 如图， 当点P在直线MN右侧且BP=AB时， 同理可证：． ∴结论Ⅱ错误． 故选：D 11．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 12．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，． (1)求证：△PQM≌△CHD； (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 【答案】(1)见详解(2)①；②；③ 【详解】（1）∵， ∴ 则在四边形中 故四边形为矩形 ， 在中， ∴， ∵ ∴； （2）①过点Q作于S 由（1）得： 在中， ∴ 平移扫过面积： 旋转扫过面积： 故边PQ扫过的面积： ②运动分两个阶段：平移和旋转 平移阶段： 旋转阶段： 由线段长度得： 取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T 设，则 在中： 设，则，， ，， ∵DM为直径 ∴ 在中 ： 在中： 在中： ∴， PQ转过的角度： s 总时间： ③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d， 当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图： ∵∠EDF=30°，∠C=30°， ∴∠EDF=∠C， 又∵∠DEF=∠CED， ∴， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ 当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d， 同理：可得 综上所述：． 专练一、圆的基本概念辨析 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【答案】A 【详解】解：如图，    故选A． 14．（2025·河北邯郸·一模）在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（   ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【详解】解析：若点C在外，则， ； 若点C在上，则， ∴； 若点C在内，则， ∴； 故方案Ⅰ可行； 若与边交于点A，则， ∴； 若与边交于不是A的点，则， ； 若与边的延长线有交点，则， ∴； 故方案Ⅱ可行． 综上，Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选C． 专练二、垂径定理的应用 15．（2025·河北唐山·一模）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出1600多种不同的图形．嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图9-2所示，A，B，C三点在圆上． （1）的长为 ； （2）圆的半径是 ． 【答案】 6 【详解】解：（1）∵边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板， ∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和， ∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即， 故答案为：； （2）如图，延长交于，设圆心，连接， ∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形， ∴垂直平分， ∴圆心在上，， 由题意可得， 设半径，则， ∵中，， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（2025·河北邯郸·二模）如图-1是清末时期的文房用具纹铜吸墨碾，做工精细，体现了我国文化的博大精深．用途是书画创作时，通过转动吸墨碾（碾上附着吸墨纸），吸收多余墨汁．吸墨碾侧面示意图如图-2，已知，圆弧最低点到的距离为． (1)在不添加点的情况下，利用无刻度直尺和圆规作出劣弧的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求劣弧的半径； (3)当使用吸墨碾从点沿转动到点时，求圆心移动的距离．（取，结果精确到．参考数据：，） 【答案】(1)见解析(2)(3)圆心移动的距离约为 【详解】（1）解：连接，作线段和的垂直平分线， 作图如解图①（答案不唯一），点即为所求： （2）如解图②，连接， 设交于点，设的半径为， 由题意可知，，， ， 在中，， 即， ， ， 劣弧的半径为； （3）如解图②，连接， ， 易知圆心移动的距离等于的长度， 在中，， ， 的长度为， 圆心移动的距离约为． 17．（2025·河北石家庄·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米(2)大约需要安装24盏景观灯 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯． 专练三、垂径定理 弧长、图形面积计算 18．（2025·河北·模拟预测）某镇计划修复一座古建筑景点内的圆弧形拱门，如图所示，施工队测得拱脚宽为米，拱高（拱门最高点距离地面的垂直高度）为米，如图所示．现需要计算拱门的相关数据，以便定制相关耗材． (1)求拱门所在圆的半径； (2)计算拱门所在圆中对应的弧长． 【答案】(1)米；(2) 【详解】（1）解：如图，过圆心作的垂线，交于点，交优弧于点，连接， 由垂径定理可得米， 设拱门所在圆的半径为米，则米， 由勾股定理得，， 解得米， ∴拱门所在圆的半径为米； （2）解：如图，连接， 在中，米，米， ， ， ， ， ∴优弧长为米， ∴拱门所在圆中对应的弧长为米． 19．（2025·河北张家口·模拟预测）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．假定在水流量稳定的情况下，水车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动． 如图2，把水车抽象为一个半径为的．水车涉水宽度，水车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： (1)求该水车半径． (2)水车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，随着水车的转动，该盛水筒转到点，且．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：连接、，交于， 为弧中点， 于， ， ， ， ， ， ， 该水车半径为． （2）解：连接、，交于， ，， ， ， 点到的距离为， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 阴影的面积． 20．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明同学设计的鱼缸截面图是的一部分，是鱼缸的玻璃隔断，弓形部分（阴影）不注水，已知，且圆心O 在上，． (1)求的半径； (2)注水时，水面，且与交于点E，与交于点F． ①当水面恰好经过圆心O时（如图所示）求水面宽； ②直接写出注水过程中，水面宽度EF的最大值． 【答案】(1)的半径为 (2)①；②注水过程中，水面宽度的最大值为 【详解】（1）解：连接， 设，则， ∵， ∴， 则在中，， 解得， 即的半径为； （2）解：①由（1）得的半径为； ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当水面恰好经过圆心时，则水面宽为； ②如下图所示， 作于点M，交FM于点H，交于点G， ∴ 则四边形为平行四边形，， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 观察图形可知，当经过圆心O时，取得取大值， 此时， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由等面积法知， ∴， ∴ 即注水过程中，求水面宽度的最大值为． 21．（2025·河北唐山·二模）唐代李皋发明了“桨轮船”，为后续车船的发展奠定了基础．如图，表示该轮船轮子的截面，已知轮子被水面截得的线段为，过点作于点，交于点，轮子的吃水深度为．        (1)求的半径； (2)求的长，并比较与半径的大小． 【答案】(1) (2)，更长 【详解】（1）解：如图，连接， ，， ， 设的半径为，则， 在中，， 解得， 的半径为． （2）解：在中，， ， ， ， 更长． 22．（2025·河北邯郸·一模）图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆O，，及是支撑杆，点C在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点P．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点Q，的延长线交半圆O于点． (1)求半径的长； (2)乘坐时（如图3），点D到地面的高度为多少？ (3)请直接写出的长是_______． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； （2）解：如图，过点作于点． ， ． 半圆与地面相切于点， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， 点到地面的高度即为的长， 点到地面的高度为； （3）解：由题意可知，弧的长为． 23．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 【答案】(1)20(2) 【详解】（1）解：设圆形零件的半径为r， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴， 则该圆形零件的直径为20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 24．（2025·河北石家庄·模拟预测）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点，已知． ①求车轮轮胎中心到水平地面的距离（结果保留根号）； ②直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：连接交于C， ∵轮胎与地面相切于点 ∴垂直于地面， ∵平行地面， ∴， ∴， 设轮胎的半径为． 在中，，，，， ∴， 解得， ∴轮胎的半径为； （2）解：①∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ， 又 ∴， 又，， ∴， ∴， 即车轮轮胎中心到水平地面的距离； ②， ∵，， ∴． 25．（2025·河北邯郸·二模）如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． (1)求的半径； (2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； (3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2)圆弧形门洞的拱高为 (3) 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． ． 的半径为． （2）解：如图，设弧的中点为，作于， 由对称性可知，过圆心， 则， ， ． 圆弧形门洞的拱高为． （3）解：．理由如下： 的面积， ． ， ， ． ． 阴影部分的面积． 26．（2025·河北邢台·三模）某排水口如图1所示，嘉嘉作出示意图如图2，排水管横截面为，水面为，测得为，她查阅资料得知该排水管的内径为（的直径为）．（参考数据：，） (1)水面的最大深度为______． (2)几天后水位上涨，排水管横截面如图3，水面宽度为． ①求水位上涨的高度． ②按规定，排水口水流横截面积（阴影部分）大于排水管横截面积的时需要清淤．请通过计算，判断现在是否需要清淤． 【答案】(1)20 (2)①；②不用清淤 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，交于点，连接． 由题意得， ， ， 水面的最大深度为． 故答案为：20； （2）①如图2，过点作于点，连接，． 由题意得， ， 水位上涨的高度为． ② ，且， ， ， ， ， ， 不用清淤． 专练四、弦、弧、圆心角之间的关系 27．（2024·河北邢台·一模）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、， C、D均为圆周上十二等分点， 占2个分点，， ， 为等边三角形， C点、D点分别与刻度1和4对齐， ，即， 由图可知：占4个分点，为直径， 占2个分点，，， ， ， 中 ， 故选：C． 28．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 【答案】B 【详解】解：连接，， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． ， ， 即为等边三角形， ． 由作图过程可知，， ， ， 即为等边三角形， ， ， ， ， 即点为的中点． 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ． ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：B． 29．（2025·河北·模拟预测）如图，是半圆O的直径，弦，弦，连接，若，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵弦，弦， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 专练五、圆周角定理及其推论的应用 31．（2025·河北·一模）如图，球员分别在点A，B，C处定点射门，表示球门，点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．都一样 【答案】B 【详解】解；如图所示，延长交圆于D，设与圆交于E，连接，则， ∵， ∴， ∴仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是B处， 故选：B． 32．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，借助量角器，可以计算的度数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设这个量角器所在的圆为，与交于点， 由量角器得：， 则由圆周角定理得：， 故选：A． 33．（2025·河北邯郸·三模）一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．∵， ∴点A在半圆内，符合题意； B．∵， ∴点A在半圆上，不符合题意； C．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； D．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； 故选：A．． 34．（2025·河北沧州·模拟预测）司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、、， ∴正八边形的中心角为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点位于点的北偏东． 故选：D． 35．（2025·河北石家庄·一模）是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 【答案】A 【详解】解：甲：由作图可知平分， ∴， ∴，即作法一正确， 乙：由作图可知平分， ∵， ∴， ∵经过圆心， ∴，即作法二正确， 丙：由作图可知垂直平分选段，经过圆心， ∴，故作法三正确， 故选：A． 36．（2025·河北廊坊·一模）如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点为其圆心，点，在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，连接． (1)尺规作图：求作线段的垂直平分线，直线与交于点，与交于点．（保留作图痕迹，标注清楚字母，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）证明：如图，连接， 由作图可知， ∴， 由图可知， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 37．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点分别是射线上的点，连接，以为边在右侧作矩形，已知．是的外接圆． (1)使用直尺和圆规画出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的半径长； (3)直接写出点间的最大距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作的点； （2）解：连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径长为； （3）解：矩形中，，， 过点G作交的延长线于点H，连接、、，如图所示： 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴当A、O、G三点共线时，最大，且最大值为． 38．（2025·河北廊坊·一模）如图1，为的外接圆，为的半径． (1)当所在的直线垂直于时，___________．（填“>”“=”或“<”） (2)若，求的长． (3)嘉嘉发现，当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值，请证明这种说法． (4)如图2，，交于点，于点．若，直接写出的长． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析(4) 【详解】（1）解：延长，交于点，如图所示： 当所在的直线垂直于时，即， 由垂径定理可知， 是线段的垂直平分线，则， 由等腰三角形三线合一性质可知，平分， ∴； 故答案为：； （2）解：连接，如图所示： ，， 由圆周角定理可得， ， 的长为； （3）解：当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值， 证明如下： 连接，如图所示： 由圆周角定理知， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 则， ，即当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值； （4）解：连接，如图所示： 由圆周角定理可得， ，， 由等腰三角形三线合一性质可得平分，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，解得． 专练六、三角形的外心与外接圆问题 39．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为点O是的外心，且， 所以， 在中有，， 又因为点I是的内心， 所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C ． 40．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 41．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接交于点，连接，设与交于点，如图， ∴点为正六边形的中心， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵正六边形是轴对称图形， ∴ ∴， ∴，, ∴点为的外心，点在上， ∴， 根据对称性得出是等边三角形，， ∴，， ∴， 设的内切圆的半径为， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 42．（2025·河北邯郸·二模）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②30 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ； ， ， ； （2）解：①连接交于点，过作于点，如图： 四边形是菱形，， 于点，，， ； ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②的外心在其内部， 是锐角三角形； 当时，； 当时，； ， ，， ． 专练七、切线的性质与判定 43．（2025·河北邯郸·二模）如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆O，交于点D，过点D作半圆O的切线，交的延长线于点E，交于点F，，则 ． 【答案】/ 【详解】如图，连接，， ∵为直径，过点D作半圆O的切线， ∴，， 由，得． 又，则． ，， ， 又， ， ，即， ． 故答案为：． 44．（2025·河北石家庄·二模）如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 【答案】或/或 【详解】∵正六边形， ∴， ∴， ∵，长为半径画圆， ∴与相切于点， 当与边相切时，记切点为点，连接，如图： 则，，而， ∴平分， ∵， ∴， ∴在中，； 记与的左交点为点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，如图： ∴， ∴点重合， ∴， ∴与相切于点，而与相切于点，故符合题意， ∴， 综上：当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为或， 故答案为：或． 45．（2025·河北石家庄·一模）如图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点O，门缝经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，点A，B在⊙O上，，都垂直于．已知米，米，米． (1)尺规作图：在图2中画出圆心O；（保留作图痕迹，不写作图过程） (2)求的半径； (3)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3)与相切；理由见解析 【详解】（1）解：尺规作图如图； （2）连接，，如图 ∵，，，， ∴四边形，四边形均为矩形． ∴，． ∵米，米， ∴米，米． ∵米， ∴米． ∵，∥， ∴． ∴米． 设半径长为r米，则米，（米）． 在中， ， 解得； ∴的半径为1.3米． （3）与相切．理由如下： ∵经过圆心O，且垂直水平门槛于点F， ∴， ∵米，米 ∴， ∴与相切． 46．（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：如图，连接． 与相切， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴的长为． 47．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，在中，，，，点E在上，以为直径的经过上的点D，且 (1)求证：是的切线； (2)求的半径长度； (3)将沿射线方向平移，如图2，与切于点F，与交于P、Q两点，与交于M、N两点，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图：连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：在中，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 在中，． （3）解：如图：过O作的垂线，交于点K，交于点G，过K作交于点H， ∴，，， ∴， 由平移可知，在中，， ∴， 在中，． ∴． 48．（2025·江西·模拟预测）如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．    在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．    当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． （3）解：如图3，连接，设，则，    ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 49．（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 【答案】发现：相切；探究：（1） 【详解】解：发现：由折叠的性质可得， ∴一定经过正方形的中心， ∴为中间圆的直径， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴与圆相切； 探究：（1）如图，取中点O，连接，则点O为圆心， 是切线， ，即， ， ∴ ∴． 由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴． 的长为：． （2）连接，如图所示， ∵是的直径， ∴， ∴， ， ∴． ，即． ． 拓展：如图，作于点H．则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 50．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是对角线的中点，是边上一点（不与点，重合），过，，三点作交于点，，． (1)连接，求的最小值； (2)若与相切，求的长；（结果保留） (3)直接写出长的取值范围． （参考数据：，，．） 【答案】(1)的最小值是(2)(3) 【详解】（1）解：如图①， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， 连接， 是的中点， ， ， 是的直径， 是的弦， ， ， 的最小值是； （2）如图②，连接，， ， 连接，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ； （3）由题可知，是边上一点，且不与点，重合，结合图形可知，当点与点重合时，取得最小值， 如图③，连接，过点作，与交于点，则点为此时过，，三点的圆的圆心， 设，则，，， 在中，，即，解得， ， ； 当点与点重合时，取得最大值， 如图④，过点作于点， 连接，设，同理可得， 综上所述，长的取值范围为． 专练八、三角形的内心与内切圆问题 51．（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，是的内心，连接并延长分别交于点，设，；则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作的内切圆，连接圆心与切点，如图所示： 是的内心， ，且，且平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 在中，，则， 平分，平分， ，则在中，， ， 在四边形中，，，则， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ∵，， 则与之间的关系式为， 故选：B． 52．（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 53．（2025·河北·一模）如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：在中，，， ， ∵为的内心， ， ， ∵点在线段上（不与重合）， ， ， ， ∵为钝角三角形，，， ， ， ， ， 综上，， ∴，． 故选：C． 54．（2025·河北石家庄·三模）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：是直角的内切圆，且，， ，， ∵， ， 的周长为， 故答案为：26． 55．（2025·河北唐山·二模）如图，正六边形中，P、Q两点分别为、的内心，，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴； 又，， ∴ ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵P、Q两点分别为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， 同理，， 又， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴于点， ∴ 过点P作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 56．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 【答案】D 【详解】解：如图，过点I作，分别交于点D，E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵I为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长即为的周长； 连接， ∵I为的内心， ∴为的平分线，为的平分线， ∴，． 又∵， ∴，． ∴，， ∴， 同理，， ∴的周长为 ， 即的周长为22． 故选：D． 专练九、正多边形和圆 57．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵正八边形内接于， ∴过圆心，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 58．（2025·河北·模拟预测）如图，点是的八等分点，直线与切于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、， ∵点是的八等分点， ∴， ∵， ∴， ∵直线与切于点， ∴， ∴， 故选：B． 59．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形中，有两点同时、同速从中点出发，点沿方向运动，点沿射线方向运动，后，两点与多边形中心的连线及多边形（延长线）所围成图形如图所示（阴影部分），两部分的面积分别为，若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于W，于T，设与交于点． 在正六边形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∵点P，Q同时，同速从中点M出发， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 60．（2025·河北唐山·二模）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为4，则 ． 【答案】/ 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ，， ， ，则， 解得， ， ， 故答案为：． 61．（2025·河北保定·二模）光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，作于． 由题意， ∴是等边三角形， ∴， 设,则, 在中，则有， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 62．（2025·河北廊坊·二模）如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，是其中一顶点，连结，，交于点，若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， 由图可知，正十二边形每条边所对的弧的度数为， ∴,, ∵， ， , ， ， ， ， 故答案为：． 63．（2025·河北唐山·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为____． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 【答案】(1)(2)(3)线段 【详解】（1）解：由题意可知：八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为． （2）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的长是； （3）∵为的切线， ∴， 由（2）知：， ∴ 如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：线段． 专练十、扇形弧长、面积的计算 64．（2025·河北石家庄·二模）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得 故答案为： ． 65．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点A、B的两条切线相交于点C， ， ， ， ， 这段圆弧的长为， 故选：A． 66．（2025·河北唐山·二模）用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图2． 操作：当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径． （1）①尺规作图：作的垂直平分线交于C，D两点（点C在点D的上方），连接，再以点C为圆心，长为半径画劣弧，得到扇形； ②求出①中所作的扇形的面积（结果保留π）； 计算：当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，． （2）求出点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留π）； 探究：（3）在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留π）． 【答案】（1）①见解析；②，（2），，（3） 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②∵垂直平分， ∴ ， ∵是直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点C作于T，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴O、C、T三点共线， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点O与点C的距离为； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； （3）∵， ∴垂直平分， ∴点C一定在的某条直径上运动， 设交于M， ∵， ∴， ∴随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大 如图所示，当点C与点E重合时， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，当点M恰好与点O重合时，此时， ∴ ∴． 67．（2025·河北沧州·二模）音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图1），图2为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点P，点C在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)①尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点Q（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求长方体木块的高； (3)如图3，弦交于G，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图4中的U型塑料管，将拨弦线与U型截面平行，并套在U型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 【答案】(1)；(2)①见解析；②；(3)每一根拨弦线的长为． 【详解】（1）解：∵是的切线，切点为于P， ∴， ∴； （2）解：①如图，即为所作， ②连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，弦交于G， ∴，，， ∴， ∴； ∵的长为， ∴则每一根拨弦线的长为． 68．（2025·河北·模拟预测）如图1，内接于半径为6的，以C为圆心，以为半径画弧交于点D，连接． (1)在不添加任何辅助线的情况下，请你写出三对相等的量； (2)若与关于弦成轴对称，且． ①请用尺规作图在图2中画出符合条件的标准图形（要求保留作图痕迹，不写作图过程）； ②请直接写出图2中的弦与作图过程中用到的圆弧有怎样的位置关系； ③用劣弧所对的扇形围成一个如图3所示的无缝隙、无重叠的圆锥筒，求这个圆锥筒口的半径r． 【答案】(1)(2)①见解析；②相切；③2 【详解】（1）解：∵以C为圆心，以为半径画弧交于点D， ∴ ∴， 即三对相等的量为； （2）①如图2即为所求， 作法如下： 1)过圆心作直径， 2)以点C为圆心，以为半径画弧交于B、D两点； 3)连接即得所求． 弦与作图过程中用到的圆弧相切． 由作图可知， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆弧的半径， ∴弦与作图过程中用到的圆弧相切． ③连接，记与交于点E， ∵点B与点D关于弦轴对称， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴所对劣弧的长等于：， 又∵， ∴． 专练十一、动态圆问题 69．（2025·河北唐山·二模）如图，斜坡与地面的夹角，斜坡顶端．半径为2的相切于点，相切于点，上固定的一点恰在的平分线上．某一时刻，带动点沿斜坡向上滚动（无滑动），当与切于点时停止滚动，发现此时点恰与点重合，此时圆心记为． (1)当在初始位置时，证明：； (2)求斜坡的长（结果保留）； (3)设与的延长线交于另一点，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：连接，，如图， ∵相切于点，相切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接，，如图， ∵相切于点，相切于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点恰在的平分线上， ∴点A、O、G三点共线， ∴， ∴长， ∴， ∴． （3）解：连接，过点作于F，如图， ∵ ∴ ∵与相切， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 70．（2025·河北唐山·一模）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； (2)如图2，当时，连接． ①直接写出的度数，并求点C到桌面的距离（结果保留根号）； ②比较与直径的长度； 【答案】(1) (2)①，；②的长＞直径的长 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵等边， ∴， ∴, ∵半圆O与相切于点Q，半圆O的中点为点C， ∴重合，, ∵， ∴, ∴三点共线，之间的距离为， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图2：延长交于D，过点C作， ∵等边， ∴， ∵,, ∴， ∴, ∴, ∵半圆O的中点为点C， ∴, ∴， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 点C到桌面的距离为； ②∵, ∴的长， ∵， ∴的长直径的长． 71．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，点在边所在的直线上，，以为直径的半圆与相切于点，点为半圆弧上一动点． 【探索】如图1，当点与点重合时，求线段的最小值和最大值； 【思考】若点从开始绕圆心逆时针旋转，速度为度秒，同时半圆从点出发沿做平移运动，速度为个单位长度秒，运动时间为t秒． 解决下列问题： （1）如图2，当与点在一条直线上时，求点到的距离及扇形的面积； （2）当半圆与相切于点时，直接写出的度数． 【答案】[探索]，；[思考]（1）点到的距离为，扇形的面积为；（2） 【详解】解：[探索]连接，， 当是与半圆弧交点时，最小， 此时，， 当与重合时，最大，． [思考]（1）如图，当与点在一条直线上时，则， 在中，，， ，， ， ，， ， 设点到的距离为， ， ，半圆从点出发沿做平移运动，速度为个单位长度秒， 运动了秒， 点从开始绕圆心逆时针旋转，速度为度秒， ， 扇形的面积； 故点到的距离为，扇形的面积为； （2）如图，连接，，当与相切于点时，则， 平分， ， ， 在，， ， 运动时间为秒， ． 72．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图1，图2，在中，，点E为边上一点（包括端点），经过点E，点C作，总满足与相切于点E，设的半径为r．    (1)通过计算判断与的位置关系； (2)如图2，当点O落在上时， ①求r的值； ②求落在内部的弧的弧长（包括端点）； (3)直接写出r的取值范围． 【答案】(1)(2)①3；②(3) 【详解】（1）解：， ． ， ． ， 为直角三角形，且， ． （2）如图，当点O落在上时，连接，设与的另一个交点为点F．    ①， ∴切于C点． 和边切于点E， ， ， ． ， ， ，即， ． ②由于圆心O在上， ， ∴弧的长为． （3）解：． 如图，当为直径时，此时，圆O半径最小． ， ， ∴半径r最小为．    当E点与B点重合时，半径最大， 如图，连接，过O作于H．   ， ． ． 在中，． ， ， ，即r的最大值为． 综上所述，r的取值范围为． 73．（2025·河北·一模）如图1，在四边形中，，，过点C作于点E，连接，将半圆O的直径放在边上，且点P与A重合，，将半圆O绕点A顺时针旋转α（）． (1)求证：； (2)在旋转过程中，当点O到的距离最短时，求α的度数； (3)当时，点H从点Q开始沿以每秒个单位长的速度运动，同时半圆O从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向右平移． ①如图2，当半圆O与相切于点K时，通过计算判断点H是否在上； ②当半圆O（不包括点P）与四边形的边有两个公共点时，点H运动的总路程是多少？请直接写出． 【答案】(1)见解析(2)30度(3)①在，见解析；② 【详解】（1）证明：， . ， ， ， ， 是等边三角形，则． ， . ∵， ； （2）解：由（1）知：， ， ∴四边形为平行四边形， ， . ， 为等边三角形. ∵在旋转过程中，点O的运动轨迹为以点A为圆心，为半径的圆弧， ∴当时，点O与的距离最短， 当时，由等腰三角形的三线合一的性质可知：此时平分， 由于半圆O的直径放在边上， ∴当点O与的距离最短时，α的度数为； （3）解：①点H在上；理由如下： ， . ∴半圆O与相切， ， ， 连接，如图2， ， 由切线长定理，得， ， ， ∴. ∵， ∴. ∵， ， ∴. ∵半圆O从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向右平移，运动时间为t秒． 秒， ∵点H从点Q开始沿每秒转过的角度为， ∴点H转过的角度， ∴点H在上； ②当半圆O（不包括点P）与四边形的边有两个公共点时，点H运动的总路程是．理由如下： 由①知：当半圆O与相切于点K时，半圆O（不包括点P）与四边形的边有一个交点，继续运动则有两个交点， ， 当运动到点Q在上时，半圆O（不包括点P）与四边形的边有两个交点，继续运动则有一个交点， 设当运动到点Q在上时，半圆O（不包括点P）与四边形的边交于点H，如图3.1， 由题意：， 在中，， ， ∴当半圆O（不包括点P）与四边形的边有两个交点时，t的取值范围为：； 当半圆O与相切点M时，半圆O（不包括点P）与四边形的边恰有两个交点，连接，如图3.2，则， 在和中， ， ， ， ， ， ∴当时，半圆O（不包括点P）与四边形的边恰有两个交点； 当从E点运动到点Q在上时，半圆O（不包括点P）与四边形的边有两个交点，如图3.3， 由题意知， ， ， ∴当时，半圆O（不包括点P）与四边形的边恰有两个交点， 综上，当半圆O（不包括点P）与四边形的边有两个交点时，t的取值范围为：或或， ∴运用时间为：， ∴. ∴点H运动的总路程是． 74．（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； （2）如图所示，过点作，垂足为点，则，根据题意可得，由此即可求解: 【详解】（1）解：扇形中，，， 点P在半径上，连接，如图． 把沿翻折，点的对称点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧AQ的长； （2）如图，过点作，垂足为点，则． ， ． ， ， ，即． ，理由如下： ， ，，即， ， ． 75．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1~图3，是半圆O的直径，且，是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合），将半圆O沿直线翻折．     (1)当点N与点B重合，且时，如图1． ①求劣弧的长； ②当半圆O沿直线翻折后，劣弧是否经过圆心O？__________（填“是”或“否”）； (2)当时，如图2，过点O作，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点C，且点C是半径的中点，如图3，求折痕的长； (4)若折叠后的劣弧始终与直径相切，设，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)①；②是 (2) (3) (4) 【详解】（1）①解：连接， ∵，， ∴，， ∴劣弧， 故答案为：； ②解：当半圆O沿直线翻折后，设点O的对称点为W，如图，与的交点为R，则， 由， 故， 根据折叠的等距性质，得， 故，等于圆的半径， 故点W一定圆上， 故劣弧是经过点W的， 故答案为：是． （2）解：设与圆的交点为T， ∵，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵折叠后的劣弧恰好经过的中点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 连接，设与的交点为H， 根据折叠的性质，得，， ， ∵点C是半径的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 根据题意，当点N 与点B重合，点M是的中点时，切点为B，此时取得最小值， 根据折叠的性质，，， ∴四边形是正方形， ∴； 当， 且恰好经过的中点K时，取得最大值， 根据折叠性质，垂径定理，得 ∴， ∴， ∴， 故． 76．（2025·河北唐山·二模）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角 (2)见解析 (3)①点O在半圆上，理由见解析；4；②；③或 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； （3）解：①点O在半圆上，理由如下： 如图所示，连接， ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴点O在半圆上； ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点Q作于H，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点Q到的距离为4； ②∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，当点在点O右侧时，过点作于N，过点P作于M， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为； 如图所示，当点在点O左侧时，过点作于S，过点P作于R， 同理可证明， ∴同理可得， ∴， ∴同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 77．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______． 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是______． 【拓展】（1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 【答案】发现：；探究：平行；拓展：（1）；（2）最大值为，最小值为； 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∴所在圆的半径为的半径，即， 故答案为：． 探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点， ∴即点到直径的距离为半径，即为定值，， ∴点的运动路线与直径平行． 故答案为：平行． 拓展：（1）解：如图1，连接， ∵点在上，对应的弦为的直径， ∴． 又∵点是的切点， ∴． 在和中，，， ∴， ∴． ∵点为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）最大值为，最小值为． 解法1：如图2，设，与交于点，连接． ∴． ∵点是的中点， ∴． 由垂径定理易得点为的中点， ∴， ∴． ∵点在线段上， ∴的取值范围为， ∴． ∴弦的最大值为，最小值为． 解法2：如图3，当点落在点时，弦取得最大值． 由折叠的性质可得． ∴， ∴． 如图4，当点落在点时，弦取得最小值，此时点，，集于一点． 易得，且弦所在的直线是的平分线， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 综上所述，弦的最大值为，最小值为． 专练十二、与圆有关的最值问题 78．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，正六边形的边长为2，在其内部（包括边界）画一个正方形，则长的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设点O为正方形和正六边形的中心，连接，，，作于点M， 当正方形的四个顶点都落在正六边形的边上时，的长度最长； ， ， 为等边三角形， ， ， 设， ， 四边形是正方形， ， ， ∴， 解得． ∴， ∴． 故选：D． 79．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：∵菱形中，，， ∴， ∴点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值， 如图所示：过点C作，垂足为H， 在中，，， 则，． ∵， ∴， 在中，依据勾股定理可知：， ∴由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 80．（2025·河北邢台·二模）如图，直径为2的半圆O与的边相切，圆心O在边上，若，，，P，Q分别是与半圆弧上的动点，则的最大值和最小值之积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设半圆O与的边相切的切点为D，连接，过点O作于点F，交半圆O于点E，如图所示： ∵，，， ∴， ∵直径为2的半圆O与的边相切的切点为D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点P与点F重合，点Q与点E重合时，有最小值，最小值为， 根据圆外的点到圆上的点距离为最大时，需经过圆心，所以当点P与B重合时，且Q也在线段上时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值和最小值之积为； 故选B． 81．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，，点，分别为，上的点，且，连接，将沿直线折叠，得到．设． (1)的值为_____时，为直角三角形； (2)如图，当时． 利用尺规作图找出的外心；（保留作图痕迹，不写过程） 连接，，，求的长及四边形的面积． (3)试说明：无论如何改变的值，点始终在的平分线上； (4)如图，设的外心为，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)或； (2)作图见解析； ，； (3)证明见解析； (4) 【详解】（1）解：， 若为直角三角形， 则或， 当时，， 则有， 又， ， 解得：， 即的值为； 当时，， 则有， 又， ， 解得：， 即的值为； 综上所述，当的值为或时，为直角三角形， 故答案为：或； （2）解：当时， ， ， 又， 是等边三角形， 根据折叠的性质可知也是等边三角形， 如下图所示，分别作、的垂直平分线， 两条垂直平分线相交于点， 点即为的外心； 如下图所示， 点是的外心，是等边三角形， 、分别是和的平分线，， ， 是等边三角形， ， ， 又， 平分， ， ， ， 又， ， 在中，, ， 同理可得：， ； （3）证明：如下图所示，过点作，， 点是的外心， ， ， 在四边形中，， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， 是的平分线； 无论如何改变的值，点始终在的平分线上； （4）解：如下图所示，连接、、， 根据折叠的性质可知，点与点关于对称， ，， ， ， ， ， 当最小时最小， 两点之间线段最短， 当点、、三点共线且垂直于时，最小， 由折叠的性质可知是等边三角形时，最小， 此时，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 的最小值为 82．（2025·河北石家庄·一模）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径． （1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，求的值． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则______． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值． 想一想 （4）嘉嘉同学通过多次实验发现，若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），当圆与都有交点时，就能测出圆的半径，请你直接写出可测出的的最小值和最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）半径的最小值为2，最大值为． 【详解】解：（1）连接，由题意可知，，，， 则， ∴为直径， 由勾股定理可知：， ∴半径， 故答案为：； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则， 由题意可知，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形，则，，， 由题意可知，，，， ∴，则， ∴，则， 设，则， 在中，， 在中，， 则，解得：， ∴； （4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径， 如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径， ∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径， 要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点， 如图，当与、均相切时，直径等于的长度， 即：的半径的最小值为， 假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点， 令与相切于点，与交于边界点，如图， 由题意可知，，类比（2）可知，，则， 由勾股定理可得：， ∴，整理得， ∴， 则的半径的最大值为； 综上，半径的最小值为，最大值为． 83．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)2或 (3)135；；45； 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 专练十三、圆的压轴问题 84．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形内接于圆，其中平分，交于点，为上一点，且平分，连接． (1)求证：． (2)若，设，，用含的代数式表示β． (3)若圆的半径为，，请直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】根据平分，平分，可知点是的内心，从而可证平分，所以可证，根据圆周角定理可证，从而可得、，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； 根据圆周角定理可知，根据三角形内角和定理可得：，整理可得：； 由可知，根据等腰三角形的性质可得：，用三角函数可得，从而可得的最大值是． 【详解】（1）证明：平分，平分， 点是的内心，， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， 由可知， 在中，， ， ； （3）解：四边形面积的最大值为，理由如下： 平分， ， ， 由知， ． ， ， 如图，连接，， ． ， 是等边三角形， ， ， ，，三点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示， ， 当时，最大， ，， ，， ， ， ， 即四边形面积的最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边 三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是利用圆周角定理找相等的角，根据角之间的关系确定边之间的关系． 85．（2025·河北唐山·二模）如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；②3 【分析】（1）求劣弧长，需先确定其所对圆心角及圆半径，再用弧长公式计算． （2）利用圆中弧与角的关系找全等条件，用全等判定定理证明． （3）①通过角度关系求，在直角三角形中用三角函数求，进而得 ②构造辅助线，利用三角形相关性质确定EF与其他线段关系，根据三边关系求最大值． 【详解】（1）连接， ， 为等边三角形，， ； （2）证明：， ， 又，， (AAS)； （3）①连接 由（1）得， 当时，， 在中，， ； ②取中点，连接， 是中点， ， 在中，为中点，为中点， ， 因为，是中点， 在中， ， 在中，根据三角形三边关系 ，当、、三点共线时取等号 ，所以最大值为 ． 【点睛】本题主要考查圆的相关性质，包括弧长计算、圆周角与弧的关系，以及三角形的知识，如等边三角形判定、全等三角形判定、直角三角形边角关系、三角形中位线定理和三边关系等，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 86．（2025·河北沧州·一模）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（阴影部分，且大、小圆的圆心都是点）面积的方法． (1)小组甲同学说：“我只用一根木条和一个卷尺就可求环形花坛的面积，做法：将木条与小圆相切于点，与大圆交于点，，如图所示．”若测量出，求环形花坛的面积的过程如下所示，请补全； 解：如图，连接，． ∵与小圆相切于点，∴，∴________，． ________________． (2)在（）的基础上，点在上，且是的中点，向上平移木条，直到点，均在大圆上时停止，此时木条与小圆交于点，，如图所示．将木条绕点逆时针旋转得到，与大圆交于点，点的对应点为点． 当大圆的半径为，时，求的长度； 小组乙同学说：“只要测出图中和的长度，也可求出环形花坛的面积．”你认为乙同学的说法正确吗？若正确，请用含，的式子表示环形花坛的面积；若不正确，请说明理由； 连接，．已知大圆的半径为，．在木条旋转过程中，当的度数最大时，请直接写出的度数． 【答案】(1)；；； (2)；正确，见解析；． 【分析】（）连接，，由切线的性质可得，再通过垂径定理得出，，最后通过公式即可求解； （）连接，，由圆周角定理可得，再通过弧长公式即可求解； 连接，，，再通过垂径定理得，，最后通过公式即可求解； 连接，点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧，当与相切时，的度数最大，最后通过三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵与小圆相切于点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：；；； （2）连接，， ∵， ∴， ∴的长为； 正确，理由， 连接，，， 由（）可得， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 如图，连接，点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧， 当与相切时，的度数最大， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 87．（2025·河北邢台·三模）如图1，中，，，为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点落在点处，交于点，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． (2)如图2，当时，求的长度． (3)如图3，当为中点时，直接写出的长度． (4)在（1）的条件下，将的点在边上滑动到点，点随之在边上滑动到点，点的对应点为点，如图4，直接写出点与点的最大距离． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) (4) 【分析】（1）①根据题意得到，，，结合平行线的判定即可求解；②由勾股定理得到，由，可得的值，根据即可求解； （2）如图1，过点作于点，设，则，，由此即可求解； （3）连接，延长交于点，由折叠可得为中点，则，设，由勾股定理得到，由此列式求解即可； （4）如图所示，作的外接圆，过点作于点，过点作延长线于点，连接，则四边形是矩形，则，由（1）②得，，，则，，，当点在同一直线上时，点与点的距离最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：①证明：， ， ， ， ， 又， ， ． ②， ∴， 当时，， ， 又， ． （2）解：如图1，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ， ． （3）解：如图2，连接，延长交于点， 由折叠可得为中点， ， 设， ，， ， ， 解得， ． （4）解：． 由（1）可得，当时，，则， 如图所示，作的外接圆，过点作于点，过点作延长线于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形，则， 由（1）②得， ， ∵，则， ， ∴，， ， ， 当点在同一直线上时，点与点的距离最大，最大值为， 最大距离为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定、三线合一、圆周角定理、勾股定理、点圆最值．核心素养表现为几何直观、空间观念和推理能力． 88．（2025·河北邯郸·二模）如图1，图2，点、、、是半径为5的圆的四等分点，将一个直角三角板的直角顶点与点重合，两直角边分别交于点、点（点在点的左侧），直线交直线于点． (1)①尺规作图：在图1上作出圆的切线（点在点的左侧），切点为（保留作图痕迹，不写作法）； ②在①的条件下，连接，若，求的度数； (2)在图2中，若是的中点，求的长度； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或30 【分析】（1）①连接，过点作的垂线即可；②由题意可得是直径，连接，由切线的性质可得，由等边对等角可得，即可得解； （2）连接，由题意可得是直径，连接，由切线的性质可得，证明是等边三角形，求出，再由弧长公式计算即可得解； （3）分两种情况：点在上；当点在上；分别求解即可得解． 【详解】（1）解：①如图，切线即为所作， ；②如图1， 是直径， 连接， 是圆的切线，是切点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接， ， 是直径， 与的交点为， 连接， ， 是的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图3，点在上， 由（2）得是圆的直径， ， 过点作于点， ， 过点作于点， ， ， 连接， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 如图4，当点在上， 同上可得，， ， ， ， ， 所以的长为或30． 【点睛】本题考查了作垂线，切线的性质，求弧长，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 89．（2025·河北·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，以为半径的与相切于点，点是边上的点（不与点重合），过点作交于点，与关于直线对称． (1)求的长； (2)当点落在上时，求的长，并求与重叠部分的面积（包括边界）； (3)设与矩形重叠部分的面积为的长度为． ①用含的式子表示； ②若与相切，求的值． 【答案】(1) (2)，与重叠部分的面积为；，与重叠部分的面积为 (3)①；② 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，切线的性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据矩形的性质可得，，解，得出，连接，解，即可求解； （2）连接，设交于点，先得出，，分两种情况讨论，分别求得的长，以及与重叠部分的面积； （3）①当时，；当时，如图设分别与交于点，； ②设与相切于点，过点作于点，得出四边形是平行四边形，，进而求得的长，再求得，代入①中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， 在中， ∴ 如图，连接， ∵以为半径的与相切于点 ∴ 又∵ ∴平分 ∴ 在中， ∴ （2）如图，连接，设交于点 ∵与关于直线对称． ∴ 又∵ ∴， 由（1）可得， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 如图，点在上时，，即重合时， 设，则， ∵ 在中， ∴ 解得：，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 与重叠部分的面积为 如图，当重合时，点在上， ∴ 与重叠部分的面积为 综上所述，，与重叠部分的面积为；，与重叠部分的面积为 （3）①由（2）可得时，在上， ∵，， ∴， ∴当时，， 当时，如图设分别与交于点， ∵ ∴ ∴ ∵，，则 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 综上所述， ②如图，设与相切于点，过点作于点， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中， ∴ ∵ ∴ 当时， 90．（2025·河北保定·二模）如图1和图2，在矩形中，，点在线段上，其中．以点为圆心，长为半径作．若交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（若与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）． (1)如图1，当点在延长线上时，求点到直线的距离； (2)当圆心到的距离为时，如图2． 请用无刻度的直尺和圆规作线段，用其长度表示圆心到的距离（保留作图痕迹，不写作法）； 求此时落在矩形内部的弧长； (3)若点在上方．当点恰好落在边上时，如图3，求点到直线的距离之比； (4)当与边相切时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)点到直线的距离为； (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了 （1）作于点，证明，得即可得解； （2）设与交于点，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点，即可； 连接，得，进而可求圆心角，再用弧长公式即可求解； （3）作于点，于点，证明，根据，求得，进而可求，进而可求，， 即可求得点到直线的距离之比； （4）设与相切于点，作于点，交于点，连接，证明四边形是矩形，可得，，进而得，，根据勾股定理可求，即可求得． 【详解】（1）解：如图，作于点， 矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 点到直线的距离为； （2）解：设与交于点，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点，线段即为所求； 连接， ， ， ， 所求弧长为； （3）解：如图，作于点，于点， ， ， ， ， 中， ， ，， ，， ； 即点到直线的距离之比为； （4）解：设与相切于点，作于点，交于点，连接， ， 四边形是矩形， ， ， 同理， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，还考查了尺规作图，要熟练掌握圆的性质，矩形的性质及判定，圆与直线的位置关系，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线，解题时做到数形结合、分类讨论是关键． 试卷第2页，共187页 162 / 163 学科网（北京）股份有限公司 $$