专题09 四边形（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 四边形 考点一、多边形的性质 1．（2022·河北·中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】A 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为， ∴， 故选：A． 2．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 考点二、平行四边形的性质和判定 3．（2022·河北·中考真题）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 4．（2023·河北·中考真题）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取；    （3）连接，，则四边形即为所求．    在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 6．（2021·河北·中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 【答案】A 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 考点三、矩形的性质和判定 7．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 8．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 9．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)；(4)；． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； （2）解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； （3）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； （4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 考点四、菱形性质的应用 10．（2023·河北·中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴     故选：C．    考点五、正方形的性质和判定 11．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 12．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 专练一、多边形有关性质的应用 13．（2025·河北唐山·二模）五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（   ） A．增加了 B．增加了 C．减少了 D．始终为 【答案】D 【详解】解：根据多边形的外角和为，得始终为， 故选：D． 14．（2025·河北邯郸·二模）如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点K，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由正多边形的性质可知，，，， ，， ， ． 故选：B． 15．（2025·河北沧州·二模）如图，正六边形中，是其对角线，点P是边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点P作，交延长线于点M． 结论：一定是正三角形 琪琪 操作：过点P作，分别交、于点Q、N． 结论：的长度不变 则对于这两个结论（   ） A．嘉嘉和琪琪均错误 B．嘉嘉和琪琪均正确 C．嘉嘉正确，琪琪错误 D．嘉嘉错误，琪琪正确 【答案】B 【详解】解：∵正六边形，是其对角线， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是正三角形， 故嘉嘉正确， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即的长度不变， 故琪琪正确， 故选：B． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵多边形是正n边形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ， ∴， ∴与相邻的多边形的一个外角为， ∵正n边形的外角和为， ∴， 故选：C． 17．（2025·河北邢台·二模）如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正五边形的每个内角度数为：， 正方形的每个内角度数为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 18．（2025·河北石家庄·三模）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则 °． 【答案】 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形， ， 故答案为：70． 19．（2025·河北廊坊·一模）学校有一块四边形试验田，分割成，两块，由图可知， ． 【答案】0 【详解】解：如图所示， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， 故答案为：0 ． 20．（2025·河北沧州·模拟预测）将三个正六边形按如图所示摆放，若两个全等的小正六边形的边长都是2，则大正六边形的边长是 【答案】6 【详解】解：两个全等的小正六边形的边长都是2， ，， ， 是等边三角形， ， ， 即大正六边形的边长是6， 故答案为：6． 21．（2025·河北邯郸·一模）用n个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为，内圈的夹角均为．若x，y均为正整数，且，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】3或4或5 【详解】解：根据题意，得正五边形的一个内角为， 根据题意，得，即 ∵， ∴ ∴， ∵正多边形的一个内角度数为， ∴， ∴， ∴n为正整数， ∴n为1或2或3或4或5， 又一个或2个多边形围不成所需要的图形，故舍去， 故n的可能值为3或4或5． 故答案为：3或4或5． 22．（2025·河北邢台·三模）如图，某正多边形花坛的边沿被树冠挡住了大部分，为其中一边，点为两条邻边延长线的交点，测得，． （1）该正多边形的边数为 ； （2）该正多边形的面积为 ． 【答案】 8 / 【详解】解：（1）， 正多边形的外角， 边数． （2）如图， ∴， ∴， ， ， 该正多边形的面积 ． 专练二、平行四边形的判定 23．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：因为只有②④两块角的两边互相平行，角的两边得延长线的交点就是平行四边形的顶点， 所以带②④两块玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 24．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】A 【详解】解：选项A：如图，当时，∵D是边的中点， ∴，故符合题意， 选项B：由题意得，点A、关于对称， ∴垂直平分， ∴，故不符合题意； 选项C：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，故不符合题意； 选项D：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故不符合题意； 故选：A． 25．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】第一个图形：一组对边平行另一组对边相等，不能判定； 第二个图形：根据四边形内角和可知，四边形邻角互补，所以两组对边分别平行，可以判定； 第三个图形：一组对边相等，一组对角线被平分，不能判定； 第四个图形： 过点B作交于点E，交于点F， ∵交于点E，交于点F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴, 又∵，即对角线互相平分，可以判定． 故选：B． 26．（2025·河北邯郸·模拟预测）综合实践课上，嘉嘉画出，通过折叠的方法找一点D，使得四边形为平行四边形，图1~图3是其操作过程． （1）折叠使得点A与点C重合，折痕与相交于点O （2）沿折叠，得到直线，点E是延长线上一点 （3）沿过点O的直线再次折叠，使点B的对应点D落在上，连接， 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【详解】解：根据条件可知：使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 27．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析；(2)见解析；(3)2． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： ， ， 又∵， ． ， ， ∵， 四边形PCDG是平行四边形． （2）证明：，， ． ， 又， ． ． （3）解：如图：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴．． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ． 专练三、三角形中位线的性质 28．（2025·河北邯郸·三模）如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 综上：能画出的平行四边形有4个； 故选C 29．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点B是线段上的点，且满足，．将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取线段的中点D，则点A与点D的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：取的中点O，连接，如图， ∵点D是线段的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵由旋转可得， ∴， ∴点以点A为圆心，为半径的圆上运动，同时，点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点D在上时，最小，如图， ∴此时，． 故选：B． 30．（2025·河北沧州·模拟预测）已知直线和直线外一点．求作：直线．使得．对于甲、乙两位同学尺规作图的过程，下列判断正确的是　　 甲同学：如图， ①在上取不重合的，两点，作射线； ②在射线上截取，作射线； ③在射线上截取； ④作直线，直线就是所求作的直线． 乙同学：如图， ①在上取点（点在点的左下方），作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧，分别交和线段的延长线于点，，连接； ③作的平分线，直线就是所求作的直线． A．甲、乙同学的都正确 B．甲、乙同学的都不正确 C．只有甲同学的正确 D．只有乙同学的正确 【答案】A 【详解】解：甲同学：在中， 由条件可知是的中位线， ， ，甲同学的作法正确； 乙同学：由作法知，， ， ， 由角平分线定义可得：， ， ，乙同学的作法也正确； 综上，甲、乙同学的都正确； 故选：A． 专练四、平行四边形的性质 31．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点在对角线上运动，是锐角三角形， ∴当时，取得最小值， 由平行四边形的性质知，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 32．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，且．若点是象限内的一点，则使得以，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】∵， ∴， 如图，当是平行四边形的边时，且． 点可以看作是由点先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 点可以看作是由点按同样的平移方式得到，或者点是由点按同样的平移方式得到， 点的坐标为或，即或． 当是平行四边形的对角线时，的中点与的中点重合， 同理可得． 又点在象限内， 点的坐标为或． 故选：D． 33．（2025·河北邢台·三模）如图，平行四边形的对角线交于点，点分别在的四条边上（不与顶点重合）．如下方案中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．使 B．使，均经过点 C．使经过点，且 D．点分别为各自所在边的中点 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ， （），（）． ， ∴四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形； 的对角线交于点均经过点 ．则四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形； 经过点，，的位置未知，故不能判定四边形是平行四边形； 点分别为各自所在边的中点，则据中位线定理可判定四边形是平行四边形， 故选：． 34．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，平分交的延长线于点E，与交于点F．已知，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 35．（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，为中点，分别以点、点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，交于点，连接DE，DF．则以下4个结论：①F，A，E三点共线；②四边形为平行四边形；③；④，正确的是（   ） A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可得：，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴F，A，E三点共线；故①符合题意； ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形；故②符合题意； ∴， ∵，即， ∴，故③符合题意； ∵为中点，，， ∴，， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 故选：B 36．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 37．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中， (1)尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②48 【详解】（1）解：如图，点即为所求点； ； （2）①证明：如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ∴，， ， 在与中， ， ； ②解：如图， 的外心在上， ， ， ， 的周长为24， ， ， ， 平行四边形的周长为． 专练五、矩形的判定 38．（2025·河北秦皇岛·一模）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（   ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【答案】C 【详解】解：嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形； 淇淇用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形； 故他俩都能判定这张纸片是矩形； 故选C． 39．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 40．（2025·河北邯郸·二模）在中，点，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按如图的方式操作： ①沿和剪开； ②将绕点逆时针旋转，使点，重合； ③将绕点顺时针旋转，使点，重合； ④得到四边形． 下列条件能使四边形是矩形的条件是（    ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】B 【详解】解：当点不与点，重合时，将绕点逆时针旋转，使点，重合， ∴， ． 同理可得． ∴．且，，，，共线． 点，分别是，的中点， ． 四边形是平行四边形， 当时， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：B． 41．（2025·河北沧州·模拟预测）甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O；乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B的对应点为点D，连接． 对下列两个结论判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等； 结论Ⅱ：在中，若，则四边形为矩形． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对 【答案】C 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴四边形为平行四边形， 判定依据是对角线互相平分； 故结论Ⅰ不正确； ∵在中，， ∴, ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， 故结论Ⅱ是正确的； 故选：C． 专练六、矩形性质的应用 42．（2025·河北邯郸·二模）如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， 对角线互相平分， 即， 是的中线． 故选：B． 43．（2025·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 【答案】C 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 44．（2025·河北沧州·模拟预测）将图1的七巧板拼成火箭图案，并把图案放到图2的矩形中．在矩形中，（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 设图1中正方形边长为，则七巧板中最小直角三角形三边长分别为，，；最大直角三角形三边长分别为，，；平行四边形的边长为，，小正方形的边长为， ∴图2的矩形中，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 45．（2025·河北保定·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：， ∴， ∴点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上， ∴点O与点E不会重合，即点E不可能落在上，故甲对； 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 从点E在点C位置开始，点运动路径的长度为以点A为圆心，分别以为半径的弧长，且与转过的角度相等， ∵， ∴点运动路径的长度比始终为，故乙对； 故选：D． 46．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸  解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 专练七、菱形的判定 47．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， 又∵； ∴， 平行四边形为矩形，选项①正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项②正确； 当为等腰直角三角形时， ∴平行四边形为矩形，但平行四边形不一定是正方形，选项③错误， 则其中正确的是①②． 故选：A． 48．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】证明：连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故选：B． 49．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在四边形中 ，，且是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论，下列判断正确的是（      ） 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】C 【详解】解：如图1，连接， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 如图，连接、，，交于， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 综上所述，甲、乙都正确． 故选：C 50．（2025·河北沧州·模拟预测）发现  如图，如何利用尺规作线段的三等分点？ 操作  尺规作图：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； ②连接，作射线； ③以点D为圆心，的长为半径作弧，交射线于点E； ④连接，与线段相交于点F． （1）请按照以上步骤在上图中完成作图（保留作图痕迹）； 探究（2）在（1）的作图中，可直接判定四边形为菱形的依据是__________（填序号）． ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四条边相等的四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）结合“操作”中的作图，请论证点F是线段AB的三等分点． 【答案】（1）见解析；（2）②；（3）见解析 【详解】（1）解：根据基本作图步骤，作图如下： 则点F即为所求． （2）解：根据四边相等的四边形是菱形， 故答案为：②； （3）证明：， 四边形是菱形， ，， ， 故， 又， ， ，即点F是线段的三等分点． 51．（2025·河北石家庄·二模）老师布置了一项作业：利用所学知识在一张平行四边形纸片ABCD上做出一个菱形． ①嘉嘉的方案： 1．连接； 2．作的垂直平分线，交于点，； 3．连接； 4．四边形即为所作的菱形． ②淇淇的方案： 1．沿过点的直线折叠平行四边形纸片，使点与边上的点重合，交边于点； 2．连接； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 (1)方案设计正确的是___________（写出序号即可）； (2)请选择一种正确的方案进行证明； 【答案】(1)①②(2)见解析 【详解】（1）解：根据题意得方案设计正确的是①②， 故答案为：①②． （2）证明：方案①证明如下： 设交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 方案②证明如下： 由折叠的性质可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 52．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知四边形是平行四边形，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点． (1)当点落在上时（如图2），判断四边形的形状，并证明； (2)当点与点重合时，求的长； (3)当取最大值时，求此时的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解(2)(3) 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图所示，过作，交的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． （3）解：如图所示，由折叠可得， ∵， ， ， ， ， ∴当最短时，最大， ∴当时，最短，有最大值， 由（2）可得与之间的距离为， ∴当时，， 设，则， 由折叠可得， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ． 53．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，，，．作直线l使之与边、射线分别相交于点E、F（注：）．再把四边形沿直线折叠，记点A、B的对应点分别为M、N，记与直线的交点为O． (1)当直线射线时，请根据下面的条件求m的值． ①如图1，若点E和点A重合，点N和点C重合，则： ，平行四边形是 ； ②若，，则 ； (2)当，，射线交于点K，交延长线于点H，且时，求的值． (3)若，且点N落在四边形内部含边界，当与四边形重叠部分的面积在24和30之间时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①8，菱形；②13或15(2) (3) 【详解】（1）解：①当直线射线时， 根据轴对称的性质可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：8，菱形； ②解：如图1，作于点T， 则：在中，，； 又∵直线， ∴，点M、N分别在射线、射线上， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴由折叠性质及已知得：， ∴当点N在边上时，， 当点N在边延长线上时，， 综上，m的值为13或15． 故答案为：13或15． （2）解：如图2，作直线l交于点I， 则：， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵平行四边形中， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴． 又∵点B与点N关于直线l对称，， ∴直线l于点O（即），，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 再由得， ∴，， ∴， ∴在平行四边形中有， ∴， 记与的交点为G， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴． （3）解：如图，过点A作于T，过点E作于R， 则四边形是矩形， ∴， 当点N在四边形的内部（含边界），由对称性知，与四边形重叠部分的面积即为的面积． ①当的面积等于24时，的面积为：， ∴， ∴， ∴， ， ； ②当的面积等于30时，的面积为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 综上，当点N在四边形的内部（含边界）时，若与四边形重叠部分的面积在24和30之间时，则． 专练八、菱形性质的应用 54．（2025·河北唐山·二模）如图，由4个①四边形和4个②菱形可以拼成一个正八边形，再添加4个①四边形又可以拼成一个正方形．在最终拼得的正方形中，（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】过图2中菱形的顶点B作于E，设图3中正八边形的中心点为点O，一边为，连接，过M点作于P， 设正八边形的边长为a，则， 由正八边形的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 则， ∴， 空白部分面积的面积为： ， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为：， ∵由4个①四边形和4个②菱形可以拼成一个正八边形，再添加4个①四边形又可以拼成一个正方形．最终拼得的正方形， ∴在小正方形，小正方形，小正方形，小正方形中，两部分分阴影面积是相等的， 即正八边形外围的阴影面积等于正八边形内围的阴影面积 ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积与空白部分面积之比为 故选：B． 55．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，若正八边形的边长为2，则菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于点， 八边形是正八边形，正八边形的边长为2， ，， 四边形是菱形，四边形、四边形是正方形， ，，， ， 在中，，， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 56．（2025·河北沧州·一模）如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，过A作于M，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴F、G、K共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 57．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为 ； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有 个不同的取值． 【答案】 2 4 【详解】解：（1）∵第一次操作后四边形为菱形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 则x的最小正整数值为； （2）根据题意：对进行第三次操作后，得到四个菱形，共有四种可能结果如图所示： ①， 则； ②， 则； ③， 则； ④， 则； 综上，x有个不同的取值． 专练九、正方形性质和判定 58．（2025·河北邯郸·三模）如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形③的面积为， ∴正方形③的边长为， ∵矩形④的面积为，而长为， ∴矩形④的宽为， ∴正方形②的边长为， 故选：B 59．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕折叠，使得与重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（   ） A．折叠使得与重合，折痕与，交于E，F两点，则四边形为菱形 B．沿过点的直线折叠使得点落在上的点处，则为等边三角形 C．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，折痕与交于点，则四边形为正方形 D．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，则为等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴ 故， ∴， ∴四边形为菱形， 故A选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿过点的直线折叠使得点落在上的点处， ∴， 即， ∴为等边三角形， 故B选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故C选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵折叠， ∴， ∵ ∴是直角三角形， 由于不能得出与之间的关系，故得不出为等腰直角三角形， 故D选项符合题意； 故选：D． 60．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，两个边长为1的正方形，的顶点D，E，F，I，J均在的边上，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 61．（2025·河北唐山·二模）如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转，则点O到直线l的距离为 ； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在，边上，则点A到直线l的距离为 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）如图，连接， 根据题意得，点在上， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为， 故答案为：； （2）如图，连接并延长交直线于点H，连接交于点G， 同理得：共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴点A到直线l的距离为， 故答案为：． 专练十、多边形的切割问题 62．（2024·河北唐山·模拟预测）图1是一组邻边分别为，（），一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， 过点K作于T，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故选：D． 63．（2025·河北唐山·二模）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记①，②，③部分，若①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；若①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，则 ． 【答案】 【详解】解：设正六边形的边长为，根据题意，①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；根据题意，得； 当①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，如图所示， 根据题意，，，， 过点C作于点D，则， 故即， 故， 故答案为：． 【点睛】 64．（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 【答案】（1）10；（2），；（3）见解析；（4）的长为． 【详解】解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； （2），， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； （3）如图，矩形即为所作； （4）连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 65．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 66．（2025·河北邯郸·一模）由边长为6和边长为2的两个正方形组成的纸板如图1所示，点是上的点，将该纸板裁剪后（要求至少有一条裁剪线过点）再拼成一个与它等面积的大正方形纸板． 方案一：如图2，沿虚线剪开将纸板分成三部分，固定③不动，挪动①和②两部分，使①、②与③拼接成一个大正方形． （1）在图2中直接以，为基础，画出这个大正方形，并标注①和②两部分． （2）直接写出的长度． 方案二：（3）如图3，点在上，且，连接得到一条裁剪线，在图中直接画出点及符合条件的纸板上的裁剪线，并求的长． 【答案】方案一（1）见解析（2）方案二：（3）见解析， 【详解】解：（1）画图如图所示，∵由边长为6和边长为2的两个正方形组成的纸板如图1所示，点是上的点，将该纸板裁剪后（要求至少有一条裁剪线过点）再拼成一个与它等面积的大正方形纸板． ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故拼图如下： 故①和②两部分的位置可以调换. （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴． （3）解：点的位置如图2. 根据题意可知， ， . . . ， . . 67．（2025·河北保定·一模）嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析，拼接后图形的周长为20 【详解】解：（1）根据题意得， 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； （3）如图， 拼接后的正方形的边长为， 拼接后图形的周长为． 68．（2025·河北承德·二模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形．若，拼接时应将沿平移 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形．依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为 ，与的位置关系为 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形．请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形．若，，求矩形中较长的边的长． 【答案】操作1：10；操作2：，；操作3：见解析；操作4： ． 【详解】解：操作1：嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； 操作2：，， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； 操作3：如图，矩形即为所作； 操作4：连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 即矩形中较长的边的长为． 专练十一、和四边形有关的最值问题 69．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：∵菱形中，，， ∴， ∴点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值， 如图所示：过点C作，垂足为H， 在中，，， 则，． ∵， ∴， 在中，依据勾股定理可知：， ∴由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 70．（2025·河北保定·一模）菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ， ，，， 由勾股定理得：， ， 是中点， ， ，， ， ， 根据两点之间，线段最短可知此时的周长最小， 的周长的最小值， ， 为等边三角形， 为中点， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 的周长的最小值； 故选：D 71．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，．将菱形绕点旋转任意角度，得到菱形，则点的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，过点C作轴于E， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当点在y轴上时，点的纵坐标有最小值为 故选：A． 72．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 73．（2025·河北邢台·一模）如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（   ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 【答案】C 【详解】解：甲：如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，故甲正确； 乙：如图所示，当落在AD上时，点E和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿AP翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故乙正确； 丙：如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ，故丙错误； 故选：C． 74．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（   ） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点运动的过程中，线段的最小值为4； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：（1）如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）如图所示，当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故（2）正确； （3）如图所示， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ， 的最小值小于4， 故（3）错误； （4）如图所示，连接交于点， 将沿翻折得， 垂直平分， ， 故（4）正确． 综上，正确的有3个， 故选：C． 75．（2025·河北邯郸·二模）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，折痕为， 垂直平分， ， 过点折叠矩形纸片，使点落在上的点， ， ． 为等边三角形． ， 点是的中点，点为中点， 由折叠可知：点和点关于对称， ， 与重合时，的值最小，此时， ， 的最小值是， 故答案为：． 76．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，点D在边上运动（不与点A，C重合），以为边作正方形，使点A在正方形内，连接，则： （1）当时， ； （2）点到直线的距离为 ； （3）面积的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴； 故答案为：； （2）过点F作于G，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离为； 故答案为：； （3）过点E作于H，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是． 故答案为：． 十七、四边形的综合问题 77．（2025·河北石家庄·三模）（1）如图，将一张长方形纸片沿线段折叠．C点对应点落在处，D点对应点落在处，交于G点． ①求证：为等腰三角形； ②若，求重叠部分的面积． （2）另取一张长方形纸片，在边上找一点E并沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在下图中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． （3）长方形纸片时，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析，②（2）见解析，（2）或． 【详解】（1）解：①∵纸片为矩形，则， ， 由折叠的性质知，， 为等腰三角形， ②过点G作于点H，则， 则利用勾股定理：， 则的面积； （2）解：以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E， 作图过程如下： ． （3）当点落在矩形的外部时，过点作于点H，交于点N，则， 由题意得：，， ∵点恰好落在的垂直平分线上， 故， 在中， ，则，则， ∴， ， ， 在中，， 解得：， 则． 当点落在矩形内部时，过点作于点H，交于点N，则， 由题意得：，， ∵点恰好落在的垂直平分线上， 故， 在中， ，则，则， ∴， ， ， 在中，， 解得：， 则． 故答案为或． 78．（2025·河北石家庄·二模）在矩形ABCD中，，点在上，且，点从点出发，沿折线运动，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点．设点运动的路径长为． (1)如图（1），直线与分别交于点M、N，且之间的距离为4，当时，且点落在上时， ①在图（1）上利用尺规作图确定的位置，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②求的值． (2)当点恰好落在上时，如图（2），设点的对应点为与交于点，求的面积． (3)当时，请直接写出到直线的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【详解】（1）解：①如图所示，以点E为圆心，以的长为半径画弧，交于，分别以C，为圆心，以的长为半径画弧，二者交于一点T，连接并延长交于P，连接，则和即为所求； 由折叠的性质可得，垂直平分，而作图中且垂直平分； ②如图所示，过点作于K， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵之间的距离为4， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵且交于G， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即； （2）解：由矩形的性质可得， 由折叠的性质可得，， 同理可得， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形， ∴，，， 设，则，， 由折叠的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 79．（2025·河北邯郸·一模）如图1，在正方形中，，P是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转，得到． (1)已知旋转角为，点P与D点重合（如图2）． ①证明：； ②证明：是等腰三角形； (2)已知旋转角为． ①请用没有刻度的直尺和圆规，在图3上的边上作出一点，使、、三点在一直线上；（不写作法，保留作图痕迹） ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)①图见解析；②或 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形，且点与点重合， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴． ②如图，连接， ∵四边形是正方形，且点与点重合， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）①已证：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：①如图，点即为所求． ②∵四边形是正方形，， ∴，， ∵旋转角为， ∴点一定在上， 由旋转的性质得：，，， 如图，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 则分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当时，是直角三角形， 过点作，交于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， 设，则， ∴， 在中，，即， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴此时； （Ⅱ）如图，当时，是直角三角形， 过点作，交于点， 同理可得：，， 设，则， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴此时； 综上，的长为或． 80．（2025·河北邯郸·一模）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 81．（2025·河北唐山·二模）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． (1)_____；（用含的代数式表示） (2)尺规作图：作的角平分线，交于点； 当、、在同一条直线上时，求的值； (3)发现：在点和点运动过程中，的长是一个定值，请你求出这个定值； (4)如图，取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，直接写出的最小值及此时的值． 【答案】(1)； (2)见解析，； (3)； (4)为，的最小值为． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，则有，然后应该直角三角形的性质可得； （）根据作一个角的平分线方法即可； 由为等边三角形，平分，则，，，根据平行四边形的性质可得，，故，得出，最后求出的值即可； （）作交于，证明是等边三角形，由，，，证明，所以，从而有； （）如图中，连接，则，而，故当，，在一条直线上时，最小，由，，故，所以，，从而求出的最小值为，由折叠知，，，得到，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：尺规作图：如图 如图，当、、在同一直线上时， ∵为等边三角形，平分， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； （3）解：如图中，作交于， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图中，连接， 则，而， ∴当，，在一条直线上时，最小， 即：点在上，（如图） ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴的最小值为， 由折叠知，，， ∴， ∴， ∴， ∴为为时，的值最小，最小值为． 82．（2025·河北保定·三模）如图1，中，，D为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点B落在点E处，交于点F，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． (2)如图2，当时，求的长度． (3)如图3，当D为中点时，直接写出的长度． (4)在（1）的条件下，将的点C在边上滑动到点M，点F随之在边上滑动到点N，点A的对应点为点P，如图4，直接写出点B与点P的最大距离． 【答案】(1)①见解析；②；(2)；(3)；(4)点B与点P的最大距离为．理由见解析． 【详解】（1）①证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； ②解：在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 当时，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：如图1，过点D作于点G， ∵， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度为；理由如下： 如图2，连接，延长交于点Q， ∵D为中点，沿折叠使点B落在点E处， ∴，Q为中点， ∴． 设， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （4）解：点B与点P的最大距离为．理由如下： 由（1）可得，当时，，则， 如图4，作的外接圆，过点O作于点H，过点P作延长线于点G，连接， ∵， ∴四边形是矩形，则， 由（1）②得， ∴． ∵，则， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∵当点B，O，P在同一直线上时，点B与点P的距离最大，最大值为， ∴最大距离为． 83．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1和图2，在菱形中，，，点P从点A出发沿对角线匀速移动，到达点C时停止，连接，将绕点D逆时针旋转得到，使，与交于点E，连接． (1)与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图1，当时，请证明； (3)当时，如图2． ①尺规作图：作出旋转后的线段（保留作图痕迹，不写作法）； ②连接交于点E，求的值； (4)当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)（或相等），（或相等）；(2)见解析(3)①见解析；② (4)或4 【详解】（1）解：∵是菱形， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵，，， ∴和是顶角相等的等腰三角形， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∵在菱形中，，，且， ∴，， 在和中， ， ∴； （3）解：①如图，线段即为所求； ②如图，连接，在菱形中，与互相垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：分以下三种情况讨论： 如图，当时，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当时，延长交于H， 设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； ∵， 当时， ∴的情况不存在． 综上所述，的值等于4或． 84．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，过点A作于点H，Q为的中点．点P从点A出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点H运动，连接，以为边向下构造正方形，设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为______，线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当正方形的对角线所在的直线与直线重合时，求正方形的边长； (3)直接写出正方形边长的最小值，并在备用图中，用尺规作出此时的正方形；（不写作法，保留作图痕迹） (4)当点N在的内部（含边界）时，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)正方形的边长为 (3)正方形边长的最小值为3，图见解析 (4)当正方形的顶点N落在的内部（含边界）时，t的取值范围为 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 点P从点A出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点H运动， 设点P的运动时间为t秒， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）当正方形的对角线所在的直线与直线重合时， 连结交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， 又Q为的中点， ∴， ∴，解得：，， ∴， ∴； （3）当时，最小，此时等于（2）中， 所以最小值是3； 作图：先作出，得到正方形的边，再在的下方截取，然后分别以、为圆心为半径作圆弧，交点就是点，顺次连结得到正方形； （4）当正方形的对角线所在的直线与直线重合时，点恰好在的边，此时由（2）可得，解得：； 点继续向下运动直到点在上时停止， 此时， 过点作，由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴当正方形的顶点N落在的内部（含边界）时，t的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求解． 试卷第2页，共138页 2 / 119 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 四边形 考点一、多边形的性质 1．（2022·河北·中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 2．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 考点二、平行四边形的性质和判定 3．（2022·河北·中考真题）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B．C． D． 4．（2023·河北·中考真题）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取；    （3）连接，，则四边形即为所求．    在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2021·河北·中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 考点三、矩形的性质和判定 7．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 考点四、菱形性质的应用 10．（2023·河北·中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 考点五、正方形的性质和判定 11．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 12．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 专练一、多边形有关性质的应用 13．（2025·河北唐山·二模）五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（   ） A．增加了 B．增加了 C．减少了 D．始终为 14．（2025·河北邯郸·二模）如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点K，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·河北沧州·二模）如图，正六边形中，是其对角线，点P是边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点P作，交延长线于点M． 结论：一定是正三角形 琪琪 操作：过点P作，分别交、于点Q、N． 结论：的长度不变 则对于这两个结论（   ） A．嘉嘉和琪琪均错误 B．嘉嘉和琪琪均正确 C．嘉嘉正确，琪琪错误 D．嘉嘉错误，琪琪正确 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 17．（2025·河北邢台·二模）如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北石家庄·三模）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则 °． 19．（2025·河北廊坊·一模）学校有一块四边形试验田，分割成，两块，由图可知， ． 20．（2025·河北沧州·模拟预测）将三个正六边形按如图所示摆放，若两个全等的小正六边形的边长都是2，则大正六边形的边长是 21．（2025·河北邯郸·一模）用n个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为，内圈的夹角均为．若x，y均为正整数，且，则所有符合条件的的值为 ． 22．（2025·河北邢台·三模）如图，某正多边形花坛的边沿被树冠挡住了大部分，为其中一边，点为两条邻边延长线的交点，测得，． （1）该正多边形的边数为 ； （2）该正多边形的面积为 ． 专练二、平行四边形的判定 23．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 24．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 25．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（2025·河北邯郸·模拟预测）综合实践课上，嘉嘉画出，通过折叠的方法找一点D，使得四边形为平行四边形，图1~图3是其操作过程． （1）折叠使得点A与点C重合，折痕与相交于点O （2）沿折叠，得到直线，点E是延长线上一点 （3）沿过点O的直线再次折叠，使点B的对应点D落在上，连接， 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 27．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 专练三、三角形中位线的性质 28．（2025·河北邯郸·三模）如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 29．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点B是线段上的点，且满足，．将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取线段的中点D，则点A与点D的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（2025·河北沧州·模拟预测）已知直线和直线外一点．求作：直线．使得．对于甲、乙两位同学尺规作图的过程，下列判断正确的是　　 甲同学：如图， ①在上取不重合的，两点，作射线； ②在射线上截取，作射线； ③在射线上截取； ④作直线，直线就是所求作的直线． 乙同学：如图， ①在上取点（点在点的左下方），作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧，分别交和线段的延长线于点，，连接； ③作的平分线，直线就是所求作的直线． A．甲、乙同学的都正确 B．甲、乙同学的都不正确 C．只有甲同学的正确 D．只有乙同学的正确 专练四、平行四边形的性质 31．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，且．若点是象限内的一点，则使得以，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 33．（2025·河北邢台·三模）如图，平行四边形的对角线交于点，点分别在的四条边上（不与顶点重合）．如下方案中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．使 B．使，均经过点 C．使经过点，且 D．点分别为各自所在边的中点 34．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，平分交的延长线于点E，与交于点F．已知，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 35．（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，为中点，分别以点、点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，交于点，连接DE，DF．则以下4个结论：①F，A，E三点共线；②四边形为平行四边形；③；④，正确的是（   ） A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 36．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ． 37．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中， (1)尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． ； 专练五、矩形的判定 38．（2025·河北秦皇岛·一模）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（   ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 39．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 40．（2025·河北邯郸·二模）在中，点，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按如图的方式操作： ①沿和剪开； ②将绕点逆时针旋转，使点，重合； ③将绕点顺时针旋转，使点，重合； ④得到四边形． 下列条件能使四边形是矩形的条件是（    ） A．平分 B． C．平分 D． 41．（2025·河北沧州·模拟预测）甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O；乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B的对应点为点D，连接． 对下列两个结论判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等； 结论Ⅱ：在中，若，则四边形为矩形． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对 专练六、矩形性质的应用 42．（2025·河北邯郸·二模）如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 43．（2025·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 44．（2025·河北沧州·模拟预测）将图1的七巧板拼成火箭图案，并把图案放到图2的矩形中．在矩形中，（   ） A． B．1 C． D． 45．（2025·河北保定·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 46．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 专练七、菱形的判定 47．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 48．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 49．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在四边形中 ，，且是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论，下列判断正确的是（      ） 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 50．（2025·河北沧州·模拟预测）发现  如图，如何利用尺规作线段的三等分点？ 操作  尺规作图：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； ②连接，作射线； ③以点D为圆心，的长为半径作弧，交射线于点E； ④连接，与线段相交于点F． （1）请按照以上步骤在上图中完成作图（保留作图痕迹）； 探究（2）在（1）的作图中，可直接判定四边形为菱形的依据是__________（填序号）． ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四条边相等的四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）结合“操作”中的作图，请论证点F是线段AB的三等分点． 51．（2025·河北石家庄·二模）老师布置了一项作业：利用所学知识在一张平行四边形纸片ABCD上做出一个菱形． ①嘉嘉的方案： 1．连接； 2．作的垂直平分线，交于点，； 3．连接； 4．四边形即为所作的菱形． ②淇淇的方案： 1．沿过点的直线折叠平行四边形纸片，使点与边上的点重合，交边于点； 2．连接； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 (1)方案设计正确的是___________（写出序号即可）； (2)请选择一种正确的方案进行证明； 52．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知四边形是平行四边形，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点． (1)当点落在上时（如图2），判断四边形的形状，并证明； (2)当点与点重合时，求的长； (3)当取最大值时，求此时的长． 53．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，，，．作直线l使之与边、射线分别相交于点E、F（注：）．再把四边形沿直线折叠，记点A、B的对应点分别为M、N，记与直线的交点为O． (1)当直线射线时，请根据下面的条件求m的值． ①如图1，若点E和点A重合，点N和点C重合，则： ，平行四边形是 ； ②若，，则 ； (2)当，，射线交于点K，交延长线于点H，且时，求的值． (3)若，且点N落在四边形内部含边界，当与四边形重叠部分的面积在24和30之间时，直接写出的取值范围． 专练八、菱形性质的应用 54．（2025·河北唐山·二模）如图，由4个①四边形和4个②菱形可以拼成一个正八边形，再添加4个①四边形又可以拼成一个正方形．在最终拼得的正方形中，（    ） A．1 B． C． D．2 55．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，若正八边形的边长为2，则菱形的面积为 ． 56．（2025·河北沧州·一模）如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是 ． 57．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为 ； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有 个不同的取值． 专练九、正方形性质和判定 58．（2025·河北邯郸·三模）如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为（   ） A． B． C． D． 59．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕折叠，使得与重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（   ） A．折叠使得与重合，折痕与，交于E，F两点，则四边形为菱形 B．沿过点的直线折叠使得点落在上的点处，则为等边三角形 C．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，折痕与交于点，则四边形为正方形 D．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，则为等腰直角三角形 60．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，两个边长为1的正方形，的顶点D，E，F，I，J均在的边上，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 61．（2025·河北唐山·二模）如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转，则点O到直线l的距离为 ； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在，边上，则点A到直线l的距离为 ． 专练十、多边形的切割问题 62．（2024·河北唐山·模拟预测）图1是一组邻边分别为，（），一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 63．（2025·河北唐山·二模）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记①，②，③部分，若①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；若①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，则 ． 64．（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 65．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 66．（2025·河北邯郸·一模）由边长为6和边长为2的两个正方形组成的纸板如图1所示，点是上的点，将该纸板裁剪后（要求至少有一条裁剪线过点）再拼成一个与它等面积的大正方形纸板． 方案一：如图2，沿虚线剪开将纸板分成三部分，固定③不动，挪动①和②两部分，使①、②与③拼接成一个大正方形． （1）在图2中直接以，为基础，画出这个大正方形，并标注①和②两部分． （2）直接写出的长度． 方案二：（3）如图3，点在上，且，连接得到一条裁剪线，在图中直接画出点及符合条件的纸板上的裁剪线，并求的长． 67．（2025·河北保定·一模）嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 68．（2025·河北承德·二模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形．若，拼接时应将沿平移 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形．依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为 ，与的位置关系为 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形．请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形．若，，求矩形中较长的边的长． 专练十一、和四边形有关的最值问题 69．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 70．（2025·河北保定·一模）菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 71．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，．将菱形绕点旋转任意角度，得到菱形，则点的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 72．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 73．（2025·河北邢台·一模）如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（   ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 74．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（   ） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点运动的过程中，线段的最小值为4； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 75．（2025·河北邯郸·二模）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ． 76．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，点D在边上运动（不与点A，C重合），以为边作正方形，使点A在正方形内，连接，则： （1）当时， ； （2）点到直线的距离为 ； （3）面积的最大值是 ． 十七、四边形的综合问题 77．（2025·河北石家庄·三模）（1）如图，将一张长方形纸片沿线段折叠．C点对应点落在处，D点对应点落在处，交于G点． ①求证：为等腰三角形； ②若，求重叠部分的面积． （2）另取一张长方形纸片，在边上找一点E并沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在下图中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． （3）长方形纸片时，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长． 78．（2025·河北石家庄·二模）在矩形ABCD中，，点在上，且，点从点出发，沿折线运动，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点．设点运动的路径长为． (1)如图（1），直线与分别交于点M、N，且之间的距离为4，当时，且点落在上时， ①在图（1）上利用尺规作图确定的位置，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②求的值． (2)当点恰好落在上时，如图（2），设点的对应点为与交于点，求的面积． (3)当时，请直接写出到直线的距离（用含的式子表示）． 79．（2025·河北邯郸·一模）如图1，在正方形中，，P是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转，得到． (1)已知旋转角为，点P与D点重合（如图2）． ①证明：； ②证明：是等腰三角形； (2)已知旋转角为． ①请用没有刻度的直尺和圆规，在图3上的边上作出一点，使、、三点在一直线上；（不写作法，保留作图痕迹） ②当是直角三角形时，求的长． 80．（2025·河北邯郸·一模）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 81．（2025·河北唐山·二模）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． (1)_____；（用含的代数式表示） (2)尺规作图：作的角平分线，交于点； 当、、在同一条直线上时，求的值； (3)发现：在点和点运动过程中，的长是一个定值，请你求出这个定值； (4)如图，取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，直接写出的最小值及此时的值． 82．（2025·河北保定·三模）如图1，中，，D为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点B落在点E处，交于点F，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． (2)如图2，当时，求的长度． (3)如图3，当D为中点时，直接写出的长度． (4)在（1）的条件下，将的点C在边上滑动到点M，点F随之在边上滑动到点N，点A的对应点为点P，如图4，直接写出点B与点P的最大距离． 83．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1和图2，在菱形中，，，点P从点A出发沿对角线匀速移动，到达点C时停止，连接，将绕点D逆时针旋转得到，使，与交于点E，连接． (1)与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图1，当时，请证明； (3)当时，如图2． ①尺规作图：作出旋转后的线段（保留作图痕迹，不写作法）； ②连接交于点E，求的值； (4)当为直角三角形时，直接写出的长． 84．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，过点A作于点H，Q为的中点．点P从点A出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点H运动，连接，以为边向下构造正方形，设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为______，线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当正方形的对角线所在的直线与直线重合时，求正方形的边长； (3)直接写出正方形边长的最小值，并在备用图中，用尺规作出此时的正方形；（不写作法，保留作图痕迹） (4)当点N在的内部（含边界）时，求t的取值范围． 试卷第2页，共138页 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$