河北省填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦河北中考填空压轴，以名校模拟题为载体，系统整合代数推理、几何建模与规律探究方法，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|5题|分类讨论（数据与方程）、参数思想（整点平移）|从数与式到函数应用的递进，强调运算能力与模型意识| |几何综合|12题|对称转化（最短路径）、辅助线构造（阴影面积）|平面图形性质→动态几何→实际应用，培养空间观念与直观想象| |规律探究|8题|归纳推理（数列与图形）、类比迁移（旋转路径）|从特殊到一般的认知过程，发展创新意识与推理能力|

河北省填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题 一．填空题（共25小题） 1．（2026•枣强县一模）已知一组数据2，3，x，5，7的平均数和中位数相等（x为正整数），则x的值为　 　 ． 2．（2026•枣强县一模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝BD＝2，连接OA，OB，AB，则△AOB的面积为　 　 ． 3．（2026•枣强县一模）如图1是由大小相同的正六边形拼接而成的，第一层有1个正六边形，第二层有6个，第三层有12个，第四层有18个． （1）按照这个规律拼接下去第n（n≥2）层有　 　 个正六边形； （2）图2是图1中相邻的两个正六边形，连接顶点AB，若正六边形的边长为8，则AB的长为　 　 ． 4．（2026•宽城县一模）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为8，则表高（即AC的长）为　 　 ． （参考数据：） 5．（2026•张家口模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，分别以点B、C为圆心、BC的长为半径画弧，交BA、CA的延长线于点D、E．则图中阴影部分的面积为　 　 ． 6．（2026•张家口模拟）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点P（x，y）满足x+y＝6，连续平移6次后恰好落在直线y＝x﹣6上，则点P平移前的横坐标为　 　 ． 7．（2026•邯郸模拟）如图，某社区快递员从配送站A（4，5）出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点B（6，1）．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为　 　 ． 8．（2026•定州市一模）清代数学家罗士琳（1789﹣1853）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若n是大于1的奇数，则是一组勾股数． Ⅱ．若n是大于2的偶数，则是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是n，最大的数是；在Ⅱ中，若n＞4，则最小的数是n，最大的数是． 若一组勾股数中，最小的数是m，最大数是25；另一组勾股数中，最小的数是m+1，则最大数是　 　 ． 9．（2026•石家庄校级一模）在平面直角坐标系中，▱ABCD的位置如图所示，点B、C在x轴上，点D在y轴上，反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象经过点A，若点也在反比例函数的图象上，则▱ABCD的面积为　 　 ． 10．（2026•石家庄一模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点P，Q，R为正六边形边上任意三点，且PQ∥ED，当PQ＝　 　 时，△PQR的面积最大． 11．（2026•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯，都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，⋯，均在直线上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯的面积分别为S1，S2，S3，⋯，依据图形所反映的规律，S2026＝　 　 ． 12．（2026•定州市一模）如图，正五边形和正n边形的两条邻边相交，若α+β＝117°，则n的值是　 　 ． 13．（2026•沧州二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地，甲：A→C→B，路程记为S甲，乙：A→G→H→B，路程记为S乙，则S甲　 　 S乙（填“＞”“＜”或“＝”）． 14．（2026•邯郸校级模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（8，0），B（0，8），C为⊙B上一点，BC＝4，M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为　 　 ． 15．（2026•邯郸校级模拟）某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为　 　 cm． 16．（2026•沧州模拟）综合实践课上，嘉淇用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形木框，此时测得∠ABC＝60°，顶点A与C的距离为4．现固定木条BC，将木条AB绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到正方形ABCD，如图2，则菱形ABCD的对角线交点O在旋转过程中所移动的路径长为　 　 （结果保留π）． 17．（2026•沧州模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，且AD⊥BC，垂足为点D，则tan∠BAD＝　 　 ． 18．（2026•沧州二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，6），B（m，1）是直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线的交点．现将线段AB及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为　 　 个． 19．（2026•沧州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 　 　 ． 20．（2026•河北模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，连接AC，BC．点I为△ABC的内心，且，则半圆O的半径为　 　 ． 21．（2026•河北模拟）数轴上的点M，N表示的数分别是3x﹣8，7﹣6x，且点M位于点N的左侧，则满足条件的x的最大整数值是　 　 ． 22．（2026•石家庄校级一模）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F，AB＝8，BC＝6，则EF的长为　 　 ． 23．（2026•丛台区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3…． （1）S1＝　 　 ； （2）按此规律，则S2026＝　 　 ． 24．（2026•新华区一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交BC于点M．测得AB＝4，BM＝2，螺纹孔的直径为　 　 ． 25．（2026•新华区一模）如图，点I为∠A和∠C角平分线的交点，AB＝4，AC＝3，BC＝2．过I作DE∥AB分别交AC，BC于点D，E．则△CDE的周长为　 　 ． 河北省填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题 参考答案与试题解析 一．填空题（共25小题） 1．（2026•枣强县一模）已知一组数据2，3，x，5，7的平均数和中位数相等（x为正整数），则x的值为　8　 ． 【解答】解：数据2，3，x，5，7的平均数为：， ①当x≤3时，数据排序为：x，2，3，5，7或2，x，3，5，7， ∴中位数为3， ∴3， 解得x＝﹣2， ∵x为正整数， ∴x＝﹣2不合题意； ②当3＜x＜5时， ∵x为正整数， ∴x＝4， ∴数据排序为：2，3，4，5，7， ∴中位数为4， ∴4， 解得x＝3与x＝4矛盾，舍去； ③当x≥5时，数据排序为：2，3，5，x，7或2，3，5，7，x， ∴中位数为5， ∴5， 解得x＝8，符合条件． 综上所述，x＝8． 故答案为：8． 2．（2026•枣强县一模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝BD＝2，连接OA，OB，AB，则△AOB的面积为　　 ． 【解答】解：延长CA，DB交于点E，点A（2，3），点B（3，2）， ∴点E（3，3）， ∴S正方形OCED＝3×3＝9， ∵点A，B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D， ∴，，S△AEB， ∴S△AOB＝S正方形OCED﹣S△AOC﹣S△OBD﹣S△AEB＝9﹣3﹣3． 故答案为：． 3．（2026•枣强县一模）如图1是由大小相同的正六边形拼接而成的，第一层有1个正六边形，第二层有6个，第三层有12个，第四层有18个． （1）按照这个规律拼接下去第n（n≥2）层有　（6n﹣6）　 个正六边形； （2）图2是图1中相邻的两个正六边形，连接顶点AB，若正六边形的边长为8，则AB的长为　8　 ． 【解答】解：（1）第1层：1个正六边形 第2层：6个正六边形，即6×1＝6， 第3层：12个正六边形，即6×2＝6， 第4层：18个正六边形，即6×3＝6， … ∴第n层：6×（n﹣1）＝（6n﹣6）个正六边形（n≥2）， 故答案为：（6n﹣6）； （2）如图，连接AC，AE，过点B作 BD⊥AC交AC的延长线于点D， 由正六边形的性质可知，AF＝FC＝CE＝8，∠F＝∠ECF120°， ∴∠ACF30°， ∴∠ACE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△ACE中，∠AEC120°＝60°，EC＝8， ∴ACEC＝8， ∵∠ACB＝120°+30°＝150°， ∴∠BCD＝180°﹣150°＝30°， 在 Rt△BCD 中，BC＝8，∠BCD＝30°， ∴BDBC＝4，CDBC＝4， ∴AD＝AC+CD＝812， 在Rt△ABD中，，BD＝4， ∴． 故答案为：8． 4．（2026•宽城县一模）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为8，则表高（即AC的长）为　　 ． （参考数据：） 【解答】解：在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，设AC＝x， 则； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°， ∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∵BD＝BC﹣CD＝8， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（2026•张家口模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，分别以点B、C为圆心、BC的长为半径画弧，交BA、CA的延长线于点D、E．则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，如图， 又∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣120°）＝30°，BF＝CFBC， ∵AB＝2， ∴． ∴． ∴， ∴，S扇形BCD＝S扇形BCEπ， ∴， 故答案为：2π﹣2． 6．（2026•张家口模拟）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点P（x，y）满足x+y＝6，连续平移6次后恰好落在直线y＝x﹣6上，则点P平移前的横坐标为　8　 ． 【解答】解：记第n次平移后点的坐标为（xn，yn），sn为横纵坐标之和， 则x0＝x，y0＝y，s0＝x0+y0＝6， ∴s0÷5余数为1， 根据平移规则依次推导6次平移后点的坐标表达式可知： ∴第1次向右平移1个单位， ∴x1＝x+1，y1＝y； ∴s1＝x1+y1＝7，s1÷5余数为2， ∴第2次向上平移1个单位， ∴x2＝x+1，y2＝y+1； ∴s2＝x2+y2＝8，s2÷5余数为3， ∴第3次向左平移1个单位， ∴x3＝x，y3＝y+1； ∴s3＝x3+y3＝7，s3÷5余数为2， ∴第4次向上平移1个单位， ∴x4＝x，y4＝y+2； ∴s4＝x4+y4＝8，s4÷5余数为3， ∴第5次向左平移1个单位， ∴x5＝x﹣1，y5＝y+2； ∴s5＝x5+y5＝7，s5÷5余数为2， ∴第6次向上平移1个单位， ∴x6＝x﹣1，y6＝y+3， 由条件可知满足y6＝x6﹣6， ∴代入得：y+3＝（x﹣1）﹣6， x﹣y＝10， 联立得， 解得x＝8． 故答案为：8． 7．（2026•邯郸模拟）如图，某社区快递员从配送站A（4，5）出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点B（6，1）．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为　12　 ． 【解答】解：作点A（4，5）关于y轴的对称点G，将点B（6，1）向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点E关于x轴的对称点F，连接GF，QE，BE，分别交y、x轴于点P、Q，如图， 即有QR＝2，G（﹣4，5），E（4，1）， ∴F（4，﹣1）， ∴， 根据平移有：BE＝2，BE∥x轴， 又∵QR＝2， ∴QR＝BE，即四边形BEQR是平行四边形， ∴BR＝EQ， 根据轴对称的性质有：EQ＝FQ，PG＝PA， 根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短， 且为：AP+PQ+QR+RB＝GP+PQ+2+QF＝GF+2＝12． 故答案为：12． 8．（2026•定州市一模）清代数学家罗士琳（1789﹣1853）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若n是大于1的奇数，则是一组勾股数． Ⅱ．若n是大于2的偶数，则是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是n，最大的数是；在Ⅱ中，若n＞4，则最小的数是n，最大的数是． 若一组勾股数中，最小的数是m，最大数是25；另一组勾股数中，最小的数是m+1，则最大数是　17　 ． 【解答】解：根据题意分三类讨论如下： ①当m为大于1的奇数时，根据题意第一组勾股数中，最大的数为， ∴， 解得m＝7（负值舍去）， ∵m+1＝8＞4， ∴在第二组勾股数中，最大的数为； ②当m＝4时，第一组勾股数为4，3，5， 最大的数为5，与题干最大的数为25矛盾，故舍去； ③当m为大于4的偶数时，根据题意最大的数为， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，第二组勾股数中最大的数为17． 故答案为：17． 9．（2026•石家庄校级一模）在平面直角坐标系中，▱ABCD的位置如图所示，点B、C在x轴上，点D在y轴上，反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象经过点A，若点也在反比例函数的图象上，则▱ABCD的面积为　3　 ． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E， 由条件可知AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠DCO， 又∵∠AEB＝∠DOC＝90°， ∴△ABE≌△DCO（AAS）， ∴S△ABE＝S△DCO， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴▱ABCD的面积＝S四边形ABOD+S△OCD＝S四边形ABOD+S△ABE＝S矩形AEOD＝|k|＝3． 故答案为：3． 10．（2026•石家庄一模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点P，Q，R为正六边形边上任意三点，且PQ∥ED，当PQ＝　9　 时，△PQR的面积最大． 【解答】解：如图，过点R作RH⊥PQ于H，交ED于点G，过E作EM⊥PQ于M，连接DB交PQ于点N，过点C作CW⊥DB于点W， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴，AB＝CB＝6，ED∥BA， ∵CB＝CD， ∴， 同理可得，∠PEM＝30°， ∴∠EDN＝∠EDC﹣∠CDB＝90°， ∵PQ∥ED， ∴∠DNQ＝∠EDN＝90°， ∵CB＝6， ∴， ∴， ∴， 设RH＝x， ∵PQ∥ED，ED∥BA， ∴PQ∥ED∥BA， ∵RH⊥PQ，EM⊥PQ，DN⊥PQ， ∴EM∥GH∥DN， ∴四边形RBNH为矩形， ∴BN＝RH， 同理可得，，DE＝MN， 又∵∠PME＝∠QND＝90°，∠PEM＝∠QDN， ∴△PME≌△QND（AAS）， ∴NQ＝PM＝tan30°×DN， ∴PE＝DQ＝2PM＝2（6x）＝12x， ∴PQ＝2PM+MN， ∴ ， 当时，； PQ9， 即：当P，Q分别在EF，DC的中点时，S△PQR最大， 故答案为：9． 11．（2026•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯，都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，⋯，均在直线上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯的面积分别为S1，S2，S3，⋯，依据图形所反映的规律，S2026＝　　 ． 【解答】解：如图，分别过点P1，P2，P3作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，E， 由条件可知OC＝CA1＝PC1＝3， 设A1D＝a，则P2D＝a，OD＝6+a， ∴P2（6+a，a）， 将P2的坐标代入得：， 解得：， ∴A1A2＝2a＝3，， 同理可得：，， ∴，，， …， ∴． 故答案为：． 12．（2026•定州市一模）如图，正五边形和正n边形的两条邻边相交，若α+β＝117°，则n的值是　8　 ． 【解答】解：如图， 由题意可得：， ∵∠BAD＝α，∠BCD＝β， 又∵α+β＝117°， ∴∠BAD+∠BCD＝117°， ∴∠B＝360°﹣∠BAD﹣∠BCD﹣∠D＝135°， ∴， 解得n＝8． 故答案为：8． 13．（2026•沧州二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地，甲：A→C→B，路程记为S甲，乙：A→G→H→B，路程记为S乙，则S甲　＞　 S乙（填“＞”“＜”或“＝”）． 【解答】解：设AB的长度为a， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC（等边三角形的性质）， ∴S甲＝BC+AC＝2a， 延长AG、BH，交于点I， 同理可证明△ABI是等边三角形， ∴AI＝BI＝AB＝a， ∵S乙＝AG+GH+HB，GI+HI＞GH， ∴S乙＜AG+GI+HI+HB＝AI+BI＝2a， 即S甲＞S乙， 故答案为：＞． 14．（2026•邯郸校级模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（8，0），B（0，8），C为⊙B上一点，BC＝4，M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为　　 ． 【解答】解：点A，B的坐标分别为A（8，0），B（0，8），C为⊙B上一点，BC＝4，M为线段AC的中点， ∵A（8，0），B（0，8）， ∴OA＝OB＝8， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝4， ∴C在⊙B上，且半径为4， 如图，在x轴上取OD＝OA＝8，连接CD， ∵M为线段AC的中点，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴， 当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段DB上时，OM最小， ∵OB＝OD＝8，∠BOD＝90°， ∴， ∴， ∴， 即OM的最小值为． 故答案为：． 15．（2026•邯郸校级模拟）某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为　　 cm． 【解答】解：如图，连接BD， 根据题意，△BEF，△ABE，△DEF，△CBF是等边三角形，边长都为8cm， ∴四边形BFDE是菱形， ∴∠ADB＝∠CDB＝30°，BD⊥EF， ∵EF∥AC， ∴BD⊥AC，即“纸牌承重桌”的高度为BD的长度， ∴． 故答案为：8． 16．（2026•沧州模拟）综合实践课上，嘉淇用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形木框，此时测得∠ABC＝60°，顶点A与C的距离为4．现固定木条BC，将木条AB绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到正方形ABCD，如图2，则菱形ABCD的对角线交点O在旋转过程中所移动的路径长为　　 （结果保留π）． 【解答】解：如图1，连接AC，BD，交点为点O，取BC的中点E，连接OE， 由题可知，AC＝4，四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC，OA＝OC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝4， ∵OA＝OC，E是BC的中点， ∴， ∵将木条AB绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到正方形ABCD， ∴α＝90°﹣60°＝30°，即点O绕点E旋转30°， 则点O在旋转过程中所移动的路径长为． 故答案为：． 17．（2026•沧州模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，且AD⊥BC，垂足为点D，则tan∠BAD＝　　 ． 【解答】解：如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，AD⊥BC，垂足为D， ， ∵AD⊥BC，AB⊥CE， ∴∠ADB＝∠BEC， 又∠ABD＝∠EBC， ∴△ABD∽△CBE， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2026•沧州二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，6），B（m，1）是直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线的交点．现将线段AB及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为　3　 个． 【解答】解：由条件可知k＝1×6＝6， ∴反比例函数的解析式为； 把B（m，1）代入得， ∴m＝6， ∴B（6，1）， 把A（1，6），B（6，1）代入y＝ax+b（a≠0）得： ， 解得， ∴y＝﹣x+7； ∴图形G是双曲线上方与直线y＝﹣x+7下方之间的部分，且1＜x＜6； 所以，当x＝2时，，﹣2+7＝5， ∴y＝4， ∴点（2，4）是图形G内的整数点； 同理可得，当x＝3时的整数点是（3，3）； 当x＝4时的整数点是（4，2）； 当x＝5时，无整数点； 综上，符合条件的整数点共有3个， 故答案为：3． 19．（2026•沧州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 　45°　 ． 【解答】解：如图，连接OC、OD、OE、OQ， ∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠COD＝∠DOE60°， ∵点Q是的中点， ∴∠DOQ＝∠EOQ∠DOE＝30°， ∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝60°+30°＝90°， ∴∠CPQ∠COQ＝45°． 故答案为：45°． 20．（2026•河北模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，连接AC，BC．点I为△ABC的内心，且，则半圆O的半径为　　 ． 【解答】解：过IIE⊥BC于E，IF⊥AC于F，作IH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴四边形IECF是矩形， ∵I是△ABC的内心， ∴IF＝IH＝IE， ∴四边形IECF是正方形， ∵∠IOB＝45°， ∴△IOH是等腰直角三角形， ∴OH＝IH1， ∴CE＝IE＝IH＝1， ∴Rt△BHI≌Rt△BEI（HL）， ∴BE＝BH， ∴BC＝OB， ∴， ∴∠A＝30°， ∴∠IBE∠ABC60°＝30°， ∴BEIE， ∴， ∴． 21．（2026•河北模拟）数轴上的点M，N表示的数分别是3x﹣8，7﹣6x，且点M位于点N的左侧，则满足条件的x的最大整数值是　1　 ． 【解答】解：∵数轴上的点M，N表示的数分别是3x﹣8，7﹣6x，且点M位于点N的左侧， ∴点M表示的数小于点N表示的数， ∴列不等式为：3x﹣8＜7﹣6x， ∴9x＜15， 解得：， 则满足条件的x的最大整数值是1． 故答案为：1． 22．（2026•石家庄校级一模）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F，AB＝8，BC＝6，则EF的长为　1　 ． 【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB8＝4， ∴∠BFD＝∠ABF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBD， ∴∠FBD＝∠BFD， ∴DF＝DB， ∵DB＝DC，DFBC6＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝1． 故答案为：1． 23．（2026•丛台区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3…． （1）S1＝　　 ； （2）按此规律，则S2026＝　22022π　 ． 【解答】解：（1）OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3…．则： ， ∴， （2）∵OA1⊥A1A2，∠A1OA2＝90°﹣∠AOA1＝45°，OA1＝1， ∴， ∵∠A2OA3＝45°， ∴， 同理，，∠A4OA5＝45°， ∴， ，， ⋯， ∴， ∴， 故答案为：①；②22022π． 24．（2026•新华区一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交BC于点M．测得AB＝4，BM＝2，螺纹孔的直径为　　 ． 【解答】解：如图，过点M作MP⊥AB交AB的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接OA，OM，OB，OQ，则OQ⊥AM， ∵正多边形ABCDEF为正六边形， ∴，，OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形，∠MBP＝60°， ∴OB＝OA＝AB＝4，， ∴AP＝AB+BP＝5，， ∴， ∵OQ2＝OA2﹣AQ2，OQ2＝OM2﹣MQ2， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 故答案为：． 25．（2026•新华区一模）如图，点I为∠A和∠C角平分线的交点，AB＝4，AC＝3，BC＝2．过I作DE∥AB分别交AC，BC于点D，E．则△CDE的周长为　5　 ． 【解答】解：连接AI，BI，如图， ∵AI平分∠CAB，BI平分∠CBA， ∴∠CAI＝∠BAI，∠CBI＝∠ABI， 又∵DE∥AB， ∴∠DIA＝∠BAI，∠EIB＝∠ABI， ∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB， ∴AD＝DI，BE＝EI， ∴△CDE的周长为：CD+DE+CE＝CD+DI+IE+CE＝CD+AD+BE+CE＝CA+CB＝5， 故答案为：5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $