精品解析：吉林省长春市榆树市八号镇中学等校2026年中考模拟数学试题（二）

2026年中考模拟数学试题（二） 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的算术平方根为． 2. 今年三月，我国在“十五五”规划纲要中指出，未来五年，铁路建设紧扣国家发展大局，聚焦“八纵八横”高铁主通道贯通与西部战略通道补强．到2030年，全国铁路营业里程达到公里左右，其中高铁公里左右．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，满足，为整数，只需按要求确定和的值即可． 【详解】解：将的小数点向左移动位可得到符合要求的， ∴， ∴． 3. 函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，， 故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，， 故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ， 故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 4. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：解不等式得：， 在数轴上表示为 5. 若是关于的方程组的解，则的值为（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程组的解的定义，已知解满足方程组的所有方程，因此将解代入方程，依次求出和的值，再计算即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 将代入，得， 整理，得， 解得， 则． 6. 如图，在中，，，是的中线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据中线的定义得到，，根据勾股定理逆定理得到，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意得米，，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：A． 8. 已知：在平面直角坐标系中如图放置，且，现另有一点D，满足以A，B，D为顶点的三角形与全等，则D点坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在图形中画出点D的可能位置，结合直角坐标系，可得点D的坐标． 【详解】解：如图所示，满足题意的点D的坐标可以为，，，不可以为． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 10. 现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为__________． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了两点之间，线段最短． 直接根据两点之间，线段最短作答即可． 【详解】解：现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为两点之间，线段最短. 故答案为：两点之间，线段最短． 11. 如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理可得， 即，解得， 的面积为：． 12. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形面积比为相似比的平方即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：． 13. 有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是______ 【答案】2或14 【解析】 【分析】本题考查了线段中点及“折中点”的概念，解题的关键是理解折中点的定义，分情况讨论点D的位置（在或上），再结合线段长度关系列方程求解．由E是中点及，得；分D在上和上两种情况，根据“折中点分折线为等长两部分”列方程，求的长． 【详解】∵E是的中点，且， ∴． 分析折中点D的位置（分两种情况）： 折线的总长度为，折中点D需满足“从A到D的折线长等于总长度的一半”． 情况1：D在上， 此时为从A到D的折线长，且． 由折中点定义：，即，解得． 情况2：D在上， 此时从A到D的折线长为． 由折中点定义：，即，解得． 故答案为：2或14． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，反比例函数的图像经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论：①反比例函数的关系式为；②点C的坐标是；③；④，其中正确的结论有_________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】如图：过点B作轴于点F，利用菱形的面积公式求出，得到，从而得到，即可判断A选项；利用菱形的性质，可判断B选项；利用锐角三角函数判断C选项；利用勾股定理可判断D选项． 【详解】解：如图：过点B作轴于点F， ∵点A的坐标为， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ∴， ∴点D的坐标为，即， ∵反比例函数的图像经过点D， ， ∴双曲线的解析式为，①结论正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点C的纵坐标与点B相同为8，横坐标为， ∴点C的坐标是，②结论正确； ∵四边形是菱形， ∴， ， ，③结论正确； ，， ， ， ， ，④结论错误． 综上，正确的结论有①②③个． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式， 当时，原式． 16. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． （1）估计箱子里白色小球的个数为 个； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后不放回箱子里，然后再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出随机摸出一个小球是红色的概率，再利用概率公式建立方程，解方程即可； （2）先画出树状图，则可得两次摸出的小球颜色的所有等可能的结果，再找出两次摸出的小球颜色恰好不同的结果，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵随机摸出一个小球，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右， ∴随机摸出一个小球是红色的概率为， 设箱子里白色小球的个数为个， 由题意得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴估计箱子里白色小球的个数为1个． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球颜色共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有6种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为， 答：两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 17. 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知菱形中的，，矩形的面积是___________； （3）连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【答案】（1）见解析 （2） （3）13 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可； （3）根据菱形的性质得出，，，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； 【小问3详解】 解：∵菱形， ，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ． 18. 如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． （1）用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； （2）如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形边长； （2）由图可知，列式求出a的值即可． 【小问1详解】 解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； 【小问2详解】 解：由图可知， ∴， 化简为， 解得：或（舍）， 则的值为2． 19. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． （1）在图1、图2中，以格点为顶点，线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形面积相等但不全等，） （2）在图3中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形和平行四边形的判定即可作图，此时平行四边形的面积等于，菱形的面积等于； （2）根据正方形的判定即可作图，此时面积为． 【小问1详解】 解：如图1和图2，菱形和平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，正方形即为所求． 20. 2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 （1）________，________； （2）若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； （3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 【答案】（1）； （2）该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人 （3）第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可； （3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论． 【小问1详解】 解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为， ∴第一次成绩的众数为分，即； ∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分， ∴第二次成绩的中位数为（分），即； 【小问2详解】 解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为， （人）． 答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人． 【小问3详解】 解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 21. 为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． （3）当时，直接写出时的取值范围． 【答案】（1）（）； （2）60 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； 【小问2详解】 解：把代入，得； 【小问3详解】 解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 22. 【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． （1）为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 （2）过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________． 【答案】（1）见解析 （2）1，18 【解析】 【分析】（1）作辅助线先得到是等腰直角三角形，由此可得，，再结合的正弦值得到，结合边的关系即可得解． （2）根据垂径定理即可求解的长度；根据，确定的最大值即可求解“弦垂和”的最大值，当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，结合等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， 又， 是等腰直角三角形． ，， 于点． ， 是等腰直角三角形． 在中，， ， ， ． 【小问2详解】 解：过圆心作于，连接，如图， 根据垂径定理可知，， 的半径为， 由勾股定理可得； 由（1）可知，． 当弦垂和有最大值时，即有最大值， 当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，如图， 直线与的夹角为， ， ，则， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 为等腰直角三角形， ，， ，即， 解得， ， ， ． 即“弦垂和”的最大值为18． 23. 在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． （1）当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； （2）小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； （3）小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 【答案】（1）； （2）①②，证明见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，得到点是以点为圆心，长为半径的圆弧，利用弧长公式求解； （2）根据旋转的性质得到是等腰三角形，再利用三角形的中位线性质与等腰三角形“三线合一”证得最终结果； （3）根据三角形的中位线的性质与“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”得到对应的线段相等，最后通过等量代换解得答案． 【小问1详解】 解：∵点旋转到点， ∴点是以点为圆心，长为半径的圆弧， ∵，点是线段的中点， ∴， 又， ∴点旋转到点所经过的路径长度为； 【小问2详解】 解：正确的为①②，证明如下： ①∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线，， 即，与互相平分； ②∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当或时，四边形是正方形，理由如下： 由题意知：， ∵分别是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ①如图1所示：当时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ， ②当时，如图2所示：延长交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点的坐标分别为． （1）求抛物线的表达式． （2）当时，求的取值范围． （3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线交点为，连接． ①求； ②线段与轴相交于点，过点作直线交线段于点，当直线将的面积分为两部分时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可； （3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解； ②根据直线将的面积分为两部分时，分类讨论，当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，； 当或时，； ①∵，，， ∴当时，，此时， ∴， ∵， ∴点在第四象限，即， ∴， ∴； ②当时，， 当点在第三象限，， ∴， ∴此时点在第四象限，即， ∴，不符合题意，舍去； 当点在第四象限，， ∴， ∵， ∴点在第一象限，即， 解得， ∴； 综上，或； 【小问3详解】 解：①∵点，在抛物线上， ∴，， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ，， ∴； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， ，， ∴； ②中，， 设，， ∴， ∴， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线将的面积分为两部分时， 当时 ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， 同理可得，， 此时， ∴， 解得（舍去），． 综上，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟数学试题（二） 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 今年三月，我国在“十五五”规划纲要中指出，未来五年，铁路建设紧扣国家发展大局，聚焦“八纵八横”高铁主通道贯通与西部战略通道补强．到2030年，全国铁路营业里程达到公里左右，其中高铁公里左右．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 4. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的方程组的解，则的值为（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. 如图，在中，，，是的中线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知：在平面直角坐标系中如图放置，且，现另有一点D，满足以A，B，D为顶点的三角形与全等，则D点坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 因式分解：_________． 10. 现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为__________． 11. 如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 12. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 13. 有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是______ 14. 如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，反比例函数的图像经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论：①反比例函数的关系式为；②点C的坐标是；③；④，其中正确的结论有_________（填序号）． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． （1）估计箱子里白色小球的个数为 个； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后不放回箱子里，然后再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法） 17. 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知菱形中的，，矩形的面积是___________； （3）连接，交于点，连接，若，，的长___________． 18. 如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． （1）用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； （2）如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 19. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． （1）在图1、图2中，以格点为顶点，线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形面积相等但不全等，） （2）在图3中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 20. 2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 （1）________，________； （2）若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； （3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 21. 为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． （3）当时，直接写出时的取值范围． 22. 【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． （1）为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 （2）过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________． 23. 在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． （1）当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； （2）小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； （3）小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点的坐标分别为． （1）求抛物线的表达式． （2）当时，求的取值范围． （3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线交点为，连接． ①求； ②线段与轴相交于点，过点作直线交线段于点，当直线将的面积分为两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $