专题04 复数（7类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以复数概念为起点，通过运算、几何意义、模、轨迹与最值、方程解及新定义问题的递进设计，构建从基础到应用的完整训练体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的概念|5题|实部虚部、共轭复数判断|概念生成基础| |复数的四则运算|7题|运算化简与共轭复数求解|概念到运算的转化| |复数的几何意义|8题|复平面内点的象限、向量运算|运算到几何直观的联结| |复数的模的问题|7题|模的计算、性质应用|几何意义的数量化表达| |复数中的轨迹与最值问题|6题|模的几何意义求范围|几何与代数的综合应用| |复数范围内方程的解|7题|实系数方程虚根成对性|方程思想在复数域的延伸| |复数中的新定义问题|6题|创新运算与概念迁移|知识体系的拓展与应用|

专题04 复数 考点01 复数的概念 考点05 复数中的轨迹与最值问题 考点02 复数的四则运算 考点06 复数范围内方程的解 考点03 复数的几何意义 考点07 复数中的新定义问题 考点04 复数的模的问题 考点01 复数的概念 1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）设，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南焦作·模拟预测）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ） A． B．的实部是4 C．的共轭复数 D．在复平面上对应点在第二象限 5．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数（i是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．z的虚部是2i C．复数z的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点位于第三象限 考点02 复数的四则运算 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏·期中）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知复数z满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数的虚部为（    ） A．6 B． C．8 D． 7．（多选）（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 考点03 复数的几何意义 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为____________. 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，（为虚数单位）. (1)当时，求； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 考点04 复数的模的问题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）为虚数单位，的值为（    ） A． B．5 C．2 D．4 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）若复数满足为虚数单位)，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（    ） A．若，则或 B．若，，，则 C．若，则 D．一定为实数 6．（多选）（25-26高一下·江苏南通·期中）已知是复数，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知复数，． (1)求证：； (2)若，且，求． 考点05 复数中的轨迹与最值问题 1．（25-26高一下·江苏淮安·月考）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（多选）（25-26高一下·江苏常州·期中）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的实部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 5．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·期末）下列关于非零复数、的结论正确的有（   ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 6．（25-26高一下·江苏南通·期中）若复数满足，则的取值范围是______________． 考点06 复数范围内方程的解 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）设复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知一元二次方程的两个虚根分别为，且满足，则实数p的值为______. 4．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 6．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 考点07 复数中的新定义问题 1．定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 2．（24-25高一下·河南·月考）已知复数，（均为非零实数）在复平面内对应的点分别为，定义运算，记复数的实部为，虚部为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则向量的夹角为锐角 C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 4．（23-24高一下·江苏南通·月考）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量，的线性运算定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行. (1)设，，求以及； (2)对于实数，判断与能否平行，若能求出的值，若不能，说明理由； (3)设，，，且复向量与平行，求复数. 5．（25-26高一下·湖南·月考）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． (1)若复向量，求； (2)若复向量，且与平行，求z； (3)若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 6．（24-25高一下·河南洛阳·期中）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 考点01 复数的概念 考点05 复数中的轨迹与最值问题 考点02 复数的四则运算 考点06 复数范围内方程的解 考点03 复数的几何意义 考点07 复数中的新定义问题 考点04 复数的模的问题 考点01 复数的概念 1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为复数， 由题意可得，解得. 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）设，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，根据复数的概念，可得复数的虚部为. 3．（2026·河南焦作·模拟预测）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以复数的实部为. 4．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ） A． B．的实部是4 C．的共轭复数 D．在复平面上对应点在第二象限 【答案】AD 【详解】选项A，，A正确； 选项B，的实部是，是虚部，B错误； 选项C，的共轭复数，C错误； 选项D，复平面中，对应点为，横坐标负、纵坐标正，对应点在第二象限，D正确. 5．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数（i是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．z的虚部是2i C．复数z的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】AD 【分析】根据复数模的公式，虚部的定义，共轭复数的概念，复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】，A正确； 的虚部为2，不是，B错误； 复数z的共轭复数为，C错误； ，对应复平面内点为，位于第三象限，D正确. 考点02 复数的四则运算 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复数除法化简即可. 【详解】. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的运算结合共轭复数的概念可得. 【详解】由题意可得，所以. 故选：B. 3．（25-26高一下·江苏·期中）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为. 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的乘法、除法运算，和虚部概念即可求解 【详解】，则， 其虚部为. 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知复数z满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算结合复数的概念求解即可. 【详解】由，得. 所以的虚部是. 6．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数的虚部为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先根据复数的乘法运算计算出复数，然后根据虚部的定义得出结果. 【详解】，所以该复数的虚部为8. 7．（多选）（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的性质、复数的运算即可解答. 【详解】因为， 所以， ， . 所以； ； . 故选：ABD. 考点03 复数的几何意义 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，结合几何意义，即可得答案. 【详解】由题意，得点坐标为，位于第三象限. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，可得，然后利用复数的乘法、除法运算可求. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点分别为和， 所以， 则. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数除法运算结合复数几何意义可得答案. 【详解】，则对应点为，在第二象限. 故选：B 4．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 【答案】AD 【分析】由复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】由得， 则，，故A正确，B错误， 的实部和虚部之和为，故C错误， 对应的点为，位于第一象限，故D正确， 故选：AD 5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】一 【详解】因， 则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为____________. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，其对应的复数为. 故答案为：. 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，（为虚数单位）. (1)当时，求； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 故，所以. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长； （2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， ∵是纯虚数，，解得， ，则； （2）， 复数， ∵在复平面对应的点在第一象限，， 解得， 实数的取值范围是. 考点04 复数的模的问题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以 2．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用复数的除法及乘法计算化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】因为. 所以. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）为虚数单位，的值为（    ） A． B．5 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算结合复数模的计算公式可得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）若复数满足为虚数单位)，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算先求出复数再写出其共轭复数最后求模即可. 【详解】因为，所以，，所以. 故选：B 5．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（    ） A．若，则或 B．若，，，则 C．若，则 D．一定为实数 【答案】ABD 【分析】对于A：根据分析判断即可；对于B：根据运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算分析判断. 【详解】设，，，则，. 对于选项A：因为，则或， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 即，可得，故B正确； 对于选项C：例如，，则，， 可得，符合题意，但，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以一定为实数，故D正确． 6．（多选）（25-26高一下·江苏南通·期中）已知是复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，， 对于A，，所以； 而.所以A正确. 对于B，； .所以B错误. 对于C， ； 而.所以C正确. 对于D，因，则； .所以D正确. 7．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知复数，． (1)求证：； (2)若，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先设，，a，b，c，，再代入计算即可证明； （2）先求出，，再结合（1）即可求出． 【详解】（1）设，，a，b，c，， ． （2）因为，所以， 由（1）得，所以，故． 考点05 复数中的轨迹与最值问题 1．（25-26高一下·江苏淮安·月考）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的坐标表示结合复数模的几何意义计算可得. 【详解】由题意可得，则，所以，对应点. 表示复数在复平面对应的点，在以原点为圆心、半径的圆上. 的几何意义是：圆上的点到定点的距离. 先算原点到定点的距离， 因此的最大值为. 2．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义求解判断. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 二、多选题 4．（25-26高一下·江苏常州·期中）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的实部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列出方程组可判断B；由复数乘除法运算，共轭复数及虚部概念可判断C；利用复数的几何意义可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； 对于C，若，则， 所以实部为，故C正确； 对于D，因为，所以点的轨迹为圆心为，半径分别为3和2围成的圆环， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）下列关于非零复数、的结论正确的有（   ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断B选项；利用复数模的几何意义可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A错； 对于B选项，取，， 所以， ，B对； 对于C选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部， 所以点所在的区域如下图所示： 故点所在的区域的面积为，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但，，即，D错. 6．（25-26高一下·江苏南通·期中）若复数满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【详解】设，由，可得， 所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点， 又， 所以的取值范围是. 考点06 复数范围内方程的解 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）设复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知方程的另一个根为， 故. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据复数的乘方求出复数z，结合复数的模的计算，即可得答案. 【详解】复数满足，即， 故，则， 故答案为： 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知一元二次方程的两个虚根分别为，且满足，则实数p的值为______. 【答案】2或 【分析】可设，利用根与系数的关系可解得：，.即可求出p. 【详解】因为一元二次方程的两个虚根为共轭虚根， 所以可设（其中）. 所以由根与系数的关系可得. 而，解得：，. 所以当时，；当时，. 故实数p的值为2或. 故答案为：2或. 4．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数共轭相乘的运算规则，算出化简后为，结合已知等式列方程求解，再根据为正实数确定的取值. （2）先把代入求出，再通过分母实数化化简得到复根，将其直接代入一元二次方程，展开分离实部与虚部，利用复数相等条件列方程组，进而解出和的值. 【详解】（1）复数的共轭复数， 所以 由题设，故，解得. 因为是正实数，所以. （2）当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得 6．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知是方程的另外一个根，再利用韦达定理求解； （2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】（1）解：是关于的方程的一个根， 是方程的另外一个根， ，解得， ； （2）解：， 又是纯虚数， ， 解得． 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用分解因式法求解方程. （2）利用配方法求解方程. 【详解】（1）由，得，即，解得或， 所以方程的解为或. （2）由，得，则，解得， 所以方程的解为. 考点07 复数中的新定义问题 1．定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 2．（24-25高一下·河南·月考）已知复数，（均为非零实数）在复平面内对应的点分别为，定义运算，记复数的实部为，虚部为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则向量的夹角为锐角 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据复数相等，由题意，建立方程，可得其正误；对于B，根据向量数量积的定义式与坐标运算，结合锐角的定义，可得其正误；对于CD，由运算整理不等式，可得其正误. 【详解】对于A，若，则，解得，则，故A正确； 对于B，设的夹角为，由题可知，， 因为， 所以，则的夹角为锐角或同向，故B错误； 对于C，由题可知， 原式等价于，整理可得， 而，故C错误； 对于D，因为，所以原式等价于， 整理得，即，该式恒成立，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 【答案】 【分析】设，，，根据复数乘方运算得，从而根据复数的模运算法则得到在复平面内对应的点组成的集合. 【详解】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 故答案为： 4．（23-24高一下·江苏南通·月考）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量，的线性运算定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行. (1)设，，求以及； (2)对于实数，判断与能否平行，若能求出的值，若不能，说明理由； (3)设，，，且复向量与平行，求复数. 【答案】(1) (2)不存在 (3) 【分析】（1）由新定义求解； （2）通过，得，求解； （3）设，由，得，求解． 【详解】（1）， ， （2）， 得， ， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数m，使得与平行． （3）设， 得， ， 若与平行，则， 得， 得， 得， 得， 故复数． 【点睛】方法点睛：第二问及第三问，要利用若与平行，则，新定义去求解即可． 5．（25-26高一下·湖南·月考）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． (1)若复向量，求； (2)若复向量，且与平行，求z； (3)若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值且该定值为，理由见解析 【分析】（1）直接套用题目定义的复向量内积公式，先求出两个分量的共轭复数，再代入的分量展开计算，利用化简得到结果； （2）根据题目定义的平行条件，将设为的复数倍数，通过分量对应相等求出复数系数，再代入计算得到的值； （3）先利用复向量模的定义，结合求出与，再计算内积并求出其模长，进而由夹角公式得到，再求出，最后代入面积公式验证结果为定值. 【详解】（1）由题意得； （2）设， 则， 得， 又， ， 若与平行，则，即， 整理得，所以，， 所以； （3）设与的夹角为，则 ， 由题意知， ，， 所以，所以， 因为，所以， 即是定值，且该定值为． 6．（24-25高一下·河南洛阳·期中）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)有，不唯一，理由见解析 【分析】（1）由复数新定义结合三角函数和指数函数的运算计算可得； （2）由复数的新定义结合复数的除法以及两角差的正余弦公式可得； （3）由复数的新定义结合三角函数的诱导公式计算可得. 【详解】（1）由，得， 由得，从而，， 解得，此时，； 故，. （2）设，， 则 又， 所以， 所以. （3）由题意得，， 因为，，， 所以， 所以令，，，则有， 当取不同值时，也有相应的不同值，故存在这样的，但不唯一. 学科网（北京）股份有限公司 $