专题09二次根式 专项训练（16大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

**基本信息** 以“概念识别-性质应用-运算深化-综合拓展”为主线，覆盖17类题型，通过分层精练实现从基础到压轴的系统性突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型梳理|17类核心题型|含分母有理化、对偶式构造、复合根式化简等8种技巧|从二次根式概念生成，经性质推导，到运算应用及规律探究，形成完整逻辑链| |核心题型|每题型3道梯度题|精选含数轴化简、参数求解等易错点典例|题型与方法一一对应，如识别对应概念理解，混合运算对应法则综合应用| |分层精练|15道综合题|整合实际应用与规律探究，强化模型意识|从基础运算到跨学科应用，体现数学语言表达现实世界的能力|

专题09二次根式 专项训练 题型梳理归纳 题型1.二次根式的识别与有意义条件 题型2.求二次根式的值 题型3.利用二次根式的性质化简 题型4.二次根式的乘除运算 题型5.分母有理化 题型6.最简二次根式的判断与化简 题型7.同类二次根式识别 题型8.二次根式的加减运算 题型9.二次根式的简单混合运算 题型10.求二次根式中的参数 题型11.复合二次根式的化简 题型12.已知字母的值，化简求值 题型13.已知条件式，化简求值 题型14.比较二次根式的大小 题型15.二次根式的实际应用 题型16.二次根式的规律探究题 题型17.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.二次根式的识别与有意义条件 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则的取值范围是______． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型2.求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（1）当a为________时，＋1的值最小，为________； （2）当a为________时，的值最大，为________． 3．如图，方格纸中每个小方格的边长为．求的周长．    题型3.利用二次根式的性质化简 1．下列二次根式化简结果为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 3．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的． (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________． (3)当时，求的值． 题型4.二次根式的乘除运算 1．已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 2．按下列步骤计算： =__________ =__________ 3．已知、为实数，且，求的值． 题型5.分母有理化 1．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，求的值为 ____． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 题型6.最简二次根式的判断与化简 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是(     ) A． B． C． D． 2．化简：化成最简二次根式为______． 3．计算：． 题型7.同类二次根式识别 1．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 3．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 题型8.二次根式的加减运算 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算_____． 3．计算： (1) (2) 题型9.二次根式的简单混合运算 1．下列判断或计算，其中正确的有（    ） ①若二次根式有意义，则； ② ③； ④若，则； ⑤ A．①②③④⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①③④⑤ 2．已知，，则式子的值为_________． 3．计算： (1)； (2)． 题型10.求二次根式中的参数 1．若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 题型11.复合二次根式的化简 1．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 2．化简______． 3．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 题型12.已知字母的值，化简求值 1．若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，，则的值为______． 3．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型13.已知条件式，化简求值 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知 ，则 的值为_____________． 3．阅读类比，定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决. 例如，已知，求的值，可以这样解答： 又， . (1)已知，求的值为________． (2)结合已知条件和第（1）问的结果，请运用解“二元一次方程组”的思想解方程：． (3)计算：． 题型14.比较二次根式的大小 1．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 2．比较大小：______5．（填“”“”“”） 3．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 题型15.二次根式的实际应用 1．如图，在中，，，将线段绕C点顺时针旋转至的位置，连接，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 2．如图，在中，已知，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为__________；当是以为底的等腰三角形时，边的长为___________． 3．阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； 【类比归纳】 (1)①； ②； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示a，b，得_____，_____； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求正方形的面积． 题型16.二次根式的规律探究题 1．已知，，，…，，其中为正整数，设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．将按如图方式排列，若规定表示第m行从左向右数的第n个数，则表示的数是______． 3．读取表格信息，解决问题．满足的可以取得的最小整数是_________． 分层精练 一、单选题 1．下面运算正确的是（      ） A． B． C． D． 2．下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 3．若，则以为边的直角三角形斜边长为（    ） A． B．3 C．或3 D．13 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在式子中，属于最简二次根式的是_______________． 7．计算：______． 8．计算：________，________． 9．已知，则代数式的值为________． 10．已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 13．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 14．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 15．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09二次根式 专项训练 题型梳理归纳 题型1.二次根式的识别与有意义条件 题型2.求二次根式的值 题型3.利用二次根式的性质化简 题型4.二次根式的乘除运算 题型5.分母有理化 题型6.最简二次根式的判断与化简 题型7.同类二次根式识别 题型8.二次根式的加减运算 题型9.二次根式的简单混合运算 题型10.求二次根式中的参数 题型11.复合二次根式的化简 题型12.已知字母的值，化简求值 题型13.已知条件式，化简求值 题型14.比较二次根式的大小 题型15.二次根式的实际应用 题型16.二次根式的规律探究题 题型17.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.二次根式的识别与有意义条件 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 2．若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据“二次根式有意义的条件：”可得的值，继而得到的值，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型2.求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 2．（1）当a为________时，＋1的值最小，为________； （2）当a为________时，的值最大，为________． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 3．如图，方格纸中每个小方格的边长为．求的周长．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理确定、的长即可得解． 【详解】解：由题意可得，， ∴根据勾股定理，得 ∴的周长． 题型3.利用二次根式的性质化简 1．下列二次根式化简结果为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 2．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】由数轴可知：，得到，进而化简代数式即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 3．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的． (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________． (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)当时， (3)2 【分析】（1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，理由如下： ∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，． （3）解：， ． 原式． 题型4.二次根式的乘除运算 1．已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 2．按下列步骤计算： =__________ =__________ 【答案】 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：，． 3．已知、为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，，再化简，代入计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得：且， 解得且， 所以， 将代入，得：． 当，时， 原式 ． 题型5.分母有理化 1．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 2．已知，求的值为 ____． 【答案】 【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，， ∴ ． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 题型6.最简二次根式的判断与化简 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A选项和D选项的被开方数含有可以开的尽方的因数或因式，B选项被开方数含有分母，都不符合最简二次根式的定义，C选项符合最简二次根式的定义． 2．化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式乘除法的运算法则．将系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 题型7.同类二次根式识别 1．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 2．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】2 【分析】几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个就是同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 3．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 题型8.二次根式的加减运算 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A，和不是同类二次根式，不能直接合并，错误； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，正确； 对于选项D，，错误． 2．计算_____． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再合并同类二次根式得到计算结果． 【详解】解：原式． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9.二次根式的简单混合运算 1．下列判断或计算，其中正确的有（    ） ①若二次根式有意义，则； ② ③； ④若，则； ⑤ A．①②③④⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的化简与计算，只需逐个判断每个结论的正误即可. 【详解】解：① ∵有意义， ∴且，得且， ①错误； ② ∵， ②错误； ③∵ 有意义， ∴，即，则， ， ③正确； ④ ∵，， ∴且，即且， ∴，并非，④错误； ⑤ ∵， ⑤正确； 综上，正确的是③⑤， 故选：B. 2．已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算即可解答； （2）先根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式． 题型10.求二次根式中的参数 1．若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 2．若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 题型11.复合二次根式的化简 1．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 2．化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴ 又∵， ∴原式， 故答案为：． 3．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型12.已知字母的值，化简求值 1．若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用完全平方公式可得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．已知，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：． 3．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】（1）根据已知条件求得，，然后利用完全平方公式将原式变形求解即可； （2）将原式变形，再将，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ 题型13.已知条件式，化简求值 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 2．已知 ，则 的值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了根据已知等式，求另外代数式的值，考查了因式分解、乘法公式、等式性质等知识，综合性强，难度大．根据题意得到，将原等式化为，进一步变形得到，，整理变形为，得到，因式分解为，即可得到． 【详解】解：由题意得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1 3．阅读类比，定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决. 例如，已知，求的值，可以这样解答： 又， . (1)已知，求的值为________． (2)结合已知条件和第（1）问的结果，请运用解“二元一次方程组”的思想解方程：． (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】（1）仿照例题的解答方法求解即可； （2）由题意可得方程组，再用整体思想解方程组即可； （3）将所求的代数式每一项都分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ，得， 解得：， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 题型14.比较二次根式的大小 1．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 2．比较大小：______5．（填“”“”“”） 【答案】 【分析】二次根式比较大小，可通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系. 【详解】解：，，由于，且和均为正数， ． 3．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 题型15.二次根式的实际应用 1．如图，在中，，，将线段绕C点顺时针旋转至的位置，连接，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】过点A作于点E，延长，过点D作于点F，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，证明，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点E，延长，过点D作于点F，如图所示： 则， 根据旋转可得：，， ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 2．如图，在中，已知，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为__________；当是以为底的等腰三角形时，边的长为___________． 【答案】 【分析】当是以为底的等腰三角形时，论证即可求解；当是以为底的等腰三角形时，过点作于，设，利用列方程求解即可. 【详解】解：①∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴； ②当是以为底的等腰三角形时，过点作于， 设， ∵， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴. 3．阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； 【类比归纳】 (1)①； ②； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示a，b，得_____，_____； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求正方形的面积． 【答案】(1)①，1；②， (2)， (3) 【分析】（1）①②结合题目给的例子，结合完全平方公式解答即可； （2）将已知的等式右边展开，即可得到答案； （3）仿照例题的方法求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴当均为正整数时，，； （3）解：∵两小正方形的面积分别为和， 且， ， ∴两个小正方形的边长分别为，， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 题型16.二次根式的规律探究题 1．已知，，，…，，其中为正整数，设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，，，根据规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， ， ， …… ， 且， 故 ； 2．将按如图方式排列，若规定表示第m行从左向右数的第n个数，则表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索的数字变化类，根据图形得出所表示的数为图形中的第个数，再根据，得到相应的数即可求解． 【详解】解：由图可得， 第排个数， 第排个数， 第排个数， ， 第排个数， ∴第排到第排共有个数， ∴表示的数为第个数， ∵ ∴第个数为． 3．读取表格信息，解决问题．满足的可以取得的最小整数是_________． 【答案】6 【分析】先分别求出，，，再根据规律可得，然后代入不等式整理得出，最后根据乘方的运算得出答案即可． 【详解】解：； ； ； ． ∵， ∴， ∴， 即， 则， ∵， ∴n可以取得最小正整数是6． 分层精练 一、单选题 1．下面运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，运用法则计算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项正确，符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 2．下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 3．若，则以为边的直角三角形斜边长为（    ） A． B．3 C．或3 D．13 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得到的值，再分情况讨论直角三角形的斜边，结合勾股定理计算得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数非负， ∴， 解得． 将代入原式得． 分两种情况讨论：①若是直角三角形的斜边，则斜边长为． ②若，都是直角边，根据勾股定理，斜边长为． 因此直角三角形斜边长为或． 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 5．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 二、填空题 6．在式子中，属于最简二次根式的是_______________． 【答案】 【分析】根据二次根式的化简方法与最简二次根式的定义进行求解． 【详解】解：， 是最简二次根式， ， ， 是最简二次根式， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的辨别能力，关键是能准确理解并运用二次根式的化简方法与最简二次根式的定义． 7．计算：______． 【答案】/ 【详解】解：． 8．计算：________，________． 【答案】 【分析】运用二次根式的性质和二次根式的除法法则即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：，． 9．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先将代数式变形为，再将代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 10．已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据零指数幂计算即可； （2）先根据分式的乘除法计算，再根据分式的加减法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据平方差公式直接求解； （2）先求出的值，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴ ． 13．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （3）仿照小知的方法将化为，即可化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 14．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 15．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $