专题07分式的概念、基本性质 专项训练（15大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

**基本信息** 以16类题型系统覆盖分式概念、性质及应用，构建“概念辨析-性质应用-运算技能-综合拓展”的完整认知链，突出分层训练与逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|题型1-3|聚焦分式定义、有意义及值为零的条件辨析|从分式定义出发，建立对分式本质属性的抽象认知| |性质应用|题型4-7|涉及求值、变形判断、最高次项化正及系数化整|通过基本性质推导变形规则，培养推理意识与符号运算能力| |运算技能|题型8-9|强调约分、通分及最简分式转化|基于性质延伸运算技巧，形成分式化简的系统方法| |综合拓展|题型10-15|包含构造分式、值变化分析、规律探究及整数解问题|结合实际情境与逻辑推理，发展模型意识与应用能力| |分层精练|13道题|涵盖选择、填空、解答，梯度递进|整合核心考点，实现从基础巩固到综合应用的能力提升|

专题07分式的概念、基本性质 专项训练 题型梳理归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式有意义、无意义的条件 题型3.分式值为零的条件 题型4.分式的求值 题型5.判断分式变形是否正确 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型8.约分，化为最简分式 题型9.找最简公分母，进行通分 题型10.按要求构造分式 题型11.求使分式变形成立的条件 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型14.分式的规律性问题 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 题型16.分层精练13道题 核心题型精讲 题型1.分式的判断 1．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在式子，，，，，中，分式是_________，整式是__________． 3．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 题型2.分式有意义、无意义的条件 1．使分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则__________． 3．已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 题型3.分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．若分式的值为0，则x的值是______． 3．（1）若分式的值为零，则x的值为_________． （2）若分式的值为零，则x的值为_________． 题型4.分式的求值 1．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 2．已知，则= ____． 3．已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 题型5.判断分式变形是否正确 1．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 3．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．下列算式中，正确的是（） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 3．不改变分式的值，使下列各分式的分子和分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 题型8.约分，化为最简分式 1．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．把下列分式化为最简分式： （1）______； （2）______． 3．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 题型9.找最简公分母，进行通分 1．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．分式与的最简公分母是________． 3．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10.按要求构造分式 1．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 2．两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 3．要配制一种盐水，将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？ 题型11.求使分式变形成立的条件 1．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A．B． C． D． 2．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 3．已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 2．（1）；括号内应填写：_______． （2）；括号内应填写：_______． （3）；括号内应填写：_______． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．当_____时，分式的值为负数． 3．已知，当为何值时，的值为正数？ 题型14.分式的规律性问题 1．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 2．观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 3．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … (1)写出时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 3．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 分层精练 一、单选题 1．在中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 二、填空题 6．若分式的值为零，则______． 7．分式与的最简公分母是________． 8．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 9．已知三张卡片上分别写着，，（其中为变量），请从中任意选两张组成一个分式：______． 10．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 三、解答题 11．仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 12．【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 13．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式的概念、基本性质 专项训练 题型梳理归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式有意义、无意义的条件 题型3.分式值为零的条件 题型4.分式的求值 题型5.判断分式变形是否正确 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型8.约分，化为最简分式 题型9.找最简公分母，进行通分 题型10.按要求构造分式 题型11.求使分式变形成立的条件 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型14.分式的规律性问题 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 题型16.分层精练13道题 核心题型精讲 题型1.分式的判断 1．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 2．在式子，，，，，中，分式是_________，整式是__________． 【答案】 ，， ，， 【分析】本题考查了分式与整式的定义，掌握分式是分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含字母的代数式是解题的关键． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，否则是整式，逐个判断即可． 【详解】解：分式是指分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含有字母的代数式． 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是多项式，含有字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式． 故答案为： 、、； 、、 3．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案】整式是，；分式是；； 【分析】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式． 根据分式和整式的定义逐一判断即可得． 【详解】解：整式是，；分式是；；． 题型2.分式有意义、无意义的条件 1．使分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 分式有意义的条件是分母不等于0 ∴ 对于分式，需满足 解得． 2．若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 3．已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为的条件，熟练掌握分式无意义的条件：分母为；分式值为的条件：分母不为且分子等于是解题的关键．根据分式无意义的条件得到的值，根据分式值为的条件得到的值，最后将、的值代入求解即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即，解得； 当时，分式的值为， 即且，解得， 则． 题型3.分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】分式值为0需同时满足分子等于0，分母不等于0，据此计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴且 解得， 当时，，满足条件 因此． 2．若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】 【分析】分式的值为即分子为且分母不为，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为，则且， 解得． 3．（1）若分式的值为零，则x的值为_________． （2）若分式的值为零，则x的值为_________． 【答案】 1 【分析】根据分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零，即可解答． 【详解】解：（1）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零， ， ， ． （2）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零需分子为零且分母不为零是解题的关键． 题型4.分式的求值 1．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据已知比例关系表示出a和b，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴． 2．已知，则= ____． 【答案】 【分析】将原式取倒数，再将分子进行变形求值即可． 【详解】解：对取倒数可得， ， ∴． 3．已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对已知等式进行变形，然后通过等式两边同时除以来求解的值； （2）对分子分母同时除以，最后整体代入的值以及，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可得， ∴， ； （2）解： ， 由（1）可知，， ∵， ∴ ． 题型5.判断分式变形是否正确 1．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质与分式乘方运算，根据相关运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：∵分式变形不能直接给分子分母同加1，不满足分式基本性质，变形后值改变，∴A错误． ∵该变形中，分式的分子乘以了，分母乘以了，未乘以同一个整式，不符合分式的基本性质，故B错误． ∵，符合变形规则，∴C正确． ∵，∴D错误． 2．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质， ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 正确选项为④， 故答案为：④． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据分式的基本性质判断即可. 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴，且， ∴． 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分母变为相反数，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）． 故答案为： 3．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．下列算式中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．故此选项不符合题意； 故选：B． 2．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．不改变分式的值，使下列各分式的分子和分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． （1）直接把分子的“”号提到分式的前面即可得到答案； （2）把分式的分子和分母同时乘以负1即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型8.约分，化为最简分式 1．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在除1以外的公因式，即可得到答案． 【详解】解：A、无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，则是最简分式； B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； C、，分子分母含有公因式，不是最简分式； D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 2．把下列分式化为最简分式： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，以及化为最简分式； （1）约去分子分母的公因式即可； （2）约去分子分母的公因式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． 3．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 题型9.找最简公分母，进行通分 1．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定方法，先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义计算即可． 【详解】解： 分式与的最简公分母是． 2．分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可． 【详解】解：分式与的分母系数分别为和，最小公倍数为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，因此最简公分母是． 3．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可； （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：，； （3）解：，； （4）解：，． 题型10.按要求构造分式 1．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出一个人每天的工作量是，则个人一天的工作是：，则完成这件工作所要的天数即可表示出来． 【详解】． 故选：C 【点睛】本题主要考查了列代数式，把总工作量当作1，正确表示出一个人每天的工作量是解决本题的关键． 2．两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 【答案】 【分析】本题主要考查了写出某些特征的分式，根据分式值为零的条件，当时分子为零且分母不为零，因此分子应含的因子，分母在时不为零． 【详解】解：当时，分式的值为0，因此分子必须为0，但分母不能为0， 设分子为，分母为a，则当时，分子，分母，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 3．要配制一种盐水，将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式． 根据有m克盐完全溶解于n克水后，又加入5克盐，得出总盐有克，盐水有克，即可得出答案． 【详解】解：∵将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求 ∴要配制的盐水的含盐量是． 题型11.求使分式变形成立的条件 1．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【答案】 【分析】根据分式左右两边分母或分子的变化，依据分式的基本性质对分子或分母做相同的运算，结合因式分解即可求解． 【详解】解：（1）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （2）对分母因式分解，得，，故， 分子分母同除以，得； （3）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （4）对左边分子因式分解，得，，约分左边得 ， 对右边分子因式分解得，因此，可得括号内应填． 3．已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案； （2）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得，即不等式组无解， ∴； （2）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 2．（1）；括号内应填写：_______． （2）；括号内应填写：_______． （3）；括号内应填写：_______． 【答案】 【分析】此题考查了分式的基本性质，解题的关键熟知并会应用分式的基本性质． （1）利用分式的基本性质，分子乘以，分母也需乘以，得到分母为； （2）化简右边分式，分子为，分母为，与左边分母一致，故分子为； （3）将右边分母因式分解为，分子需乘以，得到． 【详解】（1），故答案为：． （2），左边分式分母为，故分子为，故答案为：． （3）， 故答案为：． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的值、解不等式．根据分式的值为正数得到，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， 解得：． 故选：A 2．当_____时，分式的值为负数． 【答案】 【分析】先判断分式分母的取值范围，再根据分式值为负数的条件，得到分子的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数． 若分式的值为负数， 则分子小于， 即， 解得． 3．已知，当为何值时，的值为正数？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式的性质、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 由分式的性质：分式的值大于0，则分子分母同号，据此可得到两个不等式组求解即可． 【详解】解：要使的值为正数，即，则．根据分式的性质，分式的值大于0，则分子分母同号，可得到两个不等式组： 不等式组一：， 解，得； 解，得． 取两者的交集，此不等式组的解集为． 不等式组二：， 解，得； 解，得． 取两者的交集，此不等式组的解集为． 综上，当或时，的值为正数． 题型14.分式的规律性问题 1．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察数列分子、分母和对应序号的关系，总结出第n个数的规律，代入计算即可得到结果. 【详解】解：序号为1时，分子，分母； 序号为2时，分子，分母； 序号为3时，分子，分母； 序号为4时，分子，分母； ∴ 可得规律：第个数为， 将代入公式，得， 因此第8个数为. 2．观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 【答案】 【分析】观察已知等式中分母的奇数规律与分式拆分形式，推导第个等式的表达式 【详解】解：第1个等式的分母为，拆分形式为； 第2个等式的分母为，拆分形式为； 第3个等式的分母为，拆分形式为； 以此类推，第个等式的分母为，拆分后为，即（为正整数）． 3．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … (1)写出时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 【答案】(1) (2)猜想：（为正整数，且），证明见解析 (3)（为奇数，且），证明见解析 【分析】（1）通过观察已知的拆分结果，找出规律，进而写出时的拆分结果； （2）根据前面的规律猜想出的拆分结果，然后通过分式的运算进行证明； （3）先仿照前面的过程探索的拆分规律，再进行证明． 【详解】（1）解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； （2）解：猜想：（为正整数，且）， 证明： ； （3）解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明： ． 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 2．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 3．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 分层精练 一、单选题 1．在中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可，判断分式的核心是看分母是否含有字母，需注意是常数不是字母． 【详解】解：在，分式有、，共2个． 2．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“分子与分母没有公因式的分式是最简分式”，对各选项分别判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：分母无法分解因式，分子与没有公因式，不能约分，所以是最简分式． 对选项B：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项C：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项D：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 3．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该函数由分式组成，故分母不等于0，就可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 4．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入计算结果． 【详解】解：∵， 又， ∴原式． 5．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相关知识，计算判定即可． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，本选项错误；     B. ，本选项错误； C. ，本选项错误； D. ，本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，二次根式的性质，分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 二、填空题 6．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 故答案为． 7．分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】两个分式的分母都是单项式，因此最简公分母是各项系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积． 【详解】解：系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为， 因此分式与的最简公分母． 8．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：将中的x，y都扩大10倍，为， ∴分式的值不变； 故答案为：不变． 9．已知三张卡片上分别写着，，（其中为变量），请从中任意选两张组成一个分式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式是分母中含有字母的式子是解题的关键． 从三张卡片中任意选取两张，分别作为分子和分母，组成分式． 【详解】解：选取卡片上的数字或表达式组成分式时，分子和分母的顺序不同会得到不同的分式． 例如，选取卡片作为分子，卡片作为分母，可得到分式． 其他组合方式类似，但本题只需写出一个分式， 故答案为：（答案不唯一）． 10．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数； （2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 三、解答题 11．仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 12．【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 【答案】(1)不能 (2)此时倒出的总水量为 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把代入后进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 这水不可以倒完． 故答案为：不能； （2）解：当时，， ∴此时倒出水的总量为． （3）解：由题可知：． ． 13．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或 (4)满足条件的两位数为 【分析】（1）根据“假分式”的定义直接进行求解即可； （2）根据分式的性质进行化简即可； （3）由题意可把原分式化简为，然后根据是整数进行求解即可； （4）设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则有，进而根据，，且，均为整数，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：根据“假分式”的定义可知：①③④都为假分式； （2）解：； （3）解：， 是整数，分式的值也是整数， 是整数， 或或或或或或或． （4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ，， = = ． 由题意可得，，，且，均为整数． 这个三位数的平方能被这个两位数整除， 为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，， 当时， ，没有满足题意的值， 综上，满足条件的两位数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $