专题03 四边形（期末真题汇编，山东专用）八年级数学下学期

**基本信息** 四边形专题汇编，涵盖10大高频考点，精选山东多地期末真题，基础巩固与综合应用结合，适配八年级期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/填空|基础题为主|多边形内角和、平行四边形性质与判定|结合“蜂巢结构”“八角空窗”等文化情境| |解答题|综合题为主|特殊四边形证明、中位线应用、折叠与动点问题|设计动点探究（如P、Q运动判定平行四边形）、跨考点综合（如平行四边形与矩形性质结合）|

专题03 四边形 10大高频考点概览 考点01 多边形及其内角和 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04平行四边形性质与判定综合 考点05中位线的应用 考点06矩形的性质与判定 考点07菱形的性质与判定 考点08正方形的性质与判定 考点09 折叠问题 考点10 动点问题 ( 考点 0 1 ) ( 多边形及其内角和 ) 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正边形的每个内角的度数为，是解题的关键．根据正边形的每个内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）一个多边形剪去一个角（剪痕不过顶点）后，形成的新多边形内角和与原多边形外角和的差是，则原多边形的边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式以及外角和等于是解题关键．设原多边形边数为，则剪去一个角后边数变为，根据“形成的新多边形内角和与原多边形外角和的差是”，列方程求解即可． 【详解】解：设原多边形边数为，则剪去一个角后边数变为， 则， 解得：， 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查了平面密铺的知识，正多边形的组合进行平面镶嵌，关键是位于同一顶点处的几个角之和为．从而可得，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：∵正三角形、正方边的内角分别为、， ∴， ∴这块正多边形纸板的边数是：． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）正六边形和正方形如图所示摆放，连接，则图中的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的判定与性质，求出，是解题的关键．根据正多边形的每条边都相等，每个角都相等得出，，，，继而得出，，即可求出的度数． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 多边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若连接，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】本题考查正六边形的性质，正多边形的外角和定理，掌握正六边形的性质是解题的关键． 根据多边形的外角和为，先求出一个外角的度数，再求一个内角的度数，最后根据正六边形的对称性求解即可． 【详解】正六边形的一个外角的度数为：， 正六边形的一个内角的度数为：， 即， ∵对角线所在的直线是正六边形的对称轴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内角和是______度． 【答案】1080 【分析】根据多边形的内角和公式进行计算即可．本题考查了求多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正八边形的内角和为：． 故答案为：1080． ( 考点0 2 平行四边形的性质 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质求解即可，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接．已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：平行四边形中，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 是直角三角形， ，， ， 平行四边形的面积， 故选：C． 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，点坐标为，点为坐标原点，线段沿轴向右平移得到线段，连接，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移及平行四边形的面积，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质及四边形的面积，得出平移的距离，据此得出点坐标即可． 【详解】解：由平移可知， ，， 所以四边形是平行四边形． 又因为点坐标为， 所以， 则， 所以点坐标为 故答案为： 4．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在中，，，D为的中点，E为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用勾股定理得出，再利用平行四边形的性质、折叠的性质可知，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， 在中，，， ，， 四边形是平行四边形，D为的中点， ，， 将沿折叠得到， ，， ， ， 则此平行四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、平行四边形性质、勾股定理、折叠的性质的知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，请求出的周长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 6．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由角平分线的定义可得，，进而可得，则可得，从而可得． （2）过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，．进而可得，再证 四边形是平行四边形，则可得，，进而可得 ，再证，由勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，与的平分线分别交于点F与E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义． （1）根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求得，，进而可证明结论； （2）根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，进而可证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：设，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形的对角线，交于点O，E是上的点，连接并延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形判定与性质及直角三角形性质，解题关键是利用平行四边形性质找条件证全等、推边与角关系． （1）利用平行四边形的性质得、，结合对顶角相等，证，得，再由证四边形是平行四边形，从而得出结论． （2）由和，在中利用直角三角形性质得，结合勾股定理求，再根据平行四边形性质得与、与的关系，进而求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． （2）， ， ， ， 中，由勾股定理得 四边形是平行四边形， ，， ． ( 考点0 3 平行四边形的判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故A选项不符合题意； ∵，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故B选项不符合题意； ∵，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故C选项不符合题意； ∵，，根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形不能判定出四边形为平行四边形，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）下列命题的逆命题错误的是（    ） A．平行四边形是中心对称图形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的两组对边相等 D．平行四边形的两组对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题的知识，原命题与逆命题的关系是将条件和结论互换．需逐一分析各选项的逆命题是否正确． 【详解】选项A：逆命题为“中心对称图形是平行四边形”．中心对称图形包含圆、线段等非四边形，故逆命题错误． 选项B：逆命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确． 选项C：逆命题“两组对边相等的四边形是平行四边形”符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确． 选项D：逆命题“两组对角相等的四边形是平行四边形”，可通过同旁内角互补推导对边平行，故逆命题正确． 故选A． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定定理，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”由这两个定理判断选项即可． 【详解】解：A选项，∵，， 一组对边平行，一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故不可以判定； B选项，∵，， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； D选项，∵，， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故可以判定． 故选：A ． 4．（24-25八年级下·山东德州·期末）四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉的回答正确 B．只有淇淇的回答正确 C．两人的回答都正确 D．两人的回答都不正确 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先找出图中相等的量，可得，再分别对嘉嘉和淇淇添加的条件进行逐一分析判定即可． 【详解】观察图形可得，，，， ∴， 嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加时，有，不能得到四边形是平行四边形，因此嘉嘉的回答不正确； 淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．有，利用一组对边平行且相等，可得四边形是平行四边形，因此淇淇的回答是正确的． 故选：B. 二、解答题 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接、、、 (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，即可求，即可求解； （2）由勾股定理可求，再由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 6．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知：如图，垂直平分，，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 7．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴， 在中， ∴ 8．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ，， ， 在和和中， ， ； （2）因为， 所以， 因为，（或因为，所以）， 所以， 四边形是平行四边形． ( 考点0 4 平行四边形性质与判定综合 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图是由两个正五边形、两个正六边形拼成的轴对称图形，已知正五边形和正六边形的边长相等，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、、，根据正多边形的性质和等边对等角的性质，得到，，，根据轴对称的性质，易证四边形是平行四边形，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 由题意可知，，，，， ，， 同理可得， 由轴对称的性质可知，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，找出角度之间的数量关系是解题关键． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是________． 【答案】12 【分析】根据题意判定四边形是平行四边形．如图，过点A作于点E，过点A作于点F，利用面积法求得与的数量关系，从而求得该平行四边形的面积． 【详解】解：依题意得：，，则四边形是平行四边形． 如图，过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴四边形的面积； 答案为：9 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法． 3．（24-25八年级下·山东·期末）如图，在中，，，点在上，，将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，那么四边形的面积为______． 【答案】32 【分析】本题主要考查了平移的性质、等腰三角形的性质（等角对等边、三线合一）、勾股定理、平行四边形的判定及平行四边形面积的计算；掌握通过平移和等腰三角形性质求出梯形的高是解题的关键．根据平移性质得到及的长度，利用等腰三角形性质推出，作高后结合勾股定理求出，再证明平行四边形，进而计算四边形的面积． 【详解】解：∵将线段沿着的方向平移得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 5．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）甲方案：如图，连接，根据平行四边形的性质得，，再根据中点的定义得，即可得出四边形为平行四边形； 乙方案：根据平行四边形的性质得，，即可得，再根据“角角边”证明，可得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，，可得，再说明 ，，然后根据 ，可得 ，进而根据得出答案． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角相等即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， ． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在中，E、F分别是和上的点，，M，N分别是和的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，，因为，，所以，由，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）由得， ，， ，N分别是和的中点， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知，如图，的对角线，相交于点，过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的边上的高为________． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，由“”证明，由全等三角形的性质得出，证出四边形为平行四边形即可； （）过点作于点，于点，利用等腰三角形的性质求出，利用面积法求出即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点，于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 9．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别位于、上，、分别平分，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明，进而得到，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分，平分， ， ， ， 四边形是平行四边形． 10．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平行四边形中，，为锐角．点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取，的中点，； 乙方案：作于点，于点； 请回答下列问题： (1)你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？ 答：________（填是或者不是） (2)你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． (3)请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，并在图中标记字母，并写出证明． 【答案】(1)是 (2)乙的方案得到的四边形是平行四边形；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）甲方案：根据两条对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得证； （2）乙方案：根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （3）在上取，即可得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：甲的方案得到的四边形是平行四边形； 证明：如图，连接，    ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 故答案为：是； （2）解：乙的方案得到的四边形是平行四边形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：在上取，即可得到四边形为平行四边形， 证明：如图，连接，    ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ( 考点0 5 中位线的应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，点E是线段上一动点，，在点E的运动过程中，始终有，，点M，N分别是的中点，已知，当时，长为（   ） A．2 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，得，分两种情况求出的长即可 【详解】解：连接， ∵M，N分别是的中点，， ∴， ①当时，过D作于 F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，过C作于 F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：C 二、填空题 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点是矩形的对角线的中点，点是的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边的中线. 由三角形中位线定理推出，由矩形的性质推出，，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质推出． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 四边形是矩形， ，， ， 是的中点， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在菱形中，，，点M，N分别是上的动点，连接，点P，Q分别为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，垂线段的性质．连接，由是的中位线，得，当时，取最小值，取最小值．由此可解． 【详解】解：如图，连接， 点P，Q分别为的中点， 是的中位线， ， 当时，取最小值，取最小值． 菱形中，，， ，， 当时，， ， ， 即的最小值是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 三、解答题 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，已知为菱形的对角线，请过点B作的垂线； (2)如图2，已知四边形，，且，点E为线段的中点，请过点E作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、三角形中位线的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质等知识点，掌握三角形的中线相交于三角形内一点是解题的关键． （1）连接，作所在的直线即可； （2）连接交于点J，连接，延长交于点 K，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； ∵菱形， ∴， ∴直线即为所求． （2）解：如图2中，直线即为所求． 连接与交于点O， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，即是的中线， ∵点E为线段的中点， ∴是的中线， ∵三角形的中线相交于三角形内一点， ∴是的中线， ∴点K为线段的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，F是的中点，．在边上截取，连接，过点A作，垂足为点E，连接，求的长度． 【答案】8 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形中位线等知识，熟练掌握三角形的中位线性质是解题的关键； 根据等腰三角形的三线合一得到，，又由F是边的中点得到为的中位线，即可得到答案． 【详解】解：， 又F是边的中点， 为的中位线， ． 7．（24-25八年级下·山东滨州·期末）求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查中位线的性质，菱形的判定．先把文字语言转化为几何语言，根据三角形中位线定理得到，，即可得到，进而证明结论即可． 【详解】已知：在四边形中，，点E，F，G，H是，，，的中点， 求证：四边形是菱形． 证明：∵E，F，G，H是，，，的中点． ∴、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到，得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【详解】（1）解：∵平分， ， 又， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长． （2）证明：由题意可知，为的中位线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 如图：先画出图形、再写出已知、求值，再证明，根据全等三角形的性质得到，再证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可证明． 【详解】已知：如图，在中，点D，E分别是边的中点， 求证：且． 证明：如图，延长到点F，使，连接． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴且． 10．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长是． 【分析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． （1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长是． ( 考点0 6 矩形的性质与判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据勾股定理求出，然后根据矩形的性质得出即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， 点D的坐标是， ∴， ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定． 根据证明平行四边形是矩形的条件作答即可． 【详解】A：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； B：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； C：不是矩形固有性质，不能判定为矩形； D：，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形； 故选：D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A，B，D的坐标分别为，，，以点B为圆心，以的长为半径画弧交x轴于点E，则点E的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求点E坐标． 【详解】解：∵矩形的边在x轴上，，，， ∴，，， ∴， ∵以点B为圆心，以的长为半径画弧交x轴于点E， ∴，且， ∴点或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，由矩形的性质可得，，进而可得是等腰直角三角形，即得，再证明，得到，利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 又∵， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，．将沿向右平移，使平移的距离等于线段的长，得到．连接，，，，其中与相交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）明：将沿向右平移，使平移的距离等于线段的长，得到． ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解：四边形为矩形，，，， ，， ， ， ， ， ， 由平移可知． 8．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由，D是的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质，由，得，根据勾股定理求出，再根据矩形性质求出的长． 【详解】（1）证明：，D为的中点， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：， ， 为的中点，， ∴， ， 四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟记矩形性质与判定及等腰三角形性质是解题关键． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】此题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定解答即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据矩形的性质，，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， 10．（24-25八年级下·山东济南·期末）小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． (1)如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； (2)如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)155° (2)连杆端点离桌面的高度为 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，矩形的判定与性质，勾股定理的应用． （1）先求出，再根据，可得，即可解答； （2）过点B作于点O，证明四边形是矩形，可得，继而求出，根据勾股定理，得到，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）过点B作于点O，如图， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即连杆端点离桌面的高度为． ( 考点0 7 菱形的性质与判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，菱形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角相等，每一条对角线平分一组对角求解即可． 【详解】解∶∵菱形中，， ∴， 故选∶B． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在边长为2的菱形中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ， ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一进行分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， 不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点E为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，由的长可求得的长，再求得的长，再利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 连接，交于点， ∵四边形是菱形， ，， 根据题意可知：， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵点E是中点，， ∴， ∵， ， ， 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图所示，菱形的对角线，时，求菱形的边长和面积． 【答案】边长为，面积为2 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式计算即可求出边长AB，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，菱形的对角线互相垂直平分的性质以及菱形的面积等于对角线乘积的一半的求法． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 根据勾股定理，； 面积为： 8．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列两个条件：①；②． (1)请你从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确理解和应用菱形的定义和判定定理是解题的关键． （1）由，得，而，则四边形是平行四边形，若选择①，可根据菱形的定义证明四边形是菱形；若选择②，可根据菱形的判定定理证明四边形是菱形，选择其中一个条件证明四边形是菱形即可； （2）由菱形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，求得，根据勾股定理求出，则，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解∶选择②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 9．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ， 在与中 ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．（24-25八年级下·山东临沂·期末）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，，． (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形； (2)如图2，，于点H，交BD于点E，点G在AB上，连接EG交AC于点F．若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查菱形的证明和性质，等边三角形的性质，等边对等角． （1）根据得，结合对顶角，证明，由对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明平行四边形为菱形； （2）根据菱形的对称性作辅助线，得，根据，，计算角度，证明为等腰直角三角形，得，等量代换，得． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）如图：连接， 由（1）可知四边形是菱形， ， ∵， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 11．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，的平分线 ， 分别交边 ， 于点E，F． (1)求证： ； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由矩形可得，结合平分、平分得，即可知，根据证明四边形是平行四边形即可； （2）先证明四边形是菱形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵平分、平分， ， ， ， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 设， 则， 在中，， 解得：， 则四边形的周长． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． ( 考点0 8 正方形的性质与判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）下列命题正确的是（  ） A．对角互补的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等且互相平分 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定． 根据平行四边形的判定，正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A．对角互补的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角互补，但梯形不是平行四边形，故A错误； B．正方形的对角线相等且互相平分，故B正确； C．矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故C错误； D．菱形的定义是“一组邻边相等的平行四边形”，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据正方形的性质确定，，再利用菱形的性质，确定，，，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，确定，解答即可． 【详解】解：∵正方形 ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，勾股定理，关键是由全等三角形的性质推出，由勾股定理求出的长． 由正方形的面积公式求出，由全等三角形的性质推出，求出，由勾股定理得到． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点E是的中点，连接．的垂线分别交，于点P，Q，则的长度是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】如图所示，过P作于F，由正方形得到，，证明出四边形是矩形，得到，，证明出，得到，然后求出，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，过P作于F， ∵正方形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵E是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平行四边形中，下列结论错误的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当平分时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握．根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、∵， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、∵时， ∴平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）经过一段时间的学习，小琦发现数学知识之间是有许多内在逻辑联系的，因此在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知四边形的对角线交于点，下列条件能判断其为正方形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的判定条件，需结合平行四边形、矩形、菱形的性质进行综合判断．根据正方形的判定条件，需同时满足对角线垂直、相等且平分． 【详解】解：A、由且，可知四边形为平行四边形，说明对角线被平分，但未提及对角线垂直或相等，无法确定为正方形，故选项不符合题意； B、由可得四边形是菱形，由可得四边形是矩形，同时满足菱形和矩形的条件，所以四边形是为正方形，故选项符合题意； C、由且，可得四边形为平行四边形，平分仅说明为菱形，但未验证对角线是否相等，无法确定为正方形，故选项不符合题意； D、由且，可得四边形为平行四边形，说明为矩形，但未验证邻边相等或对角线垂直，无法确定为正方形，故选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知，四边形是正方形，是等边三角形，则________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，分点E在上方和点E在下方两种情况，根据等边三角形的性质和正方形的性质证明，且求出的度数，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，当点E在上方时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点E在下方时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，以正方形的边为边，在正方形外部作等边，与交于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由正方形的性质得到，，，由等边三角形的性质得到，，进而求出，证明，进而可求得的度数； （2）作，垂足为G，由正方形的性质求出，设为x，由30度角的性质得到为，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：作，垂足为G， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设为x，则为， 在中，可得， 解得（负值舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，30度角的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．（24-25八年级下·山东济南·期末）综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了以下的数学活动． (1)如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”填“是”或“不是” (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与相交于点判断四边形是否是“垂美四边形”，并请说明理由． (3)在（2）的条件下，正方形的边长为，正方形的边长为，求的长． 【答案】(1)是 (2)四边形是“垂美四边形”，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，通过勾股定理得出“垂美四边形”四边的关系是本题解题的关键． （1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可得出结论； （2）根据四边形和四边形为正方形，推出和全等，再根据三角形内角和定理得出为直角即可判断； （3）根据勾股定理求出，，，在四边形中，对四个直角三角形列出勾股定理等式，通过变形即可得到的长． 【详解】（1），， 为的垂直平分线， ， 四边形是“垂美四边形”； 故答案为：是； （2）四边形是“垂美四边形”，理由如下： 以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是“垂美四边形”； （3），， ，，， 由勾股定理可得：，，，， ， 11．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】此题是四边形的综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出≌，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明≌可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）解：是等边三角形， 理由：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， 连接， ，， ，， ∵， ， 是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：如图中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形，， 四边形为正方形． 是的平分线，， ， ∵， ， ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ≌， ，． ， 是等腰直角三角形． 是的中点， ， ，， ， ． 12．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【答案】(1)当时，四边形为正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出答案；在直角三角形中，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．先证明，得出，再得出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）当时，四边形BCDE为正方形 为AD的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 若四边形为正方形， 则， 即三角形为直角三角形， 又， （2）解：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， ， 在Rt中，， ， ． ( 考点0 9 折叠问题 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，把矩形纸片沿折叠，点C，D分别落在，处，交于点G．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，根据矩形的性质、平行线的性质可求出，根据折叠可求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定与性质．先根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的长为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了矩形和图形的折叠问题，勾股定理．根据矩形和折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， ∵ ∴在中，， ∴． 故答案为：2 4．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，含的直角三角形． 由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，已知正方形的边长为10，点E、F分别在边、上，若将正方形沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则 _________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，连接，过点F作于点M，证明四边形是矩形，得到，再证明，得到，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点M，，的交点为， ∴， ∴四边形是矩形，， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在菱形中，，点和分别是和上一点，沿将折叠，点恰好落在边的中点上．若，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作交的延长线于点，由，求得，则，所以，，由菱形的性质得，则，由折叠得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，，点为的中点， ， ， 由折叠得， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为： 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东德州·期末）活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，求证：四边形是正方形； 【操作探究】 （2）如图③，将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠，使点、分别落在，上的、处，，分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点分别落在点与点处，恰好点在边上，与相交于点，且，若，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．、分别在边上，，点从点单向运动到点的过程中，将矩形纸片沿着折叠，点分别落到点与点处．若边与边交于点，在此过程中，直接写出： ①的最大值为___________；②点运动的路径长为___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②点运动的路径长为． 【分析】（1）由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，则可证明是等腰直角三角形，得到，据此可证明结论； （2）先证明四边形是矩形，得到，，则；可证明，得到，，则，；由折叠的性质可得，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）①可证明，得到，则，故当时，有最小值，即此时有最大值，可证明此时四边形是矩形，则，即； ②当点E与点N重合时，同理可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；如当点P恰好与点重合时，由折叠的性质可得，则，据此可得答案． 【详解】证明：（1）四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， 四边形是矩形，是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形； （2）四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， 四边形是矩形， ， ； 由折叠的性质可得， ， 又， ， ， ， ； 由折叠的性质可得， ， 设，则， 在Rt中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）①如图3-1所示，由折叠的性质可得， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 当最小时，有最大值， 当时，有最小值，即此时有最大值， 此时四边形是矩形， ， ； ②如图3-2所示，当点与点重合时，同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； 如图3-3所示，当点恰好与点重合时， 由折叠的性质可得， ， 点运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等待，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 8．（24-25八年级下·山东泰安·期末）对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质和菱形的判定，其中对翻折变换的性质的理解是解决问题的关键． 根据点M是的中点判断出是的中点，再判断出垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据四条边相等的四边形是菱形证明结果． 【详解】解：∵对折与重合，折痕是， ∴点M是的中点， ∴是的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵沿所在的直线折叠，点B落在上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 9．（24-25八年级下·山东临沂·期末）在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动．如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． (1)连接，则的形状是_______三角形． (2)将矩形纸片换成正方形纸片，先进行操作一，然后在上任选一点M（点M不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接N，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由． ②如图3，若点N落在下方，正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 【答案】(1)等边 (2)①，，理由见解析；② 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质. （1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解； （2）①根据折叠性质可证即可求解； ②设，分别表示出，，，由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ，， 再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边； （2）解：①如图2，，，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由翻折可知，， ， ， ， ， 由翻折可知：，， ； ②如图3， ，， ，， ， 由①知， 设，，， ， ， 解得：， . 10．（24-25八年级下·山东德州·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动． 如图1，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】（1）如图1，______°； 【深入探究】（2）如图1，求证：四边形是菱形； 【拓展延伸】（3）如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，试判断线段，、之间的数量关系，并说明道理． 【答案】（1）22.5；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得，结合折叠得即可； （2）根据正方形的性质得和，结合折叠得，和，则．进一步得到，有得到，即可证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到平行四边形是菱形． （3）过点Q作的垂线，垂足为K，设交于点R，连接，则，得边形为矩形，结合折叠得和，有，进一步证明≌，有，由对称得垂直平分和，可得到，在中利用即可证明． 【详解】解：（1）∵正方形纸片， ∴， ∵使点B落在上的点E处，得到折痕， ∴， 故答案为∶22.5； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是由翻折得到， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）．理由如下： 过点Q作的垂线，垂足为K，设交于点R，连接，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴． ∵正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为对称轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵点A，点F关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、菱形的判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是特殊四边形的性质和全等三角形的性质． ( 考点 10 动点问题 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，要求的最小值，即求的最小值，作D点关于的对称点，连接交于E，则的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 要求的最小值，即求的最小值， 作D点关于的对称点，连接交于E， 则的值最小， ，， ，， ， 即的最小值为， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知，矩形中，，，为线段中点，线段在线段上移动，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，平移的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握性质的解题的关键．作E关于的对称点，连接，，将向左平移两个单位，使C到达点，由可知G落在F点，可知的最小值为，根据矩形的性质结合中点的定义求出，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作E关于的对称点，连接，，将向左平移两个单位，使C到达点，由可知G落在F点， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为； ∵矩形中，，，为线段中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，正方形的边长为6，以边为底向外作等腰，点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，作辅助线，等腰直角三角形的性质，正方形的性质． 利用轴对称-最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答． 【详解】解：如图，作B点关于直线的对称点，正好落于点D，连接交于点P，连接，此时的值最小， 由作图知道，， ， 正方形的边长为6，是等腰直角三角形，由勾股定理得， ，，， 在中， ， 的最小值 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，在对角线上运动，在边上运动，，与交于点． ①点在运动过程中；②点在运动过程中； ③当点经过点时，；④当经过中点时，； 以上说法正确的是_____________． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，通过构造辅助线，利用正方形的性质和全等三角形的判定，可以证明题目中的各个结论． 【详解】解：①过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴ 又, ∴， ∴， ∴，故①正确； ②当点在上运动，点在上运动时，的值在变化，即的值不一定等于，故②错误； ③点在上运动，无法判断，故③错误； ④连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①④． 5．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，矩形的长，宽，顶点两点分别在轴的正半轴上滑动，，两点在第一象限，则的最大值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接 ∵矩形的长，是的中点， ∴， ∵， 在中，， ∵ ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．    【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 7．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，点E是直线上一点．若，，点E是线段中点，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，菱形是性质，三角形的中位线的性质，如图所示，延长到，使得，连接，利用菱形的性质求解，再利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到，使得，连接， 四边形是菱形，对角线交于点， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， 点是线段中点，， 是的中位线， ． 8．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图1，在矩形中，，，点E从A出发，沿方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图2，点P，Q分别是边，上的点，连接，，，． ①若P，Q分别是，的中点，当________时，四边形是矩形； ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)①2或8；②存在，． 【分析】（1）由勾股定理计算得出，再分两种情况：当时；当时，分别计算即可得解； （2）①证明四边形为矩形，得出，由矩形的性质可得，由①可得当时，；当时，，再分情况计算即可得解；②连接，交于点O，连接，．由菱形的性质可得，，，证明四边形是平行四边形得出，即可得出是的垂直平分线，从而可得，设，则，由勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵E，F的运动速度均为每秒1个单位长度， ∴E，F相遇的时间为（秒），E，F运动的总时间为（秒）， 故当时，；当时，； （2）解：①如图，连接， ∵P，Q分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由①可得当时，；当时，， 故当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，当2或8时，四边形是矩形； ②存在．连接，交于点O，连接，． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：，即 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3 / 106 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形 10大高频考点概览 考点01 多边形及其内角和 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04平行四边形性质与判定综合 考点05中位线的应用 考点06矩形的性质与判定 考点07菱形的性质与判定 考点08正方形的性质与判定 考点09 折叠问题 考点10 动点问题 ( 考点 0 1 ) ( 多边形及其内角和 ) 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）一个多边形剪去一个角（剪痕不过顶点）后，形成的新多边形内角和与原多边形外角和的差是，则原多边形的边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）正六边形和正方形如图所示摆放，连接，则图中的度数为______． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若连接，则的度数为_____°． 8．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内角和是______度． ( 考点0 2 平行四边形的性质 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接．已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．24 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，点坐标为，点为坐标原点，线段沿轴向右平移得到线段，连接，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 4．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在中，，，D为的中点，E为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为________． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，请求出的周长． 6．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，与的平分线分别交于点F与E． (1)求证：； (2)求证：． 9．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形的对角线，交于点O，E是上的点，连接并延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的值． ( 考点0 3 平行四边形的判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）下列命题的逆命题错误的是（    ） A．平行四边形是中心对称图形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的两组对边相等 D．平行四边形的两组对角相等 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东德州·期末）四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉的回答正确 B．只有淇淇的回答正确 C．两人的回答都正确 D．两人的回答都不正确 二、解答题 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接、、、 (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的长． 6．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知：如图，垂直平分，，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 7．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 8．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． ( 考点0 4 平行四边形性质与判定综合 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图是由两个正五边形、两个正六边形拼成的轴对称图形，已知正五边形和正六边形的边长相等，则是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是________． ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴四边形的面积； 答案为：9 3．（24-25八年级下·山东·期末）如图，在中，，，点在上，，将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，那么四边形的面积为______． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 5．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在中，E、F分别是和上的点，，M，N分别是和的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知，如图，的对角线，相交于点，过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的边上的高为________． 9．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别位于、上，、分别平分，求证：四边形是平行四边形． 10．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平行四边形中，，为锐角．点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取，的中点，； 乙方案：作于点，于点； 请回答下列问题： (1)你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？ 答：________（填是或者不是） (2)你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． (3)请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，并在图中标记字母，并写出证明． ( 考点0 5 中位线的应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，点E是线段上一动点，，在点E的运动过程中，始终有，，点M，N分别是的中点，已知，当时，长为（   ） A．2 B．或 C．或 D．1或3 二、填空题 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点是矩形的对角线的中点，点是的中点，连接，若，，则的长为______． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在菱形中，，，点M，N分别是上的动点，连接，点P，Q分别为的中点，则的最小值是______． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 三、解答题 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，已知为菱形的对角线，请过点B作的垂线； (2)如图2，已知四边形，，且，点E为线段的中点，请过点E作的平行线． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，F是的中点，．在边上截取，连接，过点A作，垂足为点E，连接，求的长度． 7．（24-25八年级下·山东滨州·期末）求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形． 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 10．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． ( 考点0 6 矩形的性质与判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________．    5．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A，B，D的坐标分别为，，，以点B为圆心，以的长为半径画弧交x轴于点E，则点E的坐标为______． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，．将沿向右平移，使平移的距离等于线段的长，得到．连接，，，，其中与相交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求线段的长度． 8．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 10．（24-25八年级下·山东济南·期末）小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． (1)如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； (2)如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） ( 考点0 7 菱形的性质与判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，菱形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在边长为2的菱形中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 5．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点E为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为________． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图所示，菱形的对角线，时，求菱形的边长和面积． 8．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列两个条件：①；②． (1)请你从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 9．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． 10．（24-25八年级下·山东临沂·期末）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，，． (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形； (2)如图2，，于点H，交BD于点E，点G在AB上，连接EG交AC于点F．若，求证：． 11．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，的平分线 ， 分别交边 ， 于点E，F． (1)求证： ； (2)若，，，求四边形的周长． ( 考点0 8 正方形的性质与判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）下列命题正确的是（  ） A．对角互补的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等且互相平分 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点E是的中点，连接．的垂线分别交，于点P，Q，则的长度是（   ） A． B． C．10 D． 5．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平行四边形中，下列结论错误的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当平分时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）经过一段时间的学习，小琦发现数学知识之间是有许多内在逻辑联系的，因此在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 7．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知四边形的对角线交于点，下列条件能判断其为正方形的是（   ） A． B． C．平分 D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知，四边形是正方形，是等边三角形，则________． 三、解答题 9．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，以正方形的边为边，在正方形外部作等边，与交于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 10．（24-25八年级下·山东济南·期末）综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了以下的数学活动． (1)如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”填“是”或“不是” (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与相交于点判断四边形是否是“垂美四边形”，并请说明理由． (3)在（2）的条件下，正方形的边长为，正方形的边长为，求的长． 11．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 12．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． ( 考点0 9 折叠问题 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，把矩形纸片沿折叠，点C，D分别落在，处，交于点G．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的长为_____． 4．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则为_____． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，已知正方形的边长为10，点E、F分别在边、上，若将正方形沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则 _________． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在菱形中，，点和分别是和上一点，沿将折叠，点恰好落在边的中点上．若，则的长为______． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东德州·期末）活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，求证：四边形是正方形； 【操作探究】 （2）如图③，将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠，使点、分别落在，上的、处，，分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点分别落在点与点处，恰好点在边上，与相交于点，且，若，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．、分别在边上，，点从点单向运动到点的过程中，将矩形纸片沿着折叠，点分别落到点与点处．若边与边交于点，在此过程中，直接写出： ①的最大值为___________；②点运动的路径长为___________． 8．（24-25八年级下·山东泰安·期末）对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 9．（24-25八年级下·山东临沂·期末）在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动．如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． (1)连接，则的形状是_______三角形． (2)将矩形纸片换成正方形纸片，先进行操作一，然后在上任选一点M（点M不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接N，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由． ②如图3，若点N落在下方，正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 10．（24-25八年级下·山东德州·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动． 如图1，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】（1）如图1，______°； 【深入探究】（2）如图1，求证：四边形是菱形； 【拓展延伸】（3）如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，试判断线段，、之间的数量关系，并说明道理． ( 考点 10 动点问题 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知，矩形中，，，为线段中点，线段在线段上移动，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C．12 D． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，正方形的边长为6，以边为底向外作等腰，点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，在对角线上运动，在边上运动，，与交于点． ①点在运动过程中；②点在运动过程中； ③当点经过点时，；④当经过中点时，； 以上说法正确的是_____________． 5．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，矩形的长，宽，顶点两点分别在轴的正半轴上滑动，，两点在第一象限，则的最大值是___________． 三、解答题 6．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 7．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，点E是直线上一点．若，，点E是线段中点，连接，求的长． 8．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图1，在矩形中，，，点E从A出发，沿方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图2，点P，Q分别是边，上的点，连接，，，． ①若P，Q分别是，的中点，当________时，四边形是矩形； ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $