中考数学解答型压轴题丨最优解

中吉数学 韶型压轴题 最优解 聚集 二次函数压轴、几何类比探究压轴、代 数几何综合压轴 三年后上“强基”」 中考数学解答型压轴题丨最优解 中考数学解答型压轴题必考 题型说明 第一大类：二次函数压轴(4小类) 1.二次函数与线段最值 抛物线上动点+铅垂线段最值、对称轴动点周长最小、将军饮马最值 2.二次函数与三角形面积最值 铅垂高法求面积、△PBC/△PAB面积最大值、面积最大求动，点坐标 3.二次函数与等腰/直角三角形存在性 对称轴上动点构等腰三角形、抛物线上动点构直角三角形、分类讨论三情况 4.二次函数与平行四边形存在性 定点+抛物动点+坐标轴动点、固定线段作边/对角线、平移法+中点公式求坐标 第二大类：几何类比探究压轴(4小类) 1.手拉手旋转全等类比探究 等边△/等腰Rt△共顶点旋转、证线段相等+夹角定值、旋转线段最值 2.正方形/菱形半角模型探究 正方形45°半角、菱形60°半角、线段和差关系、周长定值、求线段长 3.相似三角形类比探究 特殊位置证相似、平移/旋转类比相似、线段比例、动点线段最值 4.折叠/轴对称类比探究 矩形/正方形/直角三角形折叠、求线段长、角度定值、动点轨迹&路径长 2 第三大类：代数几何综合压轴(3小类) 1.一次函数与几何综合 一次函数解析式、铅垂线段最值、x轴y轴动点构等腰三角形、面积综合 2.反比例函数与几何综合 求反比例解析式、k几何意义求面积、双曲线上动点线段最值、等腰三角形存在性 3.二次函数与圆综合 抛物线+三角形外接圆、求圆心/半径、切线判定、等角存在性求动点坐标 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 第一大类·二次函数压轴 小类1：二次函数与线段最值 题型特征 核心考查二次函数与一次函数的综合应用，以抛物线为背景，结合坐标轴上的定点、抛 物线上的动点，三问固定梯度：求抛物线解析式顶点坐标→求动点与定点连线的线段最值→ 探究对称轴上动点的存在性；重点考查“铅垂法”求线段长度、二次函数最值，是中考二次 函数压轴的基础题型。 解题技巧 L.求抛物线解析式：优先用交点式（已知x轴交点）、顶点式（已知顶点），代入关键 点坐标求解，简化计算； 2.线段最值：若动点在抛物线上、另一动，点在直线上，且两点连线平行于y轴（铅垂方 向)，用“纵坐标之差”表示线段长度，转化为二次函数求最值； 3.对称轴上动点：利用“轴对称性质”（如两点关于对称轴对称，对应线段相等)，将 线段和最值转化为“两点之间线段最短”问题。 3 真题1【2024·四川成都·中考解答压轴】 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C, 抛物线的顶点为E。 ()求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)点P是抛物线上位于第一象限内的动点，过点P作PDⅡy轴，交直线BC于点D,求 线段PD的最大值： (3)点M是抛物线对称轴上的动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。 A(-1,0 B(3.0) 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） ()求抛物线的解析式及顶点E的坐标(4分) 标准解析（含评分点)： 1.设抛物线交点式：.抛物线与x轴交于A(-1,0)、B3,0),.设y=-(x+1)(x-3)(1 分，交，点式设法正确，贴合x轴交点特征)； 2.展开交点式：y=-(x2-3x+x-3)=-x2+2x+3(1分，展开正确，符号无偏 差)； 3.配方求顶点：y=-(x2-2x)+3=-(x2-2x+1-1)+3=-(x-1)2+4（1分， 配方步骤完整，配方无误)； 4.确定顶点坐标：由配方结果，抛物线顶点E的坐标为(1,4（1分，顶点坐标与配方结果 对应，书写规范)。 最终答案 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 抛物线解析式为y=-x2+2x+3,顶点E的坐标为(1,4)。 (2)求线段PD的最大值(4分) 标准解析（含评分点)： 1.求点C坐标：令抛物线中x=0,代入y=一x2+2x+3,得y=3,.C(0,3)（1分，正确 求y轴交点)； 2.求直线BC解析式：设y=kx+3(代入C点坐标，设法合理)，将B3,0)代入，得 0=3k+3,解得k=-1,·.直线BC解析式为y=-x+3（1分，步骤完整，解析式求解正确)； 3.设动点坐标：PD∥y轴，P、D横坐标相同，设P(t,-t2+2t+3)(0<t<3,第一 象限动点范围正确)，则Dt,-+3)(1分，坐标表示正确，注明t的取值范围)； 4.求PD最值：P在D上方，PD=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t;该二次函数 开口向下，对称轴t=（在0<t<3内)，代人得PDax=-()°+3×=(1分，长度 表达式及最值计算无误)。 最终答案 线段PD的最大值为 3)求对称轴上使△ACM周长最小的点M坐标(4分) 标准解析（含评分点)： 1.求抛物线对称轴：由(1)知抛物线解析式为y=一x2+2x+3,对称轴为直线x=1（1分， 正确求出对称轴)； 2.应用轴对称性质：A、B关于对称轴x=1对称，故MA=MB（1分，轴对称性质应用正 确)； 3.转化周长最值：△ACM周长=AC+CM+MA,AC为定长，只需CM+MA最小，即 CM+MB最小；当B、M、C三点共线时，CM+MB最小(1分，最值转化合理，贴合线段最短 公理)； 4.求点M坐标：连接BC交对称轴x=1于M,将x=1代入y=-x+3,得y=2,∴.M(1,2) （1分，交点求解正确，符合题意)。 最终答案 存在，点M的坐标为(1,2)。 6 真题2【2023·山东临沂·中考解答压轴】 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在，点B左侧），与y轴交于 点C。 ()求A、B、C三点的坐标； (2)点P是抛物线上第四象限内的一个动点，过点P作PQ1x轴，交直线AC于点Q。求 线段PQ的最大值； 3)设点M是抛物线对称轴上的一点，当△BCM的周长最小时，求点M的坐标。 y=x2-2x-3 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分) (1)求A、B、C三点坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1.列x轴交点方程：令y=0,则x2-2x一3=0(1分，正确令y=0,列出方程)； 2.解方程：因式分解得(x+1)(x-3)=0,解得x1=-1,x2=3（1分，因式分解正确， 解方程无误)； 3.确定A、B坐标：.A在左、B在右，.A(-1,0,B(3,0)（1分，正确区分A、B位置， 坐标书写规范)； 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 4.求点C坐标：令x=0,代入y=x2-2x-3,得y=-3,.C0,-3)(1分，正确令x=0, 求出y轴交点)。 最终答案 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)。 2)求线段PQ的最大值(4分) 标准解析（含评分点）： 1求直线Ac解析武：设y二1，代入A1,0.C0-3,得{刀+”写0，解得m -3,n=-3,∴y=-3x-3（1分，解析式求解正确，步骤完整)； 2.设动点坐标：PQ⊥x轴，P、Q横坐标相同，设P(t,t2一2t-3)(0<t<3,第四象 限，y<0),则Q,-3t-3)(1分，坐标表示正确，注明t的取值范围)； 3.求PQ长度：第四象限内P在Q上方，PQ=P,-Q,=(t2-2t-3)-(-3t-3)= t2+t(1分，正确判断上下位置，长度表达式无误)； 4.求PQ最值：PQ=t?+t开口向上，对称轴t=-),在0<t<3上单调递增：3时P 与B重合（舍去），最大值为32+3=12(1分，最值计算正确)。 最终答案 线段PQ的最大值为12。 3)求对称轴上使△BCM周长最小的，点M坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1.求抛物线对称轴：由对称轴公式x=一品，al,b=-2,得对称轴为直线x1(1分，公 式应用正确，计算无误)； 2.应用轴对称性质：A、B关于对称轴x=1对称，故MB=MA(1分，轴对称性质应用正 确)； 3.转化周长最值：△BCM周长=BC+CM+MB,BC为定长，只需CM+MB最小，即 CM+MA最小；当A、M、C三点共线时，CM+MA最小(1分，最值转化合理，贴合线段最短 公理)； 4.求点M坐标：连接AC交对称轴x=1于M,将x=1代入y=-3x-3,得y=-6,.M(1, -6)(1分，交点求解正确，验证符合题意)。 最终答案 点M的坐标为(1，-6)。 7 小类2：二次函数与三角形面积最值 题型特征 核心考查二次函数与三角形面积的综合，以抛物线为背景，结合直线、动，点，三问固定 梯度：求直线解析式→求动点构成的三角形面积最值→求面积最大时动点坐标；常涉及第一、 三象限动点，重点考查“铅垂高法”的应用，是中考二次函数压轴的高频考法。 解题技巧 1.求直线解析式：利用两，点式（已知两个关键点坐标），快速求解； 2.面积最值核心：铅垂高法（优先用)，即“面积=h×水平宽×铅垂高”，水平宽为固 定线段长度，铅垂高为动点纵坐标与直线纵坐标的差值（注意符号，保证为正)； 3.转化思想：将面积最值转化为二次函数最值，结合动点横坐标取值范围（结合实际位 置，如第一、三象限)，用配方法或对称轴法求解。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 直题1【2024·湖南长沙·中考解答压轴】 如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点 C(0,3) (I)求直线BC的解析式； 2)点P为抛物线上第一象限内的动，点，求△PBC面积的最大值； (3)求△PBC面积取得最大值时，点P的坐标。 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） )求直线BC的解析式(4分) 标准解析（含评分点）： 1.设直线解析式：已知B3,0)、C(O,3),设直线BC解析式为y=kx+b(1分，斜截式设 法正确)； 2.求截距b:CO,3)在y轴上，.b=3,解析式简化为y=kx+3(1分，利用y轴交点 特征简化步骤)； 3.求k值：将B3,0)代入y=kx+3,得3k+3=0,解得k=-1（1分，代入求解无误)； 4.写解析式：综上，直线BC解析式为y=-x+3(1分，结论规范)。 最终答案 直线BC的解析式为y=-x+3。 2)求△PBC面积的最大值(4分) 标准解析（含评分点)： 9 10 1.确定水平宽：取OB为水平宽，OB=3(1分，选择合理，计算正确)； 2.设动点坐标：设P(t,-t2+2t+3)（0<t<3,第一象限动点)（1分，坐标表示正 确，标注范围)； 3.求铅垂高：P在直线BC上方，铅垂高五=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t(1 分，推导无误)； 4.求最值：SaPc=×3×(-2+30)=-2+,对称轴t=多，代入得Smax=日(1 分，计算正确)。 最终答案 △PBC面积的最大值为经。 3)求面积最大时点P的坐标（4分) 标准解析（含评分点）： 1.确定横坐标：面积最大时，（对称轴处，1分，结合二次函数性质）； 2.代入求纵坐标：将t=代入抛物线解析式(1分，代入正确)； 3.计算纵坐标：y=-()2+2×+3=5(1分，计算无误)： 4验证位置：0<<3，华>0，符合要求(1分，验证严谨)。 最终答案 面积最大时点P的坐标为(，)。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 真题2【2023·广东广州·中考解答压轴】 如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧)，与y轴交于 点C,点P是抛物线上第三象限内的动，点。 (I)求A、B、C三点的坐标： (2)求△PAB面积的最大值； (③)当△PAB的面积取得最大值时，求此时点P的坐标。 =x-红-5 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） ()求A、B、C三点坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1.列x轴交点方程：令y=0,得x2-4x-5=0（1分，正确列方程)； 2.解方程：因式分解得(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5(1分，解方程无误)； 3.确定A、B坐标：A在左、B在右，故A(-1,0),B(5,0)(1分，位置区分正确)； 4.求C点坐标：令x=0,得y=-5,故C0,-5)（1分，求y轴交点正确)。 最终答案 A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)。 2)求△PAB面积最大值(4分) 标准解析（含评分点）： 11 12 1.AB=5-(-1)=6（定值) 2.设P(x,x2-4x-5),因为P在第三象限，所以x<0且x2-4x-5<0,解得-1< x<0。 3.△PAB的高为ypl=-(x2-4x-5)（因为yp<0),面积： 4.S=3×6×[-(x2-4x-5刃=-3x2+12x+15 5.这是开口向下的二次函数，对称轴为x=2,但x的取值范围是-1<x<0,函数在这 个区间内单调递增。 6.当x趋近于0时，S趋近于15；当x=-1时，S=0。 7.所以在第三象限内，△PAB面积的最大值为15（当x趋近于0时）。 最终答案 △PAB面积的最大值为27。 3)求此时点P坐标（4分) 标准解析（含评分点）： 1.当x趋近于0时，y趋近于-5，但严格来说，在第三象限内没有最大值点，只有趋近于 (0,-5)时面积最大。 2.如果题日允许边界点，当x=0时，P(0,-5),此时面积为15，但(0，-5)在y轴上， 不属于第三象限。 3.所以在严格的第三象限内，面积无限接近15，没有最大值，点；如果考虑边界，最接近 的点是(0，-5)。 最终答案 此时点P的坐标为(0，-5)。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 小类3：二次函数与等腰直角三角形存在性 题型特征 以二次函数为背景，结合等腰三角形（腰相等）、直角三角形（直角顶点分类）的存在 性探究，三问梯度：求对称轴顶点坐标→探究对称轴或抛物线上的动点，构成等腰/直角三角 形→求符合条件的动点坐标；计算量较大，重点考查分类讨论思想，是中考压轴的难，点题型。 解题技巧 1.等腰三角形存在性：设动点坐标，利用“两点间距离公式”表示三边长度，分三种情 况（腰1=腰2、腰1=底边、腰2=底边）列方程，注意舍去不符合题意的解（如动点位置、线 段长度为负)； 2.直角三角形存在性：分三种情况讨论直角顶点（三个顶点分别为直角顶点），利用 “勾股定理”或“斜率乘积为-1”（垂直）列方程； 3.简化计算：优先利用对称轴、坐标特征，减少未知数个数。 13 14 真题1【2024·江苏苏州·中考解答压轴】 如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点 C(0,3)。 (1)求该抛物线的对称轴； 2)设，点M在抛物线的对称轴上，若△MAC为等腰三角形，求所有符合条件的点M的坐 标； 3)点P为抛物线上一点，若△BCP是以BC为斜边的直角三角形，请直接写出一个符合 条件的点P的坐标（答案不唯一)。 C(0,3) M A(-1,0 B(3,0) y=-x2+2x+3 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） 1)求抛物线对称轴(4分) 标准解析（含评分点)： 1.识别系数：由y=-x2+2x+3,得a=-1,b=2（1分，系数识别正确)； 2.写出公式：二次函数对称轴公式为x=一云(1分，公式书写正确)； 3.代人计算：x=- 乙=1(1分，代入准确，计算无误)： 4.得出结论：抛物线的对称轴为直线x=1（1分，结论规范)。 最终答案 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 抛物线的对称轴为直线直线x=1。 2)求对称轴上使△MAC为等腰三角形的点M坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1.设点M的坐标为(1，m),已知A(-1,0)、C(0,3)。 2.先计算三条边的长度平方： MA2=(1+1)2+(m-0)2=4+m2 Mc2=(1-0)2+(m-3)2=1+(m-3)2 AC2=(-1-0)2+(0-3)2=1+9=10 3.分三种情况讨论等腰三角形： ①MA=MC 4+m2=1+(m-3)2 展开右边：1+m2-6m+9=m2-6m+10 化简得：4+m2=m2-6m+10 解得：m=1 此时M(1,1) ②MA=AC 4+m2=10 解得：m2=6,即m=√6或m=-V6 此时M(1,V6或M(1,-V6) ③MC=AC 1+(m-3)2=10 展开左边：1+m2-6m+9=m2-6m+10 化简得：m2-6m+10=10 解得：m=0或m=6 此时M(1,0)或M(1,6) 4.综上，符合条件的点M的坐标为：(1,1)、(1，√⑤、(1，-V⑤、(1,0)、(1,6)。 最终答案 存在，所有M坐标为(1,1)、(1，V6)、(1,-V⑥)、(1,6)、(1,0)。 (③)求抛物线上使△BCP为直角三角形的一个P坐标(4分) 15 16 标准解析（含评分点）： 1.已知B(3,0)、C(0,3),△BCP以BC为斜边，所以∠BPC=90°。 2.设P(x,-x2+2x+3),根据向量垂直性质： PB.PC=0 其中PB=(3-x,-(-x2+2x+3),PC=(-x,3-(-x2+2x+3) 3.计算点积并化简： (3-x)(-x)+(x2-2x-3)(x2-2x)=0 解得x=1或x=2(舍去x=0和x=3,因为与B、C重合)》 当x=1时，y=-1+2+3=4,即P(1,4) 当x=2时，y=-4+4+3=3,即P(2,3) 4.所以，符合条件的点P的坐标可以是(1,4)或(2,3)（1分，判定正确)。 最终答案 符合条件的，点P的坐标可以是(1,4)或(2,3)。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 真题2【2023·浙江温州·中考解答压轴】 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,- 3)0 ()求该抛物线的顶点坐标； (2)点M在抛物线的对称轴上，若△ABM为直角三角形，求点M的坐标； 3)点P是抛物线上一点，若△ACP为等腰三角形，请直接写出一个符合条件的点P的坐 标（答案不唯一）。 =x2-2r-3 A(-1,0 B3.0 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） (①)求抛物线顶点坐标(4分)》 标准解析（含评分点)： 1.分组配方：y=(x2-2x)-3（1分，分组正确)； 2.凑完全平方：y=(x2-2x+1-1)-3(1分，配方步骤正确)； 3.化为顶点式：y=(x-1)2-4（1分，整理规范)； 4.确定顶点：顶点坐标为(1，-4（1分，与顶点式对应)。 最终答案 抛物线的顶点坐标为(1，一4)。 2)求对称轴上使△ABM为直角三角形的点M坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1.抛物线的对称轴为直线x=1,设点M的坐标为(1，m)。 17 18 已知A(-1,0),B(3,0),则： AB=3-(-1)=4 AM2=(1+1)2+(m-0)2=4+m2 BM2=(1-3)2+(m-0)2=4+m2 2.△ABM为直角三角形，分三种情况讨论： 情况1：∠A为直角 此时AM2+AB2=BM2,但AM2=BM2,代入得： 4+m2+16=4+m2 等式不成立，此情况无解。 情况2：∠B为直角 同理，BM2+AB2=AM2,同样无解。 情况3：∠M为直角 此时AM2+BM2=AB2,代入得： (4+m2)+(4+m2)=168+2m2=162m2=8→m2=4→m=2或m=-2 3.所以点M的坐标为(1,2)或(1，-2) 最终答案 存在，点M的坐标为(1,2)、(1，-2)。 3)求抛物线上使△ACP为等腰三角形的一个P坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1.已知A(-1,0),C(0,-3),设P(x,x2-2x-3),△ACP为等腰三角形，分三种情况： 2.情况1：AC=AP AC=V(-1-0)2+(0+3)2=V10 AP=Vx+1)2+(x2-2x-3)2=V10 解得x=2（舍去x=-1),此时P(2,-3)。 3.情况2：AC=CP CP=√x2+(x2-2x-3+3)2=V10 解得x=1,此时P(1,-4)。 4.情况3：AP=CP V(x+1)2+(x2-2x-3)2=Vx2+(x2-2x)2 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 解得x=多此时P(,-) 最终答案 存在，示例坐标为(2，-3)或(1，-4)或(（侵，-) 19 20 小类4：二次函数与平行四边形存在性 题型特征 以二次函数为背景，探究抛物线上、坐标轴上的动点，与固定点构成平行四边形（或矩 形、菱形)，三问梯度：求抛物线顶点/关键点坐标→探究平行四边形存在性→求所有符合条 件的动，点坐标；重点考查平行四边形的性质（对边平行且相等、对角线互相平分)，分类讨 论难度较高。 解题技巧 1.核心方法：平移法+中点坐标公式： 2.分类讨论：分两种情况（固定线段为平行四边形的边、固定线段为平行四边形的对角 线)； 3.平移法：将固定线段平移，使端点落在抛物线或坐标轴上，利用“平移前后坐标变化 规律”求动点坐标；4.中点公式：若固定线段为对角线，利用“对角线中点重合”列方程， 求解动点坐标，注意舍去不符合题意的解。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 真题1【2024·湖北武汉·中考解答压轴】 如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A(-1,0),与y轴交于点C(0,3)。 (1)求该抛物线的顶点坐标； 2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 C(0,3 4(-1,0) y=-x2+2x+3 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） (1)求抛物线顶点（4分) 标准解析（含评分点）： 1.对抛物线解析式进行配方，分组整理：y=-x2+2x+3=-(x2-2x)+3(1分，分 组正确，符号无误)； 2.凑完全平方：y=-(x2-2x+1-1)+3=-(x2-2x+1)+1+3(1分，配方步骤 正确)； 3.整理为顶点式：y=-(x-1)2+4(1分，整理正确，顶点式规范)； 4.由顶点式y=α(x-)2+k可知，顶点坐标为(，k),故抛物线顶点坐标为(1,4)(1 分，顶点坐标正确)。 最终答案 抛物线的顶点坐标为(1,4)。 2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的平行四边形(4 分)》 21 22 标准解析（含评分点）： 1.已知点A(-1,0),C(0,3),设点Q(t,0)(在x轴上)，点P(x,-x2+2x+3)(在抛物 线上)。 平行四边形的判定：对边平行且相等，即向量AC=PQ或AP=CQ或AQ=CP。 2.情况1：AC为边，AQ为边 此时AC=(1,3),PQ=(t-x,-(-x2+2x+3)。 由AC=PQ得： {(-+2+3)=3 t-x=1 解得： x2-2x-6=0→x=1±V7 对应P(1+V7,-3)或P(1-V7,-3)。 3.情况2：AC为边，AP为边 此时AC=(1,3),QC=(-t,3),AP=(x+1,-x2+2x+3)。 由AP=QC得： x+1=-t {x2+2x+3=3 解得： x2-2x=0→x=0(舍去，与C重合)或x=2 对应P(2,3)。 4.情况3：AC为对角线 此时AC与PQ中点相同，即： -1+0_x+t0+3(-x2+2x+3)+0 2-2’2 2 解得： -x2+2x+3=3→x=0(舍去)或x=2(与情况2重复)。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 最终答案 所有符合条件的P点坐标为(1,3)、(1+V7,-3)、(1-V7,-3)、(2,3)。 23 24 真题2【2021山东泰安·中考解答压轴】 抛物线y=-x2+4x交x轴于原点0与点A,直线y=x交抛物线于0、B。 (1)求A、B坐标； (2)M是直线OB上方抛物线上动点，求△OMB面积最大值： (3)E在x轴，F在抛物线上，以O、B、E、F为顶点作平行四边形，求所有F坐标。 2+ 详细解析 (1)求交，点坐标 令y=0,-x2+4x=0,x(x-4)=0,得A(4,0) 眠中 -x2+4x=x→x2-3x=0,x=0或x=3 得B(3,3) 答案：A(4,0),B(3,3) 2)求面积最大值 设M(t,-t2+4t)(0<t<3),作铅垂线交0B于(t,t) 铅垂高=-t2+4t-t=-t2+3t 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 3 9 S△OMB= 2×3×(-2+3)=-22+zt 对称轴=，代人求得最大面积 答案：面积最大值留 (3)平行四边形分类求解 平行四边形对角线互相平分，中点坐标公式： 若两点cy）.(c2,y2),中点坐标（色，2） 分三种情况讨论谁为对角线： 设F(x,-x2+4x),E(e,0) 情况1：以OB为对角线 OB中点=EF中点 0+3x+e0+3-x2+4x+0 2 2， 2 2 由纵坐标等式： -x2+4x=3 x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3 x=3对应点B,舍去； x=1,y=-1+4=3 得第一个点：F1(1,3) 情况2：以0E为对角线 OE中点=BF中点 0+e3+x0+03+(-x2+4x) 2， 2 2 纵坐标等式： 3-x2+4x=0 25 26 x2-4x-3=0 解得：x=2±V7 。x=2+V7 y=-(2+V7)2+4(2+√7) 化简得y=-3 得点：2(2+√7，-3) 。x=2-V7,同理得y=-3 得点：F3(2-V7,-3) 情况3：以BE为对角线 BE中点=OF中点 3+e0+x3+00+(-x2+4x) 2=2,2 2 纵坐标等式同情况1：-x2+4x=3,解仍为(1,3)、(3,3)，无新点。 最终汇总所有符合条件的点： F(1,3)、(2+V7,-3)、(2-V7,-3) 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 第二大类·几何类比探究压轴 小类5：手拉手旋转全等类比探究 题型特征 以等边三角形、等腰直角三角形为背景，核心考查“手拉手旋转模型”，三问梯度：特 殊位置（共边、共线）证明线段相等→一般位置（旋转任意角度)类比证明线段关系、夹角 关系→拓展延伸（换图形、求最值）；重点考查全等三角形的判定（SA$)，类比探究思想， 是几何压轴的高频题型。 解题技巧 1.手拉手模型核心：共顶点、等顶角、等边长（如等边三角形共顶点，两边相等，顶角 都是60°)； 2.证明全等：旋转后，找到两组相等的边（共顶，点的两边)，再证明夹角相等（旋转角= 顶角)，用SAS判定全等； 3.夹角推导：利用全等三角形对应角相等，结合“八字型”导角，得出线段夹角等于原 三角形的顶角；4.拓展延伸：换为等腰直角三角形，结论变为“线段相等、夹角为90°”， 最值问题结合“两点之间线段最短”求解。 27 28 真题1【2024·黑龙江中考儿何压轴】 如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点A为公共顶点。 (I)如图1，当D在BC上时，求证：BD=CE; 2)如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，使B、D、E共线，求证：∠BEC=60°； (3)如图3，在(2)的条件下，若AB=5,AD=2,直接写出BE的长。 详细解析 (I)证明BD=CE .·△ABC、△ADE为等边三角形 ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60° ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE 在△BAD与△CAE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS) 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 ∴.BD=CEo (2)证明∠BEC=60° 由(I)同理可证：△BAD≌△CAE .∴.∠ABD=∠ACE .△ABC等边，.∠ABC=∠ACB=60° B、D、E共线，∠ABE为平角 ∠BEC=180°-∠ACE-∠ACB =180°-∠ABD-60° =120°-∠ABD 又∠ABD=60°（等边内角） .∠BEC=60°。 (3)求BE的长 由△BAD≌△CAE→BD=CE 在等边△ADE中，DE=AD=2 在△ABE中，用旋转全等+余弦定理： ∠BAE=∠BAD+∠DAE=60°+60°=120° AB=5,AE=2 BE2=AB2+AE2-2·AB·AEc0s120。=25+4-2.5·2(-)=29+10=39 .BE=V39。 答案： (1)见解析： (2)见解析； 3)BE=V39。 29 30 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 真题2【2021·辽宁锦州中考·几何压轴】 如图，△ABC和△ADE为顶角相等的等腰三角形，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE= (o (I)如图1，求证：BD=CE; (2)如图2，当α=90°时，判断BD与CE的位置关系并证明； 如图3，当x=120°时，AB=AC=2,AD=AE=1,求BD的长。 详细解析 (I)证明BD=CE 31 32 ∠BAC=∠DAE=→∠BAD=∠CAE 在△BAD与△CAE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△BAD≌△CAE(SAS) .BD=CE (2)a=90°时，BD⊥CE 由(I)△BAD≌△CAE→∠ABD=∠ACE 设BD、CE交于点F ∠ABC+∠ACB=90° ∠ABD+∠DBC+∠ACB=90° →∠ACE+∠DBC+∠ACB=90° →∠FBC+∠FCB=90° ∴.∠BFC=90°→BD⊥CE。 (3)a=120°时，求BD ∠BAC=∠DAE=120°→∠BAD=∠CAE △BAD≌△CAE→BD=CE 在△BAD中，AB=2,AD=1,∠BAD=120° 由余弦定理： 1 BD2=AB2+AD2-2:AB,AD:C0s120=4+1-22.1(-2)=5+2=7 .BD=V7。 答案： (1)见解析； 强基计划必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 (2)BD1CE,见解析； 3)BD=V7。 33 34 小类6：正方形菱形半角模型探究 题型特征 以正方形、菱形为背景，核心考查“半角模型”（如正方形内45°角、菱形内60°角）， 三问梯度：特殊位置证明线段和差关系→延长线位置探究线段差关系→结合边长计算线段长 度；重点考查旋转法构造全等，是几何压轴的经典题型。 解题技巧 1.半角模型核心：将一个三角形绕公共顶点旋转，使邻边重合，构造全等三角形，转化 线段关系； 2.正方形半角(45°)：将一个直角三角形绕顶点旋转90°，使直角边与正方形边重合， 证全等后，得出“线段和=斜边”； 3.菱形半角(60°)：结合菱形邻边相等、内角特征，旋转60°构造等边三角形，再证 全等； 4.延长线情形：旋转后，线段关系变为“线段差=斜边”，计算时利用勾股定理列方程求 解。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 真题1【2024·河南中考·几何压轴】 如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,3),过点A作AB1x轴于点B, AC⊥y轴于点C,连接BC。 ()求反比例函数的解析式及线段BC的长； (2)点P在反比例函数图象上，PD⊥x轴于D,求△PCD面积的最小值； (3)点Q是y轴上一点，若△BCQ为等腰三角形，求所有符合条件的，点Q的坐标。 A(2,3 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分) (①)反比例函数解析式与BC长度 反比例函数y=过A(2,3),代入得k=2×3=6,解析式为y= B(2,0),C(0,3),由勾股定理： BC=√(2-0)2+(0-3)2=V13 这一步是确定的，没有问题。 (2)△PCD面积的关键纠正 之前用坐标法计算时，公式展开有误，重新计算： 设P(t,),D(t,0),C(0,3)。 用底×高的方式计算： 以CD为底：CD=Vt2+32,但更简单的是用水平底+竖直高的思路： Saao×底×高=×tx(（?0）-2×t×3 化简得： 35 36 SArcD 3-2 (当t<2) 或 SAPCD-2 -3(当t>2) 但用坐标法行列式公式验证： 1 S=lxp(yD-yc)+xp(yc-yp)+xc(yp-YD) 代入得： 5=2引0-3)+43-9+0l-2-3t+3t-61=3 结论：△PCD面积恒为3，是定值，不存在最小值变化。 (3)等腰△BCQ的点Q坐标 设Q(0,m),分三种情况： CQ=BC:Im-3引=√13→m=3±V13,对应Q(0,3+V13)、Q(0,3-V13)。 BQ=BC:V22+mz=V3→m=±3，舍去m=3(与C重合)，得Q(0,-3)。 CQ=BQ:m-3引=Vm2+4→解得m=吾，对应Q(0,)。 最终答案 )解析式：y=BC=V3; (2)△PCD面积为定值3，最小值为3； 3)点Q坐标：(0,3+13)、(0,3-V3)、(0,-3)、(0,)。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 真题2【2023·江西中考·几何压轴】 如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°，点M在边BC上，点N在边CD上， 且∠MAN=60°。 (I)求证：BM+DN=MN; 2)探究△CMN的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若BM=2,求线段MN的长。 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） ()求证：BM+DN=MN（4分) 标准解析（含评分点)： 1.构造全等：将△ABM绕点A逆时针旋转120°，使AB与AD重合（菱形AB=AD), 得到△ADG(1分，旋转角度贴合菱形顶角，构造正确)； 2.应用旋转性质：得AG=AM,DG=BM,∠GAD=∠MAB(1分，旋转性质调用准确)； 3.推导夹角相等：.∠BAD=120°，∠MAN=60°，.∠MAB+∠DAN=60°，即∠GAD+ ∠DAN=∠GAN=60°，故∠GAN=∠MAN(1分，导角贴合60°定角，逻辑清晰)； 4.证全等得结论：△AMN≌△AGN(SAS),得MN=GN,又GN=DN+DG=DN+BM,故 BM+DN=MN(1分，全等证明完整，结论推导严谨)。 最终结论 综上，BM+DN=MN(证明成立)。 2)探究△CMN周长是否为定值(4分) 标准解析（含评分点)： L.表示三角形周长：△CMN周长=CM+CN+MN(1分，周长公式书写正确)； 37 38 2.代入(1)结论转化：由(I)知MN=BM+DN,故周长=CM+CN+BM+DN（1分，结合(I)结论， 转化合理)； 3.结合菱形性质化简：菱形四边相等(AB=BC=CD=AD=4)，故CM+BM=BC=4, CN+DN=CD=4(1分，菱形性质应用正确，化简到位)； 4.计算周长：周长=4+4=8，即△CMN周长为定值（1分，计算正确，结论明确)。 最终结论 △CMN周长为定值8。 3)若BM=2,求MN长(4分) 标准解析（含评分点）： 1.设未知数：设DN=x,由(1)知MN=BM+DN=2+x（1分，结合(I)结论，设元合理)； 2.表示相关边长：菱形边长为4，故CM=BC-BM=4-2=2,CN=CD-DN=4-x（1分，边长 计算正确)； 3.应用余弦定理：菱形∠BAD=120°，故∠C=120°，由余弦定理得MN2=CM2+CN2- 2·CM·CN·cos∠C(1分，余弦定理应用正确，贴合∠C=120°)； 4.解方程求结果：代入得(2+x)2=22+(4-x)2-2×2×(4-x×(-1/2),化简解得x=127,故 MN=2+12/7=26/7（1分，计算准确，步骤简洁)。 最终答案 线段MN的长为。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 小类7：相似三角形类比探究 题型特征 以三角形、四边形为背景，核心考查相似三角形的判定与性质，三问梯度：特殊位置 (平行、垂直)证明三角形相似→一般位置（平移、旋转）类比探究相似关系、线段比例/长 度→拓展延伸（求最值、探究特殊角度）；重点考查类比探究思想、分类讨论思想，是几何 压轴的核心难点题型之一，常结合勾股定理、三角函数综合考查。 解题技巧 1.相似判定优先顺序：两角分别相等（最简便，重点掌握)→两边成比例且夹角相等→ 三边成比例； 2.类比探究核心：保持判定条件不变，结合图形变化（平移、旋转、折叠)，推导相似 关系不变或比例关系的变化； 3.线段计算：利用相似三角形对应边成比例，结合已知边长列方程，简化计算； 4.拓展最值：结合相似比，将所求线段转化为二次函数，或利用“垂线段最短”求解。 39 40 真题1【2024·浙江杭州·中考几何压轴】 如图：已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D是BC中点，点E在AB上，DEI AB,点F在AC上，交AC于点F。 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） (1)如图1，求证：△AEF~△ABC（4分) 标准解析（含评分点）： 1.求△ABC底角：：AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°（1 分，等腰三角形底角计算正确)； 2.确定直角：DE⊥AB,.∠AEF=90°（1分，垂直关系转化为直角)； 3.求△AEF内角：∠EAF=120°（与∠BAC为同一个角），.∠AFE=180°-120°-90 =30°(1分，三角形内角和计算正确)； 4.证相似：∠EAF=∠BAC,∠AFE=∠B,由“两角分别相等，两三角形相似”，得△ AEF~△ABC（1分，相似判定正确，结论规范)。 最终结论 综上，△AEF~△ABC(证明成立)。 (2)如图2，旋转后，探究△AEF与△ABC是否仍相似？若相似，证明；若不相似，说明 理由（4分) 标准解析（含评分点）： 1.确定不变角：旋转后，∠EAF=120°（∠BAC的邻补角，角度不变)(1分，角度判 断正确)； 2.确定直角：DE旋转后，DE与AB的垂直关系不变，故∠AEF=90°（1分，旋转不改 变垂直关系)； 3.求△AEF内角：∠AFE=180°-120°-90°=30°，故∠AFE=∠B=30°(1分，内角和 计算，角度对应)； 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 4.证相似：∠EAF=∠BAC=120°，∠AFE=∠B=30°，由两角分别相等，得△AEF~△ ABC(1分，相似判定正确，结论明确)。 最终结论 仍相似，△AEF~△ABC。 3)若AB=4,在旋转过程中，求线段EF的最小值(4分) 标准解析（含评分点)： 1.利用相似比：由(1)2)知△AEF~△ABC,相似比=AE/AB（1分，相似比确定正确)； 2.求BC长：AB=4,D为BC中点，Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2,BD=2V3,故BC=4 V3(1分，边长计算正确)； 3.转化EF:由相似比得AE/4=EF/4V3,故EF=V√3·AE（1分，相似性质应用正确)； 4.求最小值：EF最小即AE最小，AE最小值为AD=2（垂线段最短)，故EF最小值=V 3×2=2V√3（(1分，最值推导正确)。 最终答案 线段EF的最小值为23。 41 42 真题2【2022·江苏苏州·中考儿何压轴】 如图，已知Rt△ABC,∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。 (I)求证：△ACD~△CBD; (2)点P在线段AC上，连接DP,作DQ⊥DP交BC于Q,求证：△PCD~△QBD; (3)若AC=8,BC=6,CP=2,求BQ的长度。 D Q 详细解析 ()证明基础相似 ∠ACB=90°，CD⊥AB ∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90° ·.∠A=∠BCD,又∠ADC=∠CDB=90° ·.△ACD∽△CBD 2)证明动态相似 由直角互余：∠CDP+∠PDQ=∠BDQ+∠CDP=90° 得∠CDP=∠BDQ 又∠PCD=∠B,两角对应相等 △PCD∽△QBD (3)边长计算 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 由勾股定理AB=10,由面积得CD=4 由相似性质c=c” BO BD 求得BD=号，代入 BQ 45E5 =3 解得BQ= 答案 (12)证明成立；3)BQ=三 43 44 小类8：折叠轴对称类比探究 题型特征 以矩形、正方形、三角形为背景，核心考查折叠（轴对称)的性质，三问梯度：特殊折 叠（沿边、沿对角线）求线段长度→一般折叠（沿动点连线）探究线段关系、角度关系→拓 展延伸（折叠后求最值、探究存在性）；重点考查轴对称性质（对应边相等、对应角相等、 对应点连线垂直于对称轴)，是几何压轴的高频基础题型。 解题技巧 1.折叠核心性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，对应点到对称轴的距 离相等； 2.关键辅助线：连接对应点，作对称轴的垂线，利用勾股定理列方程； 3.类比探究：保持折叠的轴对称本质，结合图形变化（动点移动)，推导对应边、对应 角的关系不变； 4.最值问题：利用轴对称性质，将折线转化为直线，结合“两点之间线段最短”求解。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 真题1【2024·四川绵阳·中考几何压轴】 如图：矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B落 在点B'处，连接B'C、B'D。 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） 1)如图1，当E为BC中点时，求线段B'C的长（4分) 标准解析（含评分点)： L.调用矩形、折叠性质：AB=CD=6,BC=AD=8,∠B=90°；E为BC中点， BE=EC=4;折叠后AB'=AB=6,B'E=BE=4,∠AB'E=∠B=90°（1分，性质调用准 确)； 2.构造辅助线：过点B'作B'F⊥BC于F,得四边形ABFB'为矩形（∠B=∠B'FB=∠ AB'E=90°)，.BF=AB'=6,B'F=AB=6（1分，辅助线构造合理，矩形判定正确)； 3.计算FC长度：FC=BF-EC=6-4=2(1分，边长计算贴合图形位置，无错误)； 4.应用勾股定理：Rt△B'FC中，B'C=√(B'F2+FC=√(62+22)=V40=210(1分， 计算准确，步骤简洁)。 最终答案 线段B'C的长为2W10: (2)如图2，当E在BC上任意移动时，探究∠AB'D是否为定值？若为定值，求度数； 若不是，说明理由(4分) 标准解析（含评分点）： 1.连接BD:矩形对角线互相平分且相等，∴.OA=OB=OC=OD,且OB=AB（(AB=6,OB=h BD=hV(62+82)=5,修正：AB'=AB=6,0A=5,故AB'=AB≠OB,正确推导：AB'=AB, OA=OB=OD)(1分，矩形对角线性质应用正确)； 45 46 2.判定四点共圆：AB'=AB,OA=OB=OD,∴.点A、B、B'、D在以O为圆心，OA为 半径的圆上（到同一点距离相等）(1分，四，点共圆判定合理)； 3.导角推导：矩形中∠BAD=90°，BD为直径，∴.∠AB'D=∠BAD=90°（同弧所对的 圆周角相等，直径所对圆周角为直角)（1分，圆周角性质应用正确)； 4.得出结论：综上，∠AB'D为定值，度数为90°（1分，结论明确，逻辑严谨)。 最终结论 ∠AB'D为定值90°。 3)当E从B运动到C时，求点B'运动的路径长度(4分) 标准解析（含评分点）： 1.确定运动轨迹：折叠过程中，AB'=AB=6(定值)，点A为固定点，故点B'的运动 路径是以A为圆心，AB为半径的圆弧(1分，轨迹判断正确)； 2.确定圆心角：当E在B时，B'与B重合；当E在C时，折叠△ABC沿AC,B'的轨 迹圆心角为∠BAD=90°（矩形∠BAD=90°，贴合折叠范围）(1分，圆心角确定准确)； 3.应用弧长公式：弧长=（圆心角360°)×2πr,代入得(90°360°)×2π×6=3m (1分，弧长公式应用正确)； 4.得出结果：点B'运动的路径长度为3π(1分，计算正确，结论规范)。 最终答案 点B'运动的路径长度为3π。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 第三大类·代数几何综合压轴 小类9：一次函数与几何综合 题型特征 核心考查一次函数与三角形、四边形的综合应用，三问梯度：求一次函数解析式→探究 动点构成的几何图形（三角形、平行四边形）的面积线段长度→求最值或存在性；难度适中， 重点考查一次函数的性质、坐标与几何图形的结合，是中考压轴的基础过渡题型。 解题技巧 1.求一次函数解析式：代入两个关键点坐标，列二元一次方程组求解； 2.坐标与几何结合：将几何图形的边长、面积转化为坐标之间的距离、差值，利用两点 间距离公式、铅垂高法求解； 3.动点问题：设动点坐标，结合一次函数解析式，用含未知数的式子表示线段长度，转 化为二次函数求最值； 4.存在性探究：分类讨论，结合几何图形的性质，列方程求解，舍去不符合题意的解。 47 48 真题1【2024·安徽中考·代数几何压轴】 如图，一次函数y=kx+b（k≠0)的图象经过点A(0,2),且与直线y=2x+1交于点 B(1,m) ()求一次函数y=kx+b的解析式； (2)点P是直线AB上一动，点，过点P作PQ1x轴，交直线y=2x+1于点Q,求线段 PQ的最大值； (3)在x轴上是否存在点C,使△ABC为等腰三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不 存在，请说明理由。 B(1,m) A(0,2 =r+0 =2+1 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分) ()求一次函数y=kx+b的解析式(4分) 标准解析（含评分点）： 1.求点B坐标：将x=1代入y=2x+1,得m=2×1+1=3,.B(1,3)(1分，代入计算正确)； 2.代入直线过的点：直线y=kx+b过A(0,2)、B1,3),∴.b=2(A点代入，y轴截距直接得 出)(1分，代入A点简洁准确)； 3.求k值：将B1,3)、b=2代入解析式，得k+2=3,解得k=1(1分，解方程步骤简洁)； 4.写解析式：综上，一次函数解析式为y=x+2（1分，结论规范)。 最终答案 y=x+2。 2)点P是直线AB上一动，点，过P作PQ⊥x轴交直线y=2x+1于Q,求线段PQ的最大值 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 (4分) 标准解析（含评分点）： 1.设点坐标：设Pt,t+2)(直线AB上，代入解析式)，则Qt,2t+1)(PQ⊥x轴，横坐标相 同，代入y=2x+1)(1分，设元及坐标表示正确)； 表示PQ长度：PQ=I(t+2)-(2t+1)川=|-t+1=It-1(绝对值保证长度为正) (1分，长度公式推导正确)； 2.因为绝对值函数t一1没有最大值，得出结论：线段P0可以无限大（1分，结论明 确)。 最终答案 线段PQ的最大值为1。 3)在x轴上是否存在点C,使△ABC为等腰三角形？若存在，求点C的坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1.设点C坐标：设Cn,0)(x轴上点的纵坐标为0)(1分，设元合理)； 2.计算AB长度：AB=√(1-0)2+(3-2)=√2(1分，两点间距离公式应用正确)； 3.分情况讨论： ①AB=AC:AC=√(m2+4)=V2,解得n2=-2,无解(0.5分，讨论全面，无解说明清晰)； ②AB=BC:BC=√Tn-1)2+9]=V2,解得n-1)2=-7,无解（0.5分，讨论全面，无解说 明清晰)； ③AC=BC:√2+4)=√[m-1)2+9],平方化简得n2+4=n2-2n+1+9,解得n=3（1分， 方程列写及求解正确)； 4.得出结论：存在点C,坐标为3,0)（1分，结论明确)。 最终答案 存在，点C的坐标为(3,0)。 49 50 真题2【2022·重庆中考·代数儿何压轴】 在平面直角坐标系中，直线：y=kx+4交x轴于点A(-2,0),交y轴于点B。 (1)求直线l的解析式； (2)点P是直线L上一动点，过点P作PM1x轴于点M,PN1y轴于点N,若四边形 OMPN的面积为6，求点P的坐标； (3)如图，在(2)的条件下，设点Q是x轴上一动点，在平面内是否存在点R,使以 A、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出，点R的坐标；若不存在，说 明理由。 详细解析 (1)求l解析式 ·直线y=kx+4过A(-2,0): 0=-2k+4→k=2. 。故飞：y=2x+4; ●令x=0→y=4,故B(0,4)。 (2)求P坐标 设P(x,2x+4),则PM=|2x+4,PN=|x 四边形OMPN为矩形，面积S=PM·PN=6: 1x(2x+4)川=6→12x2+4x|=6. 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 分两种情况： 1.2x2+4x=6→x2+2x-3=0→x=1或x=-3; 0x=1→y=6→P1(1,6): 0x=-3→y=-2→P2(-3,-2): 2.2x2+4x=-6→x2+2x+3=0,△<0，无实根。 故P坐标为(1,6)或(-3，-2)。 (3)平行四边形存在性求R坐标 A(-2,0),B(0,4),设Q(q,0),R(m,n)。 平行四边形对角线中点重合： 1.AB为对角线： -2+0_g+m0+4_0+”→m=-2-9,n=4 2 2,2=2 取q=0→R1(-24): 2.AQ为对角线： -2+q0+m0+04+n 2 =2,22 →m=q-2,n=-4. 取q=0→R2(-2,-4): 3.BQ为对角线： 0+q-2+m4+00+n 2 2，2=2 →m=q+2,n=4. 取q=0→R3(2,4)。 答案 (1)y=2x+4; (2)(1,6)或(-3，-2)； (3)R1(-2,4)、R2(-2,-4)、R3(2,4)。 51 52 小类10：反比例函数与几何综合 题型特征 核心考查反比例函数y=(k≠0)与三角形、矩形的综合应用，三问梯度：求反比例函 数解析式→探究反比例函数图象上动点构成的几何图形面积→求线段最值或存在性；重点考 查反比例函数的几何意义（k的几何意义：过双曲线上一点作坐标轴的垂线，形成的矩形面积 为k,三角形面积为k)，是中考压轴的高频题型。 解题技巧 1.求反比例函数解析式：利用k的几何意义，或代入双曲线上一点的坐标，直接求出k的 值； 2.k的几何意义应用：灵活运用“矩形面积=k”“三角形面积k”，简化面积计算； 3.动点问题：设双曲线上动点坐标为(x,),结合几何图形的性质，用含x的式子表示线 段长度或面积，转化为二次函数求最值； 4.综合应用：结合一次函数解析式，求交点坐标，再结合几何图形求解。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 直题1【2024·济南·中考代数儿何压轴】 已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点A(2,a), 点B是线段OA上（不与点A重合）的一点。 ()求反比例函数的表达式： ②)如图1，过点B作y轴的垂线L,1与反比例函数y=x>0)的图象交于点D,当线 段BD=3时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在反比例函数y= (x>0)的图象上时，求点E的坐标。 y=k/z 详细解析 ()求反比例函数表达式 ·点A(2,a)在y=3x上： a=3×2=6,故A(2,6)。 。点A(2,6)在y=上： 6=9k=12。 。反比例函数：y=(x>0)。 53 54 (2)求点B坐标（BD=3) ●设B(m,3m)(在y=3x上，0<m<2)。 ·BD1y轴→D与B纵坐标相同，D(侣，3m）=(侍，3m) ·BD=是-m=3(D在右)： 4 -m=3→4-m2=3m→m2+3m-4=0 m 解得m=1或m=-4(舍去负根)。 ·故B(13)。 (3)旋转90°求点E坐标 ·设B(t,3t)(0<t<2),A(2,6) ·旋转90°坐标变换（顺时针)： 向量BA=(2-t,6-3t), 顺时针转90°得BE=(6-3t,t-2), 故E=B+BE=(t+6-3t,3t+t-2)=(6-2t,4t-2)。 ·E在y=是上： (6-2t)(4t-2)=12 展开：24t-12-8t2+4t=12→-8t2+28t-24=0→2t2-7t+6=0。 解得t=2(舍去，B不与A重合)或t= ·代入得E(6-2×3,4×-2)=(3,4)。 答案： 0y=x>0: (2)B(1,3); (3)E(3,4)。 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题丨最优解 55 56 真题2【2022·广东·中考代数儿何压轴】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点 B的坐标为(4,2)，反比例函数y=(x>0)的图象经过点B。 ()求反比例函数的表达式： (2)若点D是反比例函数图象上一点，且D到x轴的距离为1，求直线OD的解析式； (3)在(2)的条件下，点E是直线OD上一动，点，连接AE、BE,当△ABE的面积为3时， 求点E的坐标。 B(4,2)y=k/x 详细解析 ()求反比例函数表达式 。B(4,2)在y=上：k=4×2=8。 ·反比例函数：y=(x>0)。 (2)求直线OD解析式 。D到x轴距离为1→y=1（x>0)。 ·代入y=:x=8,故D8,1)。 ·设0D:y=mx,代入D(8,1):m= 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 。直线OD:y=x。 (3)求点E坐标(S△4BE=3) ·A(4,0)、B(4,2),故AB1x轴，AB=2。 ·设E(t,台)，△ABE的高为E到直线x=4的距离t-4。 ●面积公式： 1 1 S=2×AB×1t-纠=2×2×It-4纠=It-4纠=3 解得t=7或t=1。 ·对应E(7,)或E(1): 答案 ①y=x>0): ②y=x: 3)E(7,)或(1，) 57 58 小类11：二次函数与圆综合 题型特征 核心考查二次函数与圆的综合应用，三问梯度：求二次函数解析式→证明圆的切线、探 究圆的性质（直径、圆周角）→求线段最值或存在性；难度较大，重点考查二次函数的性质、 圆的切线判定、圆周角定理，是中考压轴的难点题型，常结合勾股定理、相似三角形综合考 查。 解题技巧 1.求二次函数解析式：结合圆的性质（如直径所对的圆周角为直角），确定关键点坐标， 代入求解； 2.切线判定：连接圆心与切点，结合二次函数的坐标特征，证明连线与切线垂直； 3.综合应用：利用圆周角定理、相似三角形、勾股定理，结合二次函数的最值性质，求 解线段长度或最值； 4.存在性探究：分类讨论动点位置，结合圆的半径不变、二次函数的取值范围，列方程 求解。 强基计划「必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 直题1【2023·江苏苏州·中考代数几何压轴】 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两，点（A在左)，与y轴交于点C。 (I)求A、B、C三点坐标； (2)以AB为直径作⊙M,判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由； (3)点P是抛物线上一动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q,当切线长PQ最短时，求点P 坐标。 y=-1x2+2x+3 详细解析 ()求交点坐标 令y=0,-x2+2x+3=0 因式分解：-(x-3)(x+1)=0 解得x1=-1,x2=3 .A(-1,0),B(3,0) 令x=0,得y=3 C(0,3) (2)判断点C与圆的位置关系 AB为直径，圆心M为AB中，点 M(,0), 即M(1,0) 59 60 半径r=48=3--卫=2 2 2 由两点间距离公式求MC长度 MC=V(1-0)2+(0-3)2=V1+9=V10 :V10>2 ·点C在⊙M外部 (3)求切线长最短时P点坐标 设动，点P(x,-x2+2x+3) 由切线性质：MQ1PQ,△MPQ为直角三角形 PQ2=MP2-MQ2,MQ=r=2MP2=(x-1)2+(-x2+2x+3)2PQ2 =(x-1)2+(-x2+2x+3)2-4 配方化简抛物线：y=-(x一1)2+4，对称轴x=1 当P落在抛物线对称轴上时，MP长度最小，切线长PQ最短 将x=1代入解析式 y=-1+2+3=4 ·P(1,4) 本题答案 (1)A(-1,0),B(3,0),C(0,3) 2),点C在圆外，理由如上 3)P(1,4) 强基计划丨必有我 中考数学解答型压轴题|最优解 真题2【2023·四川达州·中考代数几何压轴】 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,4),B(-2,0),C(4,0)三点，⊙M是△ABC的 外接圆，且圆心M落在抛物线的对称轴上。 ()求抛物线的解析式及其对称轴： (2)求⊙M的半径； (3)点P是抛物线上异于A、B、C的动点，若∠PAB=∠ACB,求点P的坐标。 A(0,4 B(-2,0) C(4.0 y=az2+ix+c 解答要求 每步标注得分点，步骤规范，符合中考评分标准（满分12分，每小问4分） (1)求抛物线的解析式及对称轴(4分) 标准解析（含评分点)： 1.设抛物线交点式：.抛物线过B(-2,0)、C(4,0),∴.可设抛物线的交点式为：y=a(x+ 2)(x-4)(1分，交点式应用正确)； 2.求a值：代入A0,4),得4=a×2×(-4),解得a=-(1分，代人计算正确)； 3.求解析式及对称轴：展开得y=一2+x+4,对称轴x=一品=1(1分，展开及对称 轴公式应用正确)； 4.得出结论：抛物线解析式为y=一2+x+4,对称轴为x1(1分，结论完整规范)。 最终答案 抛物线解析式为y=-x2+x+4,对称轴为x=1。 2)求⊙M的半径(4分) 标准解析（含评分点）： 61 62 1.设圆心M坐标：，M在对称轴x=1上，.设M(1,m)（1分，设元合理，贴合对称轴性 质)； 2.利用外接圆性质：MA=MB=MC,由MA=MB,代入坐标得V(1-0)2+(m-4)2= √(1+2)2+m2(1分，半径相等性质应用正确)； 3.求解m值：平方化简得1+(m-4)2=9+m2,解得m=1,.M(1,1)(1分，方程求解 正确)； 4.求半径：MA=√(1-0)2+(1-4)2=√10，即⊙M的半径为V10(1分，计算正确， 结论明确)。 最终答案 ⊙M的半径为V10: 3)求点P的坐标(4分) 标准解析（含评分点）： 1求∠ACB的正切值：A0,4、C4,0,tan∠ACB=8=1,∠ACB=45,故 ∠PAB=45°（1分，三角函数应用正确)； 2.修正思路：结合圆周角性质，∠PAB=∠ACB,则点P在⊙M上，联立抛物线与⊙M 方程(1分，思路修正贴合中考正确考法)； 3.联立求解：⊙M方程(x-1)2+(y-1)2=10,联立抛物线解析式，解得x=0（点A)、 x=-2（点B)、x=4(点C)或x=2,代入得y=4（1分，联立求解简洁)； 4.得出结论：点P的坐标为2,4)（1分，舍去重合点，结论明确)。 最终答案 点P的坐标为(2,4)。 强基计划丨必有我