规律探索型试题专项训练&图表信息与阅读理解型试题专项训练-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 专项提分 规津探索型武题专项训练 ◎数理报社试题研究中心 、精心选一选 第3次操作后… 题号1 2 4 5 6 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用 答案 上一次操作得到的最末项减去其前一项的羌，小 1.用长度相同的木棍按如图1所示的规律 强将这个活动命名为“回头差”游戏 拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个 则该“回头差”游戏第223次操作后得到的 图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木 整式中各项之和是 C.n-m D.2n 棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排 A.m +n B.m 列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是(） 二、细心填一填 7.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合 O0…物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可 ① ② ③ ④ 用于动、植物的养护通常用碳原子的个数命名为 图1 A.39 B.44 C.49 D.54 甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个 2.按一定规律排列的单项式：a,2d2,√3a3, 时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…)等， 甲烷的化学式为CH,乙烷的化学式为C,H。,丙烷 4a,5a,…,第n个单项式是 的化学式为C,H…其分子结构模型如图4所示， A.元 B.√n-Ia"-l 按照此规律，十二烷的化学式为 C.Vna D.na"- @ 3.如图2，在直角 坐标系中，每个网格小 甲烷 乙烷 丙烷 正方形的边长均为1个 图4 单位长度，以点P为位 8.如图5，图中数字是从1 37 似中心作正方形 开始按箭头方向排列的有序数 2120191817 PAA2A3,正方形 阵.从3开始，把位于同一列目 76516 数8.包要 在拐角处的两个数字提取出来 249 PA4AA6,…,按此规律 作下去，所作正方形的 图2 顶点均在格点上，其中正方形PA4,4的顶点坐10)，(13,17)，(21,26)，(31， 图5 标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0), 37),…,如果单把每个数对中的第一个或第二个 A(-2,-1),则顶点A的坐标为 数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规 A.(31,34 B.(31,-34) 律.请写出第n个数对： C.(32,35) D.(32,0) 9.观察下列等式：7°=1,7=7,72=49,73 4.观察右边的 =343,74=2401,73=16807,…,根据其中的 数表（横排为行，竖 规律可得7°+7+72+…+73+7#的结果的 2 排为列)，按数表中 个位数字是 的规律，分数沿 3 10.如图6，在平面直角坐标系中，点A在y 轴上，点B在x轴上，OA=OB=4,连接AB,过 若排在第a行b列， … 点O作OA11AB于点A,过点A,作A,B,⊥x轴 则a-b的值为 )于点B1;过点B,作B42⊥AB于点A2,过点A,作 A.103 B.104 A,B21x轴于点B2;过点B2作B2A31AB于点 C.122 D.123 A,过点A作A,B3上x轴于点B；…,按照如此 5.如图3，将形状、大小完全相同的“●”和 规律操作下去，则点A165的坐标为 线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中 “●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为 a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类 推，那么1+1+ +…+工的值为( L3 a3 a19 B:B2 B:B 3-2-1123 图6 图7 11.如图7，在平面直角坐标系中，有若干个 整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0,1) (0,2),(1,2),(1,3),(0,3),(-1,3),…,根据 1幅图第2幅图第3幅图 第4幅图 这个规律探索可得，第90个点的坐标为 图3 20 c D.31 三、耐心解一解 ·760 12.观察下列三行数并按规律填空： 6.在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学 -1,2,-3,4,-5, 创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数 1,4,9,16,25 学探究活动：对依次排列的两个整式m,n按如下 0,3,8,15,24, 规律进行操作： (1)第一行数按什么规律排列？ 第1次操作后得到整式串m,n,n-m; (2)第二行数、第三行数分别与第一行数有 第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m;什么关系？ 69 (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和 13.为美化市容，某广场要在人行雨道上用 10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人 员画出的一些备选图案如图8所示 【观察思考】图8-①中灰砖有1块，白砖有 8块；图8-②中灰砖有4块，白砖有12块；…，以 此类推， (1)【规律总结】图8-④中灰砖有 块，白砖有 块；图8-⑦中灰 砖有 块，白砖有 块； (2)【问题解决】是否存在白砖数恰好比灰 砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由 图8 14.某数学兴趣小组研究如下等式： 38×32=1216, 53×57=3021, 71×79=5609, 84×86=7224. 观察发现以上等式均是“十位数字相同，个 位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一 定的规律” (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： 58×52= ,752= (2)设其中一个数的十位数字为a,个位数 字为b(a,b>0), ①请用含a,b的等式表示这个运算规律，并 用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十 位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘 (如：38×32调换为83×23).若分别记新的两个 两位数的乘积为m,①中的运算结果为n,求证： m-n能被99整除， 15.如图9，在直角坐标系中，点P,P2,P3,…, Pn在函数y=k(k是常数，k>0,x>0）)上，点 Q1(2,0),Q2(x2,0),Q3(x3,0),…,Qn(xm,0)在 轴上，△0PQ1,△QP2Q2,△Q2P3Q3,…, △Qn-1PnQn均为等边三角形 (1)求k的值； (2)求x2和x3的值； (3)猜想xn的值（无需证明）. P:Ps Q1Q2Q3Q。-Q。t 图9 70 专项提分。 数理极 图表信息与阅读理解型试题 ● 点” (I)如图5-①，矩形ABCD的顶点坐标分 专项训练 别是A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3, 2),在点M1(1,1),M2(2,2),M3(3,3)中，是矩 ©数理报社试题研究中心 形ABCD“梦之点”的是 ； 一、精心选一选 形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成 题号1 2 3 的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之 (2)点G(2,2)是反比例函数，=上图象 答案 一.如图3，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,对 上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个 1.下表是某水库一周内水位高低的变化情 角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个 “梦之点”H的坐标是 ,直线GH的表达 况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下 动点，EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则 式y2= 当y,>2时，x的取值范围是 降数).那么本周星期几水位最低 EF +EG 星期一二三四五六日 6.如果一个四位自然数abcd的各数位上的 (3)如图5-②，已知点A,B是抛物线y= 水位变化/米0.12-0.020.13-0.20-0.08-0.020.32 数字互不相等且均不为0，满足ab-bc=cd,那 子++号上的梦之点”，点C是抛物线的 A.星期二 B.星期四 么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数 C.星期六 D.星期五 4129,因为41-12=29，所以4129是“递减 顶点，连接AC,AB,BC,判断△ABC的形状，并说 2.如图1，已知矩形纸片ABCD,其中AB= 明理由. 数”：又如：四位数5324，因为53-32=21≠24， 3,BC=4,现将纸片进行如下操作： 所以5324不是“递减数”.若一个“递减数”为 312,则这个数为 ;若一个“递减数”的 前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成 C B 的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数 图1 第一步，如图1-①，将纸片对折，使AB与 的最大值是」 三、耐心解一解 DC重合，折痕为EF,展开后如图1-②； 7.对于任意实数a,b,定义一种新运算： 第二步，再将图1-②中的纸片沿对角线 BD折叠，展开后如图1-③： a※b=-b(a≥2b), 例如：3※1=3-1 la+b-6(a<2b), 第三步，将图1-③中的纸片沿过点E的直 =2,5※4=5+4-6=3.根据上面的材料，请 线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图 完成下列问题： 1-④，则DH的长为 10.综合与实践 (1)4※3= ,(-1)※(-3)= A B.g 5 【思考尝试】 C.3 D.5 (1)数学活动课上，老师出示了一个问题： (2)若(3x+2)※(x-1)=5,求x的值 3.对于正数x,规定f(x)= 例如： 如图6-①，在矩形ABCD中，E是边AB上一点 DF⊥CE于点F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF 1 2×2 试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由； 2)==宁 2 【实践探究】 2+1 3’ (2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新 2× 的问题：如图6-②，在正方形ABCD中，E是边 /3)=2×33 AB上一点，DF⊥CE于点F,AH⊥CE于点H,GD 3+12,3）=1t1 =,计算： ⊥DF交AH于点G,可以用等式表示线段FH, 3 8.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡 AH,CF的数量关系，请你思考并解答这个问题； ）+0+动+…+分）+分） 片的边长如图4-①所示(a>1).某同学分别 【拓展迁移】 用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如 (3)小博深人研究小睿提出的这个问题，发 +1)+(2)+(3)+…+f(99)+f100)+图4-②和图4-③，其面积分别为S1,S2. 现并提出新的探究点：如图6-③，在正方形 f(101)= (1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a= ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H,点 A.199B.200 C.201 D.202 2时，求S,+S2的值； M在CH上，且AH=HM,连接AM,BH,可以用等 二、细心填一填 (2)比较S1与S2的大小，并说明理由 式表示线段CM,BH的数量关系，请你思考并解 4.血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏 时脑 答这个问题 收缩时和舒张时的压力.收缩压的正常范围是： 20~140mmHg,舒张压的正常范围是：60~ 乙丙丙 90mmHg.现五人A,B,C,D,E的血压测量值统 计如图2： 人员 ③ 图4 收缩压 …舒张压 0 5565758595105115125135145血压（单位：mmHg) 则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围 内的人有 个 5.出入相补原理是我 国古代数学的重要成就之 一，最早是由三国时期数学 9.定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N 家刘徽创建.“将一个几何B 在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐 图形，任意成多块小图 标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之42 参考答案 数理极 13.(1)画法不惟一，如图20-①(PF=2,PE= -3+13 ==3-3 -(x-1)=5,解得x=1, EF=5),或图20-②(PE=5,PF=EF=√5) 2 若3x+2<2(x-1),即x<-4时，则(3x+2)+(x 17.(1)作图略. (2)∠AFD:∠BEA:AAS:DF 1）-6=5,解得x=多，不合题意，舍去，所以x=1 8.(1)依题意得，三种矩形卡片的面积分别为S 规律探索型试题专项训练 a2,S2=a,Ss=1, 图20 -、l.B;2.C;3.A;4.C;5.C;6.D. 所以S1=Sm+3S2+2Sm=a2+3a+2,S2=5S 2)画法不惟一，如图21-①或图21-② 二7.CzH%；8.(n2+n+1,n2+2n+2)；9.1:+5g=5a+1,所以5+S2=(a2+3a+2)+(5a+1) 10.(4-22)；1山.(-5,13) =a2+8a+3, 当a=2时，S1+S2=22+8×2+3=23 三、12.根据数据变化规律得出：空格分别填：6，-7： (2)S>S2,理由如下： 36,49:35,48. (1)第一行数是-1,2，-3,4，-5，…，即(-1)"n. 因为S1=a2+3a+2,S2=5a+1,所以S-S2= 图21 (2)对于 、二两行中位置对应的数，可以发现：第 (a2+3a+2)-(5a+1)=a2-2a+1=(a-1)2, 14.略. 二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方，第三 因为a>1,所以S-S2=(a-1)2>0,所以S> 15.(1)答案不惟一，如图22-①，△A'B'C即为所 行每一个数是第二行对应的数减1得到的，即为第一行 数的每一个相对应的数的平方减1得到 9.(1)M1,M2 (3)三个数的和为：10+100+99=209 (2)因为点G(2,2)是反比例函数=←图象上的 13.(1)16,20:n2,4n+4. (2)存在，理由：因为白砖数恰好比灰砖数少1， 个“梦之点”，所以把C2,2)代入=兰得k=4,所 ② 所以4n+4=n2-1,解得n=5或n=-1(舍去) ③ 图22 故当n=5时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25 以=手 (2)如图22-②，点E即为所求 白砖比灰砖少1， 因为“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，所以“梦之 (3)如图22-③，点F,G,H即为所求 所以存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形 点”都在直线y=x上， 14.(1)3016:5625 开放探究型试题专项训练 (2)①因为其中一个数的十位数字为a,个位数字为 b(a,b>0),所以另一个数的十位数字为a,个位数字为 Ly=x, 2或子所以 联立=主解得任二名 ly=-2, -、1.C;2.A;3.C;4.C;5.C;6.A 10-b,所以这两个两位数分别为10a+b,10a+10-b. 二、7.y=3x(答案不惟一)；8.-3（答案不惟一）； H-2,-2),所以直线GH的表达式是为=x, 根据题意得，这个运算规律为(10a+b)(10a+10 9.0M=宁4C(答案不旗-)：10.80（答案不推b)=10a(a+)+b(10-b, 函数图象略，由图可得，当为>力时，x的取值范围 是x<-2或0<x<2. 一)；11.2或10：12.6或3+22或3-22. 证明：左边=100a2+10ab+100a+10b-10ab-b 故填(-2，-2)x:x<-2或0<x<2. 三、13.(1)测量示意图略 =100a2+100a+106-62, (3)△ABC是直角三角形，理由如下： (2)在湖岸上找可以直接到达A,B的一点O,连接 右边=100a2+100a+10b-b2,所以左边=右边 ②由①得n=100a2+100a+10b-2, 因为点A,B是抛物线了=一宁+x+号上的“梦 AO并延长到点C使OC=OA,连接BO并延长到点D使 OD=OB,连接CD,测量DC的长度a. 因为分别将左边两个乘数的十位和个位周换位置， 得到新的两个两位数相乘，所以新的两个两位数分别为 之点”所以联立八2+x+2解得二；或 (3)DC=a,由测量方案可得A0=C0,B0=D0,又 106b+a,10(10-b)+a, Ly =x, 因为∠AOB=∠COD,所以△AOB≌△COD,所以AB= CD a. 所以m=(10b+a)[10(10-b)+a]=(10b+ =-3所以4(3,3)，B(-3,-3), a)(100-10b+a)=1000b+100a-100b2-10ab+10ab y=-3, 14.(解法一)问题1：汽车在普通公路和高速公路上 各行驶了多少小时？ +a2=1000b-100b2+100a+a2, 因为y=++号=-x-1+5，所以 设汽车在普通公路上行驶了x小时，高速公路上行 所以m-n=(10006-100b2+100a+a2)-(100a +100a+10b-b2)=1000b-100b2+100a+a2-100a 顶点C(1,5), 驶了y小时， 所以AC=(3-1)2+(3-5)2=8,AB2=(-3-3) 限你得 解得=1， -100a-10b+b=-99a2-9962+990b=-99(a2+b -10b), +(-3-3)2=72.BC=(-3-1)2+(-3-5)2=80.所 y=1.2. 答：汽车在普通公路上行驶了1小时，高速公路上行 因为a,b为正整数，所以a2+b2-10b为整数，所以 以BC2=AC+AB,所以△ABC是直角三角形 10.(1)四边形ABCD是正方形，理由如下： 驶了1.2小时 m-n能被99整除. 因为GD⊥DF,DF⊥CE,AG⊥DG,所以∠G= (解法二)问题2：普通公路和高速公路各长多少干 15.(1)因为△0P,Q,是等边三角形，且点Q,的坐 米？ 标为(2,0)，所以P(1,5), ∠DFC=90°，∠ADG+∠ADF=90°， 因为四边形ABCD是矩形，所以∠ADC=90°= 设普通公路长为x千米，高速公路长为y千米， 因为点P在函数y=(k是常数，k>0x>0)上. ∠ADF+∠CDF,所以∠ADG=∠CDF [2x =y, 根据题意，得 所以k=1×5=5 因为AG=CF,所以△ADG≌△CDF,所以AD= 60+0=2.2, a (2)过点P作P,H⊥x轴于点H, CD,所以矩形ABCD是正方形. 答：普通公路长为60千米，高速公路长为120千米 设Q1H,=11,因为△QPQ2是等边三角形，所以 (2)因为DF⊥CE,AH⊥CE,GD⊥DF,所以∠DFH 15.(1)如图23，四边形EFGH即为所求 PH=5r1,所以P2(2+r1,5r1), ∠H=∠GDF=90°，所以四边形DGHF是矩形，所以 ∠G=90°=∠DFC, D A H 因为点B在函数y=(k是常数k>0x>0) 同(I)可得：∠ADG=∠CDF,因为四边形ABCD是 上，所以(2+r1)·√3r1=3,即+2r1-1=0,解得r 正方形，所以AD=CD,所以△ADG≌△CDF, R C 图23 图24 =2-1或1=-2-1（舍去），所以x2=2+2(2 所以DG=DF,AG=CF,所以四边形DGHF是正方 形，所以HG=HF,所以FH=AH+CF (2)在图24中，EF=FG=GH=E=25,所以1)=22， (3)连接AC,因为AH⊥CE,四边形ABCD是正方形，所 反射四边形EFGH的周长为85： 过点P作PH2⊥x轴于H2,设Q2H2=r2,同理求得 在图24中，EF=GH=5,HE=GF=35 2=5-2,所以=22+2(5-2)=25 以∠AiE=LBC=906=-E,∠BC=45, 所以反射四边形EFGH的周长为85. (3)由(2)中的计算过程，分析x2=22,x=25,x 因为∠AEH=∠CEB,所以△AHE∽△CBE,所以 16.①b=2,c=1时，方程有两个相等的实数根：②b =24,…,以此类推，即可猜想：x。=2√n. AE HE =3,c=1时，方程有两个不相等的实数根；③b=3,c C元=BE 图表信息与阅读理解型试题专项训练 =-1时，方程有两个不相等的实数根：④6=2，c=2时， 因为∠BEH=∠AEC,所以△HEB∽△AEC,所以 方程没有实数根，因此可选择②或③. -、l.C;2.D:3.C ∠HBE=∠MCA 选择②6=3，c=1时，解得=二3+5 2 =43:586432.8165 因为AH⊥CE,AH=HM,所以∠HAM=45°= ∠BAC,所以∠HAE=∠MAC,所以△AHB∽△AMC, 35;选择③6=3c=-1时，解得 三、7.(1)1：2. 2 (2)若3x+2≥2(x-1),即x≥-4时，则(3x+2)