专题08 解答压轴题（期末真题汇编，河南专用）八年级数学下学期

**基本信息** 河南多地八年级下期末解答压轴题汇编，聚焦正方形、菱形等几何图形性质探究，通过“感知-探究-应用”分层设计，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|19道|正方形性质、菱形折叠、等腰直角三角形全等、矩形动点问题|以“问题情境+操作发现”呈现，如矩形折叠探究平行四边形判定，贴合中考压轴题命题趋势|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08 解答压轴题 1.(24-25八年级下·河南省直辖县级单位期末)(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又 是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两 个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的好：试说明理由： (2)如图2，己知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°， △ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE2+AD2=2AC2, (3)如图3，等腰三角形ABC中，∠C=90°，D是斜边AB的中点，点D又是Rt△DEF的直角顶点， DF>DE>AC,△DEF绕点D转动，DE、DF分别与AC、BC交于M、N,若AC=2,请直接写出两个三角 形重叠部分的面积. 图1 图2 图3 2.(24-25八年级下·河南商丘期末)【问题情境】 D 图1 图2 备用图 (1)数学探究课上，某兴趣小组探究含60°角的菱形的性质，如图1，菱形ABCD的边长为4V3, LBAD=60°，则∠BAC=°，AC=· 【操作发现】 (2)如图2，在图1的基础上，小亮在菱形ABCD的对角线AC上任取一点M(点M不与点C重合)，连接 BM,以BM为边向左侧作菱形BMEF,且∠BME=60°，连接AF. ①求证：△BMC兰△BFA, ②随着点M位置的改变，∠CAF的度数是否发生变化？若不变，求出LCAF的度数；若变化，请说明理由. 【拓展延伸】 (3)在(2)中，连接MF,若AM=8,直接写出MF的长. 1/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25八年级下·河南新乡.期末)综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作LPAQ=LB,AP、AQ分别交边BC、CD于点P、Q. A 图1 图2 图3 (I)【感知】如图1，若点P是边BC的中点，小腾经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你写出这 个关系式 ,此时△APQ的形状是 (②)【探究】如图2，小飞说“点P为BC上任意一点时，(1)中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理 由 (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片ABCD,测得LABC=60°，AB=8,在BC边上取一点P,连接 AP,在菱形内部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q,当AP=7时，请直接写出△ADQ的面积. 4.(24-25八年级下·河南郑州期末)综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为 主题开展数学活动. E D'C D'O 图1 图2 图3 (I)观察发现：如图1，四边形ABCD是长方形，AD=2AB,点E是CD边上一点，连接AE,沿AE折叠 △ADE,使点D的对应点D'落在BC上，则∠D'AE=-· (2)探究迁移：如图2，在图1的条件下，延长BC与AE的延长线相交于点F,连接DF.试说明四边形ADFD 是平行四边形，并求∠DFC的度数 (3)拓展应用：如图3，四边形ABCD是边长为2的正方形，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点， 连接EG,FH.点M是BC边上一点，连接AM,将△ABM沿AM折叠，使点B的对应点B落在HF或EG上时， 直接写出BM=_· 5,(24-25八年级下·河南南阳·期末)探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习 研究活动，在正方形ABCD中，E为BC边上一点（点E与点B,C不重合)，LAEF=90°，且EF交正方形外角 的平分线CF于点F, 2/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D M E B E B E ① ② ③ (I)观察猜想：如图①，若E为BC的中点，猜想AE与EF的数量关系为 证明此猜想时，可取AB的中点G,连接EG.易证△AEG兰△EFC.判断三角形全等的依据是 (2)数学思考：如图②，若E为BC上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由， (3)结论拓展1：如图③，连接AF,交CD于点M,连接EM,则EM与DM,BE之间存在的等量关系为 (4结论拓展2：如图③，连接DF,若正方形ABCD的边长为4，求DF+AF的最小值， 6.(24-25八年级下·河南许昌·期末)【问题情境】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图 1,在等边△ABC中，AB=5,点M,N分别在边AC,BC上，且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而 解决上述几何问题 【问题解决】 如图2，过点C,M分别作MN,BC的平行线，并交于点P,作射线AP.在【问题情境】的条件下，完成下列 问题： B 钢丝绳 图1 图2 图3 图4 (1)证明：AM=MP; (2)求LCAP的度数和线段MN长度的最小值 【方法应用】 (3)某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3，小明收集了该房屋的相关数据，并画 出了示意图，如图4，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2m,∠ACB=30°.MN 3/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上，在调整钢丝绳端点位置时，其长 度也随之改变，但需始终保持AM=DN.请直接写出钢丝绳MN长度的最小值 7.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)数学课上，小组同学对含60°角的菱形进行了探究. 【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B,AP,AQ分别交直线BC,CD于点P,Q. B 图1 图2 图3 (1)【感知】 如图1，若点P是边BC的中点，小智经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你直接写出这个数量 关系为 (2)【探究】 点P为BC上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立？请选择图2或图3回答，并说明理由 (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片ABCD,若AB=8,AP=7,请直接写出线段DQ的长. 8.(24-25八年级下·河南安阳·期末)在正方形ABCD中，点E在直线AC上，过点E作EF⊥ED交直线BC于 点F,以DE、EF为边构造矩形DEFG. 图① 图② 备用图 (I)提出问题：当点E在CA延长线上时，如图①，求证：矩形DEFG是正方形； 小明的解题思路如下，请补充完整： 作EP⊥DA交DA的延长线于点P,交CF于点Q,则∠EQF=,易证△EFQ≌△DEP可得 ，进而 可知矩形DEFG是正方形； (2)类比探究：当点E在线段AC上时，如图②；试写出线段CG、CE与AC之间的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：过点E作EN⊥直线CD,垂足为N,若CN=2W2AE=8,则CF= 9,(24-25八年级下·河南新乡期末)综合与实践 4/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 八年级下册课本第64页中的“数学活动”一折纸引起了许多同学的兴趣.于是，数学活动课上，数学老师 引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动. D D 图1 图2 图3 【操作发现】 如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC折叠，使点D落在点D处，MD与BC交于 点N.根据以上操作，易得LCMD=∠CMD',再结合矩形的性质，可得LCMD=∠MCN,进而得到 MN=CN 【初步应用】 如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B处，折痕为 ME. (1)求证：EC=2MN. (2)若CD=2,MD=4,求EC的长 【迁移探究】 如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平. 步骤二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，连接PM,BM,延长 PM交CD于点Q,连接BQ, (3)若正方形纸片ABCD的边长为8cm,FQ=1cm,直接写出AP的长. 10.(24-25八年级下·河南许昌·期末)期中试题再回顾： 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，连接DE, A E (I)过点A作AF⊥DE交DE于点P,交DC于点F(尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)； (②)求证：点F是DC的中点； 5/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)连接PC,当PF=2时，PC= 11.（24-25八年级下·河南南阳·期末)【教材呈现】下面是人教版八年级下册P69的部分内容： 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，LAEF=90°，且EF交正方形的外角的平分线CF于点 F.求证：AE=EF(提示：取AB的中点G,连接EG)· G (1)请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明△兰△ 从而可得AE=EF; 【类比探究】 (2)如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B,C重合），其他条件不变.求证：AE=EF; 【拓展探究】 (3)如图(2)，四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，LAEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF 于点F.若AB=4,CE=1,直接写出EF的长. D A D F B E B 图(1) 图(2) 12.(24-25八年级下·河南安阳·期末)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数 学探究活动 【问题情境】 在矩形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AB边上一点，连接EF,将四边形ADEF沿EF折叠，点A,D的对 应点分别为A',D. 【特例探究】 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E D 图1 图2 图3 (1)如图1，点A'与点C重合，则四边形AECF的形状为 请说明理由； (2)如图2，若点F为AB的中点，45°<∠EFA<90°，延长D'A'交BC于点P.求PA'与PB的数量关系，并说 明理由； 【深入探究】 (3)如图3，若AD=3,AB=6,BF=1,当点E为CD的三等分点时，直接写出是的值. 13.(24-25八年级下·河南许昌·期末)综合与实践 “综合与实践”课上，李老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形纸片， 表示为△ABC和△DEF(其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D=30°，AB=DF=6),将两个三角形纸片按 下列方式摆放，解决以下问题： B CE) D 图1 图2 图3 (I)如图2，摆放△ABC和△DEF,使点C,E重合，点F,C,B共线.连接AF,BD.则四边形AFDB形状为 ;面积= (2)固定△ABC的位置，使点B,F重合（标记为B),转动△DEF的位置进行摆放， ①如图3，转动、摆放的过程中，若DE‖BC,延长DE交AC于点G,试判断四边形BCGE的形状，并说明理 由； ②“乐学组”同学在转动、摆放的过程中，发现边DE有多种情况能与△ABC的一边平行，连接AD,请直接写 出AD2的值（写出2种答案即可）， 14.(24-25八年级下.河南洛阳·期末)综合与实践 7/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1） 进行研究. 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形 (1)在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有 (填序号)； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形. 性质探究 (2)如图2，若E,F,G,H分别是等角线四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点，此时以E,F, G,H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当AC L BD时，请判断中点四边形EFGH的形状并说明理由； (3)如图3，在△ABC中，AB=13,BC=11,CA=8,D为△ABC外一点，若以A,B,C,D四点为顶点 的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A,B,C,D为顶点的等角线四边形的中点 四边形的面积. 图1 图2 图3 15.(24-25八年级下河南漯河期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-之+2分别与x轴、y轴相交 于点A、点B,直线CD与AB相交于点C(2,m,与x轴相交于点D(1,0),与y轴相交于点E,点P是y轴上一动 点 B (I)求直线CD的表达式： (2)连接CP、DP,当△CDP的面积等于△BCE面积的2倍时，求出点P的坐标； (3)在第四象限是否存在一点Q,使三角形CEQ是以CE为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 8/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16,(24-25八年级下·河南漯河·期末)问题情景：在数学活动课上：老师出示了这样一个问题：如图①， 在正方形ABCD中，E,F分别是射线BA,DA上的点，且BE=DF,点G在射线CB上，且满足GF=CF, B G B 图① 图② 备用图 数学思考： (1)如图①，当点E,F,G分别在线段BA,DA,CB上时，线段CE与GF的数量关系为 ；位置关系 为 ； 猜想证明： (2)如图②，当点E,F,G分别在线段BA,DA,CB的延长线上时，(1)中的结论是否依然成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展延伸： (3)若AB=9,当BE=2AE时，请直接写出线段BG的长度 17.(24-25八年级下·河南濮阳·期末)数学社团的同学们对课本上一道数学题进行了深入的探究. 教材：P62“拓广探索”第15题 如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点 F.求证：AF-BF=EF. G 图1 【问题解决】 (1)如图1，小明提出可以证明△ABF≌△DAE,从而AE=BF,DE=AF,因此AF-BF=AF-AE=EF, 小明证明△ABF≌△DAE的理由可能是() A.SAS B.AAS C.SSS D.HL (2)如图1，若AB=4,∠BAG=30°，则EF= 【问题探索】 9/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，小强提出，如果点G在CB的延长线上，BF⊥AG于点F,DE⊥AG交GA的延长线于点E.线段 AF,BF与EF之间的数量也有关系，三条线段的数量关系是：； 图2 (4)如图3，小颖提出，在教材：P62“拓广探索”第15题的条件下，连接BD,取BD的中点O,连接E0, F0,那么OE,OF之间也存在一定的关系，请写出它们的关系并证明. G 图3 18. (24-25八年级下·河南信阳·期末)综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片ABCD,且AB=8,AD=4,点P为CD上一个 动点，研究以直线PQ为对称轴折叠矩形ABCD.并作以下操作，供同学们探究发现： 4(0 M 图1 图2 图3 【问题提出】 (1)如图1，点E,F分别为AD,BC的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M,当点M落在EF上时， 展开纸片，连接DM交折线AP于点O,则AP与DM的位置关系为 ,DO与OM的数量关系为 ∠MAB的大小为 【再次探究】 (2)如图2，若点Q在AB上，点D的对应点为点M,点A的对应点为点N,若点M始终落在AB上，展开纸片， 连接DM交折线PQ于点O,判断四边形PDQM的形状，并说明理由； 10/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【拓展延伸】 (3)如图3，若点Q在AD上，点D的对应点为点M,若点M始终落在AB上，直接写出DQ的取值范围 19.(24-25八年级下·河南·期末)我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点 的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义， 并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索 (1)观察猜想 定义：四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC,像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”. 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质： (除定义 外)； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形ABCD中，AD=DC,AB=BC,求证： D 图1 (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形ABCD中，AD=DC=2V2,∠ADC=90°，∠DAB=105°，则筝形ABCD的面积为 ； D B 图2 (4)拓展推广 如图3，在筝形ABCD中，AB=AD,BC=CD,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DM⊥BC于点M,交OC 干点N.若ON=CN=6,则DM= (直接写出DM的长)， 11/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 D y 图3 12/12 专题08 解答压轴题 1．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．试说明理由； （2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边上．求证：． （3）如图3，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是的直角顶点，，绕点D转动，、分别与、交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）1 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）连接，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； （3）连接，证明，得出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积正方形面积的； （2）证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，D是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴两个三角形重叠部分的面积 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）【问题情境】 （1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．如图1，菱形的边长为，，则_____，_____． 【操作发现】 （2）如图2，在图1的基础上，小亮在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），连接，以为边向左侧作菱形，且，连接． ①求证：． ②随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）中，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②不变，；（3） 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质证得为等边三角形，即可求解； （2）①根据菱形的性质可得，，再由以及平行线的性质可得，从而得到，即可求证；②根据全等三角形的性质可得，即可解答； （3）连接，交于点，过点作于点，则，证明四边形是矩形，可得，即可解答． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）①证明：四边形，四边形都是菱形， ，，，， ，． ， ， ， ． ，， ． ②的度数不变．理由如下： 四边形是菱形，， ． ， ， ， 故的度数不变，． （3）如图，连接，交于点，过点作于点，则． 四边形，四边形都是菱形，，， ，，，，， ， ． ，， ， ∵， ， ∴． ， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南新乡·期末）综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． (1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． (2)【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)，等边三角形； (2)同意，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据点是边的中点，可得，等量代换可得，故，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （2）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，等量代换可得，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （3）过点作于，连接，根据菱形的性质，可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据勾股定理可得，即可求得的值，计算面积即可． 【详解】（1）解：，是等边三角形； 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ， ∴和都是等边三角形， ， ∵点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：同意． 理由如下：连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （3）解：或（写成，也对） 同（2）可证， 过点A作于E，连接， ∵四边形是菱形，且，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， 当时，（或）， 当时，（或）． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式等，解题的关键是构造等边三角形以及全等三角形． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，四边形是长方形，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，则 ． (2)探究迁移：如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点，连接．试说明四边形是平行四边形，并求的度数． (3)拓展应用：如图3，四边形是边长为2的正方形，，，，分别为，，，的中点，连接，．点是边上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在或上时，直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠的问题、正方形与折叠的问题、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是明确题意、掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）利用矩形的性质、，再根据折叠的性质，如图：取的中点O，连接，易得是等边三角形，即，则，再根据折叠的性质求解即可求； （2）由矩形的性质可得、，即，进而得到；再根据折叠的性质可得、，即，由等角对等边可得，易证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对角相等即可解答． （3）由正方形的性质以及中点四边形的性质可得、四边形是矩形，易得，再分当点落在上和上两种情况，分运用折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，， ∴，， 如图：取的中点O，连接，则， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：如图：∵四边形是矩形， ∴，，即， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：∵正方形的边长为2，E、F、G、H分别为、、、的中点， ∴，四边形是矩形， ∴， ①如图：当点落在上时， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， 如图：取的中点O，连接，则， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②当点落在上时， 由折叠的性质可得：， 利用（1）的方法进而得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_________________． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． (4)结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）通过构造中点G，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明． （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论E在上什么位置，都成立． （3）借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将，，转化到一条线段上找关系即可． （4）通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况，最后结合正方形边长求出最小值，利用对称性质将转化，根据两点之间线段最短求的最小值． 【详解】（1）解：猜想，依据是，理由如下： 取中点G，连接，如图① ∵点E、点G分别为、中点， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为正方形外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，有， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）解：成立，理由如下： 如图，在上取一点G，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴，即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论成立． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， 由（2）可知，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点N、D、M三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 故答案为：； （4）解：作点A关于直线的对称点，连接，，， 延长，作于点，如图， ∵点A关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∴若使最小，则需点D、F、三点共线，最小值为的长度， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，图形的旋转，轴对称的性质，本题围绕正方形中与相关的图形展开，需熟练掌握边角边的证明以及边角边的证明三角形全等的证明方法，再根据三点共线，即最短是解决本题的关键． 6．（24-25八年级下·河南许昌·期末）【问题情境】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图2，过点，分别作，的平行线，并交于点，作射线．在【问题情境】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）求的度数和线段长度的最小值． 【方法应用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，是等腰三角形，四边形是矩形，，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请直接写出钢丝绳长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． （1）先证四边形是平行四边形得到； （2）利用等腰三角形可得，再将转化成，时有最小值，即可求解； （3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴； （2）∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当最小时，线段也有最小值， 此时， ∴线段的最小值是； （3）解：如图，连接，过M、D作、的平行线，则四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 即长度的最小值为． 7．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作分别交直线于点． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系为______． (2)【探究】 点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？请选择图2或图3回答，并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5或3 【分析】（1）数量关系：．连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得或3，再利用（2）中的结论即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：． 理由：如图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， 点是边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）证明：成立．理由： 如图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 或如图：连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过点作于，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， 或， 由（2）知：， ， 或． 线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 8．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在正方形中，点E在直线上，过点E作交直线于点F，以、为边构造矩形． (1)提出问题：当点E在延长线上时，如图①，求证：矩形是正方形； 小明的解题思路如下，请补充完整： 作交的延长线于点，交于点，则______，易证可得______，进而可知矩形是正方形； (2)类比探究：当点E在线段上时，如图②；试写出线段、与之间的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：过点E作直线，垂足为N，若，则 ______． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3)6或10 【分析】（1）作延长线于P，于Q．利用证，得出，即可证明矩形是正方形； （2）作于P，于Q，则，根据正方形性质得到，推出四边形是矩形，根据，得到，推出，推出矩形是正方形，得到，根据四边形是矩形，得到，推出，结合，推出，得到，推出矩形是正方形；根据正方形性质得到，，，推出，推出．得到，根据，即可得到； （3）先证得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，可得，，，然后分当点E在线段CA延长线上时和当点E在线段AC上时，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作延长线于P，于Q． 则，， 又∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：；理由如下： 如图，作于P，于Q． 则， ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵正方形和正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、为等腰直角三角形， ∴，，， 如图，当点在线段延长线上时，结合（1）中作图，，， ∴，， ∴， 此时； 如图，当点在线段上时，结合（2）中作图，，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形、全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握知识点、作图推理证明是解题的关键． 9．（24-25八年级下·河南新乡·期末）综合与实践 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．根据以上操作，易得，再结合矩形的性质，可得，进而得到． 【初步应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【迁移探究】 如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （3）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析（2）5（3）的长为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解；（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：由四边形折叠，得到四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ， ． ， ，即． （2）矩形沿所在的直线折叠， ，，． 设，则． 在中，， ， 解得， ， ． （3）由折叠的性质，得，，，， ， ． 分两种情况： ①当点在线段上时． ， ，． ， ， ； （2）当点在线段上时． ， ，． ， ， ． 综上所述，的长为或． 10．（24-25八年级下·河南许昌·期末）期中试题再回顾： 如图，四边形是正方形，点是的中点，连接． (1)过点作交于点，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； (2)求证：点是的中点； (3)连接，当时，______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的尺规作法画图即可； （2）根据正方形的性质，得到，，进而用“”证到，再利用全等的性质，最终得证； （3）要求的长度，可构造直角三角形，利用勾股定理求长度，设，则，用两种不同的方法表示出的长度，列方程解出x，进而求出，的长度，最终利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：四边形是正方形，点是的中点， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ， 点是的中点； （3）如图，连接，过点P作， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和二次根式的计算，综合性很强，熟练掌握它们并运算正确是关键． 11．（24-25八年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】下面是人教版八年级下册的部分内容： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点．求证：（提示：取的中点，连接）． （1）请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明______ ______，从而可得； 【类比探究】 （2）如图1，若点是边上任意一点（不与重合），其他条件不变．求证：； 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点．若，，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的长为5或 【分析】（1）取的中点，连接，证明，即可得证； （2）在的中点，使，连接，证明，即可得证； （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（2）问的结论，当在边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，， 分别是的中点， ，， ，， ， ， 是的外角的平分线，且， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）证明：如图，在上取点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 是的外角的平分线，且， ， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 当点在边上时，如图， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 由（2）知，， 当点是直线上的一点时，如图， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 是正方形的外角平分线， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， 综上，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 12．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． 【问题情境】 在矩形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点，的对应点分别为，． 【特例探究】 （1）如图1，点与点重合，则四边形的形状为___________，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，当点为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，即可得，由折叠的性质得：，，则，证出，，得四边形是平行四边形，又结合，即可证明平行四边形为菱形． （2）如图，连接，证明，即可解答． （3）根据题意，分两种情况：①若点为的三等分点，且，②若点 E为的三等分点，且，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）四边形为菱形． 理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． （2）与的数量关系为：． 理由如下： 如图，连接， 为的中点， ， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：， ，， 在和中， ， ． ． （3）解：①若点为的三等分点，且，如图所示： ， ， 过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ， ， ， ∵将矩形沿折叠， ， ， ； ②若点E 为的三等分点，且，如图所示： ， 过点作于， 同理可得， ， 同理，由折叠可得， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的判定与性质，菱形的判定，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 13．（24-25八年级下·河南许昌·期末）综合与实践 “综合与实践”课上，李老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形纸片，表示为和（其中）．将两个三角形纸片按下列方式摆放，解决以下问题： (1)如图2，摆放和，使点重合，点共线．连接．则四边形形状为___________；面积___________． (2)固定的位置，使点重合（标记为），转动的位置进行摆放． ①如图3，转动、摆放的过程中，若，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； ②“乐学组”同学在转动、摆放的过程中，发现边有多种情况能与的一边平行，连接，请直接写出的值（写出2种答案即可）． 【答案】(1)菱形； (2)①四边形是正方形，详见解析；②72或144或 【分析】（1）证明，进而得到是四边形的对角线且互相垂直平分，即可证明四边形形状为菱形，根据30度角的性质结合勾股定理得到，即可求出面积； （2）①先证明四边形是矩形，再证明矩形是正方形； ②分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵点共线， ∴， ∴点共线， ∴是四边形的对角线且互相垂直平分， ∴四边形形状为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形面积 故答案为：菱形；； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： ∴四边形是矩形 ∴四边形是正方形； ②i．当时， 由（1）可知，， ∵， ∴ ∵， ∴； ii．当时， 如图，反向延长到F，过点B作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴在一条直线上， ∵， ∴在一条直线上， ∴， ∴； iii． 当时， 如图，过D作交延长线于F，作交延长线于G， 则四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴； 综上所述，的值为72或144或（写出2种答案即可）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，30度角的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 14．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边 ，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边 ，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 15．（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)连接．当的面积等于面积的2倍时，求出点的坐标； (3)在第四象限是否存在一点，使三角形是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式： （2）先由直线可得，由直线得，即可得的面积；设点的坐标为，分两种情况：①点在轴正半轴时，②点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可； （3）分两种情况讨论：①是以为直角的等腰直角三角形；②是以为直角的等腰直角三角形，分别求解即可． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，坐标系中三角形的面积，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， 点， 设直线的解析式是， 直线过点，， ，解得， 直线的表达式为； （2）解：直线与轴相交于点， ∴当时，，则， 直线与轴相交于点， ∴当时，，则， ， 点， ． 设点的坐标为， ①点在轴正半轴时，如图， ， ∵， ， ， 点的坐标为； ②点在轴负半轴时， ， ∵， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若是以为直角的等腰直角三角形， 则，， 过点C作轴于点M，过点Q作轴于点N， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． ②如图，若是以为直角的等腰直角三角形， 则，， 过点C作轴于点H，过点Q作轴于点K， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 综上所述，存在点，使三角形是以为直角边的等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 16．（24-25八年级下·河南漯河·期末）问题情景：在数学活动课上：老师出示了这样一个问题：如图①，在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点，，分别在线段，，上时，线段与的数量关系为________；位置关系为________； 猜想证明： （2）如图②，当点，，分别在线段，，的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展延伸： （3）若，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），；（2），，依然成立，证明见解析；（3）3或27 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，设交于点，证明，可得，，进而证明，即可； （2）过点作于点，延长交于点，根据（1）的方法进行证明即可求解； （3）根据（1）（2）的结论，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作于点，设交于点， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴,， 又∵， ∴ ∴，， 又 又 ， 又∵， ， ； （2），，依然成立，证明如下， 如图所示，过点作于点，延长交于点， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ∴，， 又 又 又∵， ， ； （3）当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得 ∴， ∵正方形，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得 ∴， ∵正方形，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 综上：线段的长度 3或27． 17．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）数学社团的同学们对课本上一道数学题进行了深入的探究． 教材：P62“拓广探索”第15题 如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，于点．求证：． 【问题解决】 （1）如图1，小明提出可以证明，从而，，因此，小明证明的理由可能是（   ） A．    B．    C．    D． （2）如图1，若，，则_____； 【问题探索】 （3）如图2，小强提出，如果点在的延长线上，于点，交的延长线于点．线段，与之间的数量也有关系，三条线段的数量关系是：_____； （4）如图3，小颖提出，在教材：P62“拓广探索”第15题的条件下，连接，取的中点，连接，，那么，之间也存在一定的关系．请写出它们的关系并证明． 【答案】（1）B；（2）；（3）；（4），，见解析 【分析】（1）由，得，进而证得，从而，进一步得出结论； （2）由，，可得，再由勾股定理得出，再由全等三角形性质得，最后再求解即可； （3）由，得，，进而证得，从而，进一步得出结果； （4）延长交于，先证明，可得，， 由（1），，得出，，可得是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形，从而得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 故选：B； （2） ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）由（1）得：，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图3中，延长交于， ， ， ，， ， ，， 由（1），， ， ， 是等腰直角三角形， ， , 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形得出简单的线段相等是解题的关键所在． 18．（24-25八年级下·河南信阳·期末）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】 （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为________，与的数量关系为________，的大小为________； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；； ；（2）四边形是菱形．理由见解析；（3）长的取值范围是 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， ∵点，分别为，的中点， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形 ∴垂直平分 ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ 故答案为：；， （2）四边形是菱形．理由如下： 折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ，，， 垂直平分， ，， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， 长的最大值为4； 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则， 折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ，，，， ， ， ， ， ； 解得：， 长的最小值为， 长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 19．（24-25八年级下·河南·期末）我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． (1)观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； (4)拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 【答案】(1)，且平分 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）：根据，，得到垂直平分； （2）利用线段垂直平分线的判定和性质证明即可． （3）求得，的长，根据图形，得，解答即可． （4）连接，过点O作于点K，得到，证明，设，则，，，利用勾股定理，解方程求解即可． 【详解】（1）解：根据，， 故垂直平分， 故答案为：，且平分． （2）证明：如图，连接，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，且平分． （3）解：筝形中，，，， ∴，， ∴， ∵筝形， ∴，且平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （4）解：如图，连接，过点O作于点K， ∵筝形中，，，对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设， 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了筝形的定义和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，熟练掌握定义，勾股定理，正三角形的性质是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $