第五章 导数与函数的单调性、极值、最值单元复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义以“导数与函数性质”为核心，通过题型分类构建知识体系，用表格对比极值条件、步骤梳理单调性判断流程，清晰呈现单调性、极值、最值的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点是分层练习设计，含“含参函数单调性讨论”“已知极值求参数”等题型，培养数学思维与模型观念，基础题巩固方法，综合题提升推理能力，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

第五章 导数与函数的单调性、极值、最值 目录 题型1：函数的单调性 3  不含参函数的单调性 3  含参函数的单调性 5  已知函数单调性求参数 10 题型2：函数的极值 16  由图像判断函数的极值 16  求函数的极值（极值点） 21  已知函数的极值求参数 23 题型3：函数的最值 32  不含参函数的最值 32  含参函数的最值 33  已知函数最值求参数 39 1. 函数的单调性与导数的关系 函数在区间上可导，有 (1) 函数在区间上单调递增； (2) 函数在区间上单调递减； (3) 函数在区间上单调递增； (4) 函数在区间上单调递增减 2. 判断函数的单调性的一般步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求出导数的零点； (3) 用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 3. 函数的极值与导数 条件 当时， 在附近的左侧，右侧 在附近的左侧，右侧 极值 是极大值 是极小值 极值点 是极大值点 是极小值点 提醒 是为可导函数的极值点的必要不充分条件. 4. 函数的最值与导数 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 5. 求函数在区间上的最值的步骤 (1) 求函数的导数； (2) 利用求在区间上的极值； (3) 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 题型1：函数的单调性 · 不含参函数的单调性 【例1.1.】 已知函数，其中，则的单调增区间为________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求定义域，求导数，利用导数可得答案. 【详解】由，即，可得函数定义域为. 易知， 即在定义域内恒成立， 综上，的单调增区间为. 【例1.2.】 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.86 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先确定函数的定义域，再求导函数，最后解出导数小于0的不等式并与定义域取交集即可得出单调递减区间. 【详解】由题意得， 令，则，解得, 因为，最终有. 【例1.3.】 已知函数，且. (1)求a的值； (2)设，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 【难度】0.78 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）求导，利用已知可得，求解即可； （2）结合（1）可得，求导，利用和，解不等式可求得单调区间. 【详解】（1）由，得， 又因为，所以，解得； （2）由（1）得，所以， 所以，求导得， 令，解得，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【例1.4.】 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【难度】0.82 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】（1）∵ ，函数定义域为， ∴ ，即切点坐标为. ， ∴ 切线斜率. 由点斜式得切线方程为，整理得或. （2）由(1)得， ∵ 对任意，恒成立， ∴ 的符号由二次函数的符号决定. 令，即，解得，. ∵ 二次函数开口向上， ∴ 当或时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. · 含参函数的单调性 【例1.5.】 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【难度】0.71 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程； （2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性． 【详解】（1）当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． （2）由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【例1.6.】 已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解. 【详解】（1）， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． （2）． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 【例1.7.】 已知函数，讨论函数的单调性． 【详解】的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 【例1.8.】 已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 【难度】0.6 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导得解析式，分析当时，各部分的范围，分析即可得证 （2）求导得解析式，记，利用导数可得的单调性， 分别讨论、和三种情况，根据边界值的正负，可得的正负，分析即可得的单调性． 【详解】（1）当时，，则， 当时，，等号不能同时成立， 所以在上恒成立，则在上单调递增． （2）由题意得， 则， 记，则， 因为，所以 ， 则在上恒成立，所以在上递减， 又 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递减； 当时， ，则存在唯一，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 【例1.9.】 已知函数，．令，讨论在的单调性； 【答案】当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导后，分、、、讨论即可； 【详解】，，则， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时，令，则，解得. 若，即时，，则，所以在上单调递增； 若，即时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. · 已知函数单调性求参数 【例1.10.】 已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式求解. 【详解】由函数，求导得， 由，得，即函数的递增区间为， 由函数在上单调递增，得，即，解得， 所以的取值范围是． 【例1.11.】 已知函数，若的单调递减区间为，则实数a的值为______；若在区间内单调递减，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】将问题转化为是方程的两根可求；将问题转化为在上恒成立，利用参变分离求出范围. 【详解】易得，， 若的单调递减区间为，则是方程的两根， 则，得，则， 令，得，故的单调递减区间为， 则符合题意； 若在区间内单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，得， 故实数a的取值范围为. 【例1.12.】 已知函数是上的增函数，则的值为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出导函数，由题意恒成立，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 因为是上的增函数，所以恒成立． 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，要使恒成立， 则时，即恒成立，所以， 时，即恒成立，所以， 因为，所以， 综上，得． 故答案为： 【例1.13.】 已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先求函数的导数，再根据函数在区间上单调递减，所以导函数在区间上小于等于零（但不能恒等于零）可得. 【详解】由函数在 (2, +∞) 上单调递减，故函数在该区间上必须有意义，则， ， 因为函数在单调递减，所以在恒成立， 所以，解得，但时，为常函数，不满足题设单调递减的要求，故 应舍去， 因此，实数的取值范围. 【例1.14.】 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 【例1.15.】 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 【例1.16.】 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数求的单调区间，由在区间上单调，求的取值范围. 【详解】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 【例1.17.】 已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由函数的单调区间求参数、根据函数的单调性求参数值、探求命题为真的充要条件 【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 【例1.18.】 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值、分段函数的性质及应用 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 【例1.19.】 （多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 【答案】AC 【难度】0.62 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】对函数求导得到，由函数在存在单调递减区间转化为在区间上有解，分离参数得有解，换元令转化为二次函数在上求值域，得其值域为，只需即且，据此判断和符合条件. 【详解】函数在上存在单调递减区间. 等价于在上有解.求导得. 由在上有解，得在上有解. 令，则. 该函数在上单调递减，最大值为，最小值为. 要使在上有解，只需，即且. 选项中和均满足且，故A、C正确. 题型2：函数的极值 · 由图像判断函数的极值 【例2.1.】 已知函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由图象的单调性，分析图象的符号判断选项. 【详解】对原函数分区间讨论单调性： 当时（其中是原函数左极小值点），单调递减 ； 当时单调递增 ； 当时（其中是原函数右极小值点），单调递减 ； 当时，单调递增 ； 符合上述符号变化的只有选项D. 【例2.2.】 （多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数极值点的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【详解】根据导函数的图象可知，的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值； 的两侧的小区域内，左增右减，所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知B错误，ACD正确. 【例2.3.】 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间 C．有两个极值点 D．有两个零点 【答案】D 【难度】0.66 【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由导函数为负，原函数单调递减；导函数为正，原函数单调递增.与极值点的定义即可选出答案. 【详解】记函数与轴的两个交点横坐标从左往右依次为， 则由图可知：当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故有两段单调递增区间，有两段单调递减区间，函数有一个极小值点：；有一个极大值点：；即A，B，C选项正确， 不能确定函数的零点个数，D错误. 【例2.4.】 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极大值 B．在区间内，有1个极值点 C．在区间内，是增函数 D．是的一个零点 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导数的正负，判断函数的单调性，再判断函数的极值点，即可判断选项. 【详解】A.如图，2附近，左边的导数为正数，2右边的导数为负数，所以2附近是先增后减， 所以2是的极大值点，是函数的极大值，故A正确； B. 在区间内，，单调递减，所以无极值点，故B错误； C.在区间内，，函数单调递减，内，，函数单调递增，故C错误； D.附近，左边导数为正数，函数单调递增，右边导数为负数，函数单调递减，所以是函数的极大值点，不一定是零点，故D错误. 【例2.5.】 已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】根据极值点求参数、函数（导函数）图象与极值的关系、根据极值求参数、函数与导函数图象之间的关系 【分析】由题意可知函数的单调区间及极值点为，，从而得，是的两根，结合韦达定理及函数与轴的交点位于轴的正半轴，即可判断的正负. 【详解】由题意可知函数在上单调递增，在上单调递减，极大值点为，极小值点为， 所以的两根为，，且， 所以，所以， 由题意可得函数与轴的交点位于轴的正半轴，所以. 综上，，，，. · 求函数的极值（极值点） 【例2.6.】 函数的极值点为__________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求导，令导函数为0，可得极值点，分析单调性，即可得答案. 【详解】由题意得， 令，得或（舍）， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以为的极小值点，无极大值点. 【例2.7.】 函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值 【详解】可知， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以极小值为. 【例2.8.】 ，下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求导，令，再根据单调性确定极值点判断即可． 【详解】， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则0不是极值点，A错误； 是极小值点，B错误； 是极大值点，C错误； 是极大值点，D正确． 【例2.9.】 函数的极值点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】求已知函数的极值点 【详解】，因为，所以有两个极值点， 由韦达定理得这两个极值点之和为． 【例2.10.】 已知函数的导函数为，若，则的极小值点为（    ） A．-4 B．0 C． D．4 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、求已知函数的极值点 【分析】解题的关键是先对函数求导，再通过令求出的值，进而得到的表达式，最后根据导数与函数单调性的关系求出函数的极小值点. 【详解】由题知，， 令 ，所以，所以， 将 代入得， 令 ，则，解得：， 由得或，由得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为. 【例2.11.】 已知函数，求的极值； 【答案】当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； 【分析】求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性，得到极值情况； 【详解】由题意得的定义域为， 则， 当时，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； 综上，当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； · 已知函数的极值求参数 【例2.12.】 若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【答案】 【难度】0.8 【知识点】根据极值求参数、求已知函数的极值 【详解】因为，由得， 且当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极大值，且，即， 函数在处取得极小值，且. 【例2.13.】 已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【难度】0.6 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 【例2.14.】 设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】先对求导得，函数有极值只需导函数有变号零点，时导函数为一次函数存在变号零点、有极值，时导函数为二次函数，令判别式解得且，合并得取值范围是. 【详解】函数有极值，首先求导得. 函数有极值的充要条件：导函数有至少一个变号零点. 当时，，是一次函数，有一个变号零点，函数有极值. 当时，是二次函数，需满足判别式，即，化简得，解得. 综上，的取值范围是. 【例2.15.】 若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据极值求参数 【分析】先对函数求导，根据极值点处导数为且两侧导函数异号的性质，结合极值点大于的条件求解参数的取值范围． 【详解】函数的定义域为， ， 令，解得，即， 由于在上单调递增， 所以当时，；当时，， 所以是函数的极小值点， 因此，解得， 所以的取值范围是． 【例2.16.】 若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】对函数求导后，由题意可知导函数在有2个不同的零点，从而可得方程有两个不同的实根，再结合二次函数的性质可求得结果. 【详解】函数的定义域为， ，在有两个不同极值点. 分母恒成立，令在上有两个不同的正实根. 函数，两个不同根都在需满足： ①判别式，结合得； ②对称轴，解得. ③区间端点，解得；恒成立. 综上，. 【例2.17.】 已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.57 【知识点】根据极值点求参数 【分析】首先确定函数的定义域，其次因为既有极大值又有极小值，可知导数为0有两个不相等的正根，而导数的分子正好为一元二次，所以通过根与系数的关系得到不等式. 【详解】的定义域为， 求导得， 因为函数既有极大值又有极小值， 所以在上有两个不相等的根 记为，即是的两个不相等的正根 ，解得. 【例2.18.】 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）将函数求导，根据导函数的表达式，将参数分成，，和四种情况，分别讨论函数的单调性即得； （2）根据（1）的结论，依题意可推得或，分两种情况将题设条件转化成在对应区间上的恒成立问题，通过设，利用导数分析其单调性，验证即得参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当，即时，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增； 若，，即函数在上单调递增； 若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，要使既有极大值又有极小值，需使或. 当时，的极大值为，的极小值为， 依题意，，因，可得（*）， 设，则， 即函数在上单调递减，故，即，这与（*）矛盾，舍去； 当时，的极小值为，的极大值为， 依题意，，因，可得（**）， 由上分析，易得函数在上单调递减， 故，即，符合（**）. 综上可得，的取值范围为. 【例2.19.】 若函数无极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【详解】由，得， 则没有变号零点，即没有变号零点， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 当时，， 当时，， 当时，的增长速率远远比的要大，所以， 作出的图象，如图所示， 所以． 【例2.20.】 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 【例2.21.】 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】由题意可得有唯一变号零点，即有唯一解，先讨论时，不满足题意，从而可得，令，进而得直线与函数的图象只有一个交点，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，， 所以，有唯一变号零点， 当时，，不满足题意； 所以， 令，得， 令， 则直线与函数的图象只有一个交点， 又因为， 令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 又当时，，当时，， 所以函数在处取极小值，为0；在处取极大值，为， 作出函数、直线的图象，如图所示： 由此可得当时，满足题意； 当时，直线与函数的图象有两个交点， 一个点的横坐标为（此点为直线与函数的切点）， 且在此处不变号； 另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意. 综上，. 题型3：函数的最值 · 不含参函数的最值 【例3.1.】 已知函数的最小值为____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求函数的定义域，再利用导数判断其单调性，结合函数单调性求最值. 【详解】函数的定义域为，， 令，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为. 【例3.2.】 函数，的最小值是______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】通过求导确定函数在区间上的单调性，结合单调性分析最小值即可. 【详解】因为，，则， 令，则，解得；令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，，即， 所以函数在上的最小值为. 【例3.3.】 函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. · 含参函数的最值 【例3.4.】 已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【难度】0.7 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【例3.5.】 已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【难度】0.61 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况讨论导数的正负，判断函数的单调性； （2）根据（1）的结果，讨论的取值，判断区间的单调性，求函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 【例3.6.】 已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.7 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 【例3.7.】 已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. (2)时，； 时，. 【难度】0.51 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，分，，，根据导数讨论求解即可； （2）结合（1），根据函数单调性，分，讨论求解即可. 【详解】（1）易得定义域为. 当时，. ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，. ⅰ.若时，，，， 则在上递增，在上递减. ⅱ.若时，令或. 当， 此时或，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 当，此时在上单调递增， 当，此时或， ， 则在，上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上递增，在上递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）分析可得， 若，则在上单调递减， ； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； 综上可得：时，； 时，. · 已知函数最值求参数 【例3.8.】 若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】对求导分析函数单调性得到最大值，得到函数取最大值时的，进而建立关于的方程并求解. 【详解】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 即， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 【例3.9.】 已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【难度】0.42 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】先求出导函数得出函数单调性，再结合，再应用最小值列式求解. 【详解】因为，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 且，，若在区间上的最小值为， 因为函数取到值为的点为或， 所以对区间的最小值进行分类讨论： 若区间包含极小值点，则，解得； 若区间不包含，则最小值必在端点取到，结合单调性可知，只有当时，在区间上的最小值为。 所以当在区间上的最小值为时，或. 【例3.10.】 已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、已知函数最值求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】已知函数，求导得， 令，解得或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此，函数在处取得极大值， 为了使在区间上有最大值，需要同时满足以下两个条件： ①极大值点在区间内，即，解得； ②区间端点处的函数值小于等于极大值，即且，由函数的单调性可知，当时，恒成立， ，解得； 综上所述，的取值范围是. 【例3.11.】 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.56 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 【例3.12.】 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 【例3.13.】 若函数在区间存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】已知函数最值求参数 【详解】由， 当或时；当时 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，则函数在区间存在最大值与最小值时 有，，，，， 解得， 故实数m的取值范围为. 【例3.14.】 已知函数，若有最小值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.32 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】通过求导讨论参数范围确定存在最小值的条件，利用导数零点关系将双变量的最小值转化为关于零点的单变量函数，求导判断单调性后得到最小值的取值范围. 【详解】对，求导得： ， 当时，则，在上单调递增，函数无最小值，舍去； 当时，令，则，所以即在上单调递增， 又，故，在上单调递增，函数无最小值，舍去； 当时，，时，， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故存在唯一极小值点，满足，此时最小值. 由得， 所以， 设，求导化简得 ， 故在单调递减， 且当时，；当时，， 因此，即. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 导数与函数的单调性、极值、最值 目录 题型1：函数的单调性 3  不含参函数的单调性 3  含参函数的单调性 3  已知函数单调性求参数 4 题型2：函数的极值 5  由图像判断函数的极值 5  求函数的极值（极值点） 7  已知函数的极值求参数 7 题型3：函数的最值 9  不含参函数的最值 9  含参函数的最值 9  已知函数最值求参数 9 1. 函数的单调性与导数的关系 函数在区间上可导，有 (1) 函数在区间上单调递增； (2) 函数在区间上单调递减； (3) 函数在区间上单调递增； (4) 函数在区间上单调递增减 2. 判断函数的单调性的一般步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求出导数的零点； (3) 用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 3. 函数的极值与导数 条件 当时， 在附近的左侧，右侧 在附近的左侧，右侧 极值 是极大值 是极小值 极值点 是极大值点 是极小值点 提醒 是为可导函数的极值点的必要不充分条件. 4. 函数的最值与导数 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 5. 求函数在区间上的最值的步骤 (1) 求函数的导数； (2) 利用求在区间上的极值； (3) 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 题型1：函数的单调性 · 不含参函数的单调性 【例1.1.】 已知函数，其中，则的单调增区间为________． 【例1.2.】 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知函数，且. (1)求a的值； (2)设，求函数的单调区间. 【例1.4.】 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． · 含参函数的单调性 【例1.5.】 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【例1.6.】 已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【例1.7.】 已知函数，讨论函数的单调性． 【例1.8.】 已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 【例1.9.】 已知函数，．令，讨论在的单调性； · 已知函数单调性求参数 【例1.10.】 已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【例1.11.】 已知函数，若的单调递减区间为，则实数a的值为______；若在区间内单调递减，则实数a的取值范围为______. 【例1.12.】 已知函数是上的增函数，则的值为______． 【例1.13.】 已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.14.】 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1.15.】 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 【例1.16.】 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是__________. 【例1.17.】 已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【例1.18.】 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.19.】 （多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 题型2：函数的极值 · 由图像判断函数的极值 【例2.1.】 已知函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例2.2.】 （多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 【例2.3.】 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间 C．有两个极值点 D．有两个零点 【例2.4.】 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极大值 B．在区间内，有1个极值点 C．在区间内，是增函数 D．是的一个零点 【例2.5.】 已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， · 求函数的极值（极值点） 【例2.6.】 函数的极值点为__________. 【例2.7.】 函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【例2.8.】 ，下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 【例2.9.】 函数的极值点之和为（    ） A． B． C． D． 【例2.10.】 已知函数的导函数为，若，则的极小值点为（    ） A．-4 B．0 C． D．4 【例2.11.】 已知函数，求的极值； · 已知函数的极值求参数 【例2.12.】 若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【例2.13.】 已知函数在处取得极大值0，则________. 【例2.14.】 设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【例2.15.】 若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 【例2.16.】 若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.17.】 已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 【例2.18.】 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围． 【例2.19.】 若函数无极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.20.】 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.21.】 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：函数的最值 · 不含参函数的最值 【例3.1.】 已知函数的最小值为____. 【例3.2.】 函数，的最小值是______． 【例3.3.】 函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． · 含参函数的最值 【例3.4.】 已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【例3.5.】 已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【例3.6.】 已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【例3.7.】 已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. · 已知函数最值求参数 【例3.8.】 若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 【例3.9.】 已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 【例3.10.】 已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 【例3.11.】 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例3.12.】 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【例3.13.】 若函数在区间存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.14.】 已知函数，若有最小值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $