函数的极值 教学设计及配套动画-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

nullloading… 0 ○ x on K《》 2 白C心 《函数的极值》教学设计 张泽炜 一、内容和内容解析 1.内容 函数极值的概念（极大值、极小值），函数极值与导数的关系，利用导数求函数极值的方法与步骤，以及函数极值的简单应用。 2.内容解析 函数的极值是函数局部性质的重要特征，是导数应用的核心内容之一。它不仅是研究函数性态（如单调性、最值）的关键，也是解决诸多优化问题（如面积、体积最大、成本最小等）的数学基础。从方法论上看，通过导数研究极值的过程，完美体现了“以直代曲”的微分学思想以及从局部性质推断整体性质的数学思维。学习本节内容，对于深化学生对导数工具性的理解，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养具有重要价值。 二、目标和目标解析 1.教学目标 学生能理解函数极值的概念，掌握利用导数判定和求解函数极值的方法。能运用极值知识解决简单的实际问题，在探究过程中提升直观想象、逻辑推理和数学应用能力。 2.目标解析 具体而言，学生应能结合函数图象，准确描述函数在某点取得极大值或极小值的特征。能熟练求出函数的导数，通过解方程找到可能的极值点（驻点），并能通过分析驻点两侧导数的符号变化来判断该点是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点。最终，学生应能将实际问题的关键信息抽象为函数模型，并通过求该函数的极值来解决问题，体会数学的应用价值。 三、教学问题诊断分析 1.极值概念的“局部性”理解困难 学生容易将极值与最值混淆，难以理解极值仅是函数在某点邻域内的局部性质，未必是整个定义域上的最大或最小值。 2.“”与“是极值点”的逻辑关系辨析不清 学生可能错误认为“”是“为极值点”的充要条件，而忽略其仅为必要条件，以及导数不存在的点也可能是极值点的情况。 3.判断导数符号变化时存在操作与逻辑障碍 学生在列表或分析驻点两侧导数符号时，可能因计算错误或方法不当导致判断失误。理解“左正右负为极大，左负右正为极小”的原理需要清晰的逻辑支撑。 4.实际应用问题中函数模型的建立是难点 如何从文字描述中识别变量，建立函数关系式，是学生将数学知识应用于实践的主要障碍。 四、教学支持条件分析 1.GeoGebra软件 利用其强大的函数绘图与动态交互功能，可以直观、快速地展示函数图象随参数变化的动态过程。通过观察图象上点的移动与切线斜率（导数）的变化，学生能直观感知极值点的位置特征以及导数符号变化与函数单调性、极值的关系，有效突破从抽象概念到直观理解的障碍。 2.多媒体教学设备 配合投影仪展示GeoGebra的动态演示过程及教师的板书设计，提高课堂效率和视觉效果。 五、教学过程设计 1.情境引入——感知极值的直观背景 教师活动：展示一系列图片或短视频，如连绵山脉的峰顶与谷底、抛物线形拱桥的最高点、股票K线图的局部高点与低点等。提出问题：“这些现象在变化过程中，是否存在一个‘转折’的时刻？从‘上升’变为‘下降’，或从‘下降’变为‘上升’？在数学上，我们如何精确地描述和寻找这些‘转折点’？” 学生活动：观察图片与视频，思考并回答教师的问题，尝试用生活化语言描述这些“转折点”的特征。 设计意图：从学生熟悉的生活和自然现象入手，抽象出“局部最高点”和“局部最低点”的共性，为引入数学上的“极值”概念提供丰富的感性材料。通过问题激发学生的好奇心和求知欲，明确本节课要解决的核心问题。 2.新知探究（一）——函数极值的概念 教师活动： 直观感知：在GeoGebra中绘制函数的图象。引导学生观察图象，并提问：“在和附近，函数值有什么特点？”（在附近，函数值先增后减；在附近，函数值先减后增）。 概念提炼：基于学生的观察，给出函数极大值和极小值的严格数学定义。强调定义中的“附近”（局部性）和“≤或≥”（允许相等）。 概念辨析：通过GeoGebra拖动函数图象上的点，强调极值是局部概念，一个函数可以有多个极大值和极小值，且极大值不一定大于极小值。 学生活动：观察GeoGebra动态图象，尝试用自己的语言描述极大值点和极小值点的特征。参与概念的辨析讨论。 设计意图：遵循从直观到抽象的认识规律。利用GeoGebra的直观性，让学生在观察中自主发现极值的特征，为概念的精准定义奠定基础。通过辨析，深刻理解极值的“局部性”本质，避免与“最值”概念混淆。 3.新知探究（二）——极值与导数的关系 教师活动： 回顾旧知：提问：“函数的单调性与导数有何关系？”（递增，递减）。 引导发现：再次聚焦函数的图象，提问：“在极值点（和）处，函数的切线有什么特点？”（切线水平，斜率为0）。进而引导学生猜想：“极值点处的导数可能为0。” 验证猜想：在GeoGebra中求出的导数，并计算和，验证其值为0。引出驻点（导数等于0的点）的概念。 深入探究：提出反问：“驻点一定是极值点吗？”在GeoGebra中绘制的图象，展示在处，导数为0，但该点不是极值点。从而得出结论：驻点不一定是极值点，但可导函数的极值点一定是驻点。 学生活动：回顾单调性与导数的关系。观察图象，发现极值点处切线的特征。参与猜想的提出与验证。通过反例理解“驻点”与“极值点”的逻辑关系。 设计意图：建立新旧知识的联系，引导学生自主发现极值与导数之间的内在联系。通过正反例证的对比，培养学生严谨的逻辑思维，深刻理解“”是“为可导函数极值点”的必要不充分条件。 4.新知探究（三）——极值的判定与求解方法 教师活动： 方法推导：回到函数。引导学生分析： 在驻点左侧（如），，函数单调递增。 在驻点右侧（如），，函数单调递减。 因此，是极大值点。 同理分析两侧导数符号，得出其为极小值点的结论。 总结步骤：与学生一起总结利用导数求函数极值的一般步骤： ①求定义域； ②求导数； ③解方程，求出全部驻点； ④列表分析驻点两侧导数的符号，判断单调性，确定极值点； ⑤求出各极值点的函数值，得到极值。 GeoGebra辅助：在软件中动态显示导数符号与函数单调性的对应关系，以及极值点处函数值的大小，使抽象的判定法则可视化。 学生活动：跟随教师思路，分析导数符号变化与极值的关系。参与总结求解步骤。在GeoGebra上尝试操作，验证结论。 设计意图：将极值的判定方法逻辑化、程序化，便于学生理解和操作。通过GeoGebra的动态演示，将“导数符号决定函数单调性，单调性变化决定极值”这一抽象逻辑链条形象化，有效突破教学难点。规范的步骤总结为学生后续的解题提供清晰的范式。 5.方法应用与深化 教师活动： 例题讲解（例1）：求函数的极值。教师板演完整过程，强调步骤的规范性和列表法的使用。 例题讲解（例2）：已知函数在和处取得极值，求的值。引导学生理解“极值点→驻点→”的转化思想，建立方程求解。 实际应用初探：提出一个简单实际问题，如“用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，如何围能使矩形面积最大？”引导学生建立面积关于边长的函数模型，并通过求极值解决问题。 学生活动：观看例题讲解，学习规范书写。参与例2的方程建立与求解。尝试建立实际问题的函数模型，并应用所学方法求解。 设计意图：通过例题巩固求极值的操作技能。例2旨在深化对极值点与导数关系的理解，并引入方程思想。引入实际应用问题，让学生初步体会极值理论在解决优化问题中的威力，实现知识的迁移与应用，培养数学建模意识。 6.课堂小结与作业布置 教师活动： 知识小结：引导学生回顾本节课的核心内容：极值的概念、极值与导数的关系、利用导数求极值的步骤。 思想方法总结：强调本节课蕴含的“数形结合”（图象与导数结合）、“函数与方程”（由极值点建立方程）、“转化与化归”（将极值问题转化为导数符号判断问题）等数学思想方法。 布置作业： 基础作业：课后练习题，巩固求函数极值的基本方法。 拓展作业：探究含参函数的极值问题，或寻找一个生活中的优化问题，尝试建立模型并求解。 学生活动：参与小结，梳理知识体系。记录作业要求。 设计意图：通过小结使新知识融入学生原有的认知结构。提炼数学思想方法，提升学生的思维层次。分层布置作业，满足不同学生的学习需求，将课堂学习延伸至课外探究。 六、目标检测设计 （一）基础知识检测 1填空题： （1）函数的极大值点是_____，极小值点是_____。 （2）若函数在处有极值-2，则。 2.选择题： （1）下列关于函数极值的说法正确的是（） A.函数的极大值一定大于极小值 B.函数的极值点一定是其导数的零点 C.导数为零的点一定是函数的极值点 D.函数在极值点处一定连续 （2）函数的极大值点为（） A. B. C.和 D.不存在 （二）能力提升检测 1.求函数f(x)=x-2sin(x)在区间(0,2π)上的极值。 2.已知函数在区间(1,4)内无极值点，求实数的取值范围。 （三）应用拓展检测 要做一个容积为立方米的圆柱形密闭容器，怎样设计尺寸才能使用料最省？（即表面积最小） 【开放性问题】请你自己创设一个情境，提出一个可以用函数极值知识解决的优化问题，并简要说明解决思路。 七、教学反思 本课以山脉、股票 K 线等生活情境引入，结合 GeoGebra 动态演示函数图象与导数变化，有效突破了“极值局部性”“驻点与极值点关系”的难点，多数学生能理解极值定义及判定逻辑。通过分步总结求极值的规范步骤，学生解题规范性明显提升。但存在不足：一是学生自主分析驻点两侧导数符号时，部分人依赖教师提示，自主推理能力弱；二是实际建模（如矩形面积问题）中，少数学生仍难快速确定自变量与函数关系。后续需增加 “小组合作分析导数符号” 环节，让学生自主验证极值判定；建模时补充 “变量筛选三步法”（圈关键量、定自变量、列函数式），强化应用能力。 8、 板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $