第五章导数的应用专题讲义二　含参函数的单调性、最值－2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册第五章导数的应用 专题二-----含参函数的单调性、最值问题 1、 类型归纳 类型一 讨论是否为一次不等式 类型二 二次可因式分解讨论根的大小 类型三 讨论是否为二次不等式及开口方向、根的大小 类型四 二次不可因式分解讨论是否有根 类型五 指数对数不等式的讨论 2、 类型应用 【例1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】对进行分类讨论，结合导函数的正负与函数单调性的关系即可得解. 【详解】因为，， 所以， 若，则恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间， 若，令，得，易得时，，时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【跟踪训练1-1】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． 讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数研究不含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性； 【详解】由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． 【跟踪训练1-2】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在上的最小值为10，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，通过，讨论导数的符号即可求解； （2）由（1）通过函数单调性，确定最值得到等式即可求解. 【详解】（1）的定义域为． 当时，在上单调递增． 当时，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增． 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当时，由（1）知，在上单调递增， 所以，舍去． 当时，在上单调递增，所以，舍去． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，舍去． 当时，在上单调递减，所以， 解得，符合题意． 综上，． 【例2】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知 函数 (1)若， 求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】(1)先求出导数，从而求出即为切线的斜率，再求出，最后利用点斜式方程写出切线方程并化为一般式； (2)求出函数的导数，令，通过讨论两根的大小，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可. 【详解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为，即； （2）， ， 令，则或， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得或，令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或，令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【跟踪训练2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求j函数的单调区间 【分析】求导得导数的两个y零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【跟踪训练2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，通过讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断函数单调性. 【详解】由题意，的定义域为， 因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增, 在上单调递减； 当时,在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. 【跟踪训练2-3】（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）当时，求出函数的解析式，利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； 【详解】（1）当时，，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，. （2）因为，其中， 则， 当时，即当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；  【跟踪训练2-4】（24-25高二下·山东威海·阶段练习）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，单调递增； 在上，单调递减； 当时，令有，且， 故在上，单调递减； 在上，单调递增； 在上，单调递减. 当时，在单调递减； 当时，在上，单调递减； 在上，单调递增； 在上，单调递减. 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在和单调递减，在单调递增.   【例3】（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可. （2）含参讨论函数单调性即可. 【详解】（1）当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. （2）由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 【跟踪训练3-1】（2023高二·全国·专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可； 【详解】函数的定义域为， 所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令得，令得， 所以在上单调递减：在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【跟踪训练3-2】（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为， 故， 令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 【例4】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，再分，，，四种情况讨论即可得出答案； 【详解】，定义域为， 当时，， 当时，，当时， 在上单调递增，上单调递减； 当时，， 若，即时，，所以在上单调递增； 若，即时， 令，得， 当或时，， 当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，当时，， ∴在上单调递增，上单调递减， 综上所述，当时，在上递增，上递减； 当时，在上单调递增；a 当时，在上递增， 在上递减； 当时，在上递增，上递减； 【跟踪训练4】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数的导函数为.判断的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求出的导数，根据的取值分情况讨论，结合导数确定函数的单调区间； 【详解】， ， ，   当时，，所以， 在上单调递减； 当时，令，， ， 解得，此时恒成立， 所以，在上单调递减； 当时，， 方程的两个根分别为，， 且，，，所以且， 所以当或时，有， 所以，在和时单调递减； 当时，有， 所以，单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增. 【例5】（23-24高二下·山东枣庄·期中）已知函数 讨论的单调性； 【答案】当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导可得，分，两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解； 【详解】因为，所以， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【点睛】知识点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题． 【跟踪训练5-1】（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中． 讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】求导之后分和讨论得到单调性即可； 【详解】， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【跟踪训练5-2】（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知函数，．讨论函数的单调性； 【答案】在上为增函数，在上为减函数 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求出函数的导数，通过讨论的取值范围求出函数的单调区间即可； 【详解】， 当时，，在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得， 在上为增函数，在上为减函数． 【跟踪训练5-3】（24-25高三下·浙江·阶段练习）已知， 讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、含参分类讨论求函数的单调区间、导数的运算法则 【分析】分析和时函数的单调性可得结果. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴. 若，则，在上单调递减. 若，令得， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【例6】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数. (1)若函数，求的单调区间； (2)若有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)函数的减区间为，增区间为， (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求得，利用导数和函数的单调性之间的关系可求得函数的单调间； （2）分析可知关于的方程有两个不相等的负数根、，利用一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）因为， 则函数的定义域为， 所以， 令，得；令，得或， 所以，函数的减区间为，增区间为，. （2）因为，所以， 又因为有两个都小于的极值点， 所以有两个不相等的负数根、， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【跟踪训练6-1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；的极大值为， (2)存在， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）利用为的极值点求得，进而可得函数的单调区间和最大值； （2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值.u 【详解】（1）， ∴， 由，得. ， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 的极大值为，也即的最大值为. （2）， ①当时，在上单调递增， 的最大值是， 解得，舍去； ②当时，由，得， 当，即时， 时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又在上的最大值为， ∴， ∴， 当，即时，在上单调递增， ， 解得，舍去. 综上，存在符合题意，此时. 【跟踪训练6-2】（21-22高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，分析函数在上的单调性，进而可得函数在上的最大值. （2）求导，根据的不同取值范围，讨论函数在上的单调性，可求函数在上的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 由或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由. ①当，即时，或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由或. 由. 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由. 所以在上单调递减，. 综上， 【跟踪训练6-3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，可求得，再结合，即可求解； （2）分、和三种情况结合单调性讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，                                因为时，有极大值，所以，即，即．              当时，， 令，即；令，即或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，符合题目条件；      又，所以，              所以． （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，                        又，                     所以；                         ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，       综上所述，当或时，； 当时，． 【例7】（2025·福建·模拟预测）已知函数． 讨论在的单调性； 【答案】在单调递增，在单调递减 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数图象及性质 【分析】根据题意求出参数，分别求出和即可得到函数的减区间和增区间； 【详解】由得，， 所以．依题意，得，所以，此时， 所以当时，；当时，，且． 所以当时，，当且仅当时，； 当时，．故在单调递增，在单调递减． 【跟踪训练7】（24-25高三上·江西吉安·期末）函数，． 讨论函数在区间上的单调性． 【答案】在区间上单调递减，在区间上单调递增 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】根据导函数判断单调性结合平移判定单调区间即可. 【详解】 ， 令，则函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图象． 由（1）知，，当时，，当时，，其中，． ∴当时，，当时，． ∴当时，，，，则，函数单调递增． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第二册第五章导数的应用 专题二-----含参函数的单调性、最值问题 1、 类型归纳 类型一 讨论是否为一次不等式 类型二 二次可因式分解讨论根的大小 类型三 讨论是否为二次不等式及开口方向、根的大小 类型四 二次不可因式分解讨论是否有根 类型五 指数对数不等式的讨论 2、 类型应用 【例1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 【跟踪训练1-1】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． 讨论函数的单调性； 【跟踪训练1-2】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在上的最小值为10，求a的值． 【例2】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知 函数 (1)若， 求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性 【跟踪训练2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【跟踪训练2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性. 【跟踪训练2-3】（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； 【跟踪训练2-4】（24-25高二下·山东威海·阶段练习）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求； (2)讨论函数的单调性； 【例3】（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【跟踪训练3-1】（2023高二·全国·专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性. 【跟踪训练3-2】（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 【例4】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知函数.讨论函数的单调性； 【跟踪训练4】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数的导函数为.判断的单调性； 【例5】（23-24高二下·山东枣庄·期中）已知函数 讨论的单调性； 【跟踪训练5-1】（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中． 讨论函数的单调性； 【跟踪训练5-2】（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知函数，．讨论函数的单调性； 【跟踪训练5-3】（24-25高三下·浙江·阶段练习）已知， 讨论的单调性； 【例6】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数. (1)若函数，求的单调区间； (2)若有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围. 【跟踪训练6-1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【跟踪训练6-2】（21-22高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【跟踪训练6-3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 【例7】（2025·福建·模拟预测）已知函数． 讨论在的单调性； 【跟踪训练7】（24-25高三上·江西吉安·期末）函数，． 讨论函数在区间上的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $$