专题08 因式分解技巧、综合求值专项题型5大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 以“方法-应用”双主线构建因式分解专项训练，涵盖5大核心考点，通过分层题型与情境化问题，培养抽象能力与推理意识，形成从基础分解到综合应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数范围内分解因式|8题（选择/填空/解答）|平方差公式拓展，二次根式变形技巧|承接整式乘法，拓展至无理数因式| |有理数简算应用|13题（计算/阅读探究）|提公因式简化运算，公式法转化复杂算式|体现因式分解的工具性，培养运算能力| |分组分解法|11题（材料阅读/综合题）|“分组-提公因式-整体分解”三步法|进阶特殊多项式分解，发展逻辑推理| |十字相乘法|10题（数形结合/迁移应用）|“竖分-交叉验-横写因式”标准化步骤|强化二次三项式分解，渗透模型意识| |综合应用|10题（几何/密码/证明）|因式分解解决图形面积、数论证明等问题|整合多模块方法，提升应用意识与创新意识|

专题08 因式分解技巧、综合求值专项题型5大题型归类 考点01 实数范围内分解因式 考点02 因式分解在有理数简算中的应用 考点03 分组分解法 考点04 十字相乘法 考点05 因式分解的应用 考点01 实数范围内分解因式 1．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 2．下列整式能在实数范围内因式分解的是(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解，一元二次方程根的判别式的意义．通过计算每个二次多项式的判别式，判断是否能在实数范围内因式分解． 【详解】解：对于二次多项式，判别式． 若，则能在实数范围内因式分解． 对于A∶，，，，，不能因式分解． 对于B∶，，，，，能因式分解． 对于C∶，，，，，不能因式分解． 对于D∶，，，1，，不能因式分解． ∴能在实数范围内因式分解的是B． 故选：B． 3．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 4．在实数范围内因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：_____，_____； (2)利用（1）中结论填一组合适的正整数，__________（__________）； (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)，，，（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据上面的例子，将按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）先将被开方数按所给例子改写成一个式子的平方，再按二次根式性质化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：本题答案不唯一， 取，，代入（1）中结论可得 ，， ∴； （3）解：． 6．在实数范围内把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 . 7．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． (3)若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 【答案】(1)② (2)和 (3)4 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【详解】（1）解：对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． （2）解：∵， ， ∴“和谐分式”有：和． （3）解：∵为“和谐分式”， 不能因式分解， ∴能够因式分解， ∵a为正整数，能够因式分解， ∴或． ∵分式不可约分， 又∵当时，分母为，分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当时，分母为，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴． 8．在实数范围内分解因式． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 考点02因式分解在有理数简算中的应用 9．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 10．设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 11．已知，，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式因式分解，再代数求值即可. 【详解】 故选B 【点睛】本题考查知识点涉及因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解，简化计算是解答本题的关键. 12．已知，， ∴， 计算______． 【答案】145 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 13．把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解； （）利用平方差公式变形后进行简便计算； （）将原式变形后，利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）将原式提取公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 19．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)4045； (4)9800 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性； （3）根据（2）的结论即可得到； （4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据以上规律，第4个等式为； 故答案为：； （2）解：根据这个规律猜想第n个等式为； 证明：， ∴猜想正确； （3）解：根据以上规律，； 故答案为：4045； （4）解： = ． 【点睛】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键． 20．已知满足 （1）利用因式分解求的值；（2）求的值 【答案】（1）2 （2）34，±8 【分析】（1）提取公因式进行因式分解即可求解； （2）根据（1）知的值，即可推出，即可求出，即可求解的值. 【详解】解：（1） ∴       ∴ ∵ ∴； （2）根据（1）知=2 ∴ ∴， ∵ ， ∴ ∴ 故答案为（1）2 （2）34，±8. 【点睛】本题主要考查了因式分解与完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式并学会对公式进行适当变形是解答本题的关键. 考点03分组分解法 21．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 22．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 23．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 24．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 25．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 26．初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． 27．【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式计算． （1）将式子分成两组，然后提取公因式进行因式分解即可； （2）先将不等式左边进行因式分解，然后根据三角形的三边关系判断结果小于0． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；； （2）解： 由三角形三边关系得，， ，， ，， ， ． 28．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 29．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：； (2)已知，，分别为的三条边，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将前两项和后两项分组，前两项用平方差公式得，后两项提取公因式得；再提取公因式，得到； （2）将和分组；前三项用完全平方公式得，再与用平方差公式得；结合三角形三边关系：，，乘积小于0，得证． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为a，b，c为的三边， 所以，， 因此， 即． 30．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①11；② 【分析】（1）推导立方差公式 将转化为，代入两数和的立方公式，替换b为，得到； （2）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （3）①设直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出． ②因式分解并求值：将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：∵， 将转化为，代入和的立方公式得： ． （2）解： ． （3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴即． ② ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 31．阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 (1)问题1：因式分解：_________ (2)问题2：已知，求代数式的值． (3)问题3：化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将各二次根式分解为，再提出公因式，然后整体提出公因式即可； （2）先求出，再整理待求式的倒数，并代入求值，进而得出答案； （3）先将分子进行因式分解，然后借鉴（2）根据倒数转化的方法进行化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∵或0（舍去）， ∴； （3）解：， 设： ， ， 则原式， ， ． 考点04十字相乘法 32．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释、如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释等式，例如图2可以解释乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤ (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)见解析， (3)9或21或12 【分析】（1）由图形可得，，然后逐项求解判断即可； （2）根据题意画出图形，然后根据所画图形因式分解； （3）根据题意分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由图形可得，，，故①正确， ∴，故②错误； 由图形可得，，即，故③正确； ∵，， ∴，即，故④正确； ∵，即，故⑤正确． ∴正确的是①③④⑤； （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴； （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． ∴的值为9或21或12． 33．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 【答案】(1) (2)2，5，3 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 34．将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 35．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 36．阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）选择材料1的方法求解即可； （2）①结合材料2的方法求解即可； ②结合材料1和材料2的方法求解即可． 【详解】（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得： 原式． 37．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接用十字相乘法分解二次三项式； （2）①将视为整体，用换元法转化为二次三项式，再用十字相乘法分解；②先对多项式整体换元，用十字相乘法分解后，再对分解结果中的二次三项式继续用十字相乘法或公式法分解． 【详解】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 38．综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 39．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解： 故答案为． （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 40．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 考点05因式分解的应用 41．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式和平方的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ 对原式变形得， 由完全平方公式可得， ∵ 平方数为非负数，即，， ∴ 且 ， ∴ 且 ，可得 ， ∴是等边三角形． 42．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． (1)不等式解集为______； (2)不等式解集为______； (3)解不等式． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （3）根据有理数的除法法则，异号得负，且除数不为0，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①，②， 解不等式组①得，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为或； （2）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为； （3）解：由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且除数不为0，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 43．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 44．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 45．在北师版八下数学124页12题中我们探究过一个图形可通过两种不同的方法来计算它的面积或体积，从而得到一个数学等式．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法． 根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为：、、． (1)将图（3）中三块长方体的体积和进行因式分解： _________． (2)根据图（1）写出该立体图形的体积为：_________， 结合图（1）和图（3）思考：类比平方差公式，利用等体积法我们能得到等式：_________．（写成因式分解的形式） (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： (4)应用：若已知，，则的值． 【答案】(1) (2)；； (3) (4)81 【分析】（1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图形体积等于图（3）的三个立体图形的体积和，可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【详解】（1）解：分解因式：； （2）解：图（1）中立方体的体积为； 图（1）中立方体的体积也可表示为； 利用等体积法，能得到公式：； （3）解：； （4）解：∵，， ∴ ． 46．材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】(1)1，， (2) 【分析】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 47．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）54或 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （4）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解； （5）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解． 【详解】 解：（1）， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴； （3）∵ ∴ ∴ 故答案为： （4）∵ ∴，， ∴ 故答案为： （5）当时， ∴，，， ∴ 当时， ∴，，， ∴ ∴关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 的值为54或． 48．仔细阅读下面例题，解答问题：我们把多项式与叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，通常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以解决一些因式分解的问题，还能解决一些代数式的大小和最大值，最小值的问题． 如：因式分解： 解：原式 如：求的最小值 解：原式 所以当时， 有最小值3． (1)请你模仿以上方法，将多项式因式分解； (2)请你模仿以上方法，当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值； (3)试比较多项式与多项式的大小，其中为实数． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值是43， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用， （1）根据配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法把配成，即可求出答案； （3）先求多项式与多项式的差，再用配方法化为，即可判定大小． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 所以当时， 有最大值，最大值是43， （3）解： ， ， ， ． 49．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①20；②，24 【分析】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据 ，即可得出结果；②先将代数式因式分解为，由 ，， ，得到，求出 ，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴原式． 50．综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式； 步骤二：取，则有，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 (1)①已知多项式，当取时，则生成的密码是__________． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是__________． 【拓展】 (2)①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为__________． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是，请写出满足条件的和，并说明理由． 【答案】(1)①② (2)①②，理由见详解 【分析】（1）①利用平方差公式分解因式，再根据的值求出和的值即可得到答案； ②先运用完全平方公式进行因式分解，再根据求出三个因式的值即可得到答案； （2）①利用平方差公式分解因式，得到，根据密码的前两个因式码为05，07，进行列式计算，即可作答． ②先把进行因式分解，得出，再根据当取x，y某一组值时，生成的密码是，建立方程组，再解方程组，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， ∵， ∴， 依题意，因式码为，按从小到大排列得密码； 即生成的密码是． ②， ∵， ∴ 依题意，因式码为，按从小到大排列得六位数密码， ∴生成的密码是． （2）解：①， 依题意，都是非负整数 ∴， ∵密码的前两个因式码为05，07， ∴， 解得， ∴． 即第三个因式码为； ②，理由如下： ， ∵当取x，y某一组值时，生成的密码是， ∴， 解得． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08 因式分解技巧、综合求值专项题型5大题型归类 考点归纳 考点01实数范围内分解因式 考点02因式分解在有理数简算中的应用 考点03分组分解法 考点04十字相乘法 考点05因式分解的应用 考点专练 考点01实数范围内分解因式 1.在实数范围内因式分解4x2-12,正确的是() A.4x2-3 B.(2x+2)2x-2) c.4x+5)(x-V5) D.4(x+V3)(x+V5) 2.下列整式能在实数范围内因式分解的是( A.x2+4 B.x2+2x-1 C.x2+x+3 D.4x2-2x+1 3.在实数范围内因式分解：x2-2x-1,下列选项中正确的是() A,(x+1+V2)x+1-V2) B.(x-1+V2x-1-2 c.(x-1+22jx-1-22) D.(x-2+2)x-2-V2) 4.在实数范围内因式分解：3x2+12xy+11y2= 5.阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2√2=1+√2)，善 于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=m+nW2)(其中a,b,m,n均为整数)，则有 a+b√2=m2+2n2+2mnV2,a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到了一种把部分a+b√2的式子化为 平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,均为正整数时，若a+b5=m+n,用含m,的式子分别表示a,b,得：a=一 b=； 1/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)利用(1)中结论填一组合适的正整数， +5=（-+一5)2： 3)化简：V7+45. 6.在实数范围内把下列各式分解因式： (1)x3-2x2y+xy2 (2）a-9 7.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式” 026:③+y 、（1)下列分式：①1：②)a26 :@a6 .其中“和谐分式”是 (填写序 (a+b)2 号即可)： (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”， 写出所有结果。 m2-n2;m2+2mn+n2;m-n. 运a为正整数，且牛十为和暗分式”，a的值为一 8.在实数范围内分解因式x4-2x2y2-3y4. 考点02因式分解在有理数简算中的应用 9.计第》个-g)的果是() A.、1 B.1 4 4 c.、51 D. 50 100 1 1 10.设A=483一4+不一4+写一4+10-4则与4最接近的正整数是匙) 1 1 A.25 B.26 C.27 D.28 11.已知x=√5+√2，y=√5-√2，则x3y-y3的结果为() A.10+2W2 B.46 C.10-2W2 D.25 12.已知a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-b2=(a+b)(a-b), n+4=n4+4×n2+4-4×n2=(n2+2-(2n2, 计算3+4到7产+4+4到 (14+4)54+4)94+4) 13.把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：2a2-12a+18; (2)因式分解：9a2(x-y)+4b2(y-x): 2/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)简便计算：50.82-49.22： (4)简便计算：99×99+199. 14.因式分解及简便运算 (1)分解因式：2a2b-8ab+8b; (2)简便计算：50.82-49.2. 15.因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)a-4; (2)x2+2x-3; (3)8002-1600×798+7982. 16.利用因式分解计算： 月19-吕5. 171 (21012-101×190+952. 17.综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺 设的圆环交替构成.根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，己知最外面的圆的半径为10cm,向里依次 为9cm,8cm,…,lcm,嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和 回归课本： (1)此问题的解决需利用平方差公式：2-b2= 问题解决： (2)求黑色圆环面积的和.（计算结果保留π） 问题拓展： (3)运用上述公式计算： -可》 18.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2= (1+x)1+x+x(x+1】=(1+x)2(1+x)=(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是； (2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2025的结果是 3/18 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)利用(2)中结论计算：5+52+5+…+52025。 19.观察下列各式，解答问题： 第1个等式：22-12=3； 第2个等式：32-22=5； 第3个等式：42-32=7； 第n个等式：一·(n为整数，且n≥1) 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式： 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出20232-2022的值为一· (4)利用以上规律，求3+5+7+…+197的值， 20.已知xy=15,满足x2y-xy2）-(x-y)=28 (1)利用因式分解求x-y的值；（2)求x2+y2,x+y的值 考点03分组分解法 21.在对多项式am+bm+an+bn进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式=(am+bm+(an+bn=m(a+b)+na+b)=(a+b)(m+n),这种方法叫做分组分解法.请你运用分组 分解法，把4x2+4x-y2+1分解因式的结果为 22.我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、 拆项法等， ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2）-4=(x+y)2-22=(x+y+2(x+y-2. ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法.例如： x2-2x-8=x2-2x+1-9=(x-12-32=(x-1-3)(x-1+3)=(x-4)(x+2). (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：x2+6x+9-y2=()）2-y2= ②拆项法（写出计算过程）：x2-8x+12 (2)应用：若a2+b2+c2-6a=10b+8c-50,求a、b、c的值. 23.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 能有点困难，此时可尝试下面的方法：如x2-2y+y2-16.我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合 完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解. 过程如下：x2-2xy+y2-16 =(x-y)-16 =(x-y+4(x-y-4. 这种分解因式的方法叫分组分解法 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：ax+ay+x2-y2= (2)分解因式：a2-b2-4a+4: (3)已知a,b,c分别是ABC三边的边长且a2+b2+ac-bc-2ab=0,请判断ABC的形状，并说明理由. 24.分解因式x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因 式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2)这种分解因式的方法叫分组分解法，利 用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：a2-4a-b2+4b: (2）ABC三边a,b,C满足a2-ab-ac+bc=0,判断ABC的形状. 25.阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a,再 把它的后两项分成一组，提出公因式b,从而得到：am+an+bm+bn=a(m+n+b(m+n),这时 am+n+b(m+n中又有公因式，于是可以提出m+n,从而得到(m+n)(a+b),因此有 am+an+bm+bn=am+n)+b(m+n)=(m+n(a+b),这种方法称为分组分解法.请回答下列问题： (1)尝试填空：2x+xy-18-9y= (2)解决问题：因式分解ac+ab-a2-bc: (3)拓展应用：己知三角形的三边长分别是a,b,c,且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0试判断这个三角形的形 状，并说明理由 26.初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还 有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用 ①分组分解法： 例如：x2-2xy+y2-4=x2-2xy+y2）-4=(x-y)2-2=（x-y-2(x-y+2) ②拆项法： 例如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1(x+3. (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： 5/18 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①（分组分解法)4x2+4x-y2+1: ②（拆项法）x2-6x-16: (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为ABC的三条边，a2+b2+c2-4a-4b-6C+17=0,则ABC的周长为 ②已知：a、b、c为ABC的三条边，满足a2+b+c2-ab-bc-aC=0,试确定ABC的形状，并说明理由. 27.【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法， p2-1+g2+2pg=p2+2pg+g2）-1=(p+q-1=(p+9+1(p+q9-1 【问题解决】 (1)ab-ac-b2+bc=(ab-ac)-( _)=a(b-c)-b(b-c)= (2)如果a,b,c是ABC三条边的长，求证：a2+b2-2ab-c2<0. 28.请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把am+an+bm+bn分解因式，它的各项没有公因式.不能提取公因式.这是四项式.也不能直接用公式 法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式.即 am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n+b(m+n=(m+n(a+b). 这种因式分解的方法叫做分组分解法.利用分组分解法可以把多项式分解因式.又如： x2-y2+2x-2y=(x+y)(x-y)+2(x-y)=(x-y)(x+y+2 a2-6ab+9b2-c2=(a-3b)-c2=(a-3b+c(a-3b-c. (1)分解因式：x2-2xy+y2-4; (2)分解因式：x2-4y2+2x+4y: (3)已知a2+b2-10a+4b+29=0,求a+b的值. 29.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如 x2-4y2-2x+4y,观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分 别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=x-2y)(x+2y-2),这种分解因式的方法叫分组分解法.利 用这种方法解决下列问题， (1)分解因式：x2-9y2-2x+6y; (2)已知a,b,c分别为ABC的三条边，求证：b2+c2-a2-2bc<0. 30.【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2,如果我们将(a-b)写成 [a+(-b)]，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式.过程如下： (a-b)2=[a+(-b1]=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2. 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为a3+b3=（a+b)(a2-ab+b2),请类比两数差的完全平方公式的推 理过程，推导两数的立方差公式：a3-b3=a3+(-b)=-· (2)【应用公式】因式分解：x3-3x2y+3xy2-y3. (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD,设 Sa黄形ABCD=S,S日地形EFGH=S,SE连形MN0=S3,若S1+S2+S3=33,则： ①S2=-； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b,且S,=3,请先将代数式a3+2ab+2ab2+b3进行因式分解， 然后求出代数式的值， E M H G C 31.阅读下面材料，完成问题 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数 转化等方法化繁为简， (1)因式分解 √6+10+V15+√25 =(N6+0+(5+V25 合理分组 =2(N5+V5)+55+5 提取公因式 =(5+5)(2+5) 整体分解 (2)倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果. 已知x+=3,求代数式+3x+ 的值 解：先求倒数： +3x+1-x+3+ 代入x+1=3: x+3+1=3+3=6 7/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 所以+3x+石 (3)灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 (1)间题1：因式分解：√10+√4+15+√21=_ 2间题2：已知+=23，求代数式+x中的值 3)问题3：化简： 15+√21+√25+√35 √5+V7+V20 考点04十字相乘法 32.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释、如图1， 有足够多的边长为的小正方形，长为b、宽为a的长方形以及边长为b的大正方形. 6 6 aa a a□ A类 B类 C类 图1 图2 图3 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释等式，例如图2可以解释乘法： (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,也可以解释因式分解：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). (1)若用4个B类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为x,内部小正方形的边长为y,观察图案， 指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）一· ①a+b=x;②(x-y=2a2,®b=,y;@b2=2+y:⑤a2+b2=+y 4 2 (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+5ab+2b',在虚框中画出图 形，并根据所画图形，将多项式3a?+5ab+2b2分解因式为一· (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为4a2+mab+5b2,则m的值为 (直接写出结果) 33.现有图1中的A,B,C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的 不同表示可以将一些多项式因式分解. 8/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 b b b a b b 图1 图2 图3 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到 等式a2+2ab+b2=(a+b)2. (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可） (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为2a2+5b+3b2的图形，需要卡片4_张，卡片B一_张，卡片C 张. 34.将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2=xx,-35=(-5)×+7). +7 -5 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： +7=7x X-5-5x 7x+（-5x)=2x ③横向写出两因式：x2+2x-35=（x+7(x-5). 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法” 根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0.所以方程x2+2x-35=0可以这样求解：方程左边因式分解得 (x+7)(x-5)=0,所以原方程的解为x=-7,x2=5. 【解决问题】 (1)分解因式：x2+5x+4=(x+-)(x+-) (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0; ②2024x2+2019x-5=0. 35.如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 px pq px g P (1)观察猜想： 请根据此图填空：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+p9=( (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： x2+(p+q)x+pq=x2+px+gx+pq=(x2+px)+(gx+pq)=x ()+q ( (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：x2+7x+12= ②(y2+y2-5y2+y+6. 36.阅读材料，解决问题。 【材料1】将形如x2+px+g的二次三项式因式分解时，如果能满足9=mn且p=m+n,则可以把 x2+px+g因式分解成(x+m(x+n. 如x2+4x+3中，常数项3=1×3，一次项系数4=1+3，x2+4x+3=(x+x+3);同理，x2-4x-12中， 常数项“-12”=-6×2，一次项系数"-4”=-6+2，：x2-4x-12=(x-6)(x+2). 【材料2】因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：把x+y看成一个整体，令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+)2,再将A=x+y重新代入，得：原式 =(x+y+1)2. 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解x2-6x+8: (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3: ②分解因式：m(m+2)(m2+2m-2)-3. 37.【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+p9是整式乘法，反过来为 x2+(p+9)x+pq=(x+p)(x+q),恰好是因式分解.基于上述原理，将式子x2-x-6分解因式如下： 10/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2-x-6 二次项 常数项-6分 分解为xx 解为2×(-3) 次项-x=x·-3)+x·2,①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项x·2+x(-3)=-x;③横 向写出两因式：x2-x-6=(x+2)(x-3) 材料2：分解因式：（x+y)+2(x+y)+1 解：将“x+y"看成一个整体，令x+y=K,则原式=K2+2K+1=(K+12,再将“"还原，得：原式 =(x+y+12. 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： x2-9x+20= (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3; ②分解因式：m(m+2)m2+2m-2)-3. 38.综合实践. 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步 领悟代数推理在数学学习中的重要地位. 我们发现：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,反过来，多项式x2+(p+q)x+pq可以分解为(r+p)(x+q), 利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解。 (1)多项式x2+7x+10因式分解结果为 (2)多项式(a+b)2-4(a+b)+3因式分解结果为 (3)我们知道：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请 对多项式a2+3ab+2b2-7a-10b+12进行因式分解 39.整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+p9,反过来为 x2+(p+qx+pq=(x+p)(x+q),恰好是因式分解.基于上述原理，将式子x2-x-6分解因式如下： x2-x-6,一次项-x=x×(-3)+x×2①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项： x×2+x×(-3)=-x;③横向写出两因式：x2-x-6=(x+2)(x-3). 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：x2-3x-18=一 11/18 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若x2+px-12可分解为x-a)(x+b)(a,b均为整数)，则整数p的所有可能值有哪些？ 40.【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式ax2+bx+c(a≠O)分解因式呢？我们已经知道： (ax+c)(a2x+c2)=a,a2xr2+a,c2x+a2Cx+CC2=a,a2x2+(a,C2+a2G)x+cc2,反过来，就得到： aazx2+(acz+ac)x+ccz =(ax+c)(ax+c2) 我们发现，二次三项式ax2+bx+ca≠0)的二次项的系数a分解成a,a2,常数项c分解成cC2,并且把a1,a ,G,c2如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a,c2+a2G,如果a,c2+a2G的值正好等于 ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bxr+c就可以分解为(ax+c)(ax+C2),其中a,C位于图的上一行， a2,C位于下一行， a, S 图1 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”， 例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1， 把常数项-6也分解为两个因数的积，即6=2×-3)：然后把1,1,2，-3按图2所示的摆放，按对角线交 叉相乘再相加的方法，得到1×-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为 x+2)(x-3) 图2 (1)请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6= 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： (2)①2x2-5x-7=；②12x2-11xy+2y2=- 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：（ax+b)(a2y+b)=aa2y+a,br+aby+bb 反过来，就得到：aa2y+abx+aby+bb2=(ax+b)(a2y+b2) (3)请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①2xy+3y+2x+3= ②若a、b均为整数，且a、b满足6ab+8b-15a=308,求a+b的值 12/18 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点05因式分解的应用 41.已知ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2-2ab+2b2-2bc+c2=0,判断此三角形的形状为() A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形 D,等边三角形 42.先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式x2-9<0, 解：x2-9=(x+3)(x-3, 原不等式可化为x+3)(x-3)<0 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： @/r+3>0 x+3<0 x-3<0②x-3>0 解不等式组①得-3<x<3,解不等式组②无解， 原不等式x2-9<0的解集为-3<x<3. (1)不等式x2-4>0解集为 ； (2)不等式x2+3x<0解集为； B解不等式x-5≤0. x+3 43.定义：若将多项式A和B分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式A和B为共因多项式， 其中该相同因式为同因子. 例如：对于多项式A=xy+y,B=x2-1,将两个多项式因式分解，A=y+y=y(x+),B=x2-1=(x+1)x-1) ,从因式分解的结果可知都含有因式x+1,所以多项式A和B为共因多项式，其中因式x+1为同因子 甲 2丙 (图1) (图2) (1)共因多项式4x2-12x+9和4x2-9的同因子是-； (2)多项式x2-7x+10可以分解为(x-2)x-5),请写出多项式x2-7x+10的一个共因多项式(x2-7x+10除外)， 并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙.选取甲卡片1张，乙卡片3张， 丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 44.初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容.例如， 在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数， 13/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2(n为自然数) :nn+1+(n+1)(n+2)① =(n+1)(n+n+2) =(n+1)(2n+2) =2(n+1)2② 且2(n+1)2能被2整除， ∴nn+l+n+1(n+2)能被2整除。 ·三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数， 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于-（填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知m>0,且m是奇数.求证：m2-m+2能被2整除。 45.在北师版八下数学124页12题中我们探究过一个图形可通过两种不同的方法来计算它的面积或体积， 从而得到一个数学等式.在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方 差公式和完全平方公式.这种方法称为等面积法.类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称 为等体积法 根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为α的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图(1)所示.然后切割剩余的立体图形，如图 (2)所示.将之分成三部分，如图(3)所示.这三部分长方体的体积依次为：b2(a-b)、ab(a-b)、 a2(a-b). a (1) (2) (3) (1)将图(3)中三块长方体的体积和进行因式分解： a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)=_ (2)根据图（1)写出该立体图形的体积为： 结合图(1)和图(3)思考：类比平方差公式，利用等体积法我们能得到等式： (写成因式分 解的形式) (3)利用在（2)中所得到的等式进行因式分解：x3-8 14/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)应用：若已知2a-3b=3,ab=1,则8ab-27ab4的值 46.材料阅读：已知多项式x2-3x-10分解因式得x2-3x-10=(x-5(x+2),则对于方程x2-3x-10=0可 以变形为x-5)(x+2)=0,解得x=5或x=-2,反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应 方程的解来确定其中的因式.例如：对于多项式x3-3x+2,观察可知：当x=1时，x3-3x+2=0,则 x3-3x+2=(x-1A,其中A为整式，(x-1)是多项式x-3x+2的一个因式.若要确定整式A,则可用竖 式除法： x2+x-2 x-1x+0·x2-3x+2 x3-x2 x2-3x .x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2=(x-1(x-1(x+2=(x-12(x+2 x-x -2x+2 -2x+2 0 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当x=时，x3+x2+x-3=0,可得_是多项式x+x2+x-3的一个因式.分解因式： x3+x2+x-3=- (2)已知x3-mx-6=(x+1B,其中B为整式，请分解因式：x3-mx-6. 47.阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式ax2+bx+ca≠O)分解因式呢？我们已经知道： (ax+c)(ax+c)=aax"+aczx+acx+cc2 =aax2+(acz+ac)x+ccz 反过来，就得到：aa2x2+(a,c2+aG)x+cC2=(ax+c)(a2x+C2). 我们发现，二次三项式ax2+bx+ca≠0)的二次项的系数a分解成a,a2,常数项c分解成cc2,并且把a, a2,c,c2,如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a,C,+,C,如果a,c,+a,c,的值正好等于 ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bx+c就可以分解为(ax+c)(a2x+C2),其中a,C,位于图的上一行， a2c2位于下一行. 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”. 例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即1=1×1，把常 数项-6也分解为两个因数的积，即6=2×(-3)；然后把1,1,2，-3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再 相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为x+2)(x-3 15/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 图1 图2 图3 图4 (1)请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： x2+x-6= y 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： (2)2x2-5x-7= (3）12x2-11xy+2y2= 探究与拓展 对于形如ax2+bxy+cy2+d+ey+f的关于x,y的二元二次多项式也可以用"十字相乘法”来分解，如图4.将 a分解成m乘积作为一列，c分解成p9乘积作为第二列，f分解成k乘积作为第三列，如果 mq+p=b,pk+qi=e,mk+川=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则，则原式 =(mx+py+j(x+qy+k),请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： (4)分解因式3x2+xy-2y2-5x+5y-2= (5)若关于x,y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-36可以分解成两个一次因式的积，求m的值。 48.仔细阅读下面例题，解答问题：我们把多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2叫做完全平方式.如果一个多 项式不是完全平方式，通常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项， 使式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的数学方法，不仅可以解决一些因式分解的问题， 还能解决一些代数式的大小和最大值，最小值的问题. 如：因式分解：a2+4a-5 解：原式=a2+4a+4-5-4 =(a+2)2-9 =a+2+3)(a+2-3) =(a+5)(a-1) 如：求2a2+4a+5的最小值 解：原式=2a2+2a+1+5-2 =2(a+12+3 16/18 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以当a=-1时， 2a2+4a+5有最小值3 (1)请你模仿以上方法，将多项式x2-6r+5因式分解： (2)请你模仿以上方法，当x为何值时，多项式-2x2-8x+35有最大值？并求出这个最大值； (3)试比较多项式x2-x与多项式3x-8的大小，其中x为实数. 49.【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2,如果我们将(a-b)写成 「a+(-b)],就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式.过程如下： (a-b)2=[a+-bj]=a2+2a-(-b+(-b2=a2-2ab+b2. b B G (1)【类比推理】己知两数的立方和公式为a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),请类比两数差的完全平方公式的推 理过程，推导两数的立方差公式：a3-b3=a3+(-b)=一 (2)【应用公式】因式分解：x3-3x2y+3xy2-y3 (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD,设S四边形4Bcn=S, S题造形EF6H=S,S日边形Mpe=S.若S1+S2+S,=60,则： ①S2= ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b,且S,=4,请先将代数式a3-ab-ab2+b进行因式分解，然 后求出代数式的值. 50.综合与实践 【主题】利用因式分解生成密码 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再 对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。 【操作】 步骤一：分解因式x2y2-9y2=y2(x2-9=y2(x+3)x-3): 步骤二：取x=8y=4,则有y=4,y=4,x+3=11,x-3=5,其中04,04,11,05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511. 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类 推 1718 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【理解】 (1)①已知多项式x2-y2,当取x=26,y=20时，则生成的密码是 ②已知多项式xx2-6x+9,当x=12时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是 【拓展】 (2)①已知多项式x-y,用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05,07，则第三个因式码为 ②若多项式x3-x2y-2+y,用上述方法生成密码时，已知当取x,y某一组值时，生成的密码是040408， 请写出满足条件的x和y,并说明理由. 18/18