专题07 因式分解4大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 该专项聚焦因式分解四大核心题型，通过逆向应用、方法综合及情境化问题，系统构建“基础方法-综合应用-迁移创新”的解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知结果求参数|8题（含选择、填空、解答）|恒等式性质与代入法|通过多项式恒等变形，逆向验证因式分解结果，强化推理能力| |提公因式法|10题（含几何、函数应用）|公因式识别与提取技巧|从系数、字母、多项式公因式入手，结合实际情境提升应用意识| |公式法综合|12题（含配方法、最值问题）|公式选择与配方法|整合平方差、完全平方公式，通过配方法实现二次三项式分解，发展运算能力| |提公因式与公式法综合|9题（含换元法、几何模型）|分步分解与换元法|先提公因式再套用公式，结合换元简化复杂多项式，构建完整分解流程|

专题07 因式分解4大题型归类 考点01 已知因式分解的结果求参数 考点02 提公因式法 考点03 综合运用公式法分解因式 考点04 综合提公因式和公式法分解因式 考点01 已知因式分解的结果求参数 1．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 2．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 3．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 4．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 5．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 6．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 7．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 8．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 考点02提公因式法 9．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 10．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 11．已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键． 先根据题意求出a、b值，再代值求解函数值即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理，得； ∵当时，． ∴，整理，得； 得，解得， 将代入①中，得， ∴， ∴当时， ∴ ． 故选：C． 12．若，则的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 13．计算______． 【答案】 【详解】解： ． 14．已知，，则的值是________． 【答案】168 【分析】将 提取公因式 ，得 ，直接将已知 ， 代入即可求值． 【详解】解：， ． 15．计算： (1)因式分解：； (2)解不等式： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ． 16．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时 原式 ． 17．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对，分母有理化，然后得到，，对所求代数式提公因式因式分解，再代入，的值求解即可； （2）先通分，再利用完全平方公式进行变形，然后代入，的值求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ； （2）解： ． 18．（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 19．（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 【答案】（1）①②（2）29 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思想是解题的关键； （1）①对两边同时平方求解即可；②对两边同时平方，可得，再对其两边同时平方求解即可； （2）由立方差公式可得，由完全平方公式可得，进而可得，则，对两边同时平方可得，再由求解即可． 【详解】解：（1）解：①，， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 考点03综合运用公式法分解因式 20．下列各式中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解要求结果为几个整式的乘积，且需分解到不能再分解为止，再结合提公因式法、平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式未分解彻底，故选项 A错误； B．，故选项B正确； C．因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，原式结果为，是和的形式，不符合因式分解定义，故选项C错误； D．，原式未分解彻底，故选项D错误． 21．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 22．阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)平方差公式 (2)因式分解为；最小值为 (3) 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到，代入中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：①中第四步变形依据是平方差公式； （2）解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 23．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可； （2）利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴横线上添加一个常数为； （2）解： ． 24．把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解； （2）利用平方差公式，将 和 分别看作 和 ； （3）先将 看作 用平方差公式，再分别对两个因式用完全平方公式继续分解． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）原式 ， ， ， ， ； （3）原式 ． 25．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 26．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 【答案】(1)7 (2) (3)，该多项式分解因式为： 【分析】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设（A为整式），分别取和得关于m和n的二元一次方程组，求解即可； （3）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得：， ∴； （3）设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 27．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 28．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 29．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 考点04综合提公因式和公式法分解因式 30．，则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 31．甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． (1)填空： ①___________； ②___________． (2)求证：总能被4整除． 【答案】(1)①36，②144 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）①先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；②先计算乘方，再计算乘法即可得到答案． （2）把原式分解因式得到，再分n是奇数和偶数两种情况进行证明即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）证明： ， ∵n为正整数， ∴当时，（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 当时，则（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 综上所述，能被4整除． 32．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】(1)（1） (2) (3)见解析 【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可； （2）仿照题意方法二求解即可； （3）先把多项式化成，然后仿照题意方法二得到原式，由此即可得答案． 【详解】（1）解：解法一：设， 则原式 ； 方法二：设， 则原式 ； （2）解：设， 则原式 ； （3）解： ， 设， 则原式 ， ∵， ∴， ∴多项式的值一定是非负数． 【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键． 33．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 34．利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，重点考查配方法在因式分解中的应用． （1）先通过配方法将二次三项式转化为完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解． （2）首先通过配方法和平方差公式分解因式，再整体代入求值． （3）在已有步骤的提示下，首先对分组后的两部分分别进行因式分解，再提取公因式，接着使用配方法，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，即； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 35．（1）分解因式： （2）已知一个三角形的三边长分别为，且，证明这个三角形是等腰三角形． 【答案】(1) (2) 证明见解析 【分析】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）先提取公因式，再由平方差公式进行因式分解； （2）先移项，然后结合分组分解法以及提取公因式法进行因式分解，再由等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）证明： ∴或 ∴这个三角形是等腰三角形． 36．瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】(1)②，① (2) (3)是等腰三角形或者直角三角形 【分析】本题考查了因式分解的方法，等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （3）根据平方差公式因式分解，再提公因式得出，进而可得或，结合等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，即可进行判定． 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形． 37．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 38．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07 因式分解4大题型归类 考点归纳 考点01已知因式分解的结果求参数 考点02提公因式法 考点03综合运用公式法分解因式 考点04综合提公因式和公式法分解因式 考点专练 考点01已知因式分解的结果求参数 1.马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该 等式为a■=(a+4(a+2)(a-)那么式子中的■，▲处对应的两个数字分别是() A.64和8 B.24和3 C.16和2 D.8和1 2.已知x2-4x+3=(x-1(x-a),则a的值为() A.1 B.3 C.-3 D.-1 3.若多项式x2+mx-12可分解为x-3x+4),则m的值为() A.-1 B.1 C.7 D.-7 4.若将多项式2x2+mx-12因式分解得(x+4)(2x+n),则m的值为() A.12 B.-12 C.15 D.-15 5.已知二次三项式x2-3x+m有一个因式是x+3,则的值为 6.阅读下列材料： 已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1,求m的值. 解法：设2x-x+m=A(2x+1)(4为整式) 上式为恒等式，当=时，2(+m=4x2+, 即2-(+m=0.解得：m分 感悟上述材料，解答下列问题： 己知多项式x4+mx2+x-16含有因式(x-1)和(x-2). 1/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m、n的值： (2)在(1)的条件下，将多项式x+mx2+x-16因式分解，结果是.（直接写答案) 7.阅读材料，探究问题. 我们可通过运算得到(x+2)(x+3)=x2+5x+6和(x-4)(x+5)=x2+x-20 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+a,宽为x+b, -x+a- ←X—a x+b 甲 乙 (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解. (2)若x2+2x+m=(x+5(x-3),则m= 【拓展延伸】 (3)己知关于x的整式9r2-2x-5可以写成两个因式的积，其中一个因式是3x-5.求另一个因式和9的 值. (4)若5x2+x-6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数）， 直接写出所有正整数k的值。 8.仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(c+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, 「n+3=-4「n=-7 m=3n解得m=-21 ∴另一个因式为x-7,的值为-21 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5,求另一个因式以及k的值. (2)已知多项式x3+4x2+x+m中含有一个因式x2+x-2,试求m,n的值， 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02提公因式法 9.下列用提公因式法分解因式正确的是() A.12abc-9a'b'c2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3y+6y=3y(x2-x+2y) C.-a2+ab=-a(a-b) D.x'y+5xy-y=y(x2+5x) 10.若△ABC三边a,b,c满足(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,则△ABC一定是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 11.已知函数y=r+br+1 1 1 1 ￥，当x2020时，y=2020:当x=2021时，y=2021那么，当x=202 时，y的值为() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 12.若x2-2x-4=0,则x4-2x3-8x-6的值为 13.计算2026×2027-2027=一. 14.已知x+y=7,y=12,则2x2y+2y2的值是 15.计算： (1)因式分解：8a3b2+12abc: (2)解不等式：3x-1>2(2-5x) 16.已知a-b=4,ab=-2,求代数式8ab-8ab的值. 以n如0 ，b=、1 02+√3· (1)求a2b-ab的值： b a 2)求。+6的值. 18.(1)多项式(x+2)(2x-l)-2(x+2)可以因式分解成(x+m)(2x+n),m,n为整数.求m-n的值. (2)已知(19x-31)13x-17)-(17-13x11r-23)可因式分解成(ax+b)(30x+c),其中a,b,c均为整 数，求a+b+c的值， 19.(1)已知x+y+z=0,x2+y2+z2=1,求 ①y+z+2: ②x+y4+z4 (2)若x-y=1,x3-y3=4,求x2-y. 3/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03综合运用公式法分解因式 20.下列各式中，因式分解正确的是() A.5ar2-5ay2=5a(x2-y2） B.x2-4y2=(x-2y)(x+2y) C.4x2-4x+1=4x(x-1)+1 D.2x(x+y)-6y(x+y)=(x+y)(2x-6y) 21.阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全 平方式的和的方法.配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用 例如：用配方法分解因式x2+4x-5. 解：x2+4x-5=x2+4x+4-4-5=(x+2)}2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1） 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：x2-8x+12: (2)已知x2+y2-6x+8y+25=0,求x2+y的值： (3)试比较多项式A=3x2+6x+7与B=2x2+4x+5的大小关系. 22.阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法a±2b+b2=(a±b)后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决 问题： ①将多项式2x2-3x-9因式分解： 2r-3x-9=2-x别 r2-到 -- --+ (变形依据) =(2x+3)(x-3) ②求多项式2x2-3x-9的最小值. 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由0，得2x2-3x-9 2--门--8因为o… 所-所以当时 x2-3x-g的值最小，且最小值为-81 【问题】 (1)①中第四步变形依据是 (2)把多项式3x2+5x-2分解因式并求出最小值： (3)已知x-2y=3,求代数式-x2+2y+3x-2的最大值. 23.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法， 如：用配方法分解因式：a2+4a+3, 解：原式=a2+4a+4-1=(a+2)}2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1) 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2-8x+一； (2)用配方法分解因式：x2-4xy-12y2. 24.把下列各式因式分解： (1)2x2+2y2-4y (2)25(a+b)2-9(a-b)2 (3)(x2+9-36x2 25.因式分解： (1)-6a3b+3ab2-12abc: (2)x-8x2y2+16y; (3)16x2y+24xy+9y: 4)4(x+y2-16(x-y)2. 26.先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式2x-x2+m有一个因式是2x+1,求m的值. 解法一：设2x-x2+m=(2x+1x2+ax+b), 则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b, 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=-1 1 1 比较系数得2a+1=-1,解得b=)m= 2 2 a+2b=0 b=m m=2 解法二：设2x-x+m=A(2x+1)(A为整式)， 由于上式为加等式，为方促计算取x=-2((付》 m=0,m-号 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式x2+mx-18有一个因式是(x-2),则m=_ (2已知+mr2+x-16有因式(x-)和(r-2),求m、n的值： (3)已知x2+2x+1是多项式x3-x2+ax+b的一个因式，求a,b的值，并将该多项式分解因式. 27.我们把多项式a2+2ab+b和a2-2ab+b2叫作完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们 常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变， 这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式 分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等 例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(c+1)-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1). 例如：求多项式2x2+4x-6的最小值，由2x2+4x-6=2(x2+2x+1-1)6=2(x+1-8可知，当x=-1 时，多项式2x2+4x-6有最小值，最小值是-8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2-4m-5= (2)当a,b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值。 (3)当a,b为何值时，多项式a2-2b+2b2-4b+27有最小值？并求出这个最小值. 28.(1)若(x+a)(x-5)=x+bx-10,则ab的值是一： (2)分解因式： ①4x2-4x-y2+4y-3: ②x2-3xy-4y2-x+9y-2： (3)若多项式2-(3+a)x+4a-2能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值. 29.【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一 性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广 泛的应用， 例1用配方法因式分解：a+6a+8. 原式=a2+6a+9-1=(a+3)}-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). 例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值： a2-2ab+2b2-2b+2=ad2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(6-1)2+1; (a-b)≥0，(b-1)≥0， .当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35； (2)若M=a2-3a+2022,求M的最小值： 3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b+c2=6a+8b+10c-50,求△ABC的周长. 考点04综合提公因式和公式法分解因式 30.m-n=3,则3m2-6n+3n2的值为 31.甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数n,然后乙根据n的值计算代数式P。=n+2n+n'的 值 (1)填空： ①B=24+2×23+22=22×(2+1)2= ②B=34+2×33+32=32×(3+1)2= (2)求证：n4+2n3+n2总能被4整除. 32.阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分 解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法， 对于(x+5x+2)(x2+5x+3)-12. 解法一：设x2+5x=y,则原式=(0y+2)0y+3)-12=y2+5y-6 =(y+6)0y-1)=(x2+5x+6)(x2+5x-1)=(x+2)(x+3(x2+5x-1); 解法二：设x2+2=m,5x=n,则原式=(m+n)(m+n+1)-12=(m+n)}2+(m+n)-12 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(m+n+4)(m+n-3)=(x2+5x+6)(x2+5x-)=(x+2)x+3)(x2+5x-1)】 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：(x2-4x+1)(x2-4x+7）+9: 2)因式分解：(x+y-2xy)(x+y-2)+(y-1): 3)求证：多项式(x+1)(x+2)(x+3(x+6)+x的值一定是非负数. 33.按照要求解答： (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形，通过不同的方法计算图中 阴影部分的面积；可以验证乘法公式是」 a b 图① (2)类似地，在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b(b<a)的小正方体（如图②），通过不同的方法计 算图中几何体的体积.由此可以得到的因式分解的等式是一一一，并证明这个等式. a 图② (3)结合上述经验，将x3-3x-2因式分解的结果是 34.利用完全平方公式可将二次三项式a2±2b+b分解因式(a士b),而对于m2+2m-3,则不能直接利 用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式.即 m2+2m-3=(m2+2m+1）-4=(m+1)2-22=… (1)题干中，因式分解的最后结果是：-—一： (2)运用配方法解决：若a-b=2,a2-4ab+3b2=5,求a-3b的值： (3)对于x+3x2-4,请你在下面己有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解. 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x3+3x2-4 =(x3+2x2)+(x2-4) 35. (1)分解因式：x3-4x (2)已知一个三角形的三边长分别为a,b,c,且ab-ac=b-bc,证明这个三角形是等腰三角形. 36.瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式x2-36y+x-6y进行因式分解. x2-36y2+x-6y解：原式=(x2-36y2)+(x-6y)第一步 =(x-6y)(x+6y)+(x-6y)第二步 ①提公因式法： ②公式法。 =(x-6y)(x+6y+1)第三步 (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是法， 第二步到第三步因式分解运用的方法是 法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式：x2-6y+9y2-3x+9y (3)应用：已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4-b+bc2-Qc2=0,试判断△ABC的形状. 37.阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分 解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-9)(x2+1)+25进行因 式分解的过程. 解：设x2=y, 原式=(y-9)0y+1)+25(第一步) =y2-8y+16(第二步) =(y-4)(第三步) =(x2-4)}(第四步) 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的： A.提取公因式法B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：一一一： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： ①(x2+2x)(x2+2x+2）+1 ②(x2+3x+3(x2+3x-1)+3 38.【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式， b b/ a b 图1 图2 图3 图4 (1)【知识探究】如图1，是用长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2 拼成一个正方形，可以得到(a-b)、(a+b)、ab三者之间的等量关系式： (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观 察大正方体分割，写出可以得到的等式 若a+b=6,ab=7,求a3+b的值： (3)【拓展探究】如图4，两个正方形ABCD、CEFG的边长分别为x,y(x>)若这两个正方形的面积之 和为34，且BE=8,求图中阴影部分的面积. 10110