专题05 图形的平移与旋转11大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦图形平移与旋转11类核心题型，以题载知构建从性质应用到坐标变换、从静态计算到动态规律的完整训练体系，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移性质及应用|考点1-2（8题）|性质计算、最短路径等实际问题|从平移基本性质到生活场景应用，体现数学建模| |旋转性质及应用|考点5-7（12题）|旋转中心/角判断、性质证明、周期规律|从静态性质推导到动态规律探究，发展推理意识| |坐标变换与作图|考点3-4、8-11（15题）|坐标平移/旋转计算、中心对称作图|从代数坐标到几何变换，融合数形结合思想|

专题05 图形的平移与旋转11大题型归类 考点01 利用平移的性质求解 考点02 利用平移解决实际问题 考点03 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 考点04 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 考点05 找旋转中心、旋转角、对应点 考点06 根据旋转的性质说明线段或角相等 考点07 旋转中的规律性问题 考点08 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 考点09根据中心对称的性质求面积、长度、角度 考点10 按图形的变换要求画出另一个图形 考点11 判断两个点是否关于原点对称 考点01 利用平移的性质求解 1．如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】为向右平移得到的距离，设，根据长度关系可得x的值，从而可得到平移的距离． 【详解】解：由题意可得，为向右平移得到的距离， 设，则， ，， ， ，解得， 也是向右平移的距离， ． 2．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ∴， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 3．如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据平移性质，平移的距离是的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由图知，， ∴平移的距离是． 4．如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得，，，进而推出，求出的长，利用梯形面积公式计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， 则有， ∵， ∴， ∵将直角三角形沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 5．如图，两个直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，平移距离为的长度，其中，，，阴影部分的面积为______． 【答案】140 【分析】首先由平移的性质得，，然后得到，代数求解即可． 【详解】解：由平移的性质，得，， ∴， ∴． 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据平移的性质：对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形逐一判断四个结论即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，故正确； ， ． 由平移可知，， ，故正确； 四边形的周长为， 的周长为， 由平移可知，， ， 周长之差 ，故正确； ， ． ，， ， ， 四边形的面积是，故正确． 综上所述，正确的结论有个． 7．如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 8．如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． (1)若,，求的度数． (2)连接，若的周长为，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关基础性质． （1）根据平移的性质“对应角相等”可得，，再根据三角形外角的性质，求解即可； （2）根据平移的性质“对应线段相等”可得，，将四边形的周长转化为，再根据题意，求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ∵,， ∴，， ∴； （2）解：由平移的性质可得，， ∴四边形的周长． ∵的周长为16，， ∴， ∴四边形的周长． 9．问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．    如图1所示，在三角形纸片中，已知，，，，． 如图2所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移． 如图3所示，在平移过程中，设与交于点，与，分别交于点，． 操作探究： (1)在图3中，和的数量关系为_________； (2)在图3中，若，则纸片的平移距离为_________； (3)在图3中，小苏同学猜想和均为等腰三角形．这个猜想是否正确？说明理由． 迁移应用： (4)在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你求出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)猜想正确，理由见解析 (4) 【分析】（1）由，根据线段的和差关系等量代换即可证得； （2）由勾股定理可得的长，由，可得的长，然后根据列式计算即可； （3）由平移可得，由平行线的性质可得，，根据等边对等角结合等量代换证明，，即可证得； （4）由平移可知，，进而表示出，，，根据，可表示出，，然后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：，即， ，即； （2）解：，，， ， ， ，即， ，， ， ，即纸片的平移距离为； （3）解：猜想正确，理由如下： 由平移可得， ，， ，， ，， ，， ，， 和均为等腰三角形； （4）解：由平移可知，，则， 由（3）知，，， ， 设，，， ， ， ，， ， 当点与点重合时，停止平移，此时， ， ． 考点02利用平移解决实际问题 10．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 11．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 12．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 13．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 14．劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 【答案】(1) (2)故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地 【分析】（1）通过平移拼接，将含小路的草坪转化为边长的正方形，计算面积即可； （2）按长宽比设未知数，求出所需白菜地的实际长，与空地边长比较判断是否可行． 【详解】（1）解：根据题意可知，草坪种植的面积为． （2）解：设白菜地的长为，则宽为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则白菜地的长为，宽为， ，， ，则， 故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地． 15．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 16．探索最短距离 背景材料： 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想，在物流配送、人工智能等路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． (1)如图1，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，山峰到河流的垂直距离为，营地到河流的垂直距离为，山峰与营地的水平距离是，则将军走过的最短路径的总长度为_____． (2)如图2，某工厂计划在一条笔直的公路上建设换衣间、工具室，换衣间与工具室之间的距离为．工人每天从点进入大门，先去换衣间换成工装，再去工具间拿上工具，最后走到道路同侧的车间点． 换衣间与工具室应该建在什么位置，使得工人走路的总路程最短？请你在图3中绘制出点、的具体位置，保留作图痕迹． 若大门到公路的垂直距离为，车间到公路的垂直距离为，大门到车间的水平距离为，则工人走过的最短路程是_____． (3)如图4，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，点与点的水平距离为，垂直距离为，从处到达处，需经两座桥（桥宽不计），两座桥都垂直于河岸，则从点到点的最短距离为_____． 【答案】(1) (2)见解析； (3) 【分析】（1）通过作对称点，将“将军饮马问题”转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再构造直角三角形，根据勾股定理求解线段长即可； （2）“两定点定长线段” 的最短路径问题，核心是平移对称，把 “定长线段” 转化为固定距离，再转化为两点之间线段最短的问题；构造直角三角形，根据勾股定理求解线段长即可； （3）利用平移河宽，将折线问题转化为直线，根据两点之间线段最短进行确定最短路径，再构造直角三角形，根据勾股定理求解线段长即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于河边的对称点，连接交河边于点，连接，则，线段的长即为将军走过的最短路径的总长度， 设与交于点，过点作交河边于点，过点作交延长线于点， 根据题意得，，，， ， 在中，， 即将军走过的最短路径的总长度为； （2）解：如图，将点沿直线方向向右平移，得到，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，将点向左平移，得到点，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， 根据对称的性质可知，， ，此时使得工人走路的总路程最短； 如图，设与交于点，过点作交于点，过点作交延长线于点， 根据题意得，，，，， ，， 在中，， ， 即工人走过的最短路程是； （3）解：如图，过点作垂直于外河岸，过点作垂直于外河岸，连接，分别与内河岸相交于点，；过点作垂直于外河岸于点，过点作垂直于外河岸于点，则，则， 由作图可知： ， 即从点到点的最短路径为，，即为两座桥的位置， 延长与交于点，则， 根据题意得，，，， ，， 在中，， ， 即从点到点的最短距离为． 考点03求点沿x轴、y轴平移后的坐标 17．将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据规律逐步计算即可得到答案． 已知点的坐标为， 向下平移个单位，纵坐标需要减， 平移后纵坐标为， 再向左平移个单位，横坐标需要减， 平移后横坐标为， 最终得到的点的坐标是， 故选B． 18．已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，待定系数法求一次函数解析式；先求出原直线上两个点平移后的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的解析式． 【详解】解：根据题意可得：平移后得到点，平移后得到点， 设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得， 因此直线的解析式为． 19．如图，在平面直角坐标系中，点． (1)将向右平移4个单位长度，得到，请在图中画出； (2)画出关于轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图-平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了轴对称变换和三角形面积． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：的面积． 20．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标的平移，关于轴对称的点的坐标特点，点到对称轴的距离，平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点的平移规律求出点的坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特点列方程求解即可； （2）根据点在第二象限得到点到轴和轴的距离，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向下平移6个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵，两点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴和轴的距离之和为6， ∴， 解得：． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，点在第二象限． (1)若点关于轴的对称点恰好在直线上，求的值． (2)在（1）的条件下，若点向下平移个单位后落在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质以及点的轴对称和平移，熟练掌握点坐标的轴对称特性，坐标平移特性，是解题的关键． （1）先求出关于y轴的对称点B的坐标，代入解析式即可求出m的值； （2）点向下平移个单位得到，代入解析式，即可求出n的值． 【详解】（1）解：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 点在直线上， （2）解：点向下平移个单位得到， 点在直线上， ， ． 故的值为4． 22．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】解题的关键是运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 23．在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． (1)点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． (2)在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)①2；；② 【分析】（1）根据新定义，直接求解即可； （2）①求出的半交换点，，进而得到点T的半交换点在线段上，根据任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到的横纵坐标的范围，进行求解即可；②求出平移后的长方形的顶点坐标，根据线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到，结合，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的半交换点为， ∵点N的半交换点为， ∴点N的坐标为，即； （2）解：①∵点，， ∴点的半交换点为，， ∵为线段上的任意点， ∴T的半交换点在线段上， ∵线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为2； ②∵将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形， ∴，，，， ∵点的半交换点为，，线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 24．在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“方田点”的定义即可得出结论； （2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“方田点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“方田点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，轴， 由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段， ∴，， 画图如下： 由图可知，点和是线段的“方田点”； 故答案为：，； （2）解：∵点， ∴点在直线上，点在直线上， ∴线段介于直线和直线之间， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在线段上，则， 当点恰好落在线段上，则， ∴由图可得，当时，线段与正方形有交点， ∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：∵点， ∴，轴， 由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴线段的“方田点”在正方形的边上， ∵点是线段的“方田点”， ∴点在正方形的边上， 将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形， ∵点向下平移个单位长度，得到点， ∴点落在正方形的边上， 将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形， 由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段， ∴点和点分别落在正方形和正方形的边上， ∴由图可得，线段的“方田点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； ∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，则的取值范围为或． 考点04已知点平移前后的坐标，判断平移方式 25．已知点，将线段平移至，点和点的对应点分别为点和点，若点，，则的值（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据平移前后对应点的坐标平移量相同，据此计算出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵线段平移得到，的对应点为， ∴横坐标的平移量为，纵坐标的平移量为， ∵的对应点为， ∴，， 解得，， ∴． 26．如图，点A，B分别在x轴和y轴上， ，．若将线段平移至线段的位置，则的值为（      ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段，求出的坐标可得结论． 【详解】解：， ， ∵线段平移至， ∴由点和点的横坐标可知它们向右平移 3 个单位长度，由点和点的纵坐标可知它们向下平移 1 个单位长度， ，， ． 27．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 28．如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 【答案】(1)见解析 (2)，向下平移个单位长度 (3)，（或，或） 【分析】本题主要考查用坐标表示平移： （1）点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，所以可得点的坐标为，即，可得点的坐标为，即； （2）由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度； （3）可由沿射线的方向，经过一次平移得到，平移的距离为线段的长度． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （3）解：可由沿射线的方向，经过一次平移得到． 因为， 所以平移的距离为个单位长度，平移方向是射线（或，或）的方向． 29．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． (1)请在图中画出； (2)若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据点B的对应点为O找出平移规律，进而作图即可； （2）根据平移规律可知Q的坐标． 【详解】（1）解：点的对应点为， ∴将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， 如图，即为所求； （2）解：∵将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， ∴点P在内的对应点Q的坐标为． 30．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为，，．将平移后得到，且点A的对应点是，点B、C的对应点分别是、． (1)点A、之间的距离是 ． (2)请在图中画出并计算它的面积． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据点A和点的坐标确定平移方式，进而确定点的坐标，据此作图并利用割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：如图所示，即为所求， 则． 31．下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去n，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移n个单位长度． 【分析】（1）（2）根据平移的规律即可得出答案； （3）根据（1）（2）中画出的相应图形，由图形可以得到两幅图形的位置关系，从而找到相应的规律． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：示例：通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移个单位长度． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，能根据题意画出图案是解题的关键． 32．三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置． (1)请在图中标出，位置点； (2)写出这三架飞机在新位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了点的平移． （1）根据A到坐标的变化求出平移方式，进而标出，位置点即可； （2）直接根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，移动后到达，即向上平移了9个单位， 作图如下： （2）解：由平面直角坐标系可知，，，． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，．三角形是经三角形平移得到的，点的对应点为点． (1)请写出点，的坐标； (2)若为三角形内一点，直接写出其平移后的对应点的坐标； (3)计算四边形的面积； (4)探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据点，在平面直角坐标系中的位置即可得出答案； （2）根据平移的性质可得答案； （3）根据四边形所在的长方形的面积减去周围四个直角三角形的面积即可； （4）连接并延长至点，根据平移的性质得，然后根据平行线的性质可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点的坐标为，的坐标为； （2）∵三角形是经三角形平移得到的，点的对应点为点，且，， ∴三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形， ∵为三角形内一点， ∴其平移后的对应点的坐标为； （3）∵ ， ∴四边形的面积为； （4），，之间的数量关系：． 理由：如图，连接并延长至点， ∵三角形是经三角形平移得到的，点的对应点为点， ∴ ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题考查作图—平移变换，根据直角坐标系确定点的坐标，平移的性质，长方形的面积，三角形的面积，平行线的性质，解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 34．综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)C (3)①能，②能，需要走1352步． 【分析】本题考查新定义，平面内点的坐标，实数的运算；能够准确理解题意，找到马移动的向量规律，利用实数的运算进行求解是解题的关键． （1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【详解】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”坐标为； 故答案为：． （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 故答案为：能； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 如图马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）. 35．在平面直角坐标系中，已知点，，，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图1，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时，则t的值为______，若三角形的面积是三角形的面积的2倍，请求出点P的坐标； (3)如图2，若点为平面直角坐标系内一点，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，请探究m，n的数量关系，并写出你的探究过程． 【答案】(1)，， (2)；或， (3)或 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）由、坐标求出直线的解析式：，当时，得：，，设点横坐标为，分别过点、作轴的垂线，得到，，由，当在线段上时，得到，代入求出，代入得到，根据平移得到点坐标，当在线段延长线上时，得到，同理即可求解， （3）过点作轴的垂线，在轴上取点，设点，当时， ，过点作直线， 当点在直线上时， ，当时，解得：或，即：或，根据，于轴交于点，得到直线解析式，将点代入，即可求解， 本题考查了，坐标的平移，求一次函数解析式，一次函数与面积问题，解题的关键是：熟练掌握数形结合的思想． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， 故答案为：，，， （2）解：设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， 设点横坐标为， 分别过点、作轴的垂线，分别交轴于点、，，，， ，， ∵， 当在线段上时，如图： ，即：，解得：， 当时，，得：，解得：， ∴，点横坐标为：， ∴， 当在线段延长线上时，如图： ，即：，解得：， 代入，得：，解得：， ∴，点横坐标为：， ∴， 故答案为：；或， （3）解：过点作轴的垂线，交轴于点， ，， 在轴上取点，设点，当时， ，，即：， 过点作直线， 当点在直线上时，，，即：， 当点在线段上时，，， ∵，即：，解得：， 当点在线段延长线上时，，， ∵，即：，解得：， ∴或， ∵，与轴交于点， ∴直线解析式为：或， 将点代入，得：或，整理得：或， 故答案为： 或． 考点05找旋转中心、旋转角、对应点 36．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 37．如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合， ∴旋转角为， ∵点在底边上， ∴，即旋转角的度数为． 38．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 【答案】点 【分析】根据旋转的性质，旋转点到旋转中心的距离相等即可求解． 【详解】解：观察图象，可知点对应点， 在点、、中，仅有， 故点H为旋转中心． 39．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为，旋转角，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，旋转角，即的度数为 40．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移3单位长度，据此作图即可，再根据平移的方式，结合勾股定理即可求出平移的距离； （2）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可； （3）画出的垂直平分线，其交点即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， ∵点的对应点的坐标为， ∴线段先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到线段， ∴线段平移的距离为． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 41．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点C和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得点和点的坐标，据此作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，再作图即可； （3）旋转中心一定在对应点的连线的垂直平分线上，据此结合网格的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵经过平移后得到，，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴，即， 如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，旋转中心为点． 42．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可画出旋转后对应的； （2）利用平移的性质得出平移方式为向下平移6个单位，再向右平移3个单位，据此作出的对应点即可画出平移后对应的； （3）连接和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接和的交点即为旋转中心， 根据（1）（2）可得， 故旋转中心坐标为，即． 43．如图，每个小方格都是正方形，线段、、、的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． (1)在图1中，以为一边，画一个面积为12的四边形，使其为中心对称图形； (2)在图2中，以为一边，画一个面积为10的四边形，使其为轴对称图形； (3)在图3中，线段绕点旋转得到线段，画出旋转中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点作平行四边形，正方形，画出旋转中心，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，作出面积为12的平行四边形，即可； （2）画出边长为的正方形，即可解答； （3）根据旋转中心是两组对应点的连线的垂直平分线的交点，再分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图 该平行四边形为中心对称图形，面积为． （2）作图如图，有 ， ， ∴四边形是菱形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． （3）如图3，可得为一组对应点的垂直平分线，平分，， ∴是的垂直平分线， ∴点旋转中心． 如图，可得是的垂直平分线，，， ∴是的垂直平分线， ∴的交点，即为． 考点06根据旋转的性质说明线段或角相等 44．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴A、B、C正确，不符合题意； 不一定成立，D符合题意． 45．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 46．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 47．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 48．如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为_________． 【答案】315 【分析】先连接、，由旋转性质得，再由等腰三角形三线合一得，进而通过求证，得的长，并表示出的三边，根据勾股定理列出等量关系式，求出、的长，最后根据梯形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接、， 设，由得， 四边形是矩形， ，，， 矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形， ，，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ，，， ， 解得：（舍去）或， ，， 四边形是直角梯形， ， 故答案为：315． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算，关键是做出恰当的辅助线，综合应用旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算求解． 49．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 50．如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 【答案】(1)把绕点逆时针旋转得到 (2)6 【分析】本题主要考查图形变换，三角形的面积，理解题意是解题的关键． （1）通过旋转变换理解图形的变化过程即可； （2）根据旋转的性质得到，，再通过平行线的性质、等量代换、两个锐角互余的三角形为直角三角形得到是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把绕点逆时针旋转得到． （2）解：由（1）可知，由通过旋转得到的， ，． ，， ， ． ， ， ． ， ． 51．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 52．在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． (1)如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． (2)如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 53．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1)等边，4 (2) (3)的最大值为 【分析】（1）根据题中所给解题过程进行求解即可； （2）以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，则有，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，由题意易得，则有，然后可得当A、B、F共线时，最大，此时最大，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． （2）解：以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，如图3， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、B、F共线时，最大，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 54．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可得出结论； （2）借助（1）的结论，利用线段的和差证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵是由绕点A逆时针旋转得到的， ∴， ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 考点07旋转中的规律性问题 55．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 56．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边经过第次翻转后，， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点． 58．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标． 【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 即点的坐标每秒一个循环，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 故选：． 59．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 60．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 【答案】4 【分析】一圈有360度，每次旋转60度，那么每6次旋转为一个循环，求出除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴每6次旋转为一个循环， ∵， ∴第2026个图案与第1个至第4个中的第4个箭头方向相同． 61．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 考点08求绕原点旋转一定角度的点的坐标 62．如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，利用含30度角的直角三角形的性质求得的长度即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点B．   将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， ，点在第一象限， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：D． 63．如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键． 过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点(的坐标为； 发现规律：旋转4次一个循环， 则第2022次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 64．如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，可得旋转3次为一个循环．再分别求解第次，第次，第次旋转后的坐标，由规律得到第次旋转后与第1次旋转后的位置相同即可解答． 【详解】解： ， ∵三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转3次为一个循环． 第1次旋转，如图，过作轴于 由旋转的性质可得：    点B所在位置的坐标为； 第2次旋转，如图，过作轴于 此时与轴重合，    同理可得： 点B所在位置的坐标为； 第3次旋转，如图，三角形回到原位置，    所以点B所在位置的坐标为； …… ∵， ∴第次旋转后，与第次旋转后的位置相同， 所以点B所在位置的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是与旋转相关的规律探究、含的直角三角形的性质、勾股定理的应用、坐标与图形等知识点，发现每旋转3次为一个循环是解题的关键． 65．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，连接，构造直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得线段的长度． 【详解】解：∵， ∴点P在点B的右侧．如图，过点作于，连接，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴． 则，． 在中，根据勾股定理知，，即， 解得． ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解． 66．如图，将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第2022秒时，点A的对应点A′的坐标为（　　）． A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2） D．（2，﹣2） 【答案】D 【分析】根据三角板每秒旋转45°，得到的位置8秒循环一次，然后根据2022除以8得到余数，最后求出第6秒时点A对应的点的坐标，得到答案． 【详解】解：∵三角板每秒旋转， ∴三角板每八秒循环一次，2022＝8×252＋6， ∴第六秒时旋转了270°，点的位置如图所示， 作⊥y轴，交y轴于点D， ∵，， ∴， 在中由勾股定理得： ， ∴点的坐标为（，）， 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化中的旋转、勾股定理、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、规律型点的坐标，根据每秒旋转的角度，找到点A'的位置8秒一循环是解题的关键． 67．如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质可求出，，，过作轴于C，则，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解. 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转，得到， ∴，， 过作轴于C， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是. 68．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式求出点的坐标，再将点绕原点逆时针旋转，利用旋转的性质结合勾股定理计算对应点坐标即可． 【详解】解：，，点是线段的中点， ，即，轴， 轴， 如图，设与轴的交点为，连接，则， 是等腰直角三角形，，， 将线段绕着原点逆时针旋转，，此时旋转至位置， 在轴上， ，即点的对应点的坐标为． 69．以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，作轴，垂足为，容易判断是等腰直角三角形，则，，结合旋转的性质可知，点在轴负半轴上，且，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为， ∵，轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点由点绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴、、三点共线，即点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 70．如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．过点B作轴于点G，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则两点关于原点对称，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵为等边三角形，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵将等边三角形绕点顺时针旋转得到， ∴两点关于原点对称， ∴． 故答案为：． 71．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 ______________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形和平面直角坐标系，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，根据条件证明，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵将顺时针旋转得到，点A坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 考点09根据中心对称的性质求面积、长度、角度 72．如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为__________． 【答案】2025 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形重叠面积的规律探究，掌握全等三角形的判定与性质和图形重叠面积的规律探究是解题的关键． 先通过全等三角形证明两个正方形的重叠部分面积为正方形面积的​，再根据正方形数量确定重叠部分的个数，最后计算面积和． 【详解】解：如图所示，作于点，交的延长线于点， 易知，， ． 在和中， ， 四边形的面积＝四边形的面积， 同理可知，各个重叠部分的面积都是， 个这样的正方形重叠部分的面积和为． 故答案为：． 73．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据中心对称的性质得出，，然后证明，得出，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵与关于O中心对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 74．如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质得到，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，， ，，， ， ， ， ． 75．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、交于点，点即为所作； （2）根据成中心对称的图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：对称中心O即为所作， （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 76．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度．正方形和长方形的顶点均在格点上．正方形经过一次平移得到正方形，且的坐标是． (1)画出正方形，并写出平移方向和平移距离； (2)求出平移过程中正方形扫过的面积； (3)知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分．正方形和长方形组成一个L形图，请你在图中画一条直线将L形图分为面积相等的两部分． 【答案】(1)图见解析，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 (2) (3)见解析 【分析】（1）先由图得出正方形各顶点坐标，再根据的对应点的坐标是，确定平移方向和平移距离，再得出其他对应点的坐标即可； （2）先得出平移过程中正方形扫过的区域为长方形，再利用两点间的距离公式得出，，即可解答； （3）通过连接对角线，得出长方形的对称中心和正方形的对称中心，再过两对称中心作直线即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，，， 经过平移，的对应点的坐标是， 平移方向和平移距离为：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ，，， 如图所示， 正方形即为所求． （2）解：如图，连接， 则平移过程中正方形扫过的区域为长方形， ，，， ，， 长方形的面积为． 答：平移过程中正方形扫过的面积为． （3）解：如图， 连接，，交点即为长方形的对称中心；连接，，交点即为正方形的对称中心；过长方形的对称中心和正方形的对称中心的直线，即可将L形图分为面积相等的两部分． 77．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 考点10按图形的变换要求画出另一个图形 78．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 79．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 80．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键． 81．如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度； 请画出平移后的． 如果看成一次平移，则平移的距离是____________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的． 【答案】(1)见解析；； (2)见解析． 【分析】（）根据平移的性质得出坐标，然后连接进而画出图形即可； 根据平移的性质及勾股定理即可求解； （）根据中心对称的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：∵先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，，，， ∴，，， 连接，如图，即为所求； 如图，连接， ∴， ∴如果看成一次平移，则平移的距离是个单位长度， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． 82．如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)3 【分析】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键． （1）分别将点A、B、C向向右平移2格，再向下平移3格，得到点、、，然后顺次连接； （2）找出、关于的中心对称点、（中心对称点连线过对称中心，且被对称中心平分），连接、、得； （3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点． 【详解】（1）解：如图 （2）解：如图 （3）解：如图所示： 中为底，根据，可知点到的距离与到距离相等的格线与格点的交点（除）有3个， 所以点共3个． 故答案为：3． 83．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点11判断两个点是否关于原点对称 84．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 85．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 86．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 87．已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【详解】， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 88．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 89．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 90．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 【答案】 原点 二 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的平移与旋转11大题型归类 考点01 利用平移的性质求解 考点02 利用平移解决实际问题 考点03 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 考点04 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 考点05 找旋转中心、旋转角、对应点 考点06 根据旋转的性质说明线段或角相等 考点07 旋转中的规律性问题 考点08 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 考点09根据中心对称的性质求面积、长度、角度 考点10 按图形的变换要求画出另一个图形 考点11 判断两个点是否关于原点对称 考点01 利用平移的性质求解 1．如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（    ） A．1 B．4 C． D． 4．如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，两个直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，平移距离为的长度，其中，，，阴影部分的面积为______． 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． (1)若,，求的度数． (2)连接，若的周长为，，求四边形的周长． 9．问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．    如图1所示，在三角形纸片中，已知，，，，． 如图2所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移． 如图3所示，在平移过程中，设与交于点，与，分别交于点，． 操作探究： (1)在图3中，和的数量关系为_________； (2)在图3中，若，则纸片的平移距离为_________； (3)在图3中，小苏同学猜想和均为等腰三角形．这个猜想是否正确？说明理由． 迁移应用： (4)在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你求出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 考点02利用平移解决实际问题 10．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 11．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 12．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 13．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 14．劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 15．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 16．探索最短距离 背景材料： 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想，在物流配送、人工智能等路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． (1)如图1，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，山峰到河流的垂直距离为，营地到河流的垂直距离为，山峰与营地的水平距离是，则将军走过的最短路径的总长度为_____． (2)如图2，某工厂计划在一条笔直的公路上建设换衣间、工具室，换衣间与工具室之间的距离为．工人每天从点进入大门，先去换衣间换成工装，再去工具间拿上工具，最后走到道路同侧的车间点． 换衣间与工具室应该建在什么位置，使得工人走路的总路程最短？请你在图3中绘制出点、的具体位置，保留作图痕迹． 若大门到公路的垂直距离为，车间到公路的垂直距离为，大门到车间的水平距离为，则工人走过的最短路程是_____． (3)如图4，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，点与点的水平距离为，垂直距离为，从处到达处，需经两座桥（桥宽不计），两座桥都垂直于河岸，则从点到点的最短距离为_____． 考点03求点沿x轴、y轴平移后的坐标 17．将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 18．已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 19．如图，在平面直角坐标系中，点． (1)将向右平移4个单位长度，得到，请在图中画出； (2)画出关于轴对称的； (3)求的面积． 20．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，点在第二象限． (1)若点关于轴的对称点恰好在直线上，求的值． (2)在（1）的条件下，若点向下平移个单位后落在直线上，求的值． 22．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 23．在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． (1)点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． (2)在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 考点04已知点平移前后的坐标，判断平移方式 25．已知点，将线段平移至，点和点的对应点分别为点和点，若点，，则的值（   ） A． B．2 C． D．3 26．如图，点A，B分别在x轴和y轴上， ，．若将线段平移至线段的位置，则的值为（      ） A． B．1 C． D． 27．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 29．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． (1)请在图中画出； (2)若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为 ． 30．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为，，．将平移后得到，且点A的对应点是，点B、C的对应点分别是、． (1)点A、之间的距离是 ． (2)请在图中画出并计算它的面积． 31．下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 32．三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置． (1)请在图中标出，位置点； (2)写出这三架飞机在新位置的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，．三角形是经三角形平移得到的，点的对应点为点． (1)请写出点，的坐标； (2)若为三角形内一点，直接写出其平移后的对应点的坐标； (3)计算四边形的面积； (4)探究，，之间的数量关系． 34．综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 35．在平面直角坐标系中，已知点，，，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图1，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时，则t的值为______，若三角形的面积是三角形的面积的2倍，请求出点P的坐标； (3)如图2，若点为平面直角坐标系内一点，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，请探究m，n的数量关系，并写出你的探究过程． 考点05找旋转中心、旋转角、对应点 36．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 37．如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 39．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 40．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 41．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 42．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 43．如图，每个小方格都是正方形，线段、、、的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． (1)在图1中，以为一边，画一个面积为12的四边形，使其为中心对称图形； (2)在图2中，以为一边，画一个面积为10的四边形，使其为轴对称图形； (3)在图3中，线段绕点旋转得到线段，画出旋转中心． 考点06根据旋转的性质说明线段或角相等 44．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 46．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 48．如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为_________． 49．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 50．如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 51．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 52．在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． (1)如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． (2)如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 53．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 54．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ． 考点07旋转中的规律性问题 55．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 56．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 58．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 59．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 60．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 61．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 考点08求绕原点旋转一定角度的点的坐标 62．如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 63．如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 64．如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（   ）    A． B． C． D． 65．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ） A． B． C． D． 66．如图，将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第2022秒时，点A的对应点A′的坐标为（　　）． A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2） D．（2，﹣2） 67．如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 68．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为___________． 69．以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 70．如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 71．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 ______________________． 考点09根据中心对称的性质求面积、长度、角度 72．如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为__________． 73．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 74．如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 75．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 76．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度．正方形和长方形的顶点均在格点上．正方形经过一次平移得到正方形，且的坐标是． (1)画出正方形，并写出平移方向和平移距离； (2)求出平移过程中正方形扫过的面积； (3)知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分．正方形和长方形组成一个L形图，请你在图中画一条直线将L形图分为面积相等的两部分． 77．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 考点10按图形的变换要求画出另一个图形 78．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 79．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 80．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   81．如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度； 请画出平移后的． 如果看成一次平移，则平移的距离是____________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的． 82．如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 83．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 考点11判断两个点是否关于原点对称 84．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 85．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 86．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 87．已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 88．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 89．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 90．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $