专题04 不等式（组）含参问题、方案设计专项四大题型（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦不等式（组）含参及方案设计，分4大考点系统覆盖从解集分析到实际应用的逻辑链条，强化推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由解集求参数|15题（选择/填空/解答）|含整数解、非负解等限定条件|从基础解集反求参数，培养符号意识| |由解集情况求参数|12题（选择/填空/解答）|无解、整数解个数等判定|深化解集边界分析，发展推理能力| |与方程组结合|9题（解答为主）|含方程组解的不等式限定|融合方程与不等式，提升综合思维| |方案设计|11题（应用题）|经济、运输等实际场景|构建数学模型，强化应用意识|

专题4不等式（组）含参问题、方案设计专项4大题型 考点归纳 考点01由一元一次不等式组的解集求参数 考点02由不等式组解集的情况求参数 考点03不等式组和方程组结合的问题 考点04不等式组的方案选择问题 考点专练 考点01由一元一次不等式组的解集求参数 +xzx-2 2 1.若整数使关于的不等式组 5x-2 2的解为 ,且使关于的分式方程x1+a+5-4 的 x<2 4-x'x-4 解为正整数，则满足条件的a的值之和为() A.12 B.11 C.10 D.9 [3x-2a<4-5x 2.已知关于x的不等式组2(x+)≥x+3有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（） A.10<a<14B.10≤a<14 C.10<a≤14 D.10≤a≤14 x>3 3.某数学兴趣小组对关于x的不等式组x≤m,讨论得到以下结论，①若m=5,则不等式组的解集为 3<x≤5：②若不等式组无解，则m的取值范围为m<3;③若m=2,则不等式组无解：④若不等式组只 有两个整数解，则m的取值范围为5<m≤6.其中正确的是() A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①③ 4.若关于，的不等式3-)5≥5+2m+与不等式2s8-的解年相同，则m满起《) A.m=3 3 Bm≥ 5 5 C.m=-3 5 x+6、x +1 5.若关于的不等式组54 的解集为，则的取值范围是() x+m<0 x<4 A.m=-4 B.m=4 C.m≥4 D.m≤-4 1/14 x-2=-3 6.已知关于x的方程x一一 1-x解为正数，则k的取值范围是() B.k≠3 2 1 A.k+1 C.k>3且k≠1 D.k<有且k≠有 5(y-1)<y+a 7.关于的方程 (x-a）=a+5 的解是整数，且关于的不等式组3y-6≤y-2有且仅有3个整数解， 5 则满足条件的所有整数a的和为() A.25 B.26 C.27 D.28 x-2(x-1)23 8.关于x的方程 的解为非负整数，且关于x的不等式组 3-2x=3(k-2) 2+x≤x无解，则符合条件 3 的整数k的值的和为() A.5 B.2 C.4 D.6 3x-a<7 9.已知不等式组x-2b>-3的解集为-1<x<2'则(5a+1)6-2)的值为一 x≥4-2a 10.如果不等式组2x-b<3的解集是0≤x<1?则2a-b= x-2a>2 11.若不等式组3x+3>4r-b的解集为-2<r<3?则g+b的值是 x>2a+3 12.已知关于x的不等式组2x<b+1的解集是-1<x<1:则(a+1(6+）的值是 [2x-5≤3 13.若关于的一元一次不等式组 2x-“<1的解集是，且关于的分式方程1-a+,2=2有非负 3 x≤4 y y-11-y 整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为一· x-1sx-2 14.若关于x的一元一次不等式组 3 至少有3个整数解，且关于y的分式方程 -x+m≤2(x+2) 2+10=my-2 y-22-y的解为整数.则符合条件的整数m的值和为 x-1、1,1 ->一x+ 23 6 15.若关于x的一元一次不等式组 a 的解集为，且关于y的分式方程 2x-2 >x+1 22、3有 a x>4 22-y 2/14 正整数解，则所有满足条件的整数α的值之和是 2x+y=2m 16.已知关于x’y的二元一次方程组x+2y=2-m的解满足不等式x+y>0 (1)求实数m的取值范围. (2)若不等式(2m+)x<2m+1的解集为x>1,请求出整数m的值. 2x+y=5-4m 17.已知关于x'y的方程组 x+2y=1+m 的解满足x+y>0: (1)求m的取值范围： (2m-5)x>2m-5 (2)若不等式组 5-x≥-3 为x<1'求符合条件的正整数的值。 的解集为， 11 18.定义，关于同一个未知数的不等式A和B,若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且 A不等式称为B不等式的“子式”；如A:x<0,B:x<1,满足A的解都是B的解，所以A与B存在 “雅含”关系，A是B的“子式”， (1)若关于x的不等式A:x+2>1,B:x>3,请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁 的“子式”； x-1a+1 2)已知关于x的不等式C:2<3,D:2x-(3-x)<3,若C与D存在“雅含”关系，且C是D的 “子式”，求a的取值范围 2x+y=1+2m 19.已知关于x,y的二元一次方程组x+2y=2-m的解满足不等式x+y>0 (1)求实数m的取值范围。 (2)在(1)的条件下，若不等式(6m+)x-6m<1的解集为x>1,请求出整数m的值. -1 20.已知不等式①3 +x≥-3 (1)求不等式①的解集. (2)求不等式①的负整数解. (3)若关于x的不等式②3-2x之6(a-)的解集与不等式①的解集相同，求a的值. 4若不等式①的解都是关于x的不等式2>？的解，求m的取值范围。 21.新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依 x-1>1 方程”，例如：方程x-1=3的解为x=4而不等式组x-2<3的解集为2<x<5不难发现：=4在 3/14 x-1>1 2<x<5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组女-2<3的“相依方程”。 2x+3≤x+11 (1)请判断 (x-1)-1=3(x-2 是否是不等式组 2x+5-1>4-x的“相依方程”，并说明理由： 3 3x+1<m+2 2关于的方程4m=2m 2+小户1的“相依方程”，且此时不 是关于x的不等式组x18, 等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； [kx-4 >x (3)若关于x的方程 是关于x的不等式组 ≥2-1的“相依方程”，求灰的取值范围. 2 x+k=2x-1 2 3 22.我们约定：不等式组m<x<n,m<x≤n,m≤x<n,m≤x≤n的“长度”均为d=n-m,(m<n）, 不等式组的整数解称为不等式组的“整点”.例如：-2<x≤2的“长度”d=2-(-2)=4,“整点”为 x=-1,0,1,2.根据该约定，解答下列问题： 5x+3>3x 不等式组2x-1s0的“长度”d一：“整点”为— 1≤x≤3 (2)若不等式组 ar-3< x+2的“长度” ,求a的取值范围； 2 d=2 1≤x≤3 (3)若不等式组 a≤x≤a+2的“长度”d-3,此时是香存在实数m使得关于y的不等式组y+1>m 2 2 ay-1≤2m 恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 考点02由不等式组解集的情况求参数 x+1x-1 23.若关于x的不等式组 32 无解，则m的取值范围为() 3(x-m)<2x+m A.m≤2 B.m<2 C.m≥2 D.m>2 x≤-1 24,关于的不等式组x>m无解，则m的取值范围是（) A.m>-1 B.m≥-1 C.m≤-2 D.m≥2 4/14 m-x<0 25.关于x的不等式组3x-2<1+2x有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（） A.-1<m≤0 B.-3≤m<-1 C.-3<m≤-1 D.-2≤m<-1 26.若关于x的不等式2x-m<5的正整数解是1,2,3，则实数m的范围为() A.m>1 B.m≤3 C.m≥3 D.1<m≤3 x+a<3 27.若关于的不等式组3-2x≤7有3个整数解，则。的取值范围为() A.2<a<3 B.2≤a<3 C.1<a<3 D.1<a≤2 x>1 28.关于的分式方程x-2+6=-3的解为正数，且关于的不等式组a+x之x-7有解，则满足上 4-xx-4 2 2 述条件的所有整数a的绝对值之和为() A.14 B.16 C.18 D.21 a+xzx+3 ,1 29.关于x的不等式组 3 有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程3y+l5+2四=2 1-3(x-1)≤14+2x 3-yy-3 的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为() A.4 B.8 C.11 D.15 1. 30.定义新运算F:F(a,b)= [a-2b(a2b).若关于正数的不等式组 F-24 恰有三个整数解，则 b-2a(a<b) F(-l,x)≤m m的取值范围() A.6≤m<7 B.8≤m<9 C.10≤m<11 D.11≤m<12 2-x ≤2+x 3 31.若数m使关于x的不等式组 m 有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程 x< mx-2,3 x-11-x =2有整数解，则满足条件的所有整数m的积为(） A.-3 B.3 C.-15 D.15 [5-2x>1 32.若关于的一元一次不等式组x-a>0恰有3个整数解，那么。的取值范围是 5/14 [x-a>0 33.关于x的不等式组-3+2x≤3有且只有三个整数解，则a的取值范围是 1-2(x-1)≤5 34.已知关于x的不等式组 3x-m<x+ 1的整数解恰有4个，则m的取值范围为一。 2 2 3+2x≥1 5.若关于的一元一次不等式组x-0<0有解，且关于v的分式方程，干3的解是非负整数。 则所有满足条件的整数a的值之积为， 3(x-1) <1+x 36.若关于x的不等式组 2 有解，且关于y的分式方程y-·+y+6-2的解为非负整数，则 x-2a≥1 1-yy-1 所有满足条件的负整数a的值之和为 x+4 ≥x-1 37.若关于x的一元一次不等式组 2 有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程 6x-8>a-6 4y-2=a-12 y-2 =2-y的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是一· 38.已知关于x的不等式2(5x+3)≥x-3(1-2x). 3-2x、3(a-x) 1)若不等式4 2 与该不等式的解集相同，求a的值： 2岩该不等式的最小整数解也是关于x的方程=”，6-2x的解，求m的值 x+y=2+a 39.关于的方程组 4 ，且满足 X,y x+a-y=3(a-2)'’xy-10<x-2y≤-8 (1)求a的取值范围； (2)已知3a+b=1,求a-b的取值范围. x+y=-7-a 40.已知关于x'y的方程组x-y=3a+1的解中 ≤0'y<0 (1)a的取值范围为 (2)化简：a+1+1-a (3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x>2a+1的解集为x<1? 41.如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 6/14 2 [-x+2>x-5 (1)在方程①3x-1=0②写x+1=0,③x-(3x+1)=-5中，不等式组3x-1>-x+2的关联方程是 (填序号) x-- (2)若不等式组 2 的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 (写出一 1+x>-3x+2 个即可) x<2x-m 3)若方程3-x=2x' 3+x=2x+2都是关于，的不等式组x-2≤m的关联方程，求m的取值范围. 42.我们规定：不等式组m<x<n,m<x≤n,m≤x<n,m≤x≤n的“长度”均为d=n-m(m<n),不 等式组的整数解称为不等式组的“整点”.例如：-2<x≤2的“长度”d=2(2)=4,“整点”为 x=-1,0,12. 根据该规定，解答下列问题： [2x+6≥4 (1)不等式组 x,x+1的“长度”d=；“整点”为一： 2 3 1≤x<4 2)若关于x的不等式组ax>1的“长度”d=2,求a的值： 2a-3x>0 (3)若关于x的不等式组3a+2x≥0恰有3个“整点”，求a的取值范围. 43.定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不 x+3>4x 等式组的“约定方程”，例如方程 的解为x=-2不等式组3x-1≤5x+1)的解集3≤x< ,因为 x+3=1 x+3>4x -3≤-2<1'所以方程 。是不等式组 +3=1 3x-1≤5(x+1)的“约定方程”. 1-2x>0 (1)方程2x-1)+10=2是否为不等式组 x+2≤0· 的“约定方程”？并说明理由。 3x+2>3+x 2)若关于，的方程2x-4=1是不等式组x-3≥2x-6的“约定方程”，求。的取值范围. 诺方程2x4和方程2都是关于，的不等式组 mx+2x<m+ x+3≥m 2(m≠-2)的“约定方程”，求m 的取值范围。 4,箭定义：对非负实数，“四合五入”到个位的值记作的，即当n为手负整数助，若x<+ 1 2 7/14 1 则(x)=n,反之，当n为非负整数时，若(x)=n,则n- 2 2 (1)根据上述定义填空：()=一： 2x-4 -≤x-1 (2)关于的不等式组 3 的整数解恰好有个，求的取值范围： (a）-x>0 4 a (3)若=5x,求所有满足条件的实数x的值. 考点03不等式组和方程组结合的问题 [x]+2y=5 45.设[y表示不超过x的最大整数，如2.=2：创=3”【-1,2]=-2，若x,y满足x+=3,那么 x+y的值是() 3 7 A.3 B.2或2 C.3或2 D.1或2 x+y=a-4 46.已知关于x,y的方程组 2x-y=3a-6的解x,y满足2<x-2y≤10 (1)求a的取值范围： (2)已知2a+b=1,求b的取值范围. 47.根据题意求取值范围： [1-x>x-2 (1)如果关于的方程x+2m的解是不等式组 2 的一个解，求的取值范围： 32 2(x-3)≤x-8 m [3(x-2)≥x-4 (2)若关于， 的方程组x+y=20的解的值都在不等式组2x+1、,」 x v x-y=2 >x-1的解集内，求实数的取值范围 a x+y=3m-1 48.己知关于x,y的方程组1 x-y=m+3· (1)若该方程组的解满足2x+y=10,求m的值： (2)若该方程组的解满足x为正数，y为负数，求m的取值范围. (3)在(2)的条件下，若不等式(m-)x-m<-l的解为x>1,请直接写出整数m的值. 3x+y=1+a① 49。小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组x+3y=3②的解满足0<x+y<2,求口的取值范围 8/14 的问题中是这么做的：将方程①+②：(3x+)+(x+3y)=(1+a)+3得4x+4y=4+a,进而 x+y= 4+a=1 +4,又：0<x+y<2· 代入得：0<1+号<2，-1<号<1,4<a<4即。的取值范围为 4 -4<a<4 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 2x-y=1+2a 已知方程组 x+4y=2+a的解满足1<x+y≤2： (1)求a的取值范围： (2)求a为何整数时，不等式2ar-x>2a-l的解集为x<1?请直接写出a的整数值 50.我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的 “梦想解”.例如：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0,当x=2时，2×2-3=1与2+3=5>0同时成立， 则称x=2是方程2x-3=1和不等式x+3>0的“梦想解”. (1)方程x+2=3与不等式2x+1≤4的“梦想解”是一 13 2)已知①x-2>2,②2(x+3)<4,③2 <3,则方程2x+3=1的解是它与不等式的“梦想解” (填序号) 3x-2y=m+2 (3)若关于x,y的二元一次方程组2x-y=m-5与-5≤x+y≤1有“梦想解”，求m的取值范围. x-y=11-m 51.已知在关于x,y的二元一次方程组x+y=7-3m中，x为非负数，y为负数. (1)求m的取值范围， (2)在(1)的条件下，若不等式(2m+)x-2m<1的解集为x>1,则整数m的值是多少？ 52.对x,y定义一种新运算T, 规定：T(x,y)=ax+2by-1(其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(0,1)=a×0+2b×1-1=2b-1 (1)已知T(1,-1)=6,T(4,2)=3 ①求a,b的值： T(2m,5-4m)≤1 ②若关于m的不等式组T(m,3-2m)>p恰好有2个整数解，求实数P的取值范围： (2)若T(x,)=Ty,)对任意实数x,y都成立（这里T(x,D和Ty,)均有意义），则a,b应满足怎样的关 系式？ 9/14 53.对于平面直角坐标系中任一点(a,b),规定三种变换如下： ①f(a,b)=(-a,b)如：f(7,3)=(-7,3): ②g(a,b)=(b,a)如：g(7,3)=(3,7): ③h(a,b)=(-a,-b)如：h(7,3)=(-7,-3): 例如：(g(2,-3)=f-3,2)=(3,2), 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若a=b,且c=d,则(a,c)=(b,d),反之若(a,c)=(b,d),则a=b,且c=d. ②(a,c)+(b,d)=(a+b,c+d):(a,c)-(b,d)=(a-b,c-d). 例如：f(g(2,-3)+h(g(2,-3》=f-3,2)+h(-3,2)=(3,-2)=(6,0) 请回答下列问题： 1)化简：fh(6,-3》=一（填写坐标）： (2)化简：h(f(-1-2》-g(h(-1,-2)= （填写坐标)： (3)若f(g(2x,-x)》-h(f(1+y-2》=(g(-1,-1)+f((x)且k为绝对值不超过5的整数，点P(x,y) 在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值. 考点04不等式组的方案选择问题 54.“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益.为满足同学们的读书需求，学校图书馆 准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书.经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共 需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元. (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000 元，请求出所有符合条件的购书方案 55.某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒. 竖式无盖 横式无盖 图甲 图乙 10/14 (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个. ①根据题意，完成以下表格： 纸 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 盒纸板 100-x 正方形纸板（张） 2(100-x) 长方形纸板（张） 4x ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 纸盒 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 纸板 (100-x) 正方形纸板（张） 2(100-x) 长方形纸板（张） 4x 3(100-x) 56. 在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾 箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍. (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你 列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 57.2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力.随着 人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买 A,B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 总费用（单位：万 A型机器人台数 B型机器人台数 元) 2 3 340 3 300 信息二 11/14 A型机器人每台每天 可分拣快递24万件： B型机器人每台每天 可分拣快递20万件. A型 B型 (1)求A,B两种型号智能机器人的单价： (2)现该企业准备购买A,B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使 每天分拣快递的件数最多？ 58.2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词.某汽车经销 商销售A,B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元， 购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元. (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数 量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用 59.为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆.调研发现，4辆A型货车与5辆B型货车一次可 运货132吨；3辆A型货车与6辆B型货车一次可运货126吨， (1)求1辆A型货车和1辆B型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共16辆运输这批农产品，每辆A型货车运输一次费用为5000元，每辆B型货 车运输一次费用为3000元.若A型货车数量不低于8辆，总费用不超过68000元，请列出所有运输方案， 并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 60.儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进A,B两种风筝，购 进每个A种风筝比每个B种风筝多10元，用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同. (1)求购进A,B两种风筝每个各需多少元： (2)若该商店决定购进这两种风筝共100个，且用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元，则该商 店有哪几种进货方案？ (3)已知商家出售1个A种风筝可获利a元，出售1个B种风筝可获利10-a)元，问当a取何值时(2)中 12/14 的方案，商家获利都相同。 61.某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对 “新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告.请你帮他们完成下面的活动报告。 活动 了解“新能源汽车充电难”问题 课题 活动 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”. 目的 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 活动 每个充电桩占地面积 素材 /m2 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电 桩需要0.7万元. 问题 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元. 一 问题 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 二 问题 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40 三 个，则共有几种建造方案？请列出所有方案.哪种方案占地面积最小. 62.为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850 箱：2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱. (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资： (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次 所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元.请列出所有运输方案，并指出哪 种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 63.2025年12月31日，哈尔滨冰雪大世界举办以“约会哈尔滨·冰雪暖世界”为主题的跨年夜烟花秀与 无人机表演活动，与市民游客共迎新年，景区欲投资采购A,B两种型号的无人机配合烟花秀表演，己知 每架A型无人机的售价比每架B型无人机的售价多100元，用30万元购买A型无人机的数量和用24万元 13/14 购买B型无人机的数量相同. (1)求A型、B型无人机的售价分别是每架多少元： (2)考虑到表演效果，若景区计划采购A,B两种型号的无人机共3000架（购进两种无人机的数量都是100 的整数倍)，预算经费不高于140万元，且A型无人机的数量不低于1800架，则景区有哪几种采购方案？ (3)在(2)的条件下，为了支持省政府“一核两翼”冰雪季的战略布局，助力“尔滨”持续出圈，供应商 决定对两种型号无人机均打九折的优惠.采购两种型号无人机各多少架时花费最少？最少花费是多少元？ (请直接写出答案) 64.儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进A,B两种风筝，购 进每个A种风筝比每个B种风筝多10元，用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同. (1)求购进A,B两种风筝每个各需多少元： (2)若该商店决定购进这两种风筝共100个，且用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元，则该商店 有哪几种进货方案？ (3)已知商家出售1个A种风筝可获利a元，出售1个B种风筝可获利(10-a)元，问当a取何值时(2)中的 方案，商家获利都相同 65.某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品 的数量与用4000元购进乙商品的数量相同.甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元. (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于 6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在(2)的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使 所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值. 14/14 专题4 不等式（组）含参问题、方案设计专项4大题型 考点01 由一元一次不等式组的解集求参数 考点02 由不等式组解集的情况求参数 考点03不等式组和方程组结合的问题 考点04 不等式组的方案选择问题 考点01 由一元一次不等式组的解集求参数 1．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 2．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 3．某数学兴趣小组对关于x的不等式组，讨论得到以下结论，①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则m的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则m的取值范围为．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】D 【详解】解：①若，不等式组为， ∴不等式组的解集为，故①正确； ②若不等式组无解， ∴，故②错误； ③若，不等式组为， ∴不等式组无解，故③正确； ④若不等式组只有两个整数解， ∴两个整数为4和5， ∴，故④错误； 综上，正确的结论为①③． 4．若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解两个不等式的解集，再根据两个解集相同，列式计算即可求出的值． 【详解】解：解不等式， ， ， ， ， ， 解不等式， ， ， ， ， ， 两个不等式的解集相同， ，解得． 5．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式含参问题．先正确的解出每一个不等式，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或数轴来找参数的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ， 解得：． 6．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 7．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、不等式组整数解等知识，首先解方程得到，根据该方程的解为整数可知为奇数；再解不等式组，得到解集为且，由该不等式组有且仅有3个整数解确定，结合为奇数，得到或15，求和即可． 【详解】解：∵方程 的解为整数， 展开得，即， ∴为整数， 故为偶数， ∵5为奇数， ∴为奇数，即为奇数， 对于不等式组 ， 解不等式①，可得，即， ∴， 解不等式②，可得，两边乘5得， 即， ∴， ∴， 故该不等式组的解为且， ∵有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， ∴，即， ∴为整数，可能值为， 又∵为奇数，故或15， 当时，，为整数； 当时，，为整数． 且不等式组整数解均为，满足条件． ∴满足条件的整数和为． 故选：D． 8．关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．先表示出方程的解，由方程的解为非负整数且不等式组无解，确定出k的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负整数， ∴0，即， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， ∴，即整数， 当时，，不是整数； 当时，，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去； 综上，， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：． 9．已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为 ∴， ∴， ∴． 10．如果不等式组的解集是，则________． 【答案】5 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集得到关于、的方程，求出、的值，代入计算即可. 【详解】解：不等式组为 解不等式，移项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的解集是， ，， 解得，， 将，代入得： ． 11．若不等式组的解集为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②：得 因此不等式组的解集为 不等式组的解集为 ， 解得， ． 12．已知关于的不等式组的解集是，则的值是________． 【答案】 【分析】先解不等式组中两个不等式得到各自解集，再根据已知不等式组的解集得到关于和的方程，求出的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的解集是， ，， 解得，， 将代入代数式得：． 13．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【分析】解：先分别解不等式，再根据不等式组的解集是，得到，解得，再解分式方程得到，根据关于的分式方程有非负整数解，得到且，是非负整数，即可求出的取值范围，最后求所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解得， 两边同乘得， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且，是非负整数， 解得，且，是奇数， 综上所述，的取值范围是，且，是奇数， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 14．若关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数．则符合条件的整数m的值和为________． 【答案】 【分析】先解不等式组结合不等式组至少有3个整数解得出，再解分式方程得出，结合分式方程的解为整数．且求出的值，求和即可得解． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为整数．且， ∴或或或或， 又， ∴符合条件的的值和为． 15．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分式方程是做题的关键．首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式，可得， 解第二个不等式，可得， 又不等式组的解集为， ，即； 解分式方程： 可化为 ， 两边乘（）得，，即； 因为要求为正整数且， 所以且，即且， 同时为偶数，故为奇数， 结合，可得满足条件的整数为、、、， 故和为． 故答案为：． 16．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据不等式的解集为，结合不等式的性质得到，求解得到的范围，再结合（1）的结论，找出范围内的整数即可． 【详解】（1） 解： ， 得， 两边同除以，得， ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 结合（1）的结论，得， 该范围内的整数为． 17．已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将关于，的方程组中两个方程相加得到，再由题意列出关于的不等式求解即可； （2）先解不等式组中不含参数的不等式解集，再由不等式组解集情况求解含参数的不等式，最后结合（1）中的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 则， ， ，解得； （2）解：， 解②得， 不等式组的解集为， 对于不等式①解集，只有当时，才有， 则， 取正整数， 或， 由（1）知，则． 18．定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”；如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． (1)若关于x的不等式A：，B：，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； (2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； 【答案】(1)A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式” (2) 【分析】本题根据新定义“雅含”关系和“子式”的概念解题． （1）先解出不等式A的解集，再根据定义判断关系得到结论； （2）分别解出两个不等式的解集，根据C是D的“子式”列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式A：，得， ∵不等式B的解集为 ∴满足的数都满足 即B的所有解都是A的解， ∴A与B存在“雅含”关系，B是A的子式． （2）解：解不等式C得， 解不等式D得， ∵C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”， ∴， 解得． 19．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)整数的值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，可得，结合，可列出关于m的不等式，求解即可； （2）根据不等式的解集为得到，再结合（1）可求出m的取值范围，找出整数m即可解答． 【详解】（1）解： ，得， ∴． ， ， ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为， ， ， 由（1）有， ∴ ∴整数的值为． 20．已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)－1，－2． (3) (4) 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为的步骤，解一元一次不等式； （2）在第（1）问的解集里，找出所有负整数； （3）先解不等式②，根据解集相同的条件，令两个解集的边界相等，列方程求的值； （4）根据不等式①的解都是​的解，说明①的解集是​解集的子集，通过边界的大小关系列不等式求的范围． 【详解】（1）解：去分母得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：由（1）得，不等式①的解集为， ∴不等式①的负整数解为－1，－2． （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为，得． ∵不等式②的解集与不等式①的解集相同， ∴， 解得． （4）解：解不等式，可得． ∵不等式①的解都是的解， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、解集的包含关系及方程思想的应用，掌握解一元一次不等式的步骤，以及通过解集的包含关系确定参数范围是解题的关键． 21．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 22．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 考点02由不等式组解集的情况求参数 23．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解两个不等式组，再依据不等式组无解可以得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 24．关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：关于的不等式组无解，也就是两个不等式解集没有公共部分，即，没有公共部分， ． 25．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 26．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解关于的不等式求得，根据不等式的正整数解的情况列出关于的不等式组求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， ∵不等式的正整数解是1，2，3， ∴， 解得． 27．若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 这个整数解为，，， ， 由，得：， 由，得：， ． 28．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 29．关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况确定参数的取值范围，分式方程的解法， 分式方程的增根问题及根据分式方程的解为整数确定参数的值．先解不等式组，根据有解且至多4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，结合解为整数且不为增根的条件筛选出符合的整数a，最后求和． 【详解】解：∵解不等式组， 得，， ∴不等式组解集为， ∵不等式组有解且至多4个整数解， ∴整数解为（至多4个）， ∴ 两边乘2得， ∴ 解分式方程， 解得， ∵分式方程的解为整数且 ∴是9的约数，且，又∵a为整数且， 逐一验证： 当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，（增根，舍去）， 当时，，，符合条件， 当时，（不在范围内，舍去）， 当时，，，符合条件， ∴满足条件的整数a为， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故选：A． 30．定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 31．若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的积为（　　） A． B．3 C． D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查解不等式组和解分式方程，解题的关键是注意分式方程的增根．先解不等式组，根据不等式组有解且至多3个整数解得到m的取值范围，再解分式方程，结合分式方程有整数解且分母不为0，找出符合条件的整数m，计算它们的积即可． 【详解】解：解不等式组 解①得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴，解得， 解分式方程， 方程两边同乘得 ， 整理得 ， 当时，方程无解，不符合题意， 当时，， ∵分式方程分母不为0， ∴，即，得， ∵方程有整数解，m为整数， ∴是3的因数，即， 解得，排除，符合的整数m为， 它们的积为， 故选∶A． 32．若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解每个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解，整数解为， 的取值范围是． 33．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 34．已知关于x的不等式组的整数解恰有4个，则m的取值范围为____． 【答案】 【分析】首先解不等式组求得x的范围，根据不等式组有4个整数解即可得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵关于x的不等式组有解， 故不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组的整数解恰有4个， ∴不等式组的4个整数解为：， ∴， 解得：． 35．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】5 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 36．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解，求出的范围，再根据分式方程的解为非负整数，求出所有满足条件的负整数a，求和即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，能被2整除， ∴且， ∴且， 又∵能被2整除， ∴满足条件的负整数， ∴． 37．若关于x的一元一次不等式组有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】14 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解，得出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数，结合的取值范围，找出所有满足条件的整数，计算其和即可． 【详解】解：解不等式组 解不等式 去分母得 移项合并得 解不等式 移项得 系数化为1得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有5个整数解，整数解为 不等式同乘6得 移项得 解分式方程 方程两边同乘得 去括号得 合并同类项得 系数化为1得 分式方程的解是非负整数，且分式分母不为零 ，，且为整数 即，，为整数 解得，，且为偶数 结合，可得，为偶数 满足条件的整数为， 因此所有满足条件的整数的值之和为． 38．已知关于x的不等式． (1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； (2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出两个一元一次不等式的解集，依据解集相等建立等式，解方程即可求出字母a的值． （2）先求出原不等式解集，确定其最小整数解，再将该整数解代入一元一次方程，进而求出字母m的值． 【详解】（1）解：解不等式， 解得， 解不等式，得 ， 两个不等式的解集相同， ， 解得； （2）由（1）知：的解集为， 该不等式的最小整数解为， 将代入，得： ， 解得． 39．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 40．已知关于，的方程组的解中，． (1)的取值范围为___________． (2)化简：． (3)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2)当时；当时；当时 (3)当时，不等式的解集为 【分析】（1）解方程组把未知数、的值用含的代数式表示出来，再根据，，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的取值范围； （2）根据的取值范围分段化简； （3）因为不等式的解集为，根据不等式的基本性质可知，结合，可知，又因为为整数，可知． 【详解】（1）解：解方程组， 可得：， ，， ，    解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 即的取值范围为； （2）解：由（1）可知，， 当时， ，， ，             当时， ，， ， 当时， ，， ，      综上所述：当时； 当时； 当时； （3）解：， ， 不等式的解集为， ， 解得：， 又， ， 为整数， ， 当时，不等式的解集为． 41．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得； （2）求出一元一次不等式组的整数解，则可得其关联方程的解，由此即可得； （3）先分别求出两个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得． 【详解】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 42．我们规定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”d＝______；“整点”为______； (2)若关于x的不等式组的“长度”，求a的值； (3)若关于x的不等式组恰有3个“整点”，求a的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1； （2）解：， 由不等式， 当时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当时，， 不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 43．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，再解不等式组，最后验证方程的解是否在不等式组的解集内，判断是否满足 “约定方程” 的定义； （2）先解不等式组得到解集，再求出方程的解，根据 “方程的解在不等式组解集内” 列不等式，求解a的取值范围； （3）先求出两个方程的解，再解含参数的不等式组（需对参数的符号进行分类讨论），根据 “两个方程的解都在不等式组的解集内” 列不等式，求解的取值范围． 【详解】（1）解：解方程得， 不等式组的解集为 ， 方程是不等式组的“约定方程”； （2）解方程得， 不等式组的解集为， 关于的方程是不等式组的“约定方程”， ； 解得； （3）解方程得， 解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， 当时，不等式组的解集为， 方程的解和均不满足，不符合题意； 当时，不等式组的解集为， 上述两方程都是不等式组的约定方程， 解得， 的取值范围为． 44．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； （3）解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 考点03不等式组和方程组结合的问题 45．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 46．已知关于x，y的方程组的解x，y满足． (1)求a的取值范围； (2)已知，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先推导出，得到，解得，即可解答； （2）先推导出，得到，解得，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得 ， 由，得 ， 解得； （2）解：由，得， ， ， 解得． 47．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 48．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 49．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【详解】（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； （2）整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得，其中整数为． 50．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 51．已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 52．对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 53．对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下： ①如：； ②如：； ③如：； 例如：, 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若，且，则，反之若，则，且． ②；． 例如：． 请回答下列问题： (1)化简：______填写坐标； (2)化简：______填写坐标； (3)若且为绝对值不超过的整数，点在第三象限，求满足条件的的所有可能取值． 【答案】(1) (2) (3)的所有可能取值为、． 【分析】（1）根据新定义进行化简即可． （2）根据新定义进行化简即可． （3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， ， 为绝对值不超过的整数， ∴的所有可能取值为、． 【点睛】本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力，读懂题意，找出变换规律是解答此题的关键． 考点04不等式组的方案选择问题 54． “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】(1)每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元 (2)有2种购买方案，详见解析 【分析】（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》，根据题意列出不等式组求出的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； （2）解：设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 55．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） x 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)①见解析；②有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； (2)方案①销售利润最大，最大利润是262元． 【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以将空白处的数据补充完整；②根据题意列出不等式组即可； （2）分别计算三种方案的利润，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，              纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②由题意得 解得． ∵为正整数， ∴，，． 有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； （2）解：方案①利润为：（元）； 方案②利润为：（元）； 方案③利润为：（元）； ∵ ∴方案①销售利润最大，最大利润是262元． 56．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 57．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台，根据费用不超过800万元，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据型机器人每台每天可分拣快递24万件，型机器人每台每天可分拣快递20万件，可列出每天分拣的件数与的函数关系，再根据函数的性质得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 58．2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元 (2) 费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为310万元 【分析】（1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据“购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，根据“购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各进货方案，再利于总价=单价×数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元； （2）解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取8，9， ∴共有两种进货方案， 方案1：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； 方案2：购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； ∵， ∴费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为万元． 59．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 60．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进A，B两种风筝，购进每个A种风筝比每个B种风筝多10元，用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同． (1)求购进A，B两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共100个，且用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元，则该商店有哪几种进货方案？ (3)已知商家出售1个A种风筝可获利a元，出售1个B种风筝可获利元，问当a取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【答案】(1)购进每个A种风筝需20元，购进每个B种风筝需10元 (2)有三种购买方案如下：购进A种风筝48个，购进B种风筝52个；购进A种风筝49个，购进B种风筝51个；购进A种风筝50个，购进B种风筝50个 (3)当时，（2）中的方案商家获利都相同 【分析】（1）设购进每个A种风筝需元，购进每个B种风筝需元，根据“用400元购A种风筝的数量和200元购B种风筝的数量相同”列分式方程求解即可． （2）设购进A种风筝m个，则购进B种风筝个，根据“用于购买的资金不少于1480元，还不超过1500元”列不等式组解得的取值范围，再由为正整数，即可得进货方案； （3）分别表示出三种方案的利润，根据“商家获利都相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进每个A种风筝需元，购进每个B种风筝需元， 由题意列分式方程得：， 去分母，得， 整理得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个A种风筝需20元，购进每个B种风筝需10元． （2）解：设购进A种风筝m个，则购进B种风筝个， 由题意列一元一次不等式得：， 解得， 是正整数， 或49或50， 有三种购买方案如下： 购进A种风筝48个，购进B种风筝52个； 购进A种风筝49个，购进B种风筝51个； 购进A种风筝50个，购进B种风筝50个． （3）解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 根据题意列一元一次方程得，， 整理得，， 解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 61．某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 62．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)有三种运输方案：方案一：有6辆大货车，6辆小货车；方案二：有7辆大货车，5辆小货车；方案三：有8辆大货车，4辆小货车；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元 【分析】本题考查了二元一次方程组以及解不等式组： （1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，根据题意列方程组求解即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据题意列不等式组，确定大货车数量的可能取值，进而列出所有方案并计算费用，比较得出最少费用即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ， 取正整数， ，7，8， 有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元， 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元， ， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． 63．2025年12月31日，哈尔滨冰雪大世界举办以“约会哈尔滨・冰雪暖世界”为主题的跨年夜烟花秀与无人机表演活动，与市民游客共迎新年．景区欲投资采购，两种型号的无人机配合烟花秀表演，已知每架型无人机的售价比每架型无人机的售价多100元，用30万元购买型无人机的数量和用24万元购买型无人机的数量相同． (1)求型、型无人机的售价分别是每架多少元； (2)考虑到表演效果，若景区计划采购，两种型号的无人机共3000架（购进两种无人机的数量都是100的整数倍），预算经费不高于140万元，且型无人机的数量不低于1800架，则景区有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，为了支持省政府“一核两翼”冰雪季的战略布局，助力“尔滨”持续出圈，供应商决定对两种型号无人机均打九折的优惠．采购两种型号无人机各多少架时花费最少？最少花费是多少元？（请直接写出答案） 【答案】(1)型无人机的售价500元/架，型无人机的售价400元/架 (2)景区共有3种采购方案．方案一：型无人机1800架，型无人机1200架；方案二：型无人机1900架，型无人机1100架；方案三：型无人机2000架，型无人机1000架 (3)采购型无人机1800架，型无人机1200架花费最少、最少花费1242000元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和分式方程的应用，关键是找到数量关系列出方程和不等式组． （1）设型无人机的售价元/架，则型无人机的售价为元/架，根据“用30万元购买A型无人机的数量和用24万元购买B型无人机的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设采购型无人机架，则采购型无人机架，根据“预算经费不高于140万元，且型无人机的数量不低于1800架”列不等式组求解 （3）分别计算（2）中各方案的花费，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设型无人机的售价元/架，则型无人机的售价为元/架， 根据题意.得；解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：型无人机的售价500元/架，型无人机的售价400元/架； （2）解：设采购型无人机架，则采购型无人机架， 根据题意.得， 解得， 是100的整数倍， ， 景区共有3种采购方案： 方案一：型无人机1800架，型无人机1200架； 方案二：型无人机1900架，型无人机1100架； 方案三：型无人机2000架，型无人机1000架； （3）解：方案一花费：（元）； 方案二花费：（元）； 方案三花费：（元）； ∵ 所以，由景区的3种采购方案比较可知，采购型无人机1800架，型无人机1200架花费最少、最少花费1242000元． 64．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． (1)求购进，两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? (3)已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【答案】(1)购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元 (2)有三种购买方案如下：购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系或数量关系，列方程或不等式求解． （1）设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元，根据“用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同”列分式方程求解即可． （2）设购进种风筝个，则购进种风筝个，根据“用于购买的资金不少于元，还不超过元”列不等式组解得的取值范围，再由为正整数，即可得进货方案； （3）分别表示出三种方案的利润，根据“商家获利都相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元． （2）解：设购进种风筝个，则购进种风筝个， 由题意得：， 解得， 是正整数， 或或， 有三种购买方案如下： 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个． （3）解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 令，解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 65．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【答案】(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元 (2)有三种购买方案 (3) 【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可， （2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可， （3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键． 【详解】（1）解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的解， 则 答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元． （2）解：购买乙商品件，则甲商品件， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件， 方案二购买乙商品49件，则甲商品101件， 方案三购买乙商品50件，则甲商品100件． 故商品共有三种购买方案． （3）解：设商品总获利为元， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关， 则的系数为0， ． 即答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $