专题03 一元一次不等式与不等式组11大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式与不等式组11大题型，以题型归类构建从概念到应用的完整训练体系，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|12题|判断变形/求值证明|从性质公理到逻辑推理| |解集与表示|10题|求解/数轴表示/整数解|运算能力与几何直观结合| |最值与应用|22题|实际问题/几何动态|模型意识与应用能力递进| |函数与不等式组|31题|函数图像/含参求解|代数与几何知识综合迁移|

专题03 一元一次不等式与不等式组11大题型归类 考点01 不等式及其基本性质 考点02 求一元一次不等式的解集 考点03 在数轴上表示不等式的解集 考点04 求一元一次不等式的整数解 考点05 求一元一次不等式解的最值 考点06 用一元一次不等式解决实际问题 考点07 用一元一次不等式解决几何问题 考点08 一元一次不等式与一次函数 考点09 求不等式组的解集 考点10 列一元一次不等式组 考点11 不等式组的应用 考点01 不等式及其基本性质 1．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵ ，， ∴，故A选项不符合题意； ∵ ， ∴移项得：，故B选项不符合题意； ∵ ， ∴不等式两边同时乘以，再加得：，故C选项符合题意； ∵ ， ∴不等式两边同时除以得：，故D选项不符合题意； 2．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，∵ ，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A判断正确． 对于B，∵ ，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B判断正确． 对于C，题目未说明的取值范围，当时，不等式两边乘后不等号方向改变，可得 ，当时，可得 ，因此 不一定成立，C判断错误． 对于D，∵ ，且 ，可得 ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 综上，不正确的是C． 3．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 4．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；分别令，，即可求出和，即可判断②；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和即可． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故说法①正确； 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． 最后，计算的值为，故说法②正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故命题③正确． 故选：D． 6．若，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】已知，给不等式两边同乘负数，根据不等式性质判断不等号方向即可得到结果． 【详解】解：， ∴根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变，即． 7．若，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加1，得， 又∵， ∴． 8．已知整数，，满足，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，则所有可能的值为______． 【答案】或0 【分析】结合整数，，满足，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，则存在正整数，使得，设所求，（为整数），然后进行分类讨论，得出因此只可能或，再进行验证，即可作答． 【详解】解：∵整数，，满足， ∴，， ∴存在正整数，使得， 即， 设所求，（为整数）， 即， 若，则， 得，与矛盾； 若，则， 得， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，与矛盾； 因此只可能或． 当时：，即， 验证其余条件：，是的倍（整数）； ，是的倍（整数），满足所有条件， 例如符合要求， 故成立； 当时：，即， 验证其余条件： ， 设（整数），则， ∴是的倍（整数）； 则， ∴是的倍（整数）， 满足所有条件，例如符合要求， 故成立； 综上，所有可能的值为和． 9．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：若，当时，，∴①说法错误； 若，根据不等式的性质1，得，则，∴②说法正确； 若，当时，根据不等式的性质3，得，∴③说法错误； 若，可知，故，根据不等式的性质2，得，∴④说法正确． 故答案为：②④． 10．已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值 【答案】 【分析】把化简得，进而得出的，从而求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为a，小数部分为b， ， ． 11．已知实数、、满足，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据得，把代入，得，再整理即可证明． 【详解】证明：， ． 把代入，得， ， ． ． 12．（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 【答案】（1），（2）见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程解法和三角形三边关系、不等式性质． （1）本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数， （2）利用三角形三边关系，可得，，，再利用不等式性质即可证明结论． 【详解】（1）解：解关于、的方程： 解得， 所以， （2）证明：在中，、、为边长 ∴， ∴ ， 同理：， ， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 考点02求一元一次不等式的解集 13．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 14．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】将方程组的两个方程相减得到，结合可得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 得，． ， ， 解得． 15．已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 【答案】 3 【分析】根据“一元一次不等式”的定义，确定未知数的值．然后，将的值代入原不等式，解出不等式的解集． 【详解】解：①求的值： 根据一元一次不等式的定义，我们得到： 由，解得，∴或． ∵， ∴． 综上，． ②解不等式： 将代入原不等式，得： ． ∴的值为，不等式的解集是． 故答案为①②． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和一元一次不等式的解法．解题关键是：先通过定义中“未知数次数为 1”和“系数不为”这两个条件，确定参数的值，再代入求解不等式． 16．已知二元一次方程的一个解为，则关于b的不等式的解是_____________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次不等式，正确的计算是解题的关键． 由方程的解可得，代入不等式并化简，求解关于的不等式即可． 【详解】解：∵ ， 是方程 的解， ∴． 代入不等式 ，得 ， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组得到，再将值代入不等式得到关于的不等式，求一元一次不等式解集即可． 【详解】解：关于的二元一次方程组， 由①②得，解得， 由①②得，解得， 方程组的解满足不小于， ， 解得． 18．解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】 ；非负整数解有 【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集为， 它的所有非负整数解为． 19．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（）根据新定义的含义解答即可； （）根据新定义的含义建立不等式即可解答； （3）根据新定义的含义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 20．对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 【答案】(1)；3 (2) 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）由题意可得 ，按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：由题意得 ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得． 21．若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？ 【答案】代数式的值为 【分析】先解一元一次不等式得到解集，找出最小整数解，将最小整数解代入方程求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的最小整数解为， 把代入方程得， 化简得， 解得， 把代入得， ∴代数式的值为． 22．已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先把看作常数求出两个不等式的解集，再根据“不等式的解都是关于x的不等式的解”列不等式进行计算即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵不等式的解都是关于x的不等式的解， ，解得， 的取值范围为． 考点03在数轴上表示不等式的解集 23．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， 解得：， 把不等式的解集在数轴上表示为 24．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 【答案】4 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 25．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；解集在数轴上表示见解析 【分析】根据移项、合并同类项、系数化为步骤依次求解即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解集在数轴上表示如图所示． 26．求解不等式 (1) (2)，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，图见详解 【详解】（1）解：去括号得， 移项合并得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 系数化为1得； 27．若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【详解】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 考点04求一元一次不等式的整数解 28．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 29．用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......，共有9个． 30．已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（   ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查整式的性质，不等式的性质，熟练掌握整式的性质及不等式的性质是关键． ①根据为正整数，可得不等式，即，再结合，，，均为自然数，即可得到结论； ②当时，确定整式M的形式，再结合不等式的情况判断整式是否唯一； ③根据三次三项式的条件，确定各项系数的取值，然后计算满足条件的整式个数即可． 【详解】解∶①， ， 为正整数， ， ， ， 又，，，都为自然数， ，，，中至少有一个为0， ， 故①正确； ②当时，整式，不等式，即， 因为不等式有且只有1个正整数解，且为正整数，为自然数， 当时，，即，要使不等式有且只有1个正整数解，则， 解得， 又因为为自然数， 所以，此时整式， 当时，不等式的没有正整数解， 所以满足条件的整式唯一，故②正确； ③是三次三项式， ， 整式，且，， 是三次三项式，且为正整数， ，，中有且只有1个为0， 当时，满足条件的组合有共个， 当时，满足条件的组合有共9个， 当时，满足条件的组合有共3个， 所以满足条件 和 的三次三项式共有（个）， 故③正确． 故选：D． 31．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 32．求不等式的负整数解． 【答案】，， 【分析】按照去分母、去括号、移项及合并同类项、系数化为求解不等式即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为得：， 该不等式的负整数解为，． 33．解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 【答案】；画图见解析；非负整数解为0，1，2，3 【分析】先解不等式，求得，然后将解集在数轴上表示出来，由图即可求出非负整数解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：； 将解集表示在数轴上如图所示： 不等式的非负整数解为0，1，2，3． 34．若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 【答案】a的值为4． 【分析】此题可先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值． 【详解】解：由不等式得， ， 所以最小整数解为， 将代入中，得， 解得． ∴a的值为4． 35．我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对新定义的理解与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）利用加减消元法求出相应的，的值再根据新定义求出x，y的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 由得， 由得， 解得， ， 把代入得， 解得， ． 36．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 考点05求一元一次不等式解的最值 37．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 38．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 39．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 40．山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽___________盒． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽，利用总利润每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进黄米粽盒． 故答案为：． 41．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 42．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 43．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 44．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 45．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． (3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？ 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元 (2)方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶；方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶；方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶． (3)这批消毒液最多可使用5天 【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共6000ml，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． （3）设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液，利用使用时间=购买免洗手消毒液的总量÷（全校师生人数×10），即可得出w关于m的关系式，再利用性质及m，均为正整数，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶． 方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶． 方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶． （3）解：设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液． 依题意得： ∵ ∴w随m的增大而减小 又∵m，均为正整数 ∴当时，w取得最大值，最大值= 答：这批消毒液最多可使用5天． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 考点06用一元一次不等式解决实际问题 46．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 【答案】A 【分析】根据不等式中各项的含义，分别分析答对、答错、未答题的计分规则，从而确定评分标准． 【详解】解：已知一共20道题，2题未答，答对道，则答错的题目数量为， 不等式中： 表示答对道题，1题得5分的总得分； 表示答错道题，1题扣2分的扣分； 未答的2道题，式子中未涉及加减，说明不答题不给分也不扣分， 因此评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． 47．年国家进一步实施家电以旧换新补贴政策：购买一级能效家电时，旧家电由商家回收后，按以旧换新折价后售价的给予补贴，单件补贴不超过元．小明家准备购买一台一级能效空调，经商家评估后，小明家旧家电可以折价元，享受补贴后实际付款不超过元．求这台空调的售价最高是多少元？ 【答案】元 【分析】设这台空调的售价为元，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】解：设这台空调的售价为元， 根据题意，得， 解得， 当时，补贴金额为（元）， ∵， ∴未超过补贴上限， ∴该空调的最高售价为元． 48．年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展．一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘．经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵元，某日线上订单显示卖出箱赣南脐橙和箱南丰蜜橘，总销售额为元． (1)求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元； (2)平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱． 【答案】(1) 一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元 (2) 南丰蜜橘至少需要卖出箱 【分析】（1）根据“单价差”和“总销售额”两个等量关系设未知数列方程求解单价； （2）根据总销售额的要求，设未知数列不等式求解，结合箱数为正整数得到最小销量． 【详解】（1）解：设一箱南丰蜜橘售价为元，一箱赣南脐橙售价为元， 根据题意可得，，解得； 答：一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元； （2）解：设南丰蜜橘需要卖出箱，则赣南脐橙卖出箱， 根据题意得：， 整理得， 解得， 的最小值为． 答：南丰蜜橘至少需要卖出箱． 49．为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知A种路灯的单价是40元/盏，B种路灯的单价是60元/盏，该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 【答案】最多可以购买盏B种路灯 【分析】设可以购买盏B种路灯，则可以购买盏A种路灯，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】解：设可以购买盏B种路灯，则可以购买盏A种路灯， 由题意可得：， 解得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为， ∴最多可以购买盏B种路灯． 50．2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】(1)该班的学生人数为45人. (2)至少购买了甲树苗80棵. 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 51．为落实《长清区创建全国县域义务教育优质均衡发展区实施方案（2022-2026年）》要求，保障校园体育场地设施与器材设备达标，长清区某中学计划补充采购足球和篮球，用于课后延时服务、班级联赛及校级体育课程创新教学等．经对接长清区教育装备定点供应商询价得知：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． (1)求每个足球和每个篮球的售价； (2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 【答案】(1)每个足球50元，每个篮球80元； (2)最多可买43个篮球． 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元，建立二元一次方程组求解即可； （2）设买m个篮球，则购买个足球，根据总费用不超过4000元，建立一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元， 由题意得， 解得， 答：每个足球50元，每个篮球80元； （2）解：设买m个篮球，则购买个足球， 由题意得， ， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取43． 答：最多可买43个篮球． 52．某公司有A，B型号两种客车出租，它们的载客量和租金如表： 客车 A型号 B型号 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 900 750 已知某中学计划租用A，B型号客车共10辆，同时送八年级师生到柳州参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过8600元． (1)最多能租用多少辆A型号客车？ (2)若八年级的师生共有380人，请写出所有可能的租车方案 【答案】(1) 最多能租用辆型号客车 (2) 共有两种可能的租车方案：方案一、租用型号客车辆，型号客车辆；方案二、租用型号客车辆，型号客车辆 【分析】（1）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据该中学租车的总费用不超过8600元建立不等式求解即可； （2）根据八年级的师生共有380人可知所有客车的载客量之和要不低于380，据此建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 依题意，得， 解得， 为非负整数 ， 的最大值为， 答：最多能租用辆型号客车； （2）解：依题意，得， 解得， 又为整数，且， 或， 当时，，即租用型号客车辆，型号客车辆 ； 当时，，即租用型号客车辆，型号客车辆 ； 答：共有两种可能的租车方案：方案一、租用型号客车辆，型号客车辆；方案二、租用型号客车辆，型号客车辆． 53．深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 【答案】(1) 最少生产100件智能手表 (2) 安排生产100件智能手表，50件智能手环可使总成本w最小 【分析】本题考查了一元一次不等式与一次函数的实际应用；解题的关键是根据题意列出不等式和函数关系式，结合函数的增减性求解最值． （1）设智能手表的生产数量为件，根据“智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍”列出不等式求解； （2）根据成本公式建立总成本关于的一次函数，结合函数的增减性和（1）中的取值范围，求的最小值． 【详解】（1）解：设生产智能手表件，则生产智能手环件． 由题意得：, , , ∴， 答：该公司最少生产100件智能手表． （2）解：由题意得：， ， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最小值， 此时． 答：当生产智能手表100件、智能手环50件时，总成本最小． 54．小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 【答案】(1)最多可以游22次 (2)当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 【分析】（1）设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据游泳的总预算为1000元列不等式解答即可； （2）分，及三种情况，求出m的取值范围或m的值，进而即可根据游泳的次数选择出省钱的收费方式． 【详解】（1）解：设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为22． 答：小铭用会员卡支付最多可以游22次． （2）解：会员卡支付的表达式为（，为正整数）； 按次支付的表达式为（，为正整数）； 分三种情况比较： ①当时，， 解得， 因为m为正整数，所以当时，会员卡支付更合算； ②当时，， 解得：， m为正整数，因此不存在两种方式费用相等的次数； ③当时，， 解得：， 因为m为正整数，所以当时，按次支付更合算． 所以，当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 55．综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 【答案】(1)35件 (2)1630元 (3)当 时，小号数量35 个，利润最大．当时，小号数量可为 35∼40 个；当时，小号数量40 个时，利润最大． 【分析】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，然后根据题意列不等式求解即可； （2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，然后根据题意列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求最值即可； （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，易得则文创店所获得的利润，然后分、和三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个， 由题意可得：，解得：， 所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件． （2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元． （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大． 当时，，小号数量可为 35∼40 个； 当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大． 考点07用一元一次不等式解决 几何问题 56．若关于x的不等式（k，b为常数，）的解集是．若在一次函数的图象上，其中，请写出一个可能符合条件的点M______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解集的几何意义和一次函数图像上点的坐标特征，通过不等式确定，且，假如，则，得出一次函数解析式，再取，即可得出n的值． 【详解】解：，即， ∵关于x的不等式的解集是．不等号改变符号， ∴，且， 假如，则， 此时函数表达式为：， 取，则， 则， 故答案为：（答案不唯一） 57．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 【答案】 【分析】本题考查多边形内角和定理，一元一次不等式的应用和规律探究，解题关键是得到每剪一次所有多边形总内角和增加，其余多边形最小内角和至少为，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意，每剪一刀，所有多边形的内角和共增加． 设一共剪了刀，则共得到个多边形，所有多边形的内角和总和为． 已知共有7个十一边形，根据多边形内角和定理，7个十一边形的内角和总和为 根据题意得， 不等式两边同除以，得 整理得． 故至少要剪刀． 58．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 59．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 60．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 61．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问： (1)求点C的坐标． (2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由． (3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)C（﹣16，6）； (2)和的面积比不会改变，始终等于； (3)． 【分析】（1）利用非负数的性质构建方程组求出a，b的值即可解决问题． （2）分别求出和的面积即可解决问题． （3）根据四边形的面积小于四边形面积的一半，构建不等式解决问题即可． 【详解】（1）， 且， ，解得， ， ∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C， ． （2）， ∴点 M，N 始终在，上运动， 当运动时间为 t 时，，， 则， ， 由图可知：， ， 和的面积比不会改变，始终等于． （3）由图可知， ，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 考点08一元一次不等式与一次函数 62．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 63．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 64．如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 65．如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，点的左侧，直线低于直线， ∴ 不等式的解集为． 66．如图，直线和直线相交于点，当时，x的取值范围是___． 【答案】/ 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是． 67．已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）利用图象判断时，的取值范围． 【详解】（1）解：联立一次函数与，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，在点以及点的右侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 68．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入得出，然后再代入进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得， 设点，进而建立方程进行求解即可； （3）根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 69．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 70．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①点坐标为或；②，，， 【分析】（1）观察两条直线可知从交点向右直线在上方，解答即可； （2）先求出两条直线的交点，可知从交点向右直线在上方，且在x以下，即可求出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点，则点，可得，当求出解即可；分别求出和时的解，再根据在交点的两边都有符合题意的部分得出当或时，，然后求出整数解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 所以不等式的解集是； （2）解：当时，， 解得， ∴当时，； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 即点， ∴当时，， ∴当时，， ∴当时，， 即自变量的取值范围是； （3）解：当时，， ∴点． ∵点B，点O恰好关于点D对称， ∴点． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线：． 设点，则点， ∴． ①∵， ∴， 解得或，则或， ∴点P的坐标为或； ②时，解得或； 时，解得或， 则当或时，， 所以或，则， 整点P的坐标是，，，． 考点09求不等式组的解集 71．解下列不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①， ， ， ， ， ， ， 解不等式②， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为 ． （2）解：解不等式①， ， ， ， ， ， 解不等式②， 去分母得，， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为． 72．解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为：， 73．解不等式或不等式组 (1)解不等式：． (2)解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出． 【答案】(1) (2)，数轴见详解 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法求解不等式即可 （2）根据一元一次不等式组的解法，先分别求解每个不等式，再找出它们解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， ，得 得，得． （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 74．已知关于x，y的方程组的解x，y满足． (1)求a的取值范围； (2)已知，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先推导出，得到，解得，即可解答； （2）先推导出，得到，解得，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得 ， 由，得 ， 解得； （2）解：由，得， ， ， 解得． 75．已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，直接把代入计算，即可作答． （2）结合一次函数的性质以及一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限，列出不等式组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过， ∴， ∴， 解得． ∴． （2）解：∵该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限， ∴， ∴． 76．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可． （2）根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来即可． （4）根据（3）可得出原不等式组的解集． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：根据（3）可知原不等式组的解集为． 77．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，再解不等式组，最后验证方程的解是否在不等式组的解集内，判断是否满足 “约定方程” 的定义； （2）先解不等式组得到解集，再求出方程的解，根据 “方程的解在不等式组解集内” 列不等式，求解a的取值范围； （3）先求出两个方程的解，再解含参数的不等式组（需对参数的符号进行分类讨论），根据 “两个方程的解都在不等式组的解集内” 列不等式，求解的取值范围． 【详解】（1）解：解方程得， 不等式组的解集为 ， 方程是不等式组的“约定方程”； （2）解方程得， 不等式组的解集为， 关于的方程是不等式组的“约定方程”， ； 解得； （3）解方程得， 解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， 当时，不等式组的解集为， 方程的解和均不满足，不符合题意； 当时，不等式组的解集为， 上述两方程都是不等式组的约定方程， 解得， 的取值范围为． 78．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； （3）解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 考点10列一元一次不等式组 79．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 80．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 81．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 82．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 83．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 84．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 考点11不等式组的应用 85．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 86．某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 87．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 88．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 89．根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是12元 (2)该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个，根据题意列出不等式组，求出m的范围，确定方案． 【详解】（1）设每个“自然风景”冰箱贴的进价是元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个． 根据题意，得 解得． 为正整数， 的取值为，，． 当时，； 当时，； 当时，． 答：该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 90．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】(1)奖品的单价是元，奖品的单价是元； (2)，最少费用w的值是1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 91．某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 【答案】(1)①A产品23件，B产品17件；②A产品24件，B产品16件；③A产品25件，B产品15件 (2)方案③利润最大 【分析】（1）设生产A产品x件，B产品件，然后列出不等式组并求出它的解集，由此可确定出具体方案； （2）根据题意得到利润的表达式，再根据一次函数的性质得到最值即可． 【详解】（1）解：设生产A产品x件，B产品件，根据题意得： ， 解得 ， 方案：①A产品23件，B产品17件； ②A产品24件，B产品16件； ③A产品25件，B产品15件； （2）设利润为，则， ， 随的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，利润最大；即方案③利润最大． 92．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 93．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 94．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 【答案】(1) (2)购进60千克甲种蔬菜、40千克乙种蔬菜时利润最大，最大利润为520元 【分析】（1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可． （2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，得方程组： ， 解得； ∴． （2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1160元又不多于1168元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲58千克，乙42千克； 方案2：甲59千克，乙41千克； 方案3：甲60千克，乙40千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元． 95．春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． (2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． (3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元． 【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价． （2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案． （3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式与不等式组11大题型归类 考点01 不等式及其基本性质 考点02 求一元一次不等式的解集 考点03 在数轴上表示不等式的解集 考点04 求一元一次不等式的整数解 考点05 求一元一次不等式解的最值 考点06 用一元一次不等式解决实际问题 考点07 用一元一次不等式解决几何问题 考点08 一元一次不等式与一次函数 考点09 求不等式组的解集 考点10 列一元一次不等式组 考点11 不等式组的应用 考点01 不等式及其基本性质 1．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 4．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．若，则______．（填“”，“”或“”） 7．若，，则的取值范围是_____． 8．已知整数，，满足，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，则所有可能的值为______． 9．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是____________（填序号）． 10．已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值 11．已知实数、、满足，，求证：． 12．（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 考点02求一元一次不等式的解集 13．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围为________． 15．已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 16．已知二元一次方程的一个解为，则关于b的不等式的解是_____________． 17．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 18．解不等式，并写出它的所有非负整数解． 19．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 20．对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． (1)_________，_________； (2)若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 21．若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？ 22．已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 考点03在数轴上表示不等式的解集 23．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为 （    ） A． B． C． D． 24．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 25．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 26．求解不等式 (1) (2)，并把它的解集表示在数轴上． 27．若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 考点04求一元一次不等式的整数解 28．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 29．用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 30．已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（   ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 31．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 32．求不等式的负整数解． 33．解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 34．若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 35．我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 36．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 考点05求一元一次不等式解的最值 37．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 38．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 39．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 40．山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽___________盒． 41．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 42．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 43．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 44．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 45．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． (3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？ 考点06用一元一次不等式解决实际问题 46．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 47．年国家进一步实施家电以旧换新补贴政策：购买一级能效家电时，旧家电由商家回收后，按以旧换新折价后售价的给予补贴，单件补贴不超过元．小明家准备购买一台一级能效空调，经商家评估后，小明家旧家电可以折价元，享受补贴后实际付款不超过元．求这台空调的售价最高是多少元？ 48．年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展．一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘．经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵元，某日线上订单显示卖出箱赣南脐橙和箱南丰蜜橘，总销售额为元． (1)求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元； (2)平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱． 49．为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知A种路灯的单价是40元/盏，B种路灯的单价是60元/盏，该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 50．2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 51．为落实《长清区创建全国县域义务教育优质均衡发展区实施方案（2022-2026年）》要求，保障校园体育场地设施与器材设备达标，长清区某中学计划补充采购足球和篮球，用于课后延时服务、班级联赛及校级体育课程创新教学等．经对接长清区教育装备定点供应商询价得知：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． (1)求每个足球和每个篮球的售价； (2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 52．某公司有A，B型号两种客车出租，它们的载客量和租金如表： 客车 A型号 B型号 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 900 750 已知某中学计划租用A，B型号客车共10辆，同时送八年级师生到柳州参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过8600元． (1)最多能租用多少辆A型号客车？ (2)若八年级的师生共有380人，请写出所有可能的租车方案 53．深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 54．小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 55．综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 考点07用一元一次不等式解决 几何问题 56．若关于x的不等式（k，b为常数，）的解集是．若在一次函数的图象上，其中，请写出一个可能符合条件的点M______． 57．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 58．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 59．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 60．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 61．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问： (1)求点C的坐标． (2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由． (3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 考点08一元一次不等式与一次函数 62．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 63．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 64．如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 65．如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 66．如图，直线和直线相交于点，当时，x的取值范围是___． 67．已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 68．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 69．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 70．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 考点09求不等式组的解集 71．解下列不等式组 (1) (2) 72．解不等式组． 73．解不等式或不等式组 (1)解不等式：． (2)解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出． 74．已知关于x，y的方程组的解x，y满足． (1)求a的取值范围； (2)已知，求b的取值范围． 75．已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 76．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 77．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 78．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 考点10列一元一次不等式组 79．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 80．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 81．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 82．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 83．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 84．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 考点11不等式组的应用 85．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 86．某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 87．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 88．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 89．根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 90．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 91．某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 92．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 93．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 94．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 95．春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $