专题02 三角形的证明模型、动态问题6大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 以三角形证明6大模型为核心，通过题型归类构建"模型识别-辅助线构造-推理应用"的完整方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线性质模型|7题|角平分线性质+垂线构造|从性质定理到距离转化| |角平分线垂直平分线模型|7题|垂直平分线性质+尺规作图|性质应用到作图推理| |平行平分等腰模型|8题|平行+角平分线→等腰三角形|平行线性质与角平分线的综合| |一线三垂直模型|5题|直角全等构造+线段转化|直角条件下的全等证明| |梯形底角角平分线模型|8题|梯形中角平分线+中点性质|梯形性质与角平分线结合| |动态问题|6题|分类讨论+运动轨迹分析|静态模型到动态应用拓展|

专题02 三角形的证明模型、动态问题6大题型归类 考点01 角平分线性质模型 考点02 角平分线垂直平分线模型 考点03 平行平分等腰模型 考点04 一线三垂直模型 考点05 梯形底角角平分线模型 考点06 动态问题 考点01 角平分线性质模型 1．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴ ． 2．如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 【答案】5 【分析】过点作于，设为，根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点作于， 设为， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ， 解得， ∴． 3．如图，， 平分，，则点 D 到的距离为______． 【答案】3 【分析】根据角平分线的性质即可得出结果. 【详解】解：∵ 平分，， ∴点到的距离等于点到的距离，， ∵，即， ∴点到的距离即为的长，为； 故点 D 到的距离为. 4．如图；在中，，，．的平分线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的平行线交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再证明与全等，由全等的性质可得，设出未知数使用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，． 根据勾股定理． ∵，，是的平分线， ∴， 在与中， 由， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴， 设， 则， 又∵， 则， 在中，， ∴，解得， ∴的长为． 5．如图，在等腰中，，平分，且与相交于点，过作交的延长线于，连结，若，则的长为________． 【答案】/ 【分析】延长交的延长线于点，证，得，再证，得，设，则，得出是等腰直角三角形，等面积法求得，勾股定理求得的长，进而即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵平分， ∴， 又∵等腰中，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 6．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）证明得，根据勾股定理求出，则，在中，由勾股定理求； （3）根据角平分线定义及等边对等角得，证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴是等边三角形． 7．如图，在中，、的平分线相交于点． (1)求证：点在的平分线上； (2)连接，若，，，则点到三角形三条边的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质，易证，再根据角平分线的判定，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质，可得，再根据勾股定理，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，于点， ，的平分线相交于点， ， ， 又于点，于点， 点在的平分线上； （2）解：延长交于， ，点在的平分线上， ， ，，， ， 在中，， 在中，， ，解得， 由（1）可知，点到三角形三条边的距离相等，即的长， 点到三角形三条边的距离是． 考点02角平分线垂直平分线模型 8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交边于点E．若，则的长为（   ） ​ A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图中的计算问题、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握用尺规作线段垂直平分线的方法是解题的关键． 设交于D，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：设交于D，连接， 由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 9．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，然后利用三角形的周长计算方法解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为18， ∴ ∴， ∴， ∵, ∴， 故选：B． 10．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知：，结合，得到，进而利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为__________． 【答案】8 【分析】延长BN交AC于D，根据AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，得到∠NAB=∠NAD，∠ANB=∠AND=90°，结合AN共用证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AD=AB，BN=ND，根据三角形中位线定理得到CD=4，求出AD的长，即得AB的长． 【详解】解：延长BN交AC于D， ∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N， ∴∠NAB=∠NAD，∠ANB=∠AND=90°， ∵在△ANB和△AND中， ∴△ANB≌△AND(ASA)， ∴AD=AB，BN=ND， ∵M是△ABC的边BC的中点， ∴DC=2MN=4， ∵AC=12， ∴AD=AC-CD=8， ∴AB=8 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查是三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，垂线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，垂线的定义． 12．如图，在中，已知，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为__________；当是以为底的等腰三角形时，边的长为___________． 【答案】 【分析】当是以为底的等腰三角形时，论证即可求解；当是以为底的等腰三角形时，过点作于，设，利用列方程求解即可. 【详解】解：①∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴； ②当是以为底的等腰三角形时，过点作于， 设， ∵， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴. 13．阅读与思考 下面是小陈同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 勾股分割点 【概念理解】若点，把线段依次分成三条线段，，，且这三条线段能构成一个直角三角形，则称点，为线段的勾股分割点． 例：如图1，已知线段，点，在线段上，且点在点左侧，此时，，则，因为，，所以，所以点，为线段的勾股分割点． 【问题解决】如图2，在中，，，点在斜边上，连接，作交于点，求证：点，是线段的勾股分割点． 证明：如图，过点作，且，连接，，则． 因为，所以． 在和中，，，， 所以．所以．（依据） 因为，所以，即． …… 任务： (1)【问题解决】中的“依据”是指_____； (2)补全【问题解决】中的证明过程． (3)如图，在中，，，是边上的中线，点在线段上，请你在线段上找一点，使得点，为线段的勾股分割点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】(1)全等三角形的对应边相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得出，利用证明，进而得出，，，利用勾股定理即可得出点，是线段的勾股分割点； （3）根据（2）中结论，作等腰直角，使，交于，即为所求． 【详解】（1）解：∵是由所得， ∴判定依据为：全等三角形的对应边相等． （2）证明：如图，过点作，且，连接，，则． ∵， ∴． 在和中，，，， ∴． ∴．（全等三角形的对应边相等） ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点，是线段的勾股分割点． （3）解：如图，作，截取，连接，交于，点即为所求． 由作图可知，是等腰直角三角形， ∴， 由（2）可知，点，是线段的勾股分割点， ∴点即为所求． 14．如图，在中，，平分，交于点D． (1)若，求的度数； (2)尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后由平角的定义可得答案； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：如图所示，即为所求． 考点03平行平分等腰模型 15．如图所示：在中，平分，平分，经过点O，与相交于点E，F，且，已知，则的周长是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，同理可证，再由三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴的周长是， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 16．如图，在中，平分，平分，且与相交于点O， 过O作，分别交、于E、F． (1)试判断、、之间的关系，并说明理由； (2)若的周长比的周长大，O到的距离为，的面积为_________． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出，，根据等腰三角形的判定得出，，据此即可解答； （2）首先根据的周长比的周长大，可求出长，再根据角平分线的性质及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）解：的周长比的周长大， ， ， 到的距离为，又O在的角平分线上， 到的距离等于O到的距离，即为， 的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形的面积，求出是解此题的关键． 17．已知，如图1：中，、的平分线相交于点，过点作交、于、 (1)直接写出图1中所有的等腰三角形．指出与、间有怎样的数量关系？ (2)在(1)的条件下，若，，求的周长； (3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问(1)中与、间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由； (4)如图3，、的外角平分线的延长线相交于点，请直接写出，、，之间的数量关系．不需证明． 【答案】（1）等腰△OBE和等腰△OCF；EF=BE+CF；（2）25；（3）见解析； （4）EF=BE+CF+MN． 【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）同（1）的方法即可得出结论； （4）利用角平分线和平行线的即可得出结论； 【详解】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线， ∴∠EBO=∠CBO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO=∠BOE， ∴∠EBO=∠EOB， ∴BE=OE， ∴△BEO是等腰三角形， 同理：△CFO是等腰三角形， EF=OE+OF=BE+CF； （2）由（1）知，OE=BE，OF=CF， ∴AEF的周长为AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=25； （3）（1）中结论不成立，新结论为：EF=BE-CF，理由： ∵BO是∠ABC的平分线， ∴∠ABO=∠CBO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO=∠EOB， ∴∠ABO=EOB， ∴OE=BE， 同理：CF=OF， ∴EF=OE-OF=BE-CF， （4）∵BO是∠CBE的平分线， ∴∠EBO=∠CBO， ∵EF∥BC， ∴∠EMB=∠CBO， ∴∠EBM=∠EMB， ∴BE=EM， 同理：FN=CF， ∴EF=EM+MN+FN=BE+MN+CF． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，判断出BE=OE是解本题的关键． 18．阅读下面材料，完成相应任务： 尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形． 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法． 已知：求作：的平分线． 小明的作法：如图①，在射线上取点，，分别以为圆心；，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线． 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练． 任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出证明过程． 任务二：根据小华的思路完成下列问题： （1）根据小华的作法，证明是的平分线； （2）拓展训练：如图③，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．当，，求的周长． 【答案】任务一：见解析；任务二：（1）见解析；（2）13 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：由作图得，，再结合即可证明； 任务二：（1）由题意可得，由平行线的性质可得，再由等边对等角可得，从而得出，即可得证； （2）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出．同理可证，再由三角形周长公式计算即可得解． 【详解】任务一：由作图得：，， ∵， ∴； 任务二： （1）∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即是的平分线． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理可证：． ∴的周长． 19．如图：，点P是角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C，于点D，若． (1)求证：是等腰三角形． (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）根据OP平分AOB，可得POB=POA，再由PC//OA，可得POA=OPC，从而得到POB=OPC，即可求证； （2）过点P作PEOB ，垂足为E，由（1）和三角形的外角性质，可得PCE=30°，再根据直角三角形的性质，可得PE=PC=3，然后根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵OP平分AOB， POB=POA， 又∵PC//OA POA=OPC POB=OPC， OC=PC △OPC是等腰三角形； （2）解：过点P作PEOB ，垂足为E， ∵OP平分AOB，AOB=30° POC=AOB=15° 又∵POC=POA=OPC=15° ∴PCE=POC+OPC=15°+15°=30° ∵PEOB PEC=90° PE=PC=×6=3 ∵OP平分AOB，PEOB， PDOA PD=PE=3 即PD=3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 20．如图，已知，点P射线上的一个动点，过点P作，交于点C，点D在内，且满足． （1）当时，连接，求的长； （2）若点M在射线上，请写出一个的值，使得在点P的运动过程中，总有，并证明． 【答案】（1）CD=6；（2）OM=4，总有MC=MD 【分析】（1）由题意易得∠OPC=∠APD=60°，则有∠CPD=60°，进而问题可求解； （2）延长CP至点Q，使得PQ=PD，连接MQ，过点M作ME⊥CP于点E，过点M作MN⊥OB于点N，由（1）可得∠OPC=∠APD=∠CPD=60°，则有∠MPD=∠MPQ=120°，进而可得△MPQ≌△MPD，然后可得MQ=QD=MC，由∠MNC=∠NCE=∠MEC=90°可得四边形MNCE是矩形，则有CE=MN=2，最后根据含30°角的直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）如图所示： ∵PC⊥OB，∠AOB=30°， ∴∠OPC=60°， ∵∠OPC=∠APD=60°， ∴∠CPD==60°， ∵PC=PD， ∴△CPD是等边三角形， ∴PC=CD， ∵PC+PD=4， ∴PC=CD=2； （2）延长CP至点Q，使得PQ=PD，连接MQ，过点M作ME⊥CP于点E，过点M作MN⊥OB于点N，如图所示： 由（1）可得∠OPC=∠APD=∠CPD=60°， ∴∠MPD=∠MPQ=120°， ∵MP=MP， ∴△MPQ≌△MPD（SAS）， ∴MQ=MD， ∵MC=MD， ∴MQ=MC， ∴EQ=EC， ∵PC+PD=4，CQ=PC+PQ， ∴CQ=4， ∴CE=2， ∵∠MNC=∠NCE=∠MEC=90°， ∴四边形MNCE是矩形， ∴CE=MN， 在Rt△OMN中，∠AOB=30°， ∴OM=2MN=4， ∴当OM=4时，总有MC=MD． 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形及矩形的判定与性质，熟练掌握含30°角的直角三角形及矩形的判定与性质是解题的关键． 21．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请仔细阅读，并帮助小明完成以下学习任务：    (1)小明得出的依据是 ．（填序号） ①②③④⑤ (2)如图2，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点P，求证：． (3)在（2）的条件下，如图3，若，，当有一个内角是时，的面积是 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3)8或 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）在上截取，连接，由“”可证，可得； （3）延长交于点，由“”可证，可得，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ， 又， ， ， ∴小明得出的依据是． 故选：②； （2）如图2，在上截取，连接，    ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ； （3）由（2）可知， ， ， ， ， 的平分线交于边上点P， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图3，延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 若时，则， ∴(不合题意舍去)； 若时，则， 如图4，过点作于于，    ∴， ∵， ∴， ∴； 若时， 如图5，过点作于，    ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 22．如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG． （1）求证：OC是∠AOB的平分线． （2）若PF∥OB，且PF＝8，∠AOB＝30°，求PE的长． 【答案】（1）详见解析；（2）4 【分析】（1）利用“HL”证明RtPFD和RtPGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可． （2）根据平行线的性质可得∠PFD＝∠AOB＝30°，在RtPFD中，利用30°所对的直角边是斜边的一半求出PD即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：在RtPFD和RtPGE中， ， ∴RtPFD≌RtPGE（HL）， ∴PD＝PE， ∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线． （2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°， ∴∠PFD＝∠AOB＝30°， 在RtPDF中，． 【点睛】此题考查的是角平分线的判定、全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质，掌握角平分线的性质、全等三角形的判定与性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键． 23．如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据是的角平分线，可得，再根据所对直角边是斜边的一半，得出，利用勾股定理可求出，同理：，即可得出结论； （2）同（1）的方法得到，再根据证明，得出，则，即可得出结论； （3）同（2）的方法得到，根据等量代换可得． 【详解】解∶ （1）是的角平分线， ， ， ， 在中， 设， 则， 由勾股定理得 同理：    （2）（1）中结论仍然成立，理由∶ 如图2， 过点 C作于 F，于 G， ∴， ∵， ∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， (3)结论为∶ 理由∶ 如图3， 过点C作于 F，于 G， ∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，     考点04一线三垂直模型 24．如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用角相等和边相等证明，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE的长度． 【详解】解：由题意可知：∠ABE=∠AED=∠ECD=90°， ，， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路． 25．如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题．    (1)填空： 度；若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度． (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向过程中，分别作于点M，于点N，图2中试说明． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向连续旋转到图3的位置，其它条件不变，则，，之间有什么关系？并说明理由． 【答案】(1)90，45 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平角的性质求出，根据平行线的性质得出； （2）根据等角的余角相等推出，，证明，可得结论； （3）结论：．证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， ， 当时，，， ， ， ， 故答案为：90，45． （2）证明：如图2中， 于，于， ，． 在中， ， 同理． 又， ，， 在和中， ， ， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，   ， ， 又， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 26．如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 27．如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)9 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对等边对等角得出相等的角，根据直角三角形的性质以及等量代换得出，即可得出结论； （2）延长、交于点，根据条件证明和，得出相等的边即可得出结论； （3）延长、交于点，设，，根据面积得出，，最后利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ，， ， ， ， 即平分； （2）证明：如图2，延长、交于点， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在和中 ，，， ， ； （3）证明：如图3，延长、交于点， 由（2）得：， ，， ， 设，， ，， ， （舍负）, 即． 28．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为．且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点于点E，求证：． （2）如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D．过点B作于点E．若，则的长为 ． 【方法应用】 （3）如图3，在中，，若，则的面积为 ． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； （2）同理（1）证明即可得到答案； （3）作于点E，证明即可得到答案； （4）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：6． （3）如图3，过点作于点E，则 ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． （4）的面积为10或4． 理由如下： 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图4，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图5，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 综上所述，的面积为10或4． 考点05梯形底角角平分线模型 29．如图，，是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件和平行线的性质可得，过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据是的中点，可得，根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，进而可得 【详解】如图，过点作于点， ,平分， ， 是的中点， 平分 故选A 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 30．如图，在四边形中，，平分且．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②为的中点； ③平分； ④； ⑤到的距离等于的一半． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】作于，证明和，即可得到，判断①； 根据判断②、⑤； 根据判断③； 根据全等三角形得到，判断④． 【详解】解：作于， 如图，则， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故①正确； ∴， ∴为的中点， 故②正确； ，故⑤正确； ∵ ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），全等的性质和综合（），角平分线的性质定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 31．如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（　　）    A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质； 过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；根据点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；根据即可判断①是否正确． 【详解】解：如图，过E作于F，      ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 而， ∴，故③错误； 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∴，故①正确． 综上，四个结论中成立的是①②④， 故选：A． 32．如图，在四边形中，平分且．有下列结论： ①；②为的中点；③平分；④；⑤到的距离等于的一半．其中正确的结论有___________． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的性质和判定．作于，证明和，即可得到，判断①；然后根据判断②⑤；根据判断③，根据全等三角形得到判断④解答即可． 【详解】解：作于， 如图，则， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，， ，即， 故①正确； ∴， ∴为的中点 故②正确； ，故⑤正确； ∵， 平分，故③正确； ， ， ， 故④正确． 故答案为： ①②③④⑤． 33．（1）如图1，四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线； （2）如图2，若将题（1）中“”改为“”，其它条件不变，题（1）的结论还成立吗？若成立请写出证明过程，若不成立，说明理由 （3）在（2）的条件下若，，，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）4 【分析】（1）如图，延长，交的延长线于点，可证，于是，，结合角平分线求证，于是，由三线合一，得是的角平分线； （2）成立．同（1）延长，交的延长线于点，可证，于是，得证，后续同（1）同理求证； （3）求证是等边三角形．由，得，解中，，求得． 【详解】（1）如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． 又， ∴． ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴ ∴是的角平分线．    （2）成立．同（1）延长，交的延长线于点，    ∵， ∴． ∴． 又， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴ ∴是的角平分线． （3）由（2）知，中，， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴ 中，∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 34．在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是的中点，平分． ①如图1，若，求证：平分； ②如图2，若，求的长． (1)小明发现第①小题只需要作辅助线，用全等的知识即可完成证明．老师看了小明的做法，说道：用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按老师的要求完成证明． (2)请完成第②小题． 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，推得，根据角平分线的判定定理即可证明； （2）在上截取，连接，判定△△，即可得出，，再判定△△，可得，进而得出． 【详解】（1）证明：过点作， ，， ，， ，，平分， ． 为的中点， ， ． 又，， 是的平分线； （2）解：如图2，在上截取，连接， 平分， ， 又， △△， ，， 又是的中点， ， ， ， ，， ， 又， △△， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的综合运用，角平分线的性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、解决． 35．课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）①先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得证； ②在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：（1）如图，过点作于点， ∵平分，，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分． （2）①∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴． ②如图，在上截取，连接， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 36．【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）E为线段的中点，理由见解析；（4）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质； （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）根据题意证得，得，根据线段垂直平分线的性质即可判定； （3）过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，有．作于点P，由角平分线的性质可得，证得，即可求证；（4）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴． 又∵，平分， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是的平分线； （2）∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A，E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段； （3）E为线段的中点； 理由：过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，如图， ∵， ∴． 作于点P，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ∴， ∴， ∴E为线段的中点； （4）在和中， ， ∴， 则 同理可证，则 ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． 考点06动态问题 37．如图，在等腰三角形中，，点是边上的中点，点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，交于，过作于，当三点共线，时，最小为，利用求解即可. 【详解】解：过点作于点，交于，过作于， ∵，点是边上的中点， ∴即：是的对称轴， ∴，， ∴， 当三点共线，时，最小为， ∴， ∴， 即：的最小值是. 38．在中，，点D，点E分别为延长线上一点且，连接． (1)如图1，当，时， ①求的长； ②尺规作图：作的角平分线，将线段绕点E顺时针旋转大小得到线段；（要求：保留画图痕迹，不写作法） ③问题②中，若射线与射线交于点G，则线段的长为 ； (2)，过C点作交于F点（不需要尺规作图），当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①；②见解析；③ (2)当为直角三角形时，的长为或 【分析】（1）①根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解，求出，再证是等边三角形，结合即可求解；②根据角平分线的作法作，根据作一个角等于已知角的方法，作；③证明，推出，再求出，进而即可求解； （2）分两种情况：时，过点E作于点G，通过证明，，为等腰直角三角形求解；当时，，为等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：①过点E作于点F， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②如图， ③∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵点E为延长线上一点， ∴点A，B，E不在一条直线上， ∴， 当时，过点E作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 综上，当为直角三角形时，的长为或． 39．在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设运动时间为，若的面积为，求与之间的关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上有一点，连接，若，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可计算出，则，利用勾股定理计算出，作差可得，进而得到点的坐标； （2）作于点，由面积法可计算出，因此； （3）延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设，通过导角可知，，则．由等腰三角形的性质和勾股定理可得，，，则，进而计算出，由勾股定理可得，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作于点， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点的坐标为． 40．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 41．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． (1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，则________； (2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； (3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值． 【答案】(1) (2)， (3)图见解析， 【分析】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解． （2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为． （3）连接，设，然后结合勾股定理分析求解． 【详解】（1），， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， 为边上的高， ， 故答案为：． （2），， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形，为底边上的高，则， ∵点在边上， ∴当时，取得最小值 ． （3）如图，连接， ，则， 设，则，， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 同理，当点落在下方时， ， ． 综上，的值为． 42．【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知在中，，，，点从点出发在直线上以速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，，设运动时间为． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：_______________，_______________． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为_______________； (4)【拓展应用】当的值为_______________秒时，的面积为． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，见解析 (3)3或13 (4)当t为或时，的面积为 【分析】（1）由证明可得出，的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， ∵， ， ，， ， ； （2）解：成立．理由如下： ∵，， ，， ， ∵，， ， ，， ， ； （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 综上所述，线段的长为3或； （4）解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上以速度运动，设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为或时，的面积为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02 三角形的证明模型、动态问题6大题型归类 考点归纳 考点01角平分线性质模型 考点02角平分线垂直平分线模型 考点03平行平分等腰模型 考点04一线三垂直模型 考点05梯形底角角平分线模型 考点06动态问题 考点专练 考点01角平分线性质模型 1.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D,过点D作DEBC交 AB于E,交AC于G,若EG=4,且BE=12,则GC的长为() E B A.6 B.7 C.8 D.9 2.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E,S.4Bc=45cm,AB=10cm,BC=8cm,则DE= cm. E B 3.如图，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=7cm,BD=4cm,则点D到AB的距离为 cm. B D 4.如图；在ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=I2.∠CAB的平分线交BC于点D,过点D作AB的 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 垂线，垂足为E,过点C作DE的平行线交AD于点F,则CF的长为 C 5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC,且与AC相交于点D,过C作CF⊥BD交 BD的延长线于F,连结AF,若BD=2,则BF的长为 A B 6.“立表测影"是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放 置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾"出的日影长度，由此判断季节或时间.如图，“表” AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长(BC的长)，某一节气，光线AM平分∠BAC,D为AC 上一点，连接MD,BD,MD⊥AC 泰 B (1)求证：BM=DM; (2)若“表”AB=6,AC=10,求CM的长； (3)若AM=CM,判断△ABD的形状，并说明理由， 7.如图，在ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线相交于点O. B (1)求证：点0在∠BAC的平分线上： (2)连接0A,若AB=AC=5,B0=4,A0=2,则点0到三角形三条边的距离是 考点02角平分线垂直平分线模型 2/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，在ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于BC长为半径作弧，两弧相交 2 于点M、N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°，则AB的长为() M B 7 A.5 B.6 C.7 D.8 9.如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于】AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作直 线MN,交BC于点D,连接AD,若△ADC的周长为18，BC=12,则AC的长为() B MX A.5 B.6 C.7 D.8 10.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E,分别以点E和点C为圆心、 大于】EC的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线AP交BC于点D.若∠B=35°，∠C=2LCAD,则 ∠BAE的度数为() D A.10 B.15° C.20° D.250 11.如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC,BNLAN于点，若AC=12,MN=2, 则AB的长为 3/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M 12.如图，在△ABC中，已知AB=6,BC=4,点D是AC的中点，DE⊥AC交AB于点E,连接EC.当 △BCE是以BC为底的等腰三角形时，边AC的长为 ;当△BCE是以CE为底的等腰三角形时，边 AC的长为 E 13.阅读与思考 下面是小陈同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务。 勾股分割点 【概念理解】若点M,N把线段AB依次分成三条线段AM,MN,BN,且 这三条线段能构成一个直角三角形，则称点M,N为线段AB的勾股分割点. 例：如图1，己知线段AB=12,点M,N在线段AB上，且点M在点N左侧， 此时AM=3,MN=4,则BN=5,因为AM2+MW2=32+42=25, BN2=52=25,所以AM2+MN2=BN2,所以点M,N为线段AB的勾股分 割点. A M N B 【问题解决】如图2，在Rt△ABC中 图1 ,AB=BC,∠ABC=90°，点M在斜边AC上，连接BM,作∠MBN=45°交 AC于点N,求证：点M,N是线段AC的勾股分割点. M 证明：如图3，过点B作 B B D 图2 图3 BD⊥BM,且BD=BM,连接CD,DN,则∠MBD=90°. 因为∠MBN=45°，所以∠DBN=∠MBD-∠MBN=90°-45°=45°=∠MBN 4/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在ADBN和△MBN中，BD=BM,∠DBN=∠MBN,BN=BN, 所以aDBN≌△MBN(SAS).所以DN=MN.(依据) 因为LABC=90°，所以LMBD-LMBC=LABC-∠MBC,即LDBC=LMBA 任务： (1)【问题解决】中的“依据”是指： (2)补全【问题解决】中的证明过程. (3)如图4，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD是BC边上的中线，点M在线段BD上，请你在 线段CD上找一点N,使得点M,N为线段BC的勾股分割点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作 法，标明字母) B 图4 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC,交AC于点D. D B (1)若∠ABC=60°，求∠ADB的度数； (2)尺规作图：在△ADB中，作AB边上的高DE.(保留作图痕迹，不写作法) 考点03平行平分等腰模型 15.如图所示：在ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,EF经过点O,与AB,AC相交于点E,F ,且EF∥BC,己知AB=5,BC=6,AC=7,则△AEF的周长是() B C A.11 B.12 C.13 D.14 16.如图，在ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,且BO与CO相交于点O,过O作EF∥BC, 分别交AB、AC于E、F. 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R (1)试判断EF、BE、CF之间的关系，并说明理由： (2)若ABC的周长比△AEF的周长大12cm,O到AB的距离为3cm,△0BC的面积为 17.已知，如图1：ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O,过点O作EF11BC交AB、AC于E、F (1)直接写出图1中所有的等腰三角形.指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ (2)在(1)的条件下，若AB=15,AC=10,求△AEF的周长； (3)如图2，若ABC中，∠B的平分线与三角形外角LACG的平分线CO交于点O,过O点作OE/1BC交 AB于E,交AC于F,请问(1)中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写 出三者新的数量关系，并说明理由； (4)如图3，∠ABC、∠ACB的外角平分线的延长线相交于点O,请直接写出EF,BE、CF,MN之间的 数量关系.不需证明. C G 图1 图2 图3 18. 阅读下面材料，完成相应任务： 尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图.无刻度的直尺不具有度量长度的功 能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线 段或两点之间的长度.尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构 造出符合要求的图形 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法， 已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线 小明的作法：如图①，在射线OA上取点C,E,分别以0为圆心；OC,OE长为 半径画弧，交射线OB于点D,F,连接CF,DE交于点P,过点P画射线OP,则射线 OP为∠A0B的平分线. 小华的思路：如图②，在OA上任取一点E,在E的右侧作射线EM,使得 ∠AEM=∠AOB,在射线EM上取一点P,使EP=OE,过点P画射线OP，,则射线OP是 6/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB的平分线. 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展 训练。 F B 图① 图② 任务一：小明的作法中，可以得出△OED≌△OFC,请你写出证明过程. 任务二：根据小华的思路完成下列问题： (1)根据小华的作法，证明OP是∠A0B的平分线： (2)拓展训练：如图③，在ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,，EF经过点O,与AB,AC相 交于点E,F,且EF∥BC,当AB=7,AC=6,求△AEF的周长， A B 图③ 19.如图：∠A0B=30°，点P是∠A0B角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C,PD⊥OA于 点D,若PC=6. B 0 O A (1)求证：△OPC是等腰三角形. (2)求PD的长 20.如图，己知∠A0B=30°，点P射线OA上的一个动点，过点P作PC⊥0B,交OB于点C,点D在 ∠AOB内，且满足∠OPC=∠APD,PC+PD=4. 7/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B (1)当PC=PD时，连接CD[,求CD的长； (2)若点M在射线OA上，请写出一个OM的值，使得在点P的运动过程中，总有MC=MD,并证明. 21.问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请仔细阅读，并帮助小明完 成以下学习任务： 如图1，OC平分∠AOB,点P在OC上，M,N分别是OA,OB上的点，OM=ON,求 证：PM=PN, 小明的思路：要证明PM=PM,只需证明△MOP≌△NOP即可. 证明：OC平分∠AOB,∠AOC=∠BOC. 又'OP=OP,OM=ON,∴.△MOP≌△NOP..PM=PN. M B 图1 图2 图3 (1)小明得出aM0P≌△N0P的依据是-.（填序号） ①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P,求 证：PC=PD. BE(2)的条件下，如到3，若4B=10,an∠P1B=,当△P8C有一个内角是45时，△P4D的面积 是 22.如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D,PE⊥OB于E.F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG,DF =EG. (1)求证：OC是∠AOB的平分线. (2)若PF‖OB,且PF=8,∠AOB=30°，求PE的长. 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 E GB 23.如图，已知∠A0B=60°，在∠A0B的平分线0M上有一点C(不与点0重合).将一个120°角的顶点 与点C重合，它的两条边分别与直线OA,OB相交于点D,E. 【初步把握】(1)如图1，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，求证：OD+OE=√30C: 【深入研究】(2)如图2，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立， 请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，线段OD,OE与OC之间又有 怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由. D M M D C C E E B 图1 图2 图3 考点04一线三垂直模型 24.如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED,BC=20,AB=8,则BE的长度为() D y B A.12 B.10 C.8 D.6 25.如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在ABC中，∠C=90°， AC=BC,试回答下列问题， 9/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)填空：∠1+∠2=-度；若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠1=_度。 (2)在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向过程中，分别作AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N,图2中试说 明MN=AM+BN. (3)三角尺ABC绕着点C按顺时针方向连续旋转到图3的位置，其它条件不变，则AM,BN，MN之间有 什么关系？并说明理由 26.如图①，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在ABC外作直线1，AM⊥I于点M,BN⊥1于 点N. 图① 图② (1)试说明：MN=AM+BN; (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=(90°<a<180°)，AC=BC,请问(1)中的结 论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 27.如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点F在AC上，连接BF与CD交于点G,且 CF=CG,过点A作AE⊥BF与BF的延长线交于点E. 图1 图2 (1)求证：BE平分∠ABC; (2)如图2，若AC=BC,求证：BF=2AE; (3)如图1，若AABE的面积为5，AB-AC=1,求AB+AC的值. 28.【问题背景】 ”一线三垂直”模型是”一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称 为“一线三垂直“模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形. 10/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点 D,BE⊥DE于点E,求证：△ADC≌△CEB. (2)如图2，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE于点 D,过点B作BE⊥CE于点E.若AD=9,BE=3,则DE的长为-· 【方法应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADC=90°，若CD=8,则△BCD的面积为- 【拓展迁移】 (4)如图4，在ABC中，AB=AC,BC=4,S。Bc=6,以AC为边向右侧作等腰直角三角形ACD,连接 BD,请直接写出△BCD的面积. 考点05梯形底角角平分线模型 29.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC,且LADC=I10°，则∠MAB=() C A.350 B.40° C.45° D.60° 30.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC且AB+CD=AD.下列结论正确的个数是 () ①∠AMD=90°； ②M为BC的中点； ③AM平分∠BAD; 0. ⑤M到AD的距离等于BC的一半， 11/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B A.5 B.4 C.3 D.2 31.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论：①∠AED=90°；② ∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD,四个结论中成立的是() 8 D A.①②④ B.①②③ C.③④ D.①③ 32.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC且AB+CD=AD.有下列结论： ①LAMD=90°；②M为BC的中点；③AM平分∠BAD;④S,ADM=)S带形HBcD: ⑤M到AD的距离等于 2 BC的一半，其中正确的结论有 D A 33.(1)如图1，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC,求证：AE是 ∠DAB的平分线； (2)如图2，若将题(1)中“∠B=∠C=90"改为“∠B+∠C=180°”，其它条件不变，题(1)的结论还成立 吗？若成立请写出证明过程，若不成立，说明理由 (3)在(2)的条件下若∠DAB=60°，DE=3,CD=2,求AB的长. 图1 图2 备用图 12/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是BC的中点，DE平分∠ADC. ①如图1，若∠B=∠C=90°，求证：AE平分∠DAB; ②如图2，若DE⊥AE,AB=5,CD=2,求AD的长. D C E 图1 图2 (1)小明发现第①小题只需要作辅助线EF上AD,用全等的知识即可完成证明.老师看了小明的做法，说道： 用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按老师的要求完成证明. (2)请完成第②小题， 35.课本再现 (1)如图(1)，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠BAD的平分线. 变式探究 (2)如图(2)所示，AB∥CD,AE是∠BAD的平分线，DE是∠ADC的平分线. ①求证：∠AED=90°； ②求证：AD=AB+CD, OB B 图(1) 图(2) 36.【发现】如图1，∠ABC=∠C=90,E为BC的中点，DE平分∠ADC,过点E作EF⊥AD,垂足为 F,连接AE。 D E B 图1 13/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：AE是∠DAB的平分线： (2)连接BF,求证：AE垂直平分线段BF; 【拓展】如图2，AB∥DC,∠BAD和∠ADC的平分线AE和DE相交于点E,过点E的直线与AB,DC 分别相交于点B,C(点B,C在AD的同侧). B E D 图2 (3)判断E是否为线段BC的中点，并说明理由： (4)若四边形ABCD的面积为16，△ABE的面积为2，则aCDE的面积是 考点06动态问题 37.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,BC=I2,点D是BC边上的中点，点M,N分别是AD和 AB上的动点，则BM+MN的最小值是() A.8 B.9.6 C.10 D.12 38.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,点E分别为BC,AC延长线上一点且AB=CD=DE,连接BE. B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当∠A=30°，BC=2时， ①求CE的长； ②尺规作图：作△DCE的角平分线CM,将线段EC绕点E顺时针旋转∠ABE大小得到线段EN;(要求： 保留画图痕迹，不写作法) 14/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③问题②中，若射线EN与射线CM交于点G,则线段MG的长为-； (2)AB=6,过C点作CF⊥BE交BE于F点（不需要尺规作图），当△BED为直角三角形时，求CF的长. 39.在平面直角坐标系中，A(0,9),B(-12,0),点C在x轴正半轴上，∠AB0=2∠0AC. B 图1 图2 图3 (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，动点W从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接OW,设运动时间为t,若 △AOW的面积为S,求S与t之间的关系式： (3)如图3，在(2)的条件下，在OW上有一点G,连接AG,若0G=0C,且3LB0G-4L0AG=90°，求 点G的坐标， 40.如图，平面直角坐标系中，直线AB:y=- x+b交y轴于点A,交x轴于点B(8,O). 2 D E B (1)求直线AB的表达式和点A的坐标： (2)直线1垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线I上一动点，且在点D的上方，设点P的纵 坐标为n ①用含的代数式表示△ABP的面积； ②当S。即=16时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若 存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 41.小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.如图，在。ABCD中，AN为 BC边上的商，-m,点M在AD边上，且BA=BM,E是线段4M上任意一点，连接BE,将△ABE沿 AN BE翻折得△FBE, 15/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E MF 冬① 图② 备用图 (向题解决：如图O,当LBAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，则4M AN (2)问题探究：如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM,求∠ABE的度数，并求出此 时m的最小值； (3)拓展延伸：当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD,根据题意在备用图中画出图形，并求 出m的值. 42.【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知 在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8cm,点D从点C出发在直线BC上以2cm/s速度运动，连接 AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,连接DE,CE,设运动时间为t(t>O). A B D B 图1 图2 备用图1 备用图2 (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段 BD与CE的数量关系与位置关系： (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1) 中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果CE=5cm,请直接写出线段 CD的长为 cm: (4)【拓展应用】当t的值为 秒时，△ABD的面积为14cm2. 16/16