专题01 三角形的证明13大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦三角形证明13大题型，以题载法构建从基础角度计算到综合证明的完整训练体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内角和与外角|1-34题|含平行线、折叠、多边形综合|从三角形内角和定理推导到多边形内外角应用| |等腰与等边三角形|35-79题|性质判定、存在性问题|从等角对等边基础证明到动态等腰三角形构造| |直角三角形|80-96题|含30°角性质、判定应用|结合勾股定理与特殊角性质解决综合问题|

专题01 三角形的证明13大题型归类 考点01 与平行线有关的三角形内角和问题 考点02 三角形内角和定理的应用 考点03 三角形折叠中的角度问题 考点04 三角形的外角的定义及性质 考点05 多边形问题 考点06 多边形内角和与外角和综合 考点07 根据等角对等边证明等腰三角形 考点08 等腰三角形的性质和判定 考点09 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 考点10 等边三角形的判定 考点11 等边三角形的判定和性质 考点12 含30度角的直角三角形 考点13 直角三角形的证明与应用 考点01与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 4．在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【答案】各方法证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键． 对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出． 【详解】证明： 对于①，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于②，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于③：作， 则， ， ， ， 5．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 6．如图，若，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 7．如图，直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质及三角形内角和定理，求出的度数是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， 在中，， ． 8．图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：____________________； (2)图2中，当，时，求的度数．（写出过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角的知识，． （1）利用三角形外角可得； （2）由（1）可得，， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由三角形外角性质可得， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 9．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 10．如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)110，80 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长交于点G，设、交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：110，80； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点G，设、交于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则 ∴，， 由题意可知，， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时， ， ∴， 如图，当时，，     ， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查平行线的判定与判定、三角形内角和定理及其推论、一元一次方程的几何应用，解题的关键是正确分类，找出相等关系列方程． 考点02三角形内角和定理的应用 11．已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A， ∵，三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， ∴A不符合题意； 对于选项B， ∵，设， 则，根据三角形三边关系判断不是三角形，更不是直角三角形， ∴B符合题意； 对于选项C， ∵，， ∴， 整理得， ∴，是直角三角形， ∴C不符合题意； 对于选项D， ∵， ∴，由勾股定理逆定理得是直角三角形， ∴D不符合题意． 故选：B． 12．如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和为360度和三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴. 13．在中，的对应边为a，的对应边为b，的对应边为c给出下列命题： ①若是直角三角形，若，，则； ②若，则是直角三角形； ③若，则：； ④若，则； 其中，正确命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题涉及了勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，三角形边与角的对应关系． 【详解】解：逐个判断命题： ① 未说明哪一个角是直角，需分情况讨论： 当为斜边时，； 当为斜边时，； 不一定为，故①错误． ② 设，，， 三角形内角和为， ，解得， ，是直角三角形，故②正确． ③ ， 是斜边，由勾股定理得， 与命题中不符，故③错误． ④ 设，，， ， ，不是，故④错误． 综上，正确的命题只有个． 14．如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由得；结合证，得；由全等得点B到和的距离相等，利用角平分线判定定理证明平分；由 ，，而 ，故 ，故 ，；利用对顶角性质证 ． 【详解】解：， ， 在 和 中， ， ，，， 故①③正确． 由 且，得点 到 和 的距离相等， ∴ 点 在 的平分线上，即 平分 ， 故④正确； 是 的外角， ， 是 的外角， ， 而 ， ， ，， 故②⑤错误； ， 故⑥正确； 综上，正确的结论有①③④⑥，共4个． 故选：C． 15．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，再求出，即可求解； （2）由（1）知，，得到，再得到， 根据角平分线的定义得到， 即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17．项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义表示出，即可得解； （2）同（1）中方法求解即可； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ，， ， ； （3）解：， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 18．如图1，已知点A，C是平面内两个定点，作直线和射线，且使，P为射线上一动点，连接，过点P作的垂线交直线于点D．设的度数为，的度数为，那么y随x的变化而变化． (1)判断：这个问题中两个变量x与y之间 （填是或不是）函数关系． (2)在探究x与y关系的过程中，按照表中x的值进行取点P、画图、计算（可用备用图），分别得到了x与y的几组对应数值，请补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … 0 … (3)如图2，所示的是平面直角坐标系， ①在图2中描出表中各对数值所对应的点，并画出y与x的图象； ②结合①所画的图象填空，当时，x的值为 ． 【答案】(1)是 (2)30，20，20，30 (3)①见解析；②10或 【分析】（1）根据函数的定义分析即可得出结果； （2）根据题意分情况画出图形，并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）①根据（2）中的表格，描点、连线，即可得出函数图象；②根据函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：点在射线上移动，的度数为，会随之变化；且的度数，会随着的度数的变化而变化，即随着的变化而变化，故这个问题中两个变量x与y之间是函数关系； （2）解：当，即时， ∵，， ∴， ∴； 同理：当，即时， ∴， ∴； 当，即时， ∵，， ∴， ∴； 如图，当时，点与点重合， ∴； 补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … 0 … （3）解：①画出函数图象如图所示： ②由图象可得：当时，x的值为10或． 19．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：如图，记，，． ， 又平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 20．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，与的数量关系是：_______． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q．若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，直接判断与的数量关系与位置关系． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）同理可证，从而可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）同理可证，然后根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： （2）同（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3），． 理由如下：同（1）可得，， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 考点03三角形折叠中的角度问题 21．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 22．如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 23．如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，运用三角形的外角性质得，故，，又因为，故． 【详解】解：连接，如图所示： ∵折叠 ∴ 依题意，， ∵， ∴， 同理得， 同理得， ∵， ∴． 24．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理，关键是通过折叠的性质得到相等的线段和角，利用三角形外角性质将、转化为与、相关的角，再结合折叠推出的，求出与的和，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接、，由折叠的性质得， ，， ， ， ，即， 根据三角形内角和定理，得； 又由折叠的性质得，， ，， ，同理， ， ， ， ， ； 故选：B． 25．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 26．如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、平角与周角的定义、折叠的性质，熟练掌握分类讨论的思想和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．本题需分两种情况讨论求解，当时，利用平行线的性质和折叠的性质，求出的度数．当时，利用平行线的性质、平角的定义及折叠的性质，求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ， 情况1：当时， ， ， 由折叠性质可知，， ， 在中， ， ， 情况2：当时， ， ， ， 由折叠性质可知， ， 故答案为：或． 27．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 考点04三角形的外角的定义及性质 28．如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 30．已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由为高，，，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 【详解】解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 31．如图，延长五边形的各边，再用线段与各边的延长线相连，则________°． 【答案】360 【分析】首先根据外角的性质可得：，，，，，根据多边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：如图， 由三角形外角的性质，得，，，，， 多边形的外角和为， ， ． 32．如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 33．如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】先通过邻补角求出，再用角平分线得到，最后利用三角形外角定理，直接求出的度数． 【详解】解：， ， 是的外角的角平分线， ， ，， ． 34．如图，在中，，于点，的角平分线交于点，交于点，于M，的延长线交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明，由角平分线定义得，再根据三角形外角性质得 ，,故可得，由等角对等边可得结论； （2）由勾股定理求出，证明和 得，利用面积关系得，可求． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵平分 又 ， ∴ （2）解：在中，， 连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ． 35．如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （）首先根据，同位角相等，两直线平行得，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （）由题意，易得，利用三角形外角得，即有，结合已知条件，即可得到结果． 【小问1】 证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 【小问2】 解：∵由（）知， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 考点05多边形问题 36．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 37．若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】多边形截去一个角共有三种不同截法，对应截后边数分别比原多边形多1，不变，少1，根据截后得到七边形，反向推导原多边形的可能边数即可得到答案． 【详解】解：多边形截去一个角，存在三种情况： （1）截线不经过原多边形的另外两个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∵ 截后多边形为七边形，边数为7， ∴ 原多边形边数为； （2）截线经过原多边形的1个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数 ∴ 原多边形边数为； （3）截线经过原多边形的2个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∴ 原多边形边数为； 综上，原多边形的边数可能为6，7，8，不可能为5． 38．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 39．下列说法错误的个数是（    ） ①对于边形一个顶点的对角线有条 ②以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作三个平行四边形 ③每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 ④过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是七边形 A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】只需逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数即可得到结果． 【详解】解：① 对于任意边形，过一个顶点，除去自身和相邻两个顶点，剩余可连接对角线的顶点数为，因此过一个顶点的对角线条数为，不是，故①错误； ② 不共线三点可构成一个三角形，分别以三角形的三条边作为平行四边形的对角线，可作出个不同的平行四边形，故②正确； ③ 正多边形的定义就是各边相等且各内角相等的多边形，该说法符合定义，故③正确； ④ 过边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，令，解得，因此这个多边形是七边形，故④正确； 综上，错误的说法共个， 故选：A． 40．P表示凸边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与的关系式是：(其中，a，b是常数，) （1）若，即四边形时，通过画图可得___(填数字)； （2）下列结论正确的是___________(填写正确的序号) ①若，则；②；③；④a与b的值不能确定． 【答案】 1 ②③/③② 【分析】通过画图确定时，时P的值，组成方程组求出a，b的值，即可判断 【详解】解：（1）由画图可得，当时，； （2）由画图可得，当时，，故①错误； 将时，；时，，代入公式可得： 化简得： 解之得：，故②正确，③正确，④错误． 41．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”） (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线． 【答案】(1)不一定是 (2) (3) 【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线， （1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可； （2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可； （3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可； 熟记多边形的内角和、外角和以及对角线的条数的求法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于， ∴该边形的每一个内角都等于：， 但该n边形的各边不一定都相等， 故该边形不一定是正边形， 故答案为：不一定是； （2）∵多边形的外角和是， ∴， ∴内角和是：， ∴这个边形的内角和为； （3）从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线， ∵， ∴， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线． 故答案为：． 42．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 43．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 考点06多边形内角和与外角和综合 44．下列说法正确的是（   ） A．四边形最多有三个钝角 B．四边形的内角和是外角和的2倍 C．一个边形有条对角线 D．三角形的内角和与外角和都是 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和、外角和、对角线的基础概念，需逐个判断选项正误． 【详解】解：对选项A：∵任意四边形内角和为，若四个内角均为钝角，则四个内角和大于，与四边形内角和定理矛盾． ∴四边形最多有三个钝角，说法正确，该选项符合题意； 对选项B：四边形内角和为，任意多边形外角和为，即内角和是外角和的1倍，原说法错误，该选项不符合题意； 对选项C：边形（）的对角线总条数为，原说法错误，该选项不符合题意； 对选项D：三角形内角和为，外角和为，原说法错误，该选项不符合题意． 45．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7/七 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 46．如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 【答案】160 【分析】先根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，然后由，求出的度数，最后根据多边形内角和外角的关系即可求的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和为：，， ∴， ∴． 47．某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为_________，它的每个外角的度数为_________°． 【答案】 8 45 【分析】设该正多边形的边数为，根据多边形内角和公式与外角和定理列出关于的一元一次方程，解方程求出边数，再根据正多边形的外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 所以该正多边形的边数为， 因为正多边形的每个外角相等，且外角和为， 所以每个外角的度数为． 48．已知一个多边形的每个外角都相等，且它的一个内角与其相邻外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 【答案】9 【分析】利用内角与相邻的外角互补求解这个多边形一个外角的度数，再根据多边形的外角和进一步求解即可． 【详解】解：由题意得，这个多边形一个外角的度数为：， 这个多边形的边数为：． 49．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 50．在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可； （2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可； （3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∵CP平分，DP平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键． 51．已知在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可； （2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论； （3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算． 【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°， ∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠NDC=180°-110°=70°； （2）DE∥BF，如图，连接BD， ∵∠ABC+∠ADC=180°， 且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°， ∴∠MBC+∠CDN=180°， ∵∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN， ∴∠CBF+∠CDE=90°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°， ∴DE∥BF； （3）∵∠MBC+∠CDN=180°， ∴∠CDP+∠CBP=（∠MBC+∠CDN）=36°， 连接PC并延长， ∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP， ∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP， ∴∠DPB=90°-36°=54°． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 考点07根据等角对等边证明等腰三角形 52．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【详解】解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 53．如图，已知 (1)尺规作图：作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)在（1）的条件下，若交的延长线于点E，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． 54．如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 55．如图，锐角的两条高、相交于点O，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点O在的平分线上，理由见解析 【分析】（1）证明，推出，即可证明； （2）连接，证明，得到，即点O在的角平分线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵锐角的两条高、相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：点O在的平分线上．理由如下： 连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上． 56．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定，证明是解题的关键． （1）可证明，再利用证明得到，再由等角对等边可证明结论； （2）可证明，得到，再由三角形内角和定理可推出，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 57．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 考点08等腰三角形的性质和判定 58．如图，等腰中，，，将沿其底边平移得到，与相交于点，，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点D作于点N．由等腰得到，从而，，证明得到，再由等腰三角形的“三线合一”得到，即可求解． 【详解】解：过点D作于点N． ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由平移可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 【答案】/45度 【分析】如图，取格点E，连接，，证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接， 根据题意得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ 由网格得， ∴． 60．在等腰中，，，点D为直线上一动点，连接，点E为线段的中点，将线段沿直线翻折得到线段，过点D作，交直线于点F，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】延长到点H，使得，连接，根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，确定，然后利用三角形中位线的性质得出，得出当时，取得最小值，即取得最小值，结合含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解 【详解】解：延长到点H，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵线段沿直线翻折得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∵点D为直线上一动点， ∴当时， 取得最小值，即取得最小值， 过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为：． 61．如图，在中，点在边上，且，求的长． 【答案】 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理得到，进而可知的度数，根据等角对等边可知的长． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 62．如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案； （2）证明．，结合垂直与内角和定理可得，结合，进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 63．如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，     平分， ，     ，     是等腰三角形． （2）解：， ，，     ， ，，     ，     ． 64．已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）设出一次函数解析式，将点和点代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点在直线上，设出点的坐标，再根据，求出点的坐标； （3）根据点在轴上设出C点坐标，分类讨论以为腰的等腰三角形的两种情况，求出对应的点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，将、代入得，解得， ． （2）解：设点 ， ， ， ， ，， ， 即， ， 解得或， 当时，； 当时，， ∴点或． （3）解：∵点在轴上， ∴设， 是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， 当时，在Rt中，，， 根据勾股定理得， ， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， 或； 当时，在Rt和Rt中，，， ， ， ， 当时，点A和点C重合，不符合题意， ， ． 综上，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、由三角形面积求点的坐标、等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论和数形结合． 65．在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设运动时间为，若的面积为，求与之间的关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上有一点，连接，若，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可计算出，则，利用勾股定理计算出，作差可得，进而得到点的坐标； （2）作于点，由面积法可计算出，因此； （3）延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设，通过导角可知，，则．由等腰三角形的性质和勾股定理可得，，，则，进而计算出，由勾股定理可得，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作于点， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点的坐标为． 考点09求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 66．在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 67．在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 68．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上一动点，若是等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____． 【答案】，，或 【分析】设，根据勾股定理求出的长，再分为腰和为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：设， 点、的坐标分别为，， 当为等腰三角形的腰时， 若，则； 若，即，解得或， 或； 当为底时，，解得， 综上所述，点的坐标为：，，或 69．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 70．如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有_________个． 【答案】4 【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点． 【详解】解：如图所示， 共4个点， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 71．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理与折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或或． 72．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)7 【分析】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案． 【详解】（1）如图所示：和即为所求, （2）(2)如上图所示：作的对称点，连接和与轴的交点即可，点即为所求； （3）如图所示：即为所求，共个点 故答案为. 【点睛】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键． 考点10等边三角形的判定 73．下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理，逐项判断命题真假即可解答． 【详解】解：A 选项，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，该命题是真命题，符合题意； B 选项，只有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，仅一个角为的三角形不一定是等边三角形，该命题是假命题，不符合题意； C 选项，只有等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，选项未说明三线的位置，该命题是假命题，不符合题意； D 选项，两个锐角分别相等的两个直角三角形只有角对应相等，没有边对应相等的条件，不满足三角形全等的判定要求，该命题是假命题，不符合题意． 74．下列关于的说法错误的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若中，则为直角三角形 C．若为直角三角形且，，则等于的一半 D．若中，，则为等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形定义、含角的直角三角形性质、三角形内角和定理以及等边三角形判定，根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、根据等腰三角形定义，两边相等的三角形是等腰三角形，，则为等腰三角形，选项说法正确，不合题意； B、三角形内角和为， ，最大角 ，因此不是直角三角形，选项说法错误，符合题意； C、∵，此时角所对直角边为，斜边为，根据含角的直角三角形性质，可得，选项说法正确，不合题意； D、，是等腰三角形，又，根据判定定理，有一个角是的等腰三角形是等边三角形，选项说法正确，不合题意． 75．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中，正确的结论有______．（填序号） 【答案】 【分析】延长交于点N，根据角平分线的定义及三角形内角和定理可得，即得，即可判定；由，平分，可得，再证明，可得，即可判定；证明，可得，再根据等腰三角形的性质得到，即可判定；根据已知条件无法判定或，判定；由可知，，则，证明，可得，可得，再由，，判定． 【详解】解：如图，延长交于点N， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故正确； 根据已知条件无法判定或， ∴不一定是等边三角形， 故④错误； 由可知，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由可知， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的结论有． 76．如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 77．如图，在中，平分交于点，，延长至点，使得．连接． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作于点，求证：是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义可得，即；最后根据有两个内角为的三角形是等边三角形即可证明结论； （2）先证明可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线． 78．如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 79．如图，在中，，，平分，交边于点，为边的中点，，交于点，交于点．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据已知可得，根据角平分线的定义可得 ，根据等角对等边可得，进而根据三线合一的性质，即可得证； （2）根据已知得出，，进而可得 ，即可得出是等边三角形． 【详解】（1）， ， ， 平分 ， ， ， 是的中点， ， （2）是等边三角形， 理由如下：，， ， 又， ， ， ， ， 是等边三角形． 考点11等边三角形的判定和性质 80．如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 81．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有A选项正确． 82．如图，点是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，下列结论中错误的是（　　） A．是等边三角形 B．是直角三角形 C． D． 【答案】D 【分析】由，进一步证明，从而得到是等边三角形； 由，得到哥线段长度，于是有，由勾股定理逆定理，证得是直角三角形； 通过是等边三角形，是直角三角形，即可证得； 是等边三角形，，由勾股定理求出底边上的高，面积即可求解． 【详解】解：A、因为，所以，，因为是等边三角形，所以，，而，，所以是等边三角形，结论正确； B、因为，是等边三角形，所以，，在中，，，因为，所以是直角三角形，结论正确； C、因为是等边三角形，是直角三角形，，，，结论正确； D、因为是等边三角形，，作于，则， ，，结论错误． 83．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图，在中，，，，是所在平面内任意一点，若四边形是“准筝形”，则四边形的面积为_________． 【答案】 或或 【分析】过点作交的延长线于点，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理求解，的长 ，进而求得，的长，然后根据“准筝形”的定义分三种情况讨论，若，，若，，若，，分别构造直角三角形，利用等边三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， 四边形是“准筝形”， 分三种情况讨论： 若，，如图，过点作于， 是等边三角形，， ，， ， ． 若，，如图，连接，作于点，于， 是等边三角形， ，，， ，， ， ，， ，， ； 若，，如图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于， 是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， 综上，四边形的面积为或或． 84．已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，求的长； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用等边三角形的性质，证，然后解直角三角形和即可； （2）结合已知条件证，然后证，即可求证． 【详解】（1）解：是等边三角形，， ，， ， ， ， D是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）证明：， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴是等边三角形． 85．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 86．综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：在等边三角形中，O是边的中点，D是射线上一点（不与点C，B重合），连接，作等边三角形（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F，连接． 【特例分析】 (1)如图1，当点D与点O重合时，与之间的数量关系是______； 【拓展探究】 (2)如图2，当点D在线段上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【推广应用】 (3)当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，求出和，即可得到结论； （2）根据等边三角形得到，证明，得到，证明，得到，即可得到结论； （3）分当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时三种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 等边，点是的中点， ， 等边， ， ， ， ， ； （2）证明：上述结论仍然成立，证明如下： 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ； （3）解：①当点在线段上时，连接， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ； ②当点在线段上时， 由①知， 由（2）知， ， ； ③当点在线段的延长线上时，连接， 由①知， 由（2）知， ， ； 考点12含30度角的直角三角形 87．如图，在中，是直角，是边上的高，是的角平分线，和交于点F，，P是边上的一动点，连接，给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的最小值为； 上述结论中，正确结论的序号有______ 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 根据三角形内角和的性质，得到，即可判断①；根据三角形外角的性质可得，即可判断②；根据含直角三角形的性质得到，，利用勾股定理即可判断③；连接，通过全等三角形的性质得到，再利用等面积法求得，即可判断④． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴，①正确； ∵是的角平分线， ∴， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， ∴，②正确； ∵ ∴， 由可得，，即，解得， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，，③正确； 连接，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，为，即最小为， 由，可得， 则，即，解得，④正确， 综上，正确的为①②③④ 88．如图，平分，，，，，则_____________． 【答案】 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形内角和定理判定为直角三角形，最后根据含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 是直角三角形， 在中，，， ． 89．如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得． (1)若，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，求此时的长度． 【答案】(1)的长为； (2)此时的长为． 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 答：的长为； （2）解：过点作于点，如图： ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 答：此时的长为． 90．图1是某种可调节支撑架侧面结构示意图，为水平固定杆，固定在上，为活动杆，上面有滑槽，已知． (1)求点C到的距离； (2)如图2，当时，将沿点C滑动，点B恰好落在所在直线上（记为点），问此时沿点C下滑了多少厘米？（参考数据：，结果保留整数） 【答案】(1) (2)沿点C下滑了厘米． 【分析】（1）过点作于点，证明，利用勾股定理列方程并解方程即可； （2）过点作于点，证明，得到，利用勾股定理列方程并解方程得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， 即 （2）解：过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∵， 解得 ∴ 即沿点C下滑了厘米． 考点13直角三角形的证明与应用 91．如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，结合，进一步证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． 即， ∵，， ∴和是直角三角形， ∵， ∴， ∴． 92．中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 【答案】是等腰三角形，见解析 【详解】解：是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴． 在和中： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 93．如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先证明，得到，进而即可证明； （）由全等三角形的性质得，进而得到 ，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ∵， ； （2）解：由（）得， ， ， ， ， ∴． 94．综合与实践 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形． (1)操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有__________(填序号)．(友情提醒：角的直角三角形三边比为，的直角三角形三边比为) (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等角__________． ②若，，，则__________． (3)拓展应用：如图3，在中，，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）依据邻等对补四边形的定义，逐一验证四个四边形是否满足定义，排除不满足定义的图形，从而确定符合条件的四边形． （2）①延长线段构造全等三角形，利用四边形对角互补推出等角，结合已知邻边相等用证明三角形全等，再由等腰三角形性质证得角相等； ②在①的结论基础上，作垂线利用等腰三角形三线合一得到线段长度，再在直角三角形中结合角的性质与勾股定理建立方程，求解出． （3）在中根据角与勾股定理算出、，再按照仅一组邻边相等的要求分类讨论，分别对、、三种情况，借助全等、特殊直角三角形性质与勾股定理依次求出对应的长度，排除、时出现两组邻边相等的不符合情况，最终得到的长度． 【详解】（1）解：观察图1中的四边形，图①和图③中不存在对角互补，不满足邻等对补四边形的定义；图②和图④中存在对角互补且邻边相等，满足邻等对补四边形的定义． 故答案为：②④． （2）①解：延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 故相等的角为． ②解：由①知，， ， ， 如图，过作于， ， 为中点，， 在中，， ，由勾股定理得， 即，解得． （3）解：四边形是邻等对补四边形，， ． 在中，，，， ，，． ①当时，连接， ，，， ， ， 此时有两组邻边相等，不符合“仅有一组邻边相等”的条件，故舍去； ②当时，过点作于， ， ，， ，， ，， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， 此时仅一组邻边相等，符合条件； ③当时，设，过点作于， ， ，，， ， ，解得， ，， ， ，，， ， 在中，由勾股定理得， 此时仅一组邻边相等，符合条件； ④当时，可证得，此时有两组邻边相等，不符合“仅有一组邻边相等”的条件，故舍去． 综上，的长为或． 95．如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，点在直线上，连接，，． (1)求的长； (2)若，，求的长； (3)若，且是等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得，根据勾股定理可得，根据，即可求解； （2）分类讨论，分别当在点的左侧时，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理表示出，根据建立方程，解方程，即可求解，当在点的右侧时，结合图形，同理可求； （3）分类讨论，分别设，，，分别画出图形，构造直角三角形，结合勾股定理构造方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）解：如图，当在点的左侧时，过点作于点， 设，则， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 当在点的右侧时，如图 设，则， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 ； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， 设，则 ∴， 在中，， ∵是等腰三角形 ∴ 在中， ∴ ∴ 解得：，即 当时，如图，过点作于点， ∴， 又∵ ∴， ∴ 在中， ∴， 设，则 ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：，即； 当时，如图， 在中，，， ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或或 96．在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为16，在线段上存在点； ①如图1，填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； ②如图2，点在轴负半轴上，连接，，若，求点的坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，且．求证：． 【答案】(1)①；；② (2)见解析 【分析】（1）①根据三角形的面积公式即可得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1）①解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则， ∵的面积为， ∴，则， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点，点， ∴； ②解：如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形的证明13大题型归类 考点归纳 考点01与平行线有关的三角形内角和问题 考点02三角形内角和定理的应用 考点03三角形折叠中的角度问题 考点04三角形的外角的定义及性质 考点05多边形问题 考点06多边形内角和与外角和综合 考点07根据等角对等边证明等腰三角形 考点08等腰三角形的性质和判定 考点09求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 考点10等边三角形的判定 考点11等边三角形的判定和性质 考点12含30度角的直角三角形 考点3直角三角形的证明与应用 考点专练 考点01与平行线有关的三角形内角和问题 1.如图，ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到 点E处，若DE∥AB,则∠ADC的度数为() A.70° B.110° C.80° D.100° 2.如图，已知AB∥CD,FE⊥DB,∠1=50°，则∠2等于一 3.如图，在ABC中，已知AD是角平分线，∠B=64°，∠C=56°. 1/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (1)求∠ADC的度数： (2)若DE⊥AC于E,求∠ADE的度数， 4.在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论. 如图，已知∠A,∠B,∠C是ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°. 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明. 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程 图① 图② 图③ 5.如图，在ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC,若LADE=155°，求∠B的度数. D E B 6.如图，若AB∥CD,AB=CD且CE=BF. (1)求证：AE=DF; (2)若∠AEB=60°，∠C=50°，求∠D的度数. 7.如图，直线MNI‖EF,Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D, ∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数. 2/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 E 8.图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为8字形”.如图2，在 图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解 答下列问题： D M D B B 图1 图2 (1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： (2)图2中，当∠D=50°，∠B=40°时，求∠P的度数.（写出过程） 9.如图，四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和LNDC,若LBAD=a,LBCD=B. M M G D 图1 图2 (1)如图1，若a+B=105°，求∠MBC+∠NDC的度数； (2)如图1，若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°，请直接写出a,B所满足的数量关系式： 3)如图2，若a=B,判断BE,DF的位置关系，并说明理由. 1O.如图，己知AB∥CD,直线MN交AB于点M,交CD于点N.点E是线段MN上一点，P,Q分别在射 线MA,NC上，连接PE,OE. 一B E \N 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠MNC=70°，∠MPE=30°，∠EQN=50°，则∠AMN=—°，∠PEQ=° 3/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F,求LPEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明 理由； (3)如图3，在第(2)问的条件下，当PE⊥QE时，若∠APE=150°，∠MND=110°，过点P作PH⊥QF交 QF的延长线于点H.将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为MW, 同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△FPH',当直线MN首次 落到CD上时，整个运动停止.在此运动过程中，经过t秒后，直线MN恰好平行于△FPH'的PH'边或 PF边，请直接写出所有满足条件的t的值. 考点2三角形内角和定理的应用 11.已知ABC中，a,b,C分别是∠A,∠B,∠C的对边，则下列条件中不能判断ABC是直角三角 形的是() A.∠A:∠B:∠C=1l:2 B.a:b:c=1:l:2 C.∠C=∠B-∠A D.c2-b2=a2 12.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是六边形ABCDEF的四个外角，若∠1+∠2+∠3+L4=220°，则∠G的度 数为() A.20° B.30° C.40° D.50° 13.在ABC中，∠A的对应边为a,∠B的对应边为b,∠C的对应边为c给出下列命题： ①若ABC是直角三角形，若a=1,b=√2，则c=V3; ②若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则ABC是直角三角形； ③若∠B=90°，则：a2+b2=c2; ④若a:b:c=3:5:4,则∠C=90°； 其中，正确命题的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图，点A,B,C在同一条直线上，∠ABD=∠CBE=40°，BA=BD,BC=BE,DB与AE相交于点 N,BE与CD相交于点M,CD与AE相交于点P,连接BP.有下列结论：①AE=CD;②BM=BN; ③∠E=∠C;④PB平分∠APC;⑤PM=PN;⑥LDPA=40°，其中正确的结论有() 4/27 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E M 的 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 15.共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示 意图，其中AB,CD都与地面I平行，∠BCD=72°，∠BAC=38°，AM∥CB,则∠MAC的度数为 图① 图② 16,如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，CE平分∠BCD交AB于点E,连接DE. E B (1)若∠A=50°，∠B=80°，求∠BEC的度数； (2)若∠A=∠1，试说明∠CDE=∠DCE. 17.项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度.例如，一块四边形 地块ABCD相邻两条道路NA和MD，,我们需在外部设置绿化带或排水沟，AE与DE就是这两个外角区域的 角平分线.工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角∠E是多少？ 任务一模型初探（发现规律）》 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中∠1，∠2是四边形的一组相邻外角，∠5，∠6是相邻的两个内角。 B 2 T 6 5 6小2 M 图① 图② 图③ 问题1：测量或推导 (1)观察图①中∠1，∠2与∠3，∠4之间存在怎样的数量关系？写出理由； 5/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)观察图②中∠1，∠2与∠3，∠4之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二应用建模 问题2：如图③，在四边形地块ABCD的外部，AE,DE分别是外角∠NAD与∠MDA的平分线. (3)已知地块的∠B+∠C=240°，请利用你发现的规律，求出∠E的度数， 18.如图1，已知点A,C是平面内两个定点，作直线AC和射线AB,且使∠BAC=30°，P为射线AB上一 动点，连接PC,过点P作PC的垂线交直线AC于点D.设∠APC的度数为x°，∠PDC的度数为P,那 么y随x的变化而变化. 80 60 y 020406080100120140六 图1 备用图 图2 (1)判断：这个问题中两个变量x与y之间-（填是或不是）函数关系， (2)在探究x与y关系的过程中，按照表中x的值进行取点P、画图、计算（可用备用图），分别得到了x与 y的几组对应数值，请补全表格： 30 40 60 80 90 … y 0 (3)如图2，所示的是平面直角坐标系， ①在图2中描出表中各对数值(x,y)所对应的点，并画出y与x的图象； ②结合①所画的图象填空，当y=50时，x的值为_ 30 40 60 80 90 30 20 0 20 30 19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E. D (1)若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数； (2)当点P在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B,∠ACB之间的数量关系，并说明理由. 20.综合与探究 6/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在AOB和△COD中，OA=0B,OC=0D,∠A0B=∠C0D. 【模型呈现】 (1)如图1，A,O,D三点共线，AC与BD的数量关系是： 【模型应用】 (2)如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q.若LA0B=40°，求LAPD的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，∠AOB=∠COD=90°，M,N分别为AC,BD的中点，连接OM，ON,MN,直接判断OM与 ON的数量关系与位置关系. 图1 图2 图3 考点03三角形折叠中的角度问题 21.如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A= () cA A.25° B.20° C.30 D.35 22.如图，在三角形纸片ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落 在BC边上的点F处，若EF⊥AC,∠BDF=68°，则∠A的度数为() A.68 B.729 C.79 D.82° 23.如图，把一张三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠(3个顶点不重合)，则 7/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为() A- --B A.180° B.270° C.360° D.450° 24.如图，己知点D,E,F分别在△ABC的三边上，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B,C均落在 △ABC内的点O处，且BD与CD重合于线段0D,若∠AE0+∠AF0=50°，则∠A的度数为() B D A.60° B.65° C.70° D.75 25.如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且A'B平分LABC,A'C平分∠ACB,若 ∠BA'C=115°，则∠1+∠2的度数为 B E 26.如图，在ABC中，∠A=54°，∠C=46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD,把△BCD沿BD折 叠，点C落在同一平面内的点C处，当C'D平行于ABC的边时，∠CDB的大小为。 27.如图1，现有一张直角三角形纸片ABC,∠BAC=90°，点D为边BC上一点，将纸片沿AD所在直线 折叠，使点B落在∠BAC内部的B处， 8/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B d 图1 图2 图3 (1)若∠CAB'=20°，求∠BAD的度数； (2)如图2，若点E为线段DC上一点，将纸片沿AE所在直线再次折叠，使点D落在AB'上，将纸片完全展 开后折痕分别为AE',AD,AE.若∠CAB'=a,∠BAE'=B,写出a与B的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（∠DAB内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A 为顶点的角的度数之比为2：3：5，写出∠BAD的度数 考点04三角形的外角的定义及性质 28.如图，在三角形ABC中，BD平分∠ABC,点E在AC边上，EF⊥BC于点F,EM平分∠AEF交 AB的延长线于点M.若∠CBD=∠M,∠ADB=65°，则∠C的度数为() A.20° B.30 C.40° D.50° 29.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果LABP=20°，∠ACP=50°， 则∠A+∠P= 200 509 B -M 30.己知：如图，ABC中，AD是高，AE是∠BAC的角平分线，若LB=30°，∠ACD=56°，则∠EAD的 度数为 0 B E C D 31.如图，延长五边形的各边，再用线段与各边的延长线相连，则 9/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZH +ZG+ZM +ZN= M 32.如图，在ABC中，∠A=80°. A 图1 图2 (1)如图1，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠P的度数， (2)如图2，BQ平分∠ABC,CQ平分外角LACD,求∠Q的度数. 33.如图，CE是ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E.若∠E=40°， ∠ACB=46°，求∠B的度数. E B D 34.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠BAC的角平分线交CD于点E,交BC于点 F,CM⊥AF于M,CM的延长线交AB于点N. C M B D N (1)求证：CE=CF; (2)若AC=6,BC=8,求CE的长. 35.如图，在△ABC中，点D,F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点 H,且∠1=∠B,∠2+∠3=180°. 10/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 3 4 G (1)求证：EH‖AD; (2)若∠H=34°且∠DGC=2L4+10°，求∠4的度数. 考点05多边形问题 36.下列说法中，正确的有() ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形： ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 37.若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为() A.5 B.6 C.7 D.8 38.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数是() A.8或9 B.9或10 C.8或9或10 D.9或10或11 39.下列说法错误的个数是() ①对于边形一个顶点的对角线有(n-2)条 ②以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作三个平行四边形 ③每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 ④过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是七边形 A.1 B.2 C.3 D.4 40.P表示凸边形的对角线的交点个数（指n≥4落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与 的关系式是：P=nI--am+b其中，a,b是常数，) 24 (1)若n=4,即四边形时，通过画图可得P=(填数字)： (2)下列结论正确的是 (填写正确的序号) ①若n=5,则P=6;②a=5;③b=6;④a与b的值不能确定. 11/27 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)由画图可得，当n=5时，P=5,故①错误； 将n=4时，P=1;n=5时，P=5,代入公式可得： 4x4-0.16-4a+b)=1@ {24 化简得： 4a-b=14 5x5-D.(25-5a+b)=5② 5a-b=19 24 41.已知一个边形的每一个外角都等于30°. (1)该边形是否一定是正边形？；（填“一定是”或“不一定是”) (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线. 42.已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540° (1)求这个多边形的边数. (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和， (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 43.一个正多边形的周长为60，边长为a,一个外角为b°. (1)若a=5,求b的值； (2)若b=60,求a的值. 考点06多边形内角和与外角和综合 44.下列说法正确的是() A.四边形最多有三个钝角 B.四边形的内角和是外角和的2倍 C.一个边形有n(n-3)条对角线(n≥3) D.三角形的内角和与外角和都是180° 45.已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为 46.如图：∠1、∠2是五边形ABCDE的2个外角，若∠A+∠B+∠C=340°，则∠1+∠2= 12/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 47.某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大720°，则该正多边形的 边数为 ,它的每个外角的度数为 48.已知一个多边形的每个外角都相等，且它的一个内角与其相邻外角的度数之比为7：2，求这个多边形 的边数， 49.如图①，作∠BPC的平分线PD,并反向延长得到PA.分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正 多边形，且边长均为1.例如，若∠BPC=90°，以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时 ∠BPD=90° 45,45°是360°的。，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②. 2 (1)图②的外轮廓周长是 (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长。 D B 图① 图② 50.在五边形ABCDE中，∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°. B B E 图① 图② 图③ (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度数： 13/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图③，若CP,DP分别平分∠BCD与∠CDE的外角，试求出LCPD的度数. 51.已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°. D A 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABC=70°，则∠NDC= (2)如图2，若BF、DE分别平分∠CBM、∠CDN,判断DE与BF位置关系并证明理由 (3)如图3，若BP、DP分别五等分∠CBM、∠CDN(即∠CBP-写CBM,∠CDP-写CDN),则 ∠P= 考点07根据等角对等边证明等腰三角形 52.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=6,BC=10·按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当 长度为半径面弧，分别交B、4D于E、F两点：②分别以点E、下为圆心，大于F的张为半径画强， 两弧相交于点P:③作射线AP交BC于点G,则CG的长为() A D A.8 B.6 C.4 D.2 53.如图，已知ABC B (1)尺规作图：作∠B的平分线BD,交AC于点D.(保留作图痕迹，不写作法，并标明字母) (2)在(1)的条件下，若AE∥BC交BD的延长线于点E,求证：△ABE是等腰三角形， 54.如图，在ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E,连接CD,DE平分∠ADC, 在BC边上取点F,连接DF,∠DFC=45°，过点D作DM⊥BC于点M. 14/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)若BC=12,BF=2,求DM的长. 55,如图，锐角ABC的两条高BE、CD相交于点O,且0B=0C. D B (1)求证：ABC是等腰三角形： (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由. 56.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E,AC与DF交于点G. 0 G B C E (1)求证：△GFC是等腰三角形； (2)连接AD,求证：AD∥BE. 57.如图，在ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E,且DE平分∠ADC, 在BC边上取点F,使∠DFC=45°. D 45 BF C (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)过点D作DM⊥BC于点M,若BC=12,BF=2,求DM的长. 考点08等腰三角形的性质和判定 58.如图，等腰ABC中，AB=AC=3,∠BAC=120°，将ABC沿其底边BC平移得到△A'B'C',AC与 AB相交于点D,4D=;4C,则平移前后两三角形重叠部分的周长为() 3 15/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C C A.2√5+1 B.25-1 C.25+4 D.5 59.如图，在3x3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接AD,BC相 交于O.那么∠AOC的大小是 0 B D 60.在等腰ABC中，AB=AC=8,∠BAC=140°，点D为直线BC上一动点，连接AD,点E为线段AD 的中点，将线段BA沿直线BC翻折得到线段BA',过点D作DF⊥BA',交直线BA'于点F,连接EF,则线 段EF的最小值为 A B 61.如图，在ABC中，点D在AC边上，且BC=BD=5,∠DBC=32°，∠A=37°，求AD的长. 62.如图，在ABC中，∠B=45°，D是BC边上一点，且AC=AD,过点A作AE⊥CD于点E,过点C 作CG⊥AD于点G,与AE交于点H,延长CG交AB于点F. GA H B D E C (1)若∠CAD=50°，求∠AFC的度数； (2)求证：AC=CF. 16/27 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 63.如图，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，点C在△ABD的右侧，连接AC、DC,AD平分∠BAC,过点 D作DE∥AC交AB于点E. D (1)求证：ADE是等腰三角形： (2)若AB=18,求ED的长 64.已知一次函数图像经过点A-2,0),B(0,4). B (1)求这个一次函数的表达式： 2直线AB上存在点P,使SAo=So,求点P的坐标； 4 (3)点C在x轴上，且ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C坐标. 65.在平面直角坐标系中，A(0,9),B(-12,0),点C在x轴正半轴上，∠AB0=2L0AC· A C C C 图1 图2 图3 (1)如图1，求点C的坐标： (2)如图2，动点W从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接OW,设运动时间为t,若 △AOW的面积为S,求S与t之间的关系式： (3)如图3，在(2)的条件下，在OW上有一点G,连接AG,若0G=0C,且3LB0G-4∠0AG=90°，求 点G的坐标 17/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点09求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 66.在平面直角坐标系中，0为原点，已知点A1,2),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形，则符合 条件的点P有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 67.在平面直角坐标系中，已知A(4,1),在坐标轴上确定一点P使得△AOP为等腰三角形，则满足条件的 点可以画出() A.4个 B.6个 C.8个 D.7个 68.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，P为x轴上一动点，若△ABP是等 腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为。 B A 69.如图，在3x3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A,B两个格点，请在图中再寻找另一 个格点C,使ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有个. B 70.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A(2,2),B(0,4),在y轴上找一点P,使得△ABP是等腰三角 形，则这样的点P共有 个 y个 B A 4 71.如图，直线y=-4x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B,M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折 3 18/27 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 叠，点B恰好落在x轴上的点B处.求： B M B' B'O B'O 备用图1 备用图2 (1)求A,B两点坐标： (2)求M的坐标： (3)在x轴上找一点P,使得以点P,M,B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标. 72.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到 △ABC1,△ABC,和△ABC2关于x轴对称 5 3 C 5-43-21 01234 2 人、 (1)画出△AB,C1和△AB2C2: (2)在x轴上确定一点P,使BP+AP的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△4CQ为等腰三角形，则这样的Q点有个. 考点10等边三角形的判定 73.下列命题中是真命题的是() A.三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B.有一个角是60°的三角形是等边三角形 C.等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D,两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 74.下列关于ABC的说法错误的是() A.若AB=AC,则ABC为等腰三角形 19/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.若ABC中∠A:∠B:LC=4:5:6,则ABC为直角三角形 C.若ABC为直角三角形且∠C=90°，∠A=30°，则BC等于AB的一半 D.若ABC中AB=AC,∠A=60°，则ABC为等边三角形 75.如图，AD,CF分别是ABC的高和角平分线，AD与CF相交于点G,AE平分LCAD交BC于点E, 交CF于点M,连接BM交AD于点H,且BM⊥AE·有下列结论：①LEMF=I35°；②AH+CE=AC; 国4P=BF:①48C是等边三角形：@Saw+Sm+Sm8,其中，正确的结论有 ·(填 序号) M H B D E 76.如图，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，连接AD,点E在ABC的左侧，连接AE、BE, ∠E=90°，AB平分∠DAE,且BEI‖AC.求证：ABC是等边三角形， A 77.如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,BD⊥AC,延长BC至点E,使得CE=CD,连接 DE,∠E=30°. F (1)求证：ABC是等边三角形； (2)过点D作DF⊥BE于点F,求证：DF是线段BE的垂直平分线. 78.如图，在ABC中，∠ABC=∠ACB=80°，D是AB上一点，且AD=BC,DE∥BC且DE=AC,连 接AE、CE、CD. 20/27 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求∠AED的度数； (2)证明：△ACE是等边三角形 79.如图，在△ABD中，AB⊥AD,∠B=30°，DC平分∠ADB,交边AB于点C,E为边BD的中点， CE∥AF,AF交DC于点G,交BD于点F. B E (1)求证：CE⊥BD: (2)判断。ACG的形状，并说明理由. 考点11等边三角形的判定和性质 80.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，∠C=120°，CD=3,BC=8,则AD的长为() B A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 81.如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地.甲：A→C→B,路程为·乙： A→D→E→F→B,路程为1之·丙：A→G→H→B,路程为两·下列关系正确的是(). G ,609 60N B 4969250A 60° 甲 丙 A.l甲=l2>l5B.l甲=lz<l街 C.l=1丙>l2 D.l=l两<1吃 82.如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3,PB=4,PC=5,以BC为边在ABC外作 21/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △BQC≌△BPA,连接PQ,下列结论中错误的是() B 0 A. BPQ是等边三角形 B.△PCQ是直角三角形 C.∠APB=150° D.Saro=83 83.我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.如图，在ABC中， LA=45°，∠ABC=120°，BC=2V5,D是ABC所在平面内任意一点，若四边形ABCD是“准筝形”，则 四边形ABCD的面积为 D B 84.己知：ABC中，∠CAB=60°，D是BC的中点，延长AB到点E,使BE=AC,连接CE,AD. D B 图1 图2 (1)如图1，若ABC是等边三角形，AD=√3，求CE的长； (2)如图2，过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F,连接EF,求证：△BEF是等边三角形. 85.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G,且AD=AB,E,F分别是边AB, AC上的点，且∠EDF=60°. D (1)求证：△ABD是等边三角形； 22/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AB=AC=10,AE=7,求AF的长 86.综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动， 问题情境：在等边三角形ABC中，O是BC边的中点，D是射线CB上一点（不与点C,B重合），连接AD ,作等边三角形ADE(点E和点C在ADE边的同侧)，连接EO并延长交直线AB于点F,连接CE. O(D) 图1 图2 【特例分析】 (1)如图1，当点D与点O重合时，BD与BF之间的数量关系是： 【拓展探究】 (2)如图2，当点D在线段B0上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明：若不成 立，请说明理由； 【推广应用】 (3)当点D在射线OB上运动时，请直接写出线段AB,BF,OD之间的数量关系 考点12含30度角的直角三角形 87.如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，CE是AB边上的高，AD是ABC的角平分线，AD和CE交于 点F,DG⊥AB,P是边AD上的一动点，连接EP,PG,给出下面四个结论： ①LACE=∠B; ②CF=CD; ③当AD=BD,AE=1时，BC=2V3; ④当4C=3,BC=4时，EP+PG的最小值为2 上述结论中，正确结论的序号有 88.如图，BD平分∠ABC,LADB=60°，∠BDC=80°，∠C=70°，AD=√5，则BD= 23/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 89.如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C,测得AC=80cm,BC=60cm· A (1)若∠ACB=90°，求AB的长； (2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB=30°，求此时AB的长度. :CG⊥AB,∠CAB=30°，AC=80cm,BC=60cm, GB :CG=4C=40(cm), 21 :.AG=VAC2-CG2=V802-402=40V3(cm,BG=VBC2-CG2=V602-402=205(cm), .AB=4G+BG=(403+205cm, 90.图1是某种可调节支撑架侧面结构示意图，DE为水平固定杆，CD固定在DE上，AB为活动杆，上面 有滑槽，已知CD=50cm,∠CDE=45°，∠ACD=105°. y A E D E B' D 图1 图2 (1)求点C到DE的距离： (2)如图2，当BC=I5Cm时，将AB沿点C滑动，点B恰好落在DE所在直线上（记为点B),问此时AB沿 24/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C下滑了多少厘米？（参考数据：√6≈2.4，结果保留整数） 考点13直角三角形的证明与应用 91.如图，AB=CD,AF=CE,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F.求证：∠A=LC. B 92.△ABC中，D是BC中点，BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足E、F.判断△ABC形状并证明. D 93.如图，已知AB⊥BE,AD⊥CF,垂足为D,点C在线段BE上，BE=DF,AE=AF· B◇ E (1)求证：△ABC≌△ADC; (2)若AD=12,CE=5,DF=9,求AC的长. 94.综合与实践 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形 25/27 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 图1 图2 图3 (1)操作判断：用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四 边形的有 (填序号).（友情提醒：45°角的直角三角形三边比为1√2,30°的直角三角形三边比为 152) (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质.如图2，四 边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线. ①写出图中相等角 ②若BC=7,DC=5,LBCD=60°，则AC= (3)拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4,分别在边BC、AC上取点M、N ,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长， 95.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=3,点D在边AB上，AD=2DB,点E在边 AC上，点F在直线BC上，连接DE,DF,EF, D C F B (1)求BD的长： (2)若EC=2BF,EF=4,求EC的长； (3)若EF⊥AC,且ADEF是等腰三角形，求EC的长. 96.在平面直角坐标系中，点A-4,0),点B(4,0)均在坐标轴上，点C是y轴负半轴上的一动点，连接CA CB. 26/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)若ABC的面积为16，在线段AC上存在点Dm,m); ①如图1，填空：点C的坐标为一，点D的坐标为一： ②如图2，点P在y轴负半轴上，连接PD,BD,若PD=BD,求点P的坐标； (2)如图3，若CA=AB,在第四象限内有一动点Q,连接OA,QB,QC,且∠CQA=60°.求证： CO+BO=A0. 27/27