2025-2026学年苏科版八年级数学下册期末试题

**基本信息** 新苏科版八年级数学下册期末卷，以成都世运会调查、摸球试验等真实情境为载体，融合几何直观、数据分析与推理证明，全面考查全册核心知识与数学素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|中心对称图形、概率事件、二次根式、分式性质|基础概念辨析，如第6题区分正方形与矩形对角线性质| |填空题|8题/24分|分式意义、因式分解、平行四边形面积、分式方程增根|强调逆向思维，如第13题构造分式使x=3时值为0| |解答题|8题/66分|统计图表分析、概率估算、几何作图与证明、分式化简求值|情境化与综合性强，如20题结合世运会调查考查数据意识，24题网格作图培养空间观念，25-26题综合平行四边形与矩形性质考查推理能力|

2025-2026新苏科版8年级数学下册期末试题（全册） 一、选择题 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，与为同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（ ）． A. 对角线互相平分B. 对角线相等角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 7. 用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（ ） A. 3 B. C. D. x 8. 若，则的值是（    ） A. 9 B. 7 C. 13 D. 14 9. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题 11. 分式的值是正整数，则正整数的值是___________． A. 60 B. 30 C. 90 D. 96 12.若二次根式有意义，则x取值范围是________. 13. 请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________． 14. 如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为______ 14题 15题 15. 如图，在平行四边形中，于于，若，，，则平行四边形的面积为______． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 17. 分解因式：_________________． 18. 已知，，则________． 三、解答题 19. 计算：（1）．（2）； 20. 年8月7日至8月日在成都举办了世界运动会，为了解我校学生对项目的喜爱情况，对我校学生随机抽取了若干名进行问卷调查．问卷给出了四个比赛供学生选择，(：动力冲浪板，：索道滑水，：尾波冲浪，：尾波滑水)每人只能在这四个项目中选择一个最喜爱的项目，将调查得到的结果绘制成统计图，部分信息如图所示： （1）被抽样调查的学生有 人，项目A对应的圆心角是 ； （2）补全条形统计图； （3）假设我校共有名学生，请估计在这四个项目中，最喜爱尾波滑水项目的学生共有多少人？ 21. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋中并摇匀，试验活动中的部分统计数据如下表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 24 33 52 127 202 251 摸到黑球的频率 a （1）完成上述表格：_____； （2）估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（精确到）； （3）估算袋中白球的个数． 22. 将下列各式分解因式． （1）； （2）． 23. 已知题目“先化简，再求值：，其中．”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下． 嘉嘉： 解：原式 … 淇淇： 解：原式 … （1）嘉嘉第一步运算的依据是________，淇淇第一步运算的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法对加法的分配律 ④乘法交换律 （2）从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程． 24. 如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， （1）在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； （2）在图2中，在边上确定一点，使得． 25. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则______． 26. 如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 2025-2026新苏科版8年级数学下册期末试题（全册） 一、选择题 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义直接判断即可． 【详解】A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可 【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 【答案】C 【解析】 【分析】抽样调查适用于调查对象数量多、具有破坏性或无法全面调查的情况，需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】A、因钞票数量有限且需确保每张真实，必须全面检查，不适用抽样，故选项A不符合题意； B、为确保文章准确性，需逐字检查，不适用抽样，故选项B不符合题意； C、防撞测试具有破坏性，无法对所有汽车检测，适用抽样，故选项C符合题意； D、因涉及重大安全，需全面检查每个零件，不适用抽样，故选项D不符合题意． 故答案选：C． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5. 下列各式中，与为同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断同类二次根式的判断，是否为同类二次根式需化简后比较被开方数．将各选项化简，找出被开方数为3的选项即可． 【详解】解：，被开方数为3． ．：已最简，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：已最简，被开方数为6 ，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为3，与化简后相同，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（ ）． A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，属于基础题型，熟练掌握矩形和菱形的性质是关键．根据菱形和矩形的性质依次判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意． 故选：C． 7. 用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（ ） A. 3 B. C. D. x 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分． 【详解】解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 8. 若，则的值是（    ） A. 9 B. 7 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．把所给代数式变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵，∴ ． 故选：C． 9. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可． 【详解】解：原方程可化为，且分母， 两边同乘，得， 展开右边：， 移项：， 化简：， ∴， 当方程无解时，解为增根，即， ∴，解得， 当时，使分母为零，方程无解， 其他值均使方程有解，故， 故选：A． 二、填空题 11. 分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2，∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 12. 若分式有意义，则的满足的条件为______．若二次根式有意义，则x取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：．【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据要求和分式的定义可写出. 【详解】如，，-等等，只要分母不等于0就好. 故答案为： 【点睛】考核知识点：分式的值为0.理解分式的定义是关键. 14. 如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为_____ ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 【答案】：60 15. 如图，在平行四边形中，于于，若，，，则平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质：根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，， ∴，， ∴平行四边形的面积为． 故答案为：． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出增根x值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得，即增根为2， 方程两边同乘，得， 化简，得， 将代入，得． 故答案为． 17. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 18. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值． 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 三、解答题 19. 计算：（1）．（2）； 【答案】【 详解】解：原式 ， ． （2） 【解答】解：（2）原式 ； 20. 年8月7日至8月日在成都举办了世界运动会，为了解我校学生对项目的喜爱情况，对我校学生随机抽取了若干名进行问卷调查．问卷给出了四个比赛供学生选择，(：动力冲浪板，：索道滑水，：尾波冲浪，：尾波滑水)每人只能在这四个项目中选择一个最喜爱的项目，将调查得到的结果绘制成统计图，部分信息如图所示： （1）被抽样调查的学生有 人，项目A对应的圆心角是 ； （2）补全条形统计图； （3）假设我校共有名学生，请估计在这四个项目中，最喜爱尾波滑水项目的学生共有多少人？ 【答案】（1），； （2）见解析； （3）最喜爱尾波滑水项目的学生约有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图的综合应用，以及用样本估计总体的统计思想．关键是从两种统计图中提取有效数据，通过计算补全统计图表，并利用样本的频率来估计总体的数量． （1）先根据项目的人数和所占百分比求出总人数，再根据项目的人数占比计算其对应的圆心角； （2）用总人数减去、、项目的人数，得到项目的人数，再据此补全条形统计图； （3）先求出项目人数在样本中的占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出喜爱尾波滑水项目的学生人数． 【小问1详解】 解：∵项目有人，占被调查人数的， ∴被抽样调查的学生人数为人． ∵项目有人，占被调查人数的， ∴项目A对应的圆心角为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵被调查总人数为人，项目人，项目人，项目人， ∴项目的人数为人， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：∵样本中项目的人数为人，占比为， ∴估计全校名学生中，最喜爱尾波滑水项目的人数为人． 答：估计最喜爱尾波滑水项目的学生共有人． 21. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋中并摇匀，试验活动中的部分统计数据如下表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 24 33 52 127 202 251 摸到黑球的频率 a （1）完成上述表格：_____； （2）估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（精确到）； （3）估算袋中白球的个数． 【答案】（1） （2） （3）估计白球有15个 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率的计算公式，掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近是解题的关键． （1）用251除以1000，即可； （2）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （3）设袋中白球为个，用概率公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是； 故答案为： 【小问3详解】 解：设袋中白球为个，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：估计袋中有15个白球． 22. 将下列各式分解因式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 23. 已知题目“先化简，再求值：，其中．”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下． 嘉嘉： 解：原式 … 淇淇： 解：原式 … （1）嘉嘉第一步运算的依据是________，淇淇第一步运算的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法对加法的分配律 ④乘法交换律 （2）从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简计算，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）根据分式的基本性质和乘法对加法的分配律求解； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式，然后把x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉第一步运算的依据是分式的基本性质，淇淇第一步运算的依据是乘法对加法的分配律； 故答案为：②，③； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式 24. 如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， （1）在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； （2）在图2中，在边上确定一点，使得． 25. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 26. 如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2025-2026新苏科版8年级数学下册期末试题（全册） 一、选择题 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义直接判断即可． 【详解】A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可 【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 【答案】C 【解析】 【分析】抽样调查适用于调查对象数量多、具有破坏性或无法全面调查的情况，需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】A、因钞票数量有限且需确保每张真实，必须全面检查，不适用抽样，故选项A不符合题意； B、为确保文章准确性，需逐字检查，不适用抽样，故选项B不符合题意； C、防撞测试具有破坏性，无法对所有汽车检测，适用抽样，故选项C符合题意； D、因涉及重大安全，需全面检查每个零件，不适用抽样，故选项D不符合题意． 故答案选：C． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5. 下列各式中，与为同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断同类二次根式的判断，是否为同类二次根式需化简后比较被开方数．将各选项化简，找出被开方数为3的选项即可． 【详解】解：，被开方数为3． ．：已最简，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：已最简，被开方数为6 ，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为3，与化简后相同，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（ ）． A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，属于基础题型，熟练掌握矩形和菱形的性质是关键．根据菱形和矩形的性质依次判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意． 故选：C． 7. 用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（ ） A. 3 B. C. D. x 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分． 【详解】解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 8. 若，则的值是（    ） A. 9 B. 7 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．把所给代数式变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵，∴ ． 故选：C． 9. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可． 【详解】解：原方程可化为，且分母， 两边同乘，得， 展开右边：， 移项：， 化简：， ∴， 当方程无解时，解为增根，即， ∴，解得， 当时，使分母为零，方程无解， 其他值均使方程有解，故， 故选：A． 二、填空题 11. 如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ） A. 60 B. 30 C. 90 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 故选：A． 12. 若分式有意义，则的满足的条件为______．若二次根式有意义，则x取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：．【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据要求和分式的定义可写出. 【详解】如，，-等等，只要分母不等于0就好. 故答案为： 【点睛】考核知识点：分式的值为0.理解分式的定义是关键. 14. 分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2，∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在平行四边形中，于于，若，，，则平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质：根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，， ∴，， ∴平行四边形的面积为． 故答案为：． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出增根x值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得，即增根为2， 方程两边同乘，得， 化简，得， 将代入，得． 故答案为． 17. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 18. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值． 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 三、解答题 19. 计算：（1）．（2）； 【答案】【 详解】解：原式 ， ． （2） 【解答】解：（2）原式 ； 20. 年8月7日至8月日在成都举办了世界运动会，为了解我校学生对项目的喜爱情况，对我校学生随机抽取了若干名进行问卷调查．问卷给出了四个比赛供学生选择，(：动力冲浪板，：索道滑水，：尾波冲浪，：尾波滑水)每人只能在这四个项目中选择一个最喜爱的项目，将调查得到的结果绘制成统计图，部分信息如图所示： （1）被抽样调查的学生有 人，项目A对应的圆心角是 ； （2）补全条形统计图； （3）假设我校共有名学生，请估计在这四个项目中，最喜爱尾波滑水项目的学生共有多少人？ 【答案】（1），； （2）见解析； （3）最喜爱尾波滑水项目的学生约有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图的综合应用，以及用样本估计总体的统计思想．关键是从两种统计图中提取有效数据，通过计算补全统计图表，并利用样本的频率来估计总体的数量． （1）先根据项目的人数和所占百分比求出总人数，再根据项目的人数占比计算其对应的圆心角； （2）用总人数减去、、项目的人数，得到项目的人数，再据此补全条形统计图； （3）先求出项目人数在样本中的占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出喜爱尾波滑水项目的学生人数． 【小问1详解】 解：∵项目有人，占被调查人数的， ∴被抽样调查的学生人数为人． ∵项目有人，占被调查人数的， ∴项目A对应的圆心角为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵被调查总人数为人，项目人，项目人，项目人， ∴项目的人数为人， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：∵样本中项目的人数为人，占比为， ∴估计全校名学生中，最喜爱尾波滑水项目的人数为人． 答：估计最喜爱尾波滑水项目的学生共有人． 21. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋中并摇匀，试验活动中的部分统计数据如下表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 24 33 52 127 202 251 摸到黑球的频率 a （1）完成上述表格：_____； （2）估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（精确到）； （3）估算袋中白球的个数． 【答案】（1） （2） （3）估计白球有15个 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率的计算公式，掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近是解题的关键． （1）用251除以1000，即可； （2）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （3）设袋中白球为个，用概率公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是； 故答案为： 【小问3详解】 解：设袋中白球为个，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：估计袋中有15个白球． 22. 将下列各式分解因式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 23. 已知题目“先化简，再求值：，其中．”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下． 嘉嘉： 解：原式 … 淇淇： 解：原式 … （1）嘉嘉第一步运算的依据是________，淇淇第一步运算的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法对加法的分配律 ④乘法交换律 （2）从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简计算，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）根据分式的基本性质和乘法对加法的分配律求解； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式，然后把x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉第一步运算的依据是分式的基本性质，淇淇第一步运算的依据是乘法对加法的分配律； 故答案为：②，③； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式 24. 如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， （1）在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； （2）在图2中，在边上确定一点，使得． 25. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 26. 如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2025-2026新苏科版8年级数学下册期末试题（全册） 一、选择题 1. 下列剪纸作品，主体图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此判断即可． 【详解】解：．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可 【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 【答案】C 【解析】 【分析】抽样调查适用于调查对象数量多、具有破坏性或无法全面调查的情况，需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】A、因钞票数量有限且需确保每张真实，必须全面检查，不适用抽样，故选项A不符合题意； B、为确保文章准确性，需逐字检查，不适用抽样，故选项B不符合题意； C、防撞测试具有破坏性，无法对所有汽车检测，适用抽样，故选项C符合题意； D、因涉及重大安全，需全面检查每个零件，不适用抽样，故选项D不符合题意． 故答案选：C． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5. 下列各式中，与为同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断同类二次根式的判断，是否为同类二次根式需化简后比较被开方数．将各选项化简，找出被开方数为3的选项即可． 【详解】解：，被开方数为3． ．：已最简，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：已最简，被开方数为6 ，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为3，与化简后相同，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（ ）． A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，属于基础题型，熟练掌握矩形和菱形的性质是关键．根据菱形和矩形的性质依次判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意． 故选：C． 7. 用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（ ） A. 3 B. C. D. x 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分． 【详解】解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 8. 若，则的值是（    ） A. 9 B. 7 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．把所给代数式变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵，∴ ． 故选：C． 9. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可． 【详解】解：原方程可化为，且分母， 两边同乘，得， 展开右边：， 移项：， 化简：， ∴， 当方程无解时，解为增根，即， ∴，解得， 当时，使分母为零，方程无解， 其他值均使方程有解，故， 故选：A． 二、填空题 11. 如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ） A. 60 B. 30 C. 90 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 故选：A． 12. 若分式有意义，则的满足的条件为______．若二次根式有意义，则x取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：．【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据要求和分式的定义可写出. 【详解】如，，-等等，只要分母不等于0就好. 故答案为： 【点睛】考核知识点：分式的值为0.理解分式的定义是关键. 14. 分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2，∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在平行四边形中，于于，若，，，则平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质：根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，， ∴，， ∴平行四边形的面积为． 故答案为：． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出增根x值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得，即增根为2， 方程两边同乘，得， 化简，得， 将代入，得． 故答案为． 17. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 18. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值． 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 三、解答题 19. 计算：（1）．（2）； 【答案】【 详解】解：原式 ， ． （2） 【解答】解：（2）原式 ； 20. 年8月7日至8月日在成都举办了世界运动会，为了解我校学生对项目的喜爱情况，对我校学生随机抽取了若干名进行问卷调查．问卷给出了四个比赛供学生选择，(：动力冲浪板，：索道滑水，：尾波冲浪，：尾波滑水)每人只能在这四个项目中选择一个最喜爱的项目，将调查得到的结果绘制成统计图，部分信息如图所示： （1）被抽样调查的学生有 人，项目A对应的圆心角是 ； （2）补全条形统计图； （3）假设我校共有名学生，请估计在这四个项目中，最喜爱尾波滑水项目的学生共有多少人？ 【答案】（1），； （2）见解析； （3）最喜爱尾波滑水项目的学生约有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图的综合应用，以及用样本估计总体的统计思想．关键是从两种统计图中提取有效数据，通过计算补全统计图表，并利用样本的频率来估计总体的数量． （1）先根据项目的人数和所占百分比求出总人数，再根据项目的人数占比计算其对应的圆心角； （2）用总人数减去、、项目的人数，得到项目的人数，再据此补全条形统计图； （3）先求出项目人数在样本中的占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出喜爱尾波滑水项目的学生人数． 【小问1详解】 解：∵项目有人，占被调查人数的， ∴被抽样调查的学生人数为人． ∵项目有人，占被调查人数的， ∴项目A对应的圆心角为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵被调查总人数为人，项目人，项目人，项目人， ∴项目的人数为人， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：∵样本中项目的人数为人，占比为， ∴估计全校名学生中，最喜爱尾波滑水项目的人数为人． 答：估计最喜爱尾波滑水项目的学生共有人． 21. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋中并摇匀，试验活动中的部分统计数据如下表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 24 33 52 127 202 251 摸到黑球的频率 a （1）完成上述表格：_____； （2）估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（精确到）； （3）估算袋中白球的个数． 【答案】（1） （2） （3）估计白球有15个 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率的计算公式，掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近是解题的关键． （1）用251除以1000，即可； （2）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （3）设袋中白球为个，用概率公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是； 故答案为： 【小问3详解】 解：设袋中白球为个，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：估计袋中有15个白球． 22. 将下列各式分解因式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 23. 已知题目“先化简，再求值：，其中．”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下． 嘉嘉： 解：原式 … 淇淇： 解：原式 … （1）嘉嘉第一步运算的依据是________，淇淇第一步运算的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法对加法的分配律 ④乘法交换律 （2）从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简计算，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）根据分式的基本性质和乘法对加法的分配律求解； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式，然后把x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉第一步运算的依据是分式的基本性质，淇淇第一步运算的依据是乘法对加法的分配律； 故答案为：②，③； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式 24. 如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， （1）在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； （2）在图2中，在边上确定一点，使得． 25. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 26. 如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $