2025-2026学年人教版八年级数学下册期末冲刺四《平行四边形》专项高分练习

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定，通过基础计算、多结论判断、动态问题及实际应用，系统构建知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形的性质|21题|含基础计算（周长/距离）、多结论判断、条件开放证明|从边/角/对角线性质出发，结合图形变换（平移）深化性质应用| |平行四边形的判定|15题|包括判定条件选择、中位线应用、动点动态问题、实际测量方案设计|以性质为基础，通过边/角/对角线关系推导判定，结合中位线拓展至三角形与四边形综合|

2026年人教版八年级数学下册期末冲刺四 《平行四边形》专项高分练习（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、考查内容1：平行四边形的性质 1．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，，，相交于点，若，，，则的周长为________． 3．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④与之间的距离为或的长．其中正确的有________． 4．如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 5．在中，的平分线分对边为和两部分，则的周长为___________． 6．在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 7．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 10．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．如图，含30°角的三角板的直角边靠在直尺上平移得到．已知，，平移距离为12，则四边形的面积是（   ） A．96 B． C．192 D． 12．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 13．如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 14．如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 16．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 18．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 19．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 20．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 21．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 二、考查内容2：平行四边形的判定 22．如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（    ） A． B．20 C． D．16 23．如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 24．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 25．如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 26．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 27．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 28．如图，记顺次连接三边的中点，，得到的三角形的面积为，顺次连接三边的中点，，得到的三角形的面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形的面积为．设的面积为，则__________（用含的代数式表示）． 29．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为______． 30．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 31．如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为______． 32．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 33．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 34．如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    35．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 36．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年人教版八年级数学下册期末冲刺四 《平行四边形》专项高分练习（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、考查内容1：平行四边形的性质 1．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 2．如图，，，相交于点，若，，，则的周长为________． 【答案】12 【详解】解：在中．，，， ，，， 的周长． 3．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④与之间的距离为或的长．其中正确的有________． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行四边形的判定与性质进行判断即可． 【详解】解:∵，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，与之间的距离为或的长， 则①②③④都正确. 4．如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 【答案】50 【分析】先根据平行线性质及三角形内角和定理说明，可得，再结合已知条件得出答案． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ． ， ， 与之间的距离为． 5．在中，的平分线分对边为和两部分，则的周长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题关键是运用分类讨论思想求解，根据平行四边形对边平行的性质得到等角，结合角平分线推导出边相等，再分情况计算周长． 【详解】解：设的平分线交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 分为和两部分，分两种情况讨论： 当，时，，， 的周长为； 当，时，，， 的周长为 6．在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论． 【详解】解：若选②，即OE=OF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵OE=OF，∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选①，即AE=CF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AO=CO， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选③，即BE∥DF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵BE∥DF； ∴∠BEO=∠DFO， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BE=DF； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是关键． 7．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误； B、∵，，邻角相等，∴不能得出四边形是平行四边形，错误； C、∵，，∴四边形是平行四边形，正确； D、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误． 故选：C． 8．如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再依据平行四边形的性质逐项分析即可． 【详解】解：， 即对角线、互相平分 ∴四边形是平行四边形 A、，平行四边形对边相等，不符合题意； B、，平行四边形对边平行，不符合题意； C、，平行四边形对边相等，不符合题意； D、平行四边形无对角线互相垂直的性质，符合题意； 故选：D ． 9．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 10．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，已知，故当时，四边形为平行四边形． 【详解】要使四边形为平行四边形，根据判定定理，需两组对边分别相等， 即且 已知，满足； ∵， ∴． 故选：C． 11．如图，含30°角的三角板的直角边靠在直尺上平移得到．已知，，平移距离为12，则四边形的面积是（   ） A．96 B． C．192 D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， 由平移的性质可知： ∴四边形为平行四边形， 平移距离为， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，解题的关键是得出四边形为平行四边形. 12．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：如图， A、，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； B、，，可以证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； C、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故不合题意； D、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形，故符合题意； 故选：D． 13．如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定．根据题意，得出四边形是平行四边形，再结合平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为，，，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以该图形的面积为：． 故选：C． 14．如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 证明出四边形是平行四边形，得到，，求出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，． ， 四边形是平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． 故选：A． 15．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，理解题意是解决本题的关键． 先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：，，， ， 点是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 16．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，含的特殊直角三角形等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 17．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 18．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴（平行线之间的距离处处相等）， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为： 6． 19．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 20．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 21．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 二、考查内容2：平行四边形的判定 22．如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（    ） A． B．20 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵E、F分别是边的中点， ∴且， 且， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 23．如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 25．如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中点四边形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理．利用三角形中位线定理得到，，最后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，识别出图中的所有平行四边形． 【详解】解：如图，设与、的交点为、，与、的交点为、， ，，，分别是，，，的中点， ，， 图中的平行四边形有：四边形，四边形、四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，共个． 故选：D． 26．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，掌握由三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 由三角形中位线定理得到，再结合米即可解答． 【详解】解：∵和的中点D、E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴米， ∴A、B两点间的距离为12米． 故选B． 27．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 28．如图，记顺次连接三边的中点，，得到的三角形的面积为，顺次连接三边的中点，，得到的三角形的面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形的面积为．设的面积为，则__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键； 利用三角形中位线定理，得出中位线与原边的关系，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出各三角形面积与面积的关系，进而求出． 【详解】解：，，分别是三边的中点， ，，， ∴在和中， ． 同理可证，， ， ． 同理可得，， ． 29．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得是的中位线，即，当取最小值时，则也为最小，则当时，取最小，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，则也为最小， ∴当时，取最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为． 30．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 【答案】③ 【分析】本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ①是真命题，过点作交边于点，连接，证明四边形是平行四边形得，，再证明四边形是平行四边形得，，然后证明四边形是平行四边形可证结论成立； ②是真命题，作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形得，．再证明得，，进而可证结论成立； ③是假命题，画出图形说明即可． 【详解】解：命题①是真命题，理由： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，． ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ，， ∴ 是的中位线． ③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题． 故答案为：③． 31．如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理，三角形中位线的性质及判定，熟练掌握三角形中位线的性质及判定是解题的关键， 连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理分别求出、、、，计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 32．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 33．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 34．如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 35．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论； （2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 36．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $