专题02 勾股定理（4大考点期末真题汇编，四川专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 专题聚焦勾股定理四大高频考点，汇编四川多地期末真题，涵盖基础应用、逆定理、最短路径及翻折问题，兼具文化传承与实际应用情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约15题|勾股定理应用（赵爽弦图）、逆定理判断、最短路径（台阶）|结合《周髀算经》等文化素材，基础与变式题结合| |填空题|约10题|斜边上的高、希波克拉底月牙面积、折叠后边长计算|融入几何图形面积转化，考查空间想象| |解答题|约15题|网格作图、实际问题（儿童游戏项目）、多步折叠综合题|生活情境（绿化地设计）与跨考点综合（折叠+勾股定理），贴合期末命题趋势|

专题02 勾股定理 4大高频考点概览 考点01勾股定理及其应用 考点02勾股定理的逆定理及其应用 考点03空间中的最短路径问题 考点04图形的翻折（折叠）问题 ( 地 城 考点01 勾股定理及其应用 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·校考期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 2．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，在等腰中，，，则高的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 3．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足，则该直角三角形的第三边长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 5．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 6．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（24-25八年级下·四川自贡富顺县·期末）小明和小刚的家分别在学校的正北与正西方向上，放学后，他们分别以每分钟和每分钟的速度回家，10分钟后两人相距（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·四川绵阳梓潼县·期末）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是______． 10．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为______． 11．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 12．（24-25八年级下·四川自贡市·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图数学问题，小明在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则小明输入的密码是______． 三、解答题 13．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． (1)请在指定网格中画出，使(2)求的面积． 14．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E，若，求的长． 15．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米．(1)求立柱的长度；(2)为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． ( 地 城 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）小区在搭建一个直角三角形造型的休闲花架，用来摆放绿植美化环境，需要选适合长度的钢管做支架，哪组长度的钢管可以组成直角三角形支架（　　） A．2，4，6 B．3，5，6 C．5，12，13 D．4，5，7 2．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 3．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果，则是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 6．（24-25八年级下·四川自贡·期末）已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 7．（24-25八年级下·四川德阳·校考期末）如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 9．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 10．（24-25八年级下·四川广安·期末）高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川绵阳实验外国语学校·期末）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 12．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，，．求： (1)的周长；(2)判断是否是直角三角形？为什么？ 13．（24-25八年级下·四川广元·期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，．(1)求证：；(2)若“表”，，求的长；(3)若，判断的形状，并说明理由． 14．（24-25八年级下·四川德阳·期末）为迎接2025年“网络中国节”，某景区举办特色文创展览，计划制作一批纪念徽章．徽章图案设计包含图1所示的直角三角形和图2所示的四边形区域． (1)如图1，，，直角边分别为，，斜边为，请根据图1证明勾股定理；(2)如图2所示，四边形是铜制徽章的主体轮廓．经测量：，，，，．请你计算这个四边形的面积，以便景区核算成本用量． 15．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． ( 地 城 考点0 3 最短路径问题 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·期末）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（ ）米， A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 5．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为_____． 6．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面围绕一圈到达点．那么所用的细线最短长度是__________厘米． 7．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为___________． 9．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 11．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）综合与实践 如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处．①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 12．（24-25八年级下·四川德阳·期末）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． ( 地 城 考点0 4 图形的翻折（折叠）问题 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 4．（24-25八年级下·四川绵阳北川县·期末）如图，已知在中，，，点，分别在边上，连接，将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点分别落在点处，且边与在同一条直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则________． 5．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________；（2）若，，则______． 三、解答题 6．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 7．（24-25八年级下·四川广安·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘． 【纸片规格】三角形纸片，，，点D是底边上一点． 【探索研究】(1)如图1，若，，连接，求的长度； (2)如图2，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点A的对应点为点E．若所在的直线与的一边垂直，求的长；(3)如图3，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点F，且，再将沿所在直线翻折得到，点E的对应点为点G，与、分别交于H，K，若，请直接写出边的长． 8．（24-25八年级下·四川阿坝州·期末）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题：（1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长；②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 4大高频考点概览 考点01勾股定理及其应用 考点02勾股定理的逆定理及其应用 考点03空间中的最短路径问题 考点04图形的翻折（折叠）问题 ( 地 城 考点01 勾股定理及其应用 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A A D B D A 二、填空题 9．【答案】 10．【答案】4或5 11．【答案】30 12．【答案】373512 三、解答题 13．【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）解：（1）如图所示， 为所作三角形； （2）解：． 14．【答案】 【详解】解：∵，∴，   又∵平分，，∴， ∵，∴ ， 在中，． 15．【答案】(1)立柱的长度为9米(2)米 【详解】（1）（1）由题意得米，米，设米，则米， 在中，由勾股定理得，即，解得． ∴米．∴米．∴立柱的长度为9米． （2）由题意得米，∴米． 在中，由勾股定理得米． ( 地 城 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 C B D A A B D 二、填空题 8．【答案】已变形 9．【答案】24 10．【答案】5，12，13和9，12，15 三、解答题 11．【答案】(1)至少需要米的篱笆(2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，∵，，∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，，，， ∴，∴是直角三角形，，∴， ∵，∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 12．【答案】(1)(2)直角三角形，原因见详解 【详解】（1）解：，， 在中，，，，则由勾股定理可得； 在中，，，，则由勾股定理可得； 的周长为； （2）解：是直角三角形，原因如下： 由（1）知，，， 即，是直角三角形． 13．【答案】(1)见解析(2)5(3)是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，平分，，∴； （2）解：在和中，，∴，∴， ∵在中，，，∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：，∴，∴； （3）解：是等边三角形，理由如下：∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，由（2）知：，∴是等边三角形． 14．【答案】(1)见解析(2)四边形的面积为 【详解】（1）证明：，， ，，，即， ，， ∵，，即； （2）解：如图，连接， ，，，∴， ，，，， ， 答：四边形的面积为． 15．【答案】(1)15(2)元(3)小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元 【详解】（1）解：当测量时，， ∴． （2）解：如图，连接， ，， ，， 四边形的面积，建造绿化地的总费用为（元）． （3）解：，，，， ，，， 小华设计的铺设管道方案所需的费用为（元），小明设计的铺设管道方案所需的费用为（元）， ∵．答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元． ( 地 城 考点0 3 最短路径问题 ) 一、选择题 1 2 3 C A D 二、填空题 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】10 7．【答案】26 9．【答案】 三、解答题 10．【答案】(1)1000(2)自动售货点应修建在离点C100米处(3) 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等，∴，∴，解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形，∴，， ∴，∴， ∵，∴的最小值为，即到A、B两处的距离之和最小值为． 11．【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析(2)1100米 【详解】（1）解：①如图，点即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点即为所求； （2）解：将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，如图，则：， ∴当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短， 由题意，， ∴，∴的最小值为； 答：工作人员所走的最短路程是1100米. 12．【答案】(1)(2)25(3)x的值为7.2 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则，∴，∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵，∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则，∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，，∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则，∴． ∵，∴，∴，解得，∴x的值为7.2． ( 地 城 考点0 4 图形的翻折（折叠）问题 ) 一、选择题 1 2 C D 二、填空题 3．【答案】7 4．【答案】或 5．【答案】 45 三、解答题 6．【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形，∴．设，则， 在Rt中， ，∴，解得，∴． （2）解：∵四边形是长方形，∴． 根据折叠的性质，得． 又∵，∴． ∵交于点，∴，∴， ∴．设，则． 在Rt中， ，∴，解得， ∴．∴，∴． （3）解：∵四边形是长方形，∴． 由折叠的性质，得，∴． 又∵，∴，∴，∴． 又∵，设，则， ∴．在Rt中，， 解得，∴． 7．【答案】(1)(2)或或；(3) 【详解】（1）如图1：作于E，则． ，，，，， ，由勾股定理得； （2）如图2：当时，连接，作于G． 由翻折得：，，，， ，， ，，， ，，， 当时，由（1）知：，．； 如图3：当时，设交于点W，交于V，， ，，，， ，，， 由（1）知，当时，，，设，则， 由勾股定理得，，，解得，； 如图4：当时，，， ，，， 由勾股定理得，，，解得． 综上所述：的长为或或； （3）如图5：，，，， 又，，． 由翻折得到．，， ，，，， 在中，，，， 由勾股定理得，，，解得，， ，． 8．【答案】（1）见解析（2）①② 【详解】（1）证明：连接． 因为边是四边形中的最大边，所以在中，．所以． 因为边是四边形中的最小边，所以在中，．所以． 所以．即． （2）①如图4，将沿翻折，得到， ∴，，∵，∴点B落在上的点E处， 由勾股定理得． ∵，，∴，∴平分． 过点E作于F，则，设，则． 由，得，∴，∴； ②如图，将沿AD翻折，得到，∴，， ∵，∴点C落在的延长线上的点E处， 过点E作于N，交于M，此时最小， 由①知：，∴， ∵，∴，∴，即的最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 4大高频考点概览 考点01勾股定理及其应用 考点02勾股定理的逆定理及其应用 考点03空间中的最短路径问题 考点04图形的翻折（折叠）问题 ( 地 城 考点01 勾股定理及其应用 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·校考期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 【答案】D 【详解】解：如图所示：    由题意得：边长为的大正方形的面积个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积，即：，整理得：， 即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和，故选：D． 2．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，在等腰中，，，则高的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 【答案】C 【详解】解：∵，，，∴， ∴在中，故选：C 3．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中，，故； ∵是等腰直角三角形，是斜边，∴，则， ∴，故，同理，， ∵，则，即，故选：A． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足，则该直角三角形的第三边长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】由非负数性质，，可得：解得： ∴两直角边长分别为4和3．根据勾股定理，斜边长为： 综上，第三边长为5，故选：A． 5．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【详解】解：如图， 由正方形的性质得：， ，， 在和中，，，∴ ∵两边的两个正方形的面积为2和3，∴ 在中，由勾股定理得：， 即中间的一个大正方形的面积为，故选：D． 6．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，∴在中，， ∴这个风车的外围周长是，故选：B． 7．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵为的中点，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，由勾股定理得，故选：D． 8．（24-25八年级下·四川自贡富顺县·期末）小明和小刚的家分别在学校的正北与正西方向上，放学后，他们分别以每分钟和每分钟的速度回家，10分钟后两人相距（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，，则由勾股定理知： ．故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级下·四川绵阳梓潼县·期末）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是______． 【答案】 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是，，斜边长， ，，即的斜边上的高是答案为： 10．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为______． 【答案】4或5 【详解】解：∵，∴，∴，∴， 当边长为b的边为直角边时，则斜边长为， 当边长为b的边为斜边时，则斜边长即为4，； 综上所述，该直角三角形的斜边长为4或5，故答案为：4或5． 11．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 【答案】30 【详解】解：在中，， ， ．故答案为：30． 12．（24-25八年级下·四川自贡市·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图数学问题，小明在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则小明输入的密码是______． 【答案】373512 【详解】解：由勾股定理可得：，小明输入的密码是373512，故答案为：373512． 三、解答题 13．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． (1)请在指定网格中画出，使(2)求的面积． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）解：（1）如图所示， 为所作三角形； （2）解：． 14．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E，若，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，∴，   又∵平分，，∴， ∵，∴ ， 在中，． 15．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米．(1)求立柱的长度；(2)为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【答案】(1)立柱的长度为9米 (2)米 【详解】（1）（1）由题意得米，米，设米，则米， 在中，由勾股定理得，即，解得． ∴米．∴米．∴立柱的长度为9米． （2）由题意得米，∴米． 在中，由勾股定理得米． ( 地 城 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）小区在搭建一个直角三角形造型的休闲花架，用来摆放绿植美化环境，需要选适合长度的钢管做支架，哪组长度的钢管可以组成直角三角形支架（　　） A．2，4，6 B．3，5，6 C．5，12，13 D．4，5，7 【答案】C 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故A不符合题意； B、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故B不符合题意； C、∵，，∴，∴能组成直角三角形，故C符合题意； D、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：C． 2．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【答案】B 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，∴，故选：B 3．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵，，∴，∵，，∴， ∵∴，∴是直角三角形，，∴．故选：D． 4．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴该三角形为直角三角形，且直角边长度分别为1和2， ∴这个三角形的面积．故选A． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果，则是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】A 【详解】解：根据题意，得a﹣10＝0，b﹣8＝0，c﹣6＝0，解得a＝10，b＝8，c＝6， ∵62+82＝102，∴a2=b2+c2，∴△ABC是以a为斜边的直角三角形． 6．（24-25八年级下·四川自贡·期末）已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】B 【详解】解：A．∵，两边平方得， ∴，不能构成三角形，故不符合题意； B．∵，移项得，符合勾股定理的逆定理，∴是直角三角形，故符合题意； C．∵ 设，，，，c为最长边， ∵，，，∴不是直角三角形，故不符合题意； D．∵，，，∴不是直角三角形，故不符合题意． 7．（24-25八年级下·四川德阳·校考期末）如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，∴， ，∴，∴． ∵点是的中点，∴．∴在中，． 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，，∴ 又测得，∴ ∵，即，∴不再是直角，木门已变形． 9．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【详解】解：连接， ，， ，， ，， 是直角三角形，且，四边形的面积． 10．（24-25八年级下·四川广安·期末）高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 【答案】5，12，13和9，12，15 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数． 5，12，13为基础勾股数，故组合5，12，13满足条件． 9，12，15是3，4，5的3倍，故组合9，12，15满足条件．其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 故答案为：5，12，13 和 9，12，15． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川绵阳实验外国语学校·期末）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆(2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，∵，，∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，，，， ∴，∴是直角三角形，，∴， ∵，∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 12．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，，．求： (1)的周长；(2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)(2)直角三角形，原因见详解 【详解】（1）解：，， 在中，，，，则由勾股定理可得； 在中，，，，则由勾股定理可得； 的周长为； （2）解：是直角三角形，原因如下： 由（1）知，，， 即，是直角三角形． 13．（24-25八年级下·四川广元·期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，．(1)求证：；(2)若“表”，，求的长；(3)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)5(3)是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，平分，，∴； （2）解：在和中，，∴，∴， ∵在中，，，∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：，∴，∴； （3）解：是等边三角形，理由如下：∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，由（2）知：，∴是等边三角形． 14．（24-25八年级下·四川德阳·期末）为迎接2025年“网络中国节”，某景区举办特色文创展览，计划制作一批纪念徽章．徽章图案设计包含图1所示的直角三角形和图2所示的四边形区域． (1)如图1，，，直角边分别为，，斜边为，请根据图1证明勾股定理；(2)如图2所示，四边形是铜制徽章的主体轮廓．经测量：，，，，．请你计算这个四边形的面积，以便景区核算成本用量． 【答案】(1)见解析(2)四边形的面积为 【详解】（1）证明：，， ，，，即， ，， ∵，，即； （2）解：如图，连接， ，，，∴， ，，，， ， 答：四边形的面积为． 15．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)15(2)元(3)小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元 【详解】（1）解：当测量时，， ∴． （2）解：如图，连接， ，， ，， 四边形的面积，建造绿化地的总费用为（元）． （3）解：，，，， ，，， 小华设计的铺设管道方案所需的费用为（元），小明设计的铺设管道方案所需的费用为（元）， ∵．答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元． ( 地 城 考点0 3 最短路径问题 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·期末）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（ ）米， A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为，∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为；综上，的范围是． 二、填空题 4．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中，， ． 5．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接， 则， 即当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长． ∵中，，，∴， 又∵P为的中点，∴，∴， 即的最小值为．故答案为： 6．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面围绕一圈到达点．那么所用的细线最短长度是__________厘米． 【答案】10 【详解】解：如图所示：连接，则即为所用的最短细线长， ，，由勾股定理得：， 则，故答案为：10． 7．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为___________． 【答案】26 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为24dm，圆柱高为5dm，∴AB=5dm，BC=BC′=12dm，∴AC2=52+122=132， ∴AC=5．∴这圈金属丝的周长最小为2AC=26（dm）．故答案为：26． 9．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则，由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米，米，米， 米， 的最短距离为米． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000(2)自动售货点应修建在离点C100米处(3) 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等，∴，∴，解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形，∴，， ∴，∴， ∵，∴的最小值为，即到A、B两处的距离之和最小值为． 11．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）综合与实践 如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处．①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析(2)1100米 【详解】（1）解：①如图，点即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点即为所求； （2）解：将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，如图，则：， ∴当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短， 由题意，， ∴，∴的最小值为； 答：工作人员所走的最短路程是1100米. 12．（24-25八年级下·四川德阳·期末）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1)(2)25(3)x的值为7.2 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则，∴，∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵，∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则，∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，，∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则，∴． ∵，∴，∴，解得，∴x的值为7.2． ( 地 城 考点0 4 图形的翻折（折叠）问题 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，， ∵点，点，∴，∴， ∴；∴，∴的坐标为． 2．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，，长方形，， ，，， 在和中，，，， ，，， ，即，设，则， 点恰好为线段的中点，，， ，，， 在中，，在中，， 在中，，，解得（负值已舍去），． 二、填空题 3．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得，由翻折的性质，得． 的周长． 4．（24-25八年级下·四川绵阳北川县·期末）如图，已知在中，，，点，分别在边上，连接，将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点分别落在点处，且边与在同一条直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则________． 【答案】或 【详解】解：由折叠性质得，，， 当时，设，得，，， 在中，，，； 当时，，是的中点， ，，设，则，， ，， 当或时，是以为腰的等腰三角形．故答案为：或 5．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 【答案】 45 【详解】（1）∵边沿翻折，点A落在上的点处， ∴，即．由翻折可知，， 又∵，即， ∴，即，故答案为：45； （2）在中，， ∵，∴，即，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， 在中，，∴， ∵，根据折叠可知，，， ∴，∴为等腰直角三角形， ∴．故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形，∴．设，则， 在Rt中， ，∴，解得，∴． （2）解：∵四边形是长方形，∴． 根据折叠的性质，得． 又∵，∴． ∵交于点，∴，∴， ∴．设，则． 在Rt中， ，∴，解得， ∴．∴，∴． （3）解：∵四边形是长方形，∴． 由折叠的性质，得，∴． 又∵，∴，∴，∴． 又∵，设，则， ∴．在Rt中，， 解得，∴． 7．（24-25八年级下·四川广安·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘． 【纸片规格】三角形纸片，，，点D是底边上一点． 【探索研究】(1)如图1，若，，连接，求的长度； (2)如图2，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点A的对应点为点E．若所在的直线与的一边垂直，求的长；(3)如图3，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点F，且，再将沿所在直线翻折得到，点E的对应点为点G，与、分别交于H，K，若，请直接写出边的长． 【答案】(1)(2)或或；(3) 【详解】（1）如图1：作于E，则． ，，，，， ，由勾股定理得； （2）如图2：当时，连接，作于G． 由翻折得：，，，， ，， ，，， ，，， 当时，由（1）知：，．； 如图3：当时，设交于点W，交于V，， ，，，， ，，， 由（1）知，当时，，，设，则， 由勾股定理得，，，解得，； 如图4：当时，，， ，，， 由勾股定理得，，，解得． 综上所述：的长为或或； （3）如图5：，，，， 又，，． 由翻折得到．，， ，，，， 在中，，，， 由勾股定理得，，，解得，， ，． 8．（24-25八年级下·四川阿坝州·期末）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题：（1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长；②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析（2）①② 【详解】（1）证明：连接． 因为边是四边形中的最大边，所以在中，．所以． 因为边是四边形中的最小边，所以在中，．所以． 所以．即． （2）①如图4，将沿翻折，得到， ∴，，∵，∴点B落在上的点E处， 由勾股定理得． ∵，，∴，∴平分． 过点E作于F，则，设，则． 由，得，∴，∴； ②如图，将沿AD翻折，得到，∴，， ∵，∴点C落在的延长线上的点E处， 过点E作于N，交于M，此时最小， 由①知：，∴， ∵，∴，∴，即的最小值为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $