专题02 相交线与平行线（4大考点期末真题汇编，四川成都专用）七年级数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦相交线与平行线4大高频考点，汇编成都多区期末真题，融合生活情境（如投壶游戏、灌溉水渠）与逻辑推理（如辅助线添加证明平行），梯度覆盖基础到综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|考点01垂线段最短（测量内槽宽工具）、考点02平行线判定（三角尺旋转）|结合生活工具与几何模型| |填空|约15题|考点03角度计算（折叠纸条）、考点04拐点问题（护眼灯支架角度）|融入实践操作与空间想象| |解答|约10题|综合应用（角平分线与平行性质证明、光线反射路径推导）|强调逻辑推理与多步论证|

专题02 相交线与平行线 4大高频考点概览 考点01两条直线的位置关系 考点02探索直线平行的条件 考点03平行线的性质 考点04平行线的拐点问题（辅助线添加问题） ( 地 城 考点01 两条直线的位置关系 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）下列说法不正确的是（　　） A．你最喜爱的球队将夺得冠军是随机事件 B．太阳从东方升起是确定事件 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 【答案】D 【详解】解：A、球队夺冠的结果无法提前确定，属于可能发生也可能不发生的随机事件，正确； B、太阳东升是必然发生的自然现象，属于确定事件中的必然事件，正确； C、直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短是几何基本性质（垂线段公理），正确； D、等腰三角形中，只有顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合。若未明确“顶角”或“底边”，则底角的角平分线与中线、高线不一定重合，因此该说法不严谨，错误；故选：D． 2．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）图，已知直线与相交于点于点平分．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 平分 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川成都青羊区·校考期末）小明在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图，把两根钢条、的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳），当增大时，的度数（   ） A．减小 B．增大 C．增大 D．不变 【答案】B 【详解】解：由图知与是对顶角，则， 当增大时，的度数增大，故选：B． 4．（24-25七年级下·四川成都彭州市·期末）下列说法中错误的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．两直线相交，对顶角相等 【答案】C 【详解】解：A、两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B、同角的补角相等，故该选项不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，故该选项符合题意； D、两直线相交，对顶角相等，故该选项不符合题意；故选：C． 5．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项．故选：B． 6．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，，∴，故A不符合题意， B、∵，∴，故B不符合题意， C、∵，，∴，故C不符合题意， D、∵，，∴，∴，故D符合题意．故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）义卖活动中，同学们玩投壶游戏．小明认为站在点C处的投壶者会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是__________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短． 8．（24-25七年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为__________． 【答案】/度 【详解】解：，， ，，，故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，图中有4处（即处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在___________处． 【答案】B 【详解】解：由题意得∴由垂线度最短可得最短，∴应选择将水泵房建在处，故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，，平分，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵平分，∴，故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，则这个角的度数为______． 【答案】 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意可得：，解得：，∴这个角的度数为．故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）已知，则的余角的度数是________，它的补角的度数是________． 【答案】 【详解】解：已知，则的余角的度数是， 它的补角的度数是，故答案为：，． 13．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 【答案】68 【详解】解：由题意可得：，，∴， ∵，∴，∴，∴． 三、解答题 14．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，，求的度数． 【答案】(1)的度数为；(2)的度数为． 【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∴， 答：的度数为． （2）解：设，∵平分，∴， ∵平分，∴， ∵，∴∴，∴， 答：的度数为． 15．（24-25七年级下·四川成都温江区·校考期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：三点在同一条直线上∴ ∵∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分∴ ∴． ( 地 城 考点02 探索平行线的条件 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中，能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，判定，不符合题意； B. ，判定，不符合题意；C. ，判定，符合题意；     D. ，不能判定任何直线的平行，不符合题意，故选：C． 2．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，， ∵，，∴木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是．故选：A． 3．（24-25七年级下·四川成都简阳市·校考期末）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【详解】解：A．与是同旁内角，说法错误，不符合题意； B．与是邻补角，原说法错误，不符合题意； C．与是内错角，原说法错误，不符合题意； D．与是同旁内角，原说法正确，符合题意．故选：D． 4．（23-24七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，在四边形中，，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴ (内错角相等，两直线平行)．故选A． 5．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、∵，∴直线，故此选项不合题意； 、∵，∴直线，故此选项不合题意； 、，不能得出直线，故此选项符合题意； 、∵，∴直线，故此选项不合题意；故选：． 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由推出和的对顶角互补，得到和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出，故此选项符合题意．故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理：____________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【详解】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行． 故答案为∶同位角相等，两直线平行． 三、解答题 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，．与平行吗？请说明理由． 【答案】；理由见解析 【详解】解：，理由如下： ∵，（两直线平行内错角相等）， ∵，，即， 在和中，，∴， ∴，（内错角相等两直线平行）． 9．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）如图，B，F，E，C在同一条直线上，．若，求证：． （2）某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动．他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小．此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3 观察表中的数据，你发现了什么？如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么你估计这副老花镜的度数是多少？ 【答案】（1）详见解析（2）见解析；这副老花镜的度数大约143度 【详解】（1）证明：，， ，， （2）解：① ∴随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：； ②依题意，一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为 ∴ ∴这副老花镜的度数大约140度至150度． 10．（24-25七年级下·四川成都新津区·期末）如图，是上一点，于点，是上一点，于点，求证：． 证明：连接． ， ，______________________（          ）， ___________（          ）， 又，___________（等式的基本性质1）， 即___________，（           ）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：连接． ，， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 又，（等式的基本性质1）， 即，（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行． 11．（24-25七年级下·四川成都崇州市·校考期末）如图，，，试说明． 【答案】见解析 【详解】解：因为，，所以，进而． 12．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）如图，已知于点，，，求证：．列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据） 证明：          _____①_____（_____②_____） ∴_____③_____（_____④_____） _____⑤_____（_____⑥_____） _____⑦_____ _____⑧_____（_____⑨_____） ．（_____⑩_____） 【答案】见解析 【详解】证明：              （同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） ， ，（同旁内角互补，两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补）． 13．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知：如图，，，．求证：． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【详解】（1）解：原式 ， 将，代入得：原式． （2）证明：∵，∴， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，∴． 14．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，．    (1)若，且，求的度数．(2)探究与有什么关系时，光线与光线平行． 【答案】(1)(2)当时，光线与光线平行 【详解】（1）解，，． ，． ，．． ，．，．    （2）当时，光线与光线平行．理由如下：，， ．同理． ，． ( 地 城 考点0 3 平 行线的性质 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，∵，∴， ∵直尺的两边互相平行，∴，故选：C． 2．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，在四边形纸片中，，，，将一把直尺如图放置在纸片上，直尺的边恰好分别是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，将一把直尺如图放置在纸片上，直尺的边恰好是的平分线， ∴，∵，∴， ∵直尺的边，∴，∴，故选：A 3．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（    ） A． B．10° C．11° D．12° 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∴，∴．故选：A． 4．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴．故选：C 5．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，将一副直角三角板如图摆放，点落在边上，、则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，根据题意得，， ，，．故选：B． 6．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，，于点H，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴，故选：A ． 7．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：    依题意， ，，∴， ∵，∴，∴，故选：C． 二、填空题 8．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是______． 【答案】/40度 【详解】解：如图， 四边形是长方形，，， ，，由折叠可得， ，故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建到村，已知的方向与的方向一致，工程队从村沿开始施工，则的大小为 ________． 【答案】/90度 【详解】解：如图：由题意得：，∴， ∵，∴， ∵，∴．故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，直线，若，，则___________． 【答案】 【详解】解：∵直线，∴，∵，∴， 又∵，，∴故答案为：． 11．（23-24七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，于点C．若，则_____度． 【答案】 【详解】解：∵直线，，∴，∵于点C，∴， ∵，∴，故答案为： 三、解答题 12．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）如图，已知，． (1)求证：；(2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ，，，； （2）解：，，， 若平分，，， ，，． 13．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵与地面平行，，∴，∴， ∴． 14．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）如图，在四边形中，，平分，与相交于点，与的延长线交于点． (1)如图1，与相等吗？请说明理由． (2)如图2，是线段上一点（不与点重合），连接，为探究与之间的数量关系，小颖过点作，交于点．请你根据她的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，当平分时，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)相等；理由见解析(2)；理由见解析(3)；理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下：∵，． 平分，．． （2）． 理由：，． ．． （3）．理由如下：由（2），得． 平分平分，． 又∵，． ．． 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）（1）如图1， 在 中， 与 的平分线交于点P，过点A作 ，M在射线上，且∠ 的延长线与的延长线交于点 D．①求证： ②探究 与 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在 中， 过点A作 ，直线与相交于A 点右侧的点P， 当 绕着点A以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，同时绕着点 P以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，与重合时再以原速返回，当 旋转一周时运动全部停止，设的运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在 ，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见详解；②；（2）的值为15秒或秒． 【详解】解：（1）①如图，∵，∴， ∵是的角平分线，∴，∴， 又，(已知)，∴， ∴，∴；∴； ②∵是的角平分线，∴，在中，， ∵，，∴，即， ∴，∴，  ∴； （2）∵旋转一周运动停止，∴总时间秒， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为秒，此时，延长交于点Q， ∵在前15秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， 在前15秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后15秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行， 有，解得，∴秒，综上，的值为15秒或秒． ( 地 城 考点0 4 平行线的拐点问题（辅助线添加问题） ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，为直角三角形，，，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵平分，∴，故选：A． 2．（24-25七年级下·四川成都外国语学校·校考期末）如图，，是之间一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点C作， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为________． 【答案】/60度 【详解】解：过点F作， ∵，∴，∴， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点F．， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川成都天府新区·校考期末）某护眼灯侧面如图所示（台灯底座高度及支架的宽度忽略不计），，．若，则的度数为_______． 【答案】/152度 【详解】解：过C作， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，将一个含有的三角尺和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，三角尺的角的顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为__________． 【答案】/50度 【详解】解：如图，过点作， ∴，由题意得：，， ∴，，∴，故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图所示，，，，则___度． 【答案】86 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，，，，， ，，，， ，故答案为：86． 7．（23-24七年级下·四川成都简阳市·期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则_______． 【答案】/80度 【详解】解：如图，分别过点A，B作， ，，，，， ，，，， ，，故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都都江堰·校考期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍．不得不调整铺设路线．新的铺设路线在的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证___________． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过点作，，则有，， ，， ，，， ，，． 9．（24-25七年级下·四川成都金堂县·期末）已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 【答案】/50度 【详解】解：如图，过G点作，过E点作. ∵，∴，设，则． ∵平分，∴． ∴．∵,∴， ∵平分，∴,∵，∴． ∵,∴∴, ∵，∴，解得，∴． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）如图，已知，的平分线交于点F，的平分线交于点E．（为小于的钝角） (1)试说明；(2)若，求的长；(3)若P为线段上一点，，的平分线与的平分线交于点G，试用含的式子表示的大小． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∴，即； （2）解：∵，∴，∵平分，∴， 又∵，∴∴，∴； （3）解：如图，过点G作， 设，∵，∴， ∵平分，∴，∴ 由（1）知，∴ ∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴，， ∴． 11．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：如图，过E作，∵，∴， ∴，，∴； （2）解：，证明如下：如图，过E作，过F作， ∵，∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F，∴，，∴，∴； （3）解：如图，记交于点H，∵，，设，， 则，，，∴， ∵，∴，∴，由（1）可知， ∵，∴， ∴，∴，∴． 12．（24-25七年级下·四川成都浦江县·校考期末）如图1，已知直线，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，，，AD平分，BD平分，AD与BD相交于点D．(1)求的度数；(2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到，如图2，此时平分，平分，与BD相交于点D，，，求的度数； (3)若将图1中的线段AC沿MN向左平移到，如图3，其他条件与（2）相同，求此时的度数． 【答案】(1)130°(2)130°(3)40° 【详解】（1）如图1所示，∵直线，，∴，∴， ∵，平分，∴，∴，可得，. ∵平分，∴，∴； （2）如图2所示，∵，线段AC沿MN向右平移到，， ∴，∴，∵平分，∴， ∵，，∴，， ∵平分，∴，∴； （3）如图3所示，过点作， ∵，线段AC沿MN向左平移到，，∴， ∵平分，∴，∵，，∴， ∵平分，，∴， ∴， 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 4大高频考点概览 考点01两条直线的位置关系 考点02探索直线平行的条件 考点03平行线的性质 考点04平行线的拐点问题（辅助线添加问题） ( 地 城 考点01 两条直线的位置关系 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）下列说法不正确的是（　　） A．你最喜爱的球队将夺得冠军是随机事件 B．太阳从东方升起是确定事件 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 2．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）图，已知直线与相交于点于点平分．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都青羊区·校考期末）小明在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图，把两根钢条、的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳），当增大时，的度数（   ） A．减小 B．增大 C．增大 D．不变 4．（24-25七年级下·四川成都彭州市·期末）下列说法中错误的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．两直线相交，对顶角相等 5．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B．C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）义卖活动中，同学们玩投壶游戏．小明认为站在点C处的投壶者会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是__________． 8．（24-25七年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为__________． 9．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，图中有4处（即处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在___________处． 10．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，，平分，若，则的度数为______． 11．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，则这个角的度数为______． 12．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）已知，则的余角的度数是________，它的补角的度数是________． 13．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 三、解答题 14．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，，求的度数． 15．（24-25七年级下·四川成都温江区·校考期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． ( 地 城 考点02 探索平行线的条件 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中，能使的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都简阳市·校考期末）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 4．（23-24七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，在四边形中，，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理：____________． 三、解答题 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，．与平行吗？请说明理由． 9．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）如图，B，F，E，C在同一条直线上，．若，求证：． （2）某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动．他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小．此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3 观察表中的数据，你发现了什么？如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么你估计这副老花镜的度数是多少？ 10．（24-25七年级下·四川成都新津区·期末）如图，是上一点，于点，是上一点，于点，求证：． 证明：连接． ， ，______________________（          ）， ___________（          ）， 又，___________（等式的基本性质1）， 即___________，（           ）． 11．（24-25七年级下·四川成都崇州市·校考期末）如图，，，试说明． 12．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）如图，已知于点，，，求证：．列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据） 证明：          _____①_____（_____②_____） ∴_____③_____（_____④_____） _____⑤_____（_____⑥_____） _____⑦_____ _____⑧_____（_____⑨_____） ．（_____⑩_____） 13．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知：如图，，，．求证：． 14．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，． (1)若，且，求的度数．(2)探究与有什么关系时，光线与光线平行． ( 地 城 考点0 3 平 行线的性质 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，在四边形纸片中，，，，将一把直尺如图放置在纸片上，直尺的边恰好分别是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（    ） A． B．10° C．11° D．12° 4．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，将一副直角三角板如图摆放，点落在边上，、则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，，于点H，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是______． 9．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建到村，已知的方向与的方向一致，工程队从村沿开始施工，则的大小为 ________． 10．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，直线，若，，则___________． 11．（23-24七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，于点C．若，则_____度． 三、解答题 12．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）如图，已知，． (1)求证：；(2)若平分，于点，，求的度数． 13．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 14．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）如图，在四边形中，，平分，与相交于点，与的延长线交于点． (1)如图1，与相等吗？请说明理由． (2)如图2，是线段上一点（不与点重合），连接，为探究与之间的数量关系，小颖过点作，交于点．请你根据她的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，当平分时，试判断与的位置关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）（1）如图1， 在 中， 与 的平分线交于点P，过点A作 ，M在射线上，且∠ 的延长线与的延长线交于点 D．①求证： ②探究 与 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在 中， 过点A作 ，直线与相交于A 点右侧的点P， 当 绕着点A以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，同时绕着点 P以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，与重合时再以原速返回，当 旋转一周时运动全部停止，设的运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在 ，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． ( 地 城 考点0 4 平行线的拐点问题（辅助线添加问题） )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，为直角三角形，，，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都外国语学校·校考期末）如图，，是之间一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为________． 4．（24-25七年级下·四川成都天府新区·校考期末）某护眼灯侧面如图所示（台灯底座高度及支架的宽度忽略不计），，．若，则的度数为_______． 5．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，将一个含有的三角尺和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，三角尺的角的顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为__________． 6．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图所示，，，，则___度． 7．（23-24七年级下·四川成都简阳市·期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则_______． 8．（24-25七年级下·四川成都都江堰·校考期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍．不得不调整铺设路线．新的铺设路线在的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证___________． 9．（24-25七年级下·四川成都金堂县·期末）已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）如图，已知，的平分线交于点F，的平分线交于点E．（为小于的钝角） (1)试说明；(2)若，求的长；(3)若P为线段上一点，，的平分线与的平分线交于点G，试用含的式子表示的大小． 11．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 12．（24-25七年级下·四川成都浦江县·校考期末）如图1，已知直线，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，，，AD平分，BD平分，AD与BD相交于点D．(1)求的度数；(2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到，如图2，此时平分，平分，与BD相交于点D，，，求的度数； (3)若将图1中的线段AC沿MN向左平移到，如图3，其他条件与（2）相同，求此时的度数． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 4大高频考点概览 考点01两条直线的位置关系 考点02探索直线平行的条件 考点03平行线的性质 考点04平行线的拐点问题（辅助线添加问题） ( 地 城 考点01 两条直线的位置关系 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 D A B C B D 二、填空题 7．【答案】垂线段最短 8．【答案】 9．【答案】B 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】68 三、解答题 14．【答案】(1)的度数为；(2)的度数为． 【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∴， 答：的度数为． （2）解：设，∵平分，∴， ∵平分，∴， ∵，∴∴，∴， 答：的度数为． 15．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：三点在同一条直线上∴ ∵∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分∴ ∴． ( 地 城 考点02 探索平行线的条件 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 C A D A C D 二、填空题 7．【答案】同位角相等，两直线平行 三、解答题 8．【答案】；理由见解析 【详解】解：，理由如下： ∵，（两直线平行内错角相等）， ∵，，即， 在和中，，∴， ∴，（内错角相等两直线平行）． 9．【答案】（1）详见解析（2）见解析；这副老花镜的度数大约143度 【详解】（1）证明：，， ，， （2）解：① ∴随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：； ②依题意，一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为 ∴ ∴这副老花镜的度数大约140度至150度． 10．【答案】；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：连接． ，， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 又，（等式的基本性质1）， 即，（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；4；；内错角相等，两直线平行． 11．【答案】见解析 【详解】解：因为，，所以，进而． 12．【答案】见解析 【详解】证明：              （同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） ， ，（同旁内角互补，两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补）． 13．【答案】（1），；（2）证明见解析 【详解】（1）解：原式 ， 将，代入得：原式． （2）证明：∵，∴， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，∴． 14．【答案】(1)(2)当时，光线与光线平行 【详解】（1）解，，． ，． ，．． ，．，．    （2）当时，光线与光线平行．理由如下：，， ．同理． ，． ( 地 城 考点0 3 平 行线的性质 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 C A A C B A C 二、填空题 8．【答案】/40度 9．【答案】/90度 10．【答案】 11．【答案】 三、解答题 12．【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ，，，； （2）解：，，， 若平分，，， ，，． 13．【答案】 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵与地面平行，，∴，∴， ∴． 14．【答案】(1)相等；理由见解析(2)；理由见解析(3)；理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下：∵，． 平分，．． （2）． 理由：，． ．． （3）．理由如下：由（2），得． 平分平分，． 又∵，． ．． 15．【答案】（1）①见详解；②；（2）的值为15秒或秒． 【详解】解：（1）①如图，∵，∴， ∵是的角平分线，∴，∴， 又，(已知)，∴， ∴，∴；∴； ②∵是的角平分线，∴，在中，， ∵，，∴，即， ∴，∴，  ∴； （2）∵旋转一周运动停止，∴总时间秒， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为秒，此时，延长交于点Q， ∵在前15秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， 在前15秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后15秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行， 有，解得，∴秒，综上，的值为15秒或秒． ( 地 城 考点0 4 平行线的拐点问题（辅助线添加问题） ) 一、选择题 1 2 A D 二、填空题 3．【答案】/60度 4．【答案】/152度 5．【答案】/50度 6．【答案】86 7．【答案】/80度 8．【答案】 9．【答案】/50度 三、解答题 10．【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∴，即； （2）解：∵，∴，∵平分，∴， 又∵，∴∴，∴； （3）解：如图，过点G作， 设，∵，∴， ∵平分，∴，∴ 由（1）知，∴ ∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴，， ∴． 11．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：如图，过E作，∵，∴， ∴，，∴； （2）解：，证明如下：如图，过E作，过F作， ∵，∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F，∴，，∴，∴； （3）解：如图，记交于点H，∵，，设，， 则，，，∴， ∵，∴，∴，由（1）可知， ∵，∴， ∴，∴，∴． 12．【答案】(1)130°(2)130°(3)40° 【详解】（1）如图1所示，∵直线，，∴，∴， ∵，平分，∴，∴，可得，. ∵平分，∴，∴； （2）如图2所示，∵，线段AC沿MN向右平移到，， ∴，∴，∵平分，∴， ∵，，∴，， ∵平分，∴，∴； （3）如图3所示，过点作， ∵，线段AC沿MN向左平移到，，∴， ∵平分，∴，∵，，∴， ∵平分，，∴， ∴， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $