精品解析：黑龙江省 大庆市景园中学2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

大庆市景园中学 2025—2026学年度第二学期 期中考试 初二年级 数 学 试 题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 3或5 5. 某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 6. 一次函数（为常数，且）的图象经过点，则下列关于一次函数结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 该函数的图象可由正比例函数的图象平移得到 D. 函数图象与轴的交点坐标为 7. 一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， A. B. C. D. 9. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①④ 10. 如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则对应4个不同的x值 D. 当的面积为4时，或 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________． 12. 若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 13. 已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 14. 已知点，若线段，且直线轴，则点的坐标是____． 15. 某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 16. 如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形分割成面积相等的两部分，则_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 三、解答题（7小题，共66分） 19. 已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是 的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 20. 已知点，解答下列问题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的纵坐标比横坐标大5，求点的坐标． 21. 已知与成正比例，且当时，； （1）求出与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； （3）当时，求的值． 22. 为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动，现针对八年级学生的体育锻炼情况展开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程提供参考依据，学校从八年级的800名学生中随机调查了部分学生，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：小时），将收集到的数据进行如下分组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 整理数据，并绘制了如下两个不完整的统计图． 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次随机调查的学生人数是________人；扇形统计图中，________，________； （2）补全条形统计图； （3）下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①样本数据的中位数在C组； ②扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为． （4）学校规定，每周体育锻炼时长不少于6小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励，请估计八年级800名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数． 23. 城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨元和元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨元和元，现在乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料量为吨，总运费为元． （1）写出总运费元与之间的关系式； （2）当总费用为元，求从、城分别调运、两乡各多少吨？ （3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 24. 如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． （1）参照图②，求a、b及图②中的c值； （2）设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； （3）当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 25. 如图，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，，点P是直线上的一点． （1）求直线的解析式； （2）若动点P从点B出发沿射线方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市景园中学 2025—2026学年度第二学期 期中考试 初二年级 数 学 试 题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件判断：最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，对各选项化简后即可得到结果． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B：不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 选项C：=，开方数中含有分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数8含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2. 第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴ 点纵坐标的绝对值，横坐标的绝对值， ∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴ ，， ∴ 点的坐标为． 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、给定一个的值，有唯一一个值和它对应，是的函数，该选项符合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意． 4. 已知函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 5. 某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的比例确定权重，代入加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵三项评分的比例为，总权重和为， ∴该选手综合得分为． 6. 一次函数（为常数，且）的图象经过点，则下列关于一次函数结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 该函数的图象可由正比例函数的图象平移得到 D. 函数图象与轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法求一次函数的解析式，求出一次函数解析式是解决问题的关键． 先由待定系数法，将代入一次函数，解二元一次方程组求出函数解析式，再由一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过点， ， 解得， ∴一次函数解析式为， A：由，知函数值随的增大而减小，选项说法正确，不符合题意； B：由、，知一次函数图象过第一、二、四象限，则图象不经过第三象限，说法正确，不符合题意； C：将正比例函数的图象向上平移个单位长度即可得到图象，选项说法正确，不符合题意； D：当时，，则一次函数的图象与轴交点坐标为，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图像经过的象限判断 、的符号，进而确定 ​ 的符号，再验证正比例函数图像是否与之匹配． 【详解】解：选项中，一次函数图像过一、二、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，符合描述；  选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述；  选项中，一次函数图像过一、二、三象限，，，则 ，正比例函数应过一、三象限，但图中正比例函数过二、四象限，不符合描述． 8. 如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题属于平面直角坐标系图形规律题．仔细观察图形发现的下标数字是以4为一个周期计算，并且弧的半径增加规律也是以4为一个周期．根据这些规律即可得出答案． 【详解】解：由图得，，，，，，，，… 所以根据图形可得，弧的半径依次增加1，四个弧旋转一周，为一个旋转周期，即每4个一个循环， ， 所以在轴上，与，，，… 符合规律， 所以坐标为，即 9. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象与行程问题的关系，求出A、B两地全程距离、货车与小汽车的行驶速度，再结合速度、时间、路程的关系，逐一验证题目中的四个说法是否正确，最终确定正确选项． 【详解】解：设货车速度为千米/小时，小汽车速度为千米/小时． 两车在小时相遇， ． ， 小汽车从B到A用时2小时， 千米/小时， 千米/小时． 两车相遇时，货车行驶路程：千米， 货车离B地距离：千米，故①正确． 相遇前相距80千米：， 解得； 相遇后相距80千米：， 解得，故②正确． 货车到达A地用时：小时， 小汽车到达用时2小时， 小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误． 小汽车到达目的地时（），货车行驶路程：千米， 货车离A地100千米，故④错误． 综上，①②正确． 10. 如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则对应4个不同的x值 D. 当的面积为4时，或 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，根据点P在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B，当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C，分点P在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的x值，即可判断； 选项D，分点P在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点P在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点P在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即， 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， 即， ， ， 选项B正确，不符合题意； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点P在上运动，对应图2中点N右侧的线段， 过点A作于点H， ， ， 当点P在点H的左侧时，， ， 此时； 当点P在点H的右侧时，同理可得， ， 此时； 综上所述，x值有4个， 选项C正确，不符合题意； 当时， 过点P作于点M， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 当时， 过点P作于点N， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 综上所述，当的面积为4时，或， 选项D错误，符合题意． 【点睛】此类问题在解答时应着重理解两个图形之间的对应关系，包括对图形中转折点的含义的理解． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标规律. 解题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数. 根据该规律即可解答本题. 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标规律，可得对称点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数.， 原来点坐标为，原横坐标为，其相反数为，纵坐标保持不变， 因此点关于轴对称的点的坐标为. 12. 若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【解析】 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 13. 已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 14. 已知点，若线段，且直线轴，则点的坐标是____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，先确定点的纵坐标，再结合线段的长度，分情况计算点的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：直线轴， 平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， 点坐标为， 点的纵坐标为， 设点的横坐标为，则点坐标为， ， ， 去绝对值，得或， 解得或， 点的坐标是或． 15. 某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式，可求出弹簧的原长，从而得到此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长，即可求解． 【详解】解：设弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 当时，， ∴弹簧的原长为5厘米， ∵此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍， ∴此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为15厘米， 当时，， 解得：， 即该弹簧能称量的最大质量为100克． 故答案为：100 16. 如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形分割成面积相等的两部分，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，图形的面积公式，解决问题的关键是割补法求面积． 设直线l分别交、于点、，根据一次函数关系式求出点、的坐标，得，，求出四边形的面积为，根据直线l将多边形分割成面积相等的两部分，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：如图，直线l分别交、于点、， 令，则， 令，则， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为， ∵直线l将多边形分割成面积相等的两部分， ∴多边形的面积为， ∴， 解得． 故答案为：4． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线经过点和点时，的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，轴，且， ∴，； 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∴当直线与有公共点时，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键．过点D作轴于点N，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，进而得到点坐标，等积法求出的长，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点N， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为，， ∴，即：， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 三、解答题（7小题，共66分） 19. 已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是 的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根、立方根的概念求得a与b的值，估算出的整数部分可求得c的值； （2）把a、b、c的值代入，求得其值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不等的平方根分别是和， ∴，解得：； ∵的立方根为， ∴，即； ∵c是的整数部分，且， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴． 20. 已知点，解答下列问题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的纵坐标比横坐标大5，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴上的点横坐标等于0，即可解答； （2）根据题意列方程即可解答． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：点的纵坐标比横坐标大5， ， 解得， ， ， ． 21. 已知与成正比例，且当时，； （1）求出与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求函数的解析式即可； （）把代入解析式，便可求出的值； （）把代入解析式，便可求出的值． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：把代入得，； 【小问3详解】 解：把代入得，， ∴． 22. 为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动，现针对八年级学生的体育锻炼情况展开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程提供参考依据，学校从八年级的800名学生中随机调查了部分学生，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：小时），将收集到的数据进行如下分组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 整理数据，并绘制了如下两个不完整的统计图． 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次随机调查的学生人数是________人；扇形统计图中，________，________； （2）补全条形统计图； （3）下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①样本数据的中位数在C组； ②扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为． （4）学校规定，每周体育锻炼时长不少于6小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励，请估计八年级800名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数． 【答案】（1）200，30，10 （2）图见解析 （3）① （4）320人 【解析】 【分析】（1）因为总人数已知，所以可以用各组人数除以总人数得到对应扇形统计图的百分比，进而求出、的值． （2）因为总人数和各组人数已知，所以可以计算出缺失组的人数，进而补全条形统计图． （3）因为要判断中位数所在组，所以先计算总人数的中位数位置，再累计各组人数确定中位数所在组；因为要计算扇形统计图中某组的圆心角，所以用该组占比乘以． （4）因为要估计总体中符合条件的人数，所以先算出样本中符合条件的人数占比，再用总体人数乘以该占比． 【小问1详解】 解：本次随机调查的学生人数是（人）， ， 即， ∴C组占总人数的百分比是，即； 故答案为：200，30，10； 【小问2详解】 解：∴B组人数为（人），D组人数为（人）， 故补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：∵，， ∴样本数据的中位数在C组，即①正确，符合题意； 扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为，即②错误； 故答案为：①； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计八年级800名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数为320人． 23. 城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨元和元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨元和元，现在乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料量为吨，总运费为元． （1）写出总运费元与之间的关系式； （2）当总费用为元，求从、城分别调运、两乡各多少吨？ （3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】（1）；（2）城运往乡的肥料量为吨，城运往乡的肥料量为吨，城运往的肥料量分别为吨，城运往的肥料量分别为吨；（3）从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元 【解析】 【分析】（1）设C城运往A乡的化肥为x吨，表示出A城运往D乡的化肥为吨，B城运往C乡的化肥为吨，B城运往D乡的化肥为吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围即可. （2）将代入（1）中求得的关系式，即可完成. （3）利用（1）中求得的关系式，根据一次函数的增减性解答即可. 【详解】解：（1）设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映与之间的函数关系为 化简，得 （2）将代入得：，解得：， ，，， 从城运往乡的肥料量为吨，城运往乡的肥料量为吨，城运往的肥料量分别为吨，城运往的肥料量分别为吨． （3）， ， 随的增大而增大， 当时， 从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要是运用待定系数法求关系式以及利用一次函数的增减性求最值问题，难点在于表示出运往各地的化肥吨数． 24. 如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． （1）参照图②，求a、b及图②中的c值； （2）设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； （3）当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 【答案】（1），， （2）， （3）当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的 【解析】 【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析，运用函数图象解决动点问题． （1）根据，结合图象，得出当时，，由图象可知，8秒时，点P在B处，结合a的值求得b值，最后根据c表示的是运动总时间，求出c值； （2）由点P在6秒后开始变速，变速后速度为每秒，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；当点P运动到中点时，可知点P离开点A的路程为，将代入y与x的关系式，即可求得x的值； （3）先求出矩形的面积以及的面积，再按照点P不同的运动阶段分类讨论，求出符合条件的值，具体分为三个阶段进行讨论，分别是：点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动，其中：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论． 【小问1详解】 解：当P在边上时，由图得知：， 当时， ， ∴； 当，即动点P运动时间为6秒时，， ， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得：， P到达中点时，， 又∵， ∴， 即； 【小问3详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴． ①P在段（）， 当时，P从A向B匀速运动，速度为1单位/秒， 此时， 若， 则，即，不符合题意，舍去； 当时，P的速度为2单位/秒， ， 若， 则，即，符合题意； ②P在段， 此时，不符合题意． ③P在CD段， 此时， 即， 若， 则，即，符合题意； 综上： 或． 当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的． 25. 如图，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，，点P是直线上的一点． （1）求直线的解析式； （2）若动点P从点B出发沿射线方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求得点A坐标，进而求得点C、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分点P在线段上和点P在射线上两种情况，可画出图形，利用或求解即可； （3）分、、三种情况，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形性质求解即可． 【小问1详解】 解：令，由得，则，， ∵， ∴，则， ∵，， ∴，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：①当点P在线段上时，过P作轴于H，如图， ∵，，， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴； ②当点P在射线上时，如图， 同理可得，； 综上，S与t之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：将代入中得， ∴直线的表达式为， 设，，， ①当时，当点M在x轴上方，如图， 分别过Q、B作y轴的平行线，分别交过点M与x轴平行的直线于点G、H， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 则，， 解得，， ∴； 同理，当点M在x轴下方时，，， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，如图， 过Q作y轴的平行线，交过点M与x轴平行的直线于点H，交x轴于点G， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 则，， 解得，， ∴； ③当时，如图， 同理证明， ∴，， 则，， 解得，， ∴； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，理解题意，添加辅助线构造全等，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $