河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 以生态能量流动、渔业产量统计等真实情境为载体，融合函数导数、数列、统计概率等核心知识，考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|函数求导、线性相关、数列性质|基础概念与运算，如生态能量传递（题2）| |多选题|3题/15分|统计检验、导数应用、数列综合|辨析能力，如三次函数拐点（题10）| |填空题|3题/15分|分期付款、等比数列、导数不等式|实际应用，如贷款还款计算（题12）| |解答题|5题/60分|线性回归与独立性检验（题15）、数列证明与求和（题16）、导数综合应用（题17、19）、概率递推（题18）|分层设计，如渔业产量统计分析（题15）考查数据处理，导数单调性讨论（题19）考查逻辑推理|

2026年春期高二年级第二次月考 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章、选择性必修二全部 第I卷（选择题） 一、单选题 1．对函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（    ） A． B． C． D． 3．对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知的值是（    ） A．3 B．1 C．2 D． 5．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，其中为函数的导数，则（   ） A．0 B．2 C．2021 D．2022 7．已知数列的前n项和记为，且，若对任意正整数n都成立，则实数t的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强 B．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系 C．线性回归直线方程至少经过样本点数据中的一个点 D．用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程，则 10．定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．的对称中心为 B．若关于x的方程有三解，则 C．若在上有极小值，则 D．若在上的最大值、最小值分别为，则 11．设数列满足（且），是数列的前项和，且，，数列的前项和为，且.则下列结论正确的有（    ） A． B．数列的前2024项和为 C．当时，取得最小值 D．当时，取得最小值 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还_____元.(用，表示) 13．设等比数列的前项积为，若 ，则的值为________. 14．已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 四、解答题 15．“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到年全国水产品年产量达到万吨.年至年全国水产品年产量（单位：千万吨）的数据如下表： 年份 年份代号 总产量 (1)求出关于的线性回归方程，并预测年水产品年产量能否实现目标； (2)为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了年全国个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过万吨的地区有个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有个，其中年产量超过万吨且高配比的地区有个，能否有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，； 参考数据，. 16．已知数列的前项和为且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求数列的前90项的和. 17．已知函数. (1)当m＝1时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； (2) 若在区间上单调递增，求m的取值范围. 18．小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 19．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年春期高二年级第二次月考模拟考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B A C A BD AB 题号 11 答案 BCD 1．D 2．C 3．A【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 4．C【详解】根据导数值的定义：. 5．B【详解】设数列的首项为，公差为；数列的首项为，公差为. A：，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B正确； C：若，则， 即，解得或， 又因为、的取值范围未知，所以不一定成立，故C错误； D：若，则， 即，解得或， 又因为、的取值范围未知，所以不一定成立，故D错误. 6．A【详解】因为，故为奇函数， 因此； 求导得，易知为偶函数，故； 因此原式. 7．C【详解】由得，又符合上式 所以对任意，有， 则， 因此， 因为，， 又因为， 所以， 所以， 因为对任意正整数n都成立， 所以对任意正整数n都成立， 所以对任意正整数n都成立， 因为，所以， 所以实数t的最小值是. 8．A【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 9．BD 【分析】根据回归方程和独立性检验的相关知识逐一判断. 【详解】对于A，对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，故A错误； 对于B，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系，故B正确； 对于C，线性回归直线方程至少经过样本点数据中的中心点，但不一定至少经过样本点数据中的一个点，故C错误； 对于D，用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程， 则，所以，即， 因为，所以，故D正确. 10．AB【详解】对于A，易知，，令，而， 由“拐点”定义可知的对称中心为，故A正确； 令，此时单调递减， 令或，此时单调递增， 则，即的极大值为3，极小值为， 所以关于x的方程有三解，即两函数有三个交点， 则，故B正确； 易知若在上有极小值，则，故C错误； 由上可知，若在上的最大值、最小值分别为，    取，符合题意，又， 结合图象可知，符合在上的最大值、最小值分别为， 此时，故D错误. 11．BCD【详解】可化为， 易知为等差数列，设其公差为，则也为等差数列，结合等差数列公式，易知公差为， 由，得，则，，A错； ，则， 故2024项和为，B对； ， 当时，，当时，， 易知时，单调递增，且， ，C对； 当时，单调递增，且，，当时，， 所以或时，， 当时，且，，，D对， 12． 13．【详解】，可得，又，所以，所以. 所以公比，则，故，所以，故答案为： 14．【详解】构造函数，， 因为，，所以，所以在上单调递增， 定义域要求，即， 不等式等价于， 即，所以，解得， 所以不等式的解集是． 15．(1)，不能实现目标 (2)有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系 【详解】（1）由表格数据知：，， ，， ，，关于的线性回归方程为：， 当时，，年水产品年产量不能实现目标； （2）列联表如下： 渔业年产量超过 万吨的地区 渔业年产量不超过 万吨的地区 合计 有渔业科技推广人员高配比的地区 没有渔业科技推广人员高配比的地区 合计 则，有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系. 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，则， 因为，，所以，数列是公差为2，首项为1的等差数列. （2）由（1）得， 当或时，，当或时，， 所以数列的前90项的和为 ， 因为，则上式. 17．(1)①函数的单调递增区间为，单调递减区间为②， (2) 【详解】（1），①当时，， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ②由①知，在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，所以. （2）由题意，在上恒成立，即，在上恒成立， 所以，即.所以m的取值范围. 18．(1)0.4; (2)()，; (3)从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 【详解】（1）由全概率公式得； （2）因为()，即()，构造等比数列()， 因为，所以数列是以为首项，0.5为公比的等比数列. 所以，即()； （3）由（2）可知∴当时， 若()，则，即.∵，， ∴当时，.实际意义从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 19．(1) (2)当时，单调递减，当时，单调递增．. (3) 【详解】（1）由， 得， 所以切线方程为； （2）当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． （3）由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $