精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2026年春期高二年级第一次月考 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章+选择性必修二第一章 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，为其前项和．若，则（ ） A 420 B. 210 C. 198 D. 105 5. 在等比数列中，“”是“数列递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 数列中，，对，有，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 设数列满足，，则数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 10. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A B. C. D. 数列的前20项和为110 11. “斐波那契数列”由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，约-）在《算盘全书》中提出，它在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．已知斐波那契数列满足：，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 13. 小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 14. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为_____；若数列满足，则的最小项的值为_____． 四、解答题（共77分） 15. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入/亿元 1 2 3 4 5 经济收益/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 （1）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留3位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） （2）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益． 参考数据：． 附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距． 16. 国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 （1）求的值 （2）依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关 附：，其中． 17. 已知数列前项和为，且. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知数列前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 19. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， （1）求，， （2）求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高二年级第一次月考 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章+选择性必修二第一章 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 2. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意得． 故数列的周期为3，所以． 3. 在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，得到， 所以. 4. 在等差数列中，为其前项和．若，则（ ） A. 420 B. 210 C. 198 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，求出首项和公差，按照等差数列前项和的公式，求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 整理得，解得. 所以. 5. 在等比数列中，“”是“数列递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，设公比为q，则， 若，则，即，此时，显然数列是递减数列， 若，则，即，此时，数列也是递减数列， 反之，当数列是递减数列时，显然． 故“”是“等比数列递减”的充要条件． 故选：C． 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，，结合作差法可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且数列为单调递减数列， 所以对任意的，，即， 可得对任意的恒成立，所以， 解得，故实数取值范围是. 7. 数列中，，对，有，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求证为等差数列，再根据等差数列求和公式列等式求解即可． 【详解】令 ，可得， 则是首项，公差的等差数列， 通项公式为， ， 解得． 8. 设数列满足，，则数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 10. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为110 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. 11. “斐波那契数列”由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，约-）在《算盘全书》中提出，它在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．已知斐波那契数列满足：，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据斐波那契数列递推公式代入检验即可. 【详解】对于A，， 又因，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 又因为，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解. 【详解】由题意可得，， 所以数列是以3为周期的数列，又，所以. 13. 小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 【答案】 【解析】 【详解】设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息总共为元， 则，可得， 整理可得，所以每月还款金额为元． 14. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为_____；若数列满足，则的最小项的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由点在函数图象上得到前项和的表达式，再分和求出数列的通项公式；接着代入的表达式，计算前几项并通过作商判断时数列的单调性，从而确定最小项. 【详解】因为点在函数的图象上，故. 当时，. 当时，. 因此. 对于数列，，故. 当时，. ，，. 当时，. 由得，即，解得，故当时，单调递增. 比较，，，得的最小项为. 故答案为：；. 四、解答题（共77分） 15. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入/亿元 1 2 3 4 5 经济收益/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 （1）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留3位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） （2）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益． 参考数据：． 附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距． 【答案】（1），具有较强的线性相关程度 （2），预测研发投入10亿元时产品的经济收益为亿元 【解析】 【小问1详解】 ， ， 又因为， 所以， 所以具有较强的线性相关程度. 【小问2详解】 因为， 则，所以关于的线性回归方程为， 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入10亿元时产品的经济收益为亿元． 16. 国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 （1）求的值 （2）依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关 附：，其中． 【答案】（1） （2）认为体质情况与爱好运动有关 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）完善列联表，然后计算卡方，与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 由表中数据可得. 【小问2详解】 完善列联表 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 提出零假设：体质情况与爱好运动无关，根据表中数据可得， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为体质情况与爱好运动有关，该推断犯错误的概率不超过． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【小问1详解】 证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 18. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 19. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， （1）求，， （2）求数列的通项公式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式结合互斥事件的概率公式求解； （2）求出递推关系，构造等比数列，利用累加法求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，，. 【小问2详解】 由题意可知：，，且， 因，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $