专题03 四边形（3大考点期末真题汇编，广西专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 广西多地八年级下册期末数学试题汇编，聚焦四边形三大高频考点，以游戏情境（如找起点游戏）、地砖镶嵌等现实问题为载体，突出探究性与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|31题|多边形内角和、平行四边形性质、特殊平行四边形判定|结合地域期末真题，如百色“找起点游戏”考查多边形外角和| |填空题|10题|正多边形性质、中点连线、折叠问题|贵港正五边形结问题，钦州矩形折叠求角度| |解答题|20题|平面镶嵌探究、平行四边形证明、特殊四边形综合|河池地砖镶嵌（含表格填空与方程应用），南宁矩形折叠分类讨论，体现分层探究|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 四边形 ☆3大高频考点概览 考点01四边形及多边形 考点02平行四边形 考点03特殊的平行四边形 目地 城诗点01 四边形及多边形 一、选择题 1.(24-25八年级下·广西百色·期末)游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直 路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是( 起点 A.每走完一段直路后沿向右偏40°方向行走B.每段直路要短 C.每走完一段直路后沿向右偏140°方向行走D.每段直路要长 2.（24-25八年级下·广西百色·期末)只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相 拼接，那么这个正多边形是() B D 3.(24-25八年级下·广西崇左·期末)若一个平面多边形的内角和为1080°，则它是一个平面()边形 A.六 B.七 C.八 D.九 二、填空题 1/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.（24-25八年级下广西贵港期末)如图所示，图1中用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后 轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.在图2中，∠AED的度数为 图1 图2 三、解答题 5.(24-25八年级上广西河池·期末)【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面.在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在 一起，整个地面没有一点空隙.从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个 周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题. 如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案 A B 图1 图2 图3 正多边形的边数 6 P 正多边形每个内角的度 60° 90° 数 【探究发现】 (1)填写表中空格： (②)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 (填序号) ①正三角形；②正五边形：③正六边形；④正七边形：⑤正八边形. 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x 和y的值. 2/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中∠ABC与 ∠CBF的度数. 目地城考点2 平行四边形 一、选择题 6.(24-25八年级下·广西河池·期末)如图，在口ABCD中，E是BC边的中点，F是对角线AC的中点， 若EF=5,则DC的长为() D B A.10 B.9 C.5 D.2.5 7.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，在△ABC中，点M,N分别为AC,BC的中点，连接MN. 若AB=4,则MN的长为() M A.2 B.3 c.2.5 D.1.5 8.(24-25八年级下·广西南宁期末)在口ABCD中，已知AB=3,则CD的值是() A.4 B.5 C.2 D.3 9.(24-25八年级下·广西河池·期末)如图，点D、F分别为△ABC的边AC、BC的中点，连接DF, AP平分∠BAC交DF于点P.若CD=4,则DP的长为() B A.4 B.5 C.6 D.7 10.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，菱形ABCD的边长为8，∠B=45°，E,F分别是CD, BC边上的动点，连接AE,EF,G是AE的中点，H是EF的中点，连接GH,则GH的最小值为() 3/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G H C A.2V2 B.4 c.42 D.8 11.(24-25八年级下·广西南宁期末)在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC=8,则OA等 于() A.4 B.6 C.8 D.10 12.(24-25八年级下·广西贵港·期末)如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线CF交DE于点 F,若AC=10,DF=3,则BC的长为() D E B A.16 B.15 c.14 D.13 13.(24-25八年级下·广西防城港·期末)在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠C的度数为() A.65° B.115 C.110° D.150° 14.(24-25八年级下·广西钦州·期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,若 ∠AEB=25°，则∠C的大小为《) A.120° B.130° C.135 D.150° 15.(24-25八年级下·广西钦州·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若点E是CD的 中点，且OE=3,则BC的长为() A.3 B.2 c.2V3 D.4 16.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，平行四边形ABCD中，∠1=70°，则∠B的度数为() 4/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A.20° B.60 C.70° D.110° 17.(24-25八年级下·广西桂林期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=64°，对角线AC,BD交于 点O,E为CD的中点，连接OE,则∠AOE的度数是( ) A.122 B.148° C.154° D.162° 二、填空题 18.(24-25八年级下·广西贵港·期末)如图，在口ABCD中，∠B=120°，CD=8,AD>AB,E、F分 别是BC、AB上的动点，连接DF、EF,G、H分别为DF、FE的中点，则HG的最小值是一· A D G H E 19.(24-25八年级下·广西钦州·期末)如图，在口ABCD中，已知∠A=72°，则∠B的度数为 B 三、解答题 20.(24-25八年级下·广西防城港·期末)如图，延长▣ABCD的边AD到点F,使DF=DC,延长CB到 点E,使BE=BA,分别连接点A,E和点C,F,求证：AECF是平行四边形. B 5/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(24-25八年级下·广西河池期末)如图，四边形ABCD中，AD=12,OD=OB=5,AC=26, ∠ADB=90°. D B (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)求△AOB的面积， 22.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，延长BA至点 P,使得AF=号AB,连接DE,AD,E配. F A E B (1)求证：四边形ADEF是平行四边形： (2)若AB=6,AC=8,AD=5,求四边形ADEF的面积. 23.(24-25八年级下·广西防城港·期末)如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且E、F、G、 H分别是AO、BO、CO、DO的中点. A E (1)求证：四边形EFGH是平行四边形： (2)若AC+BD=36,AB=10,求△ABO的周长. 24.(24-25八年级下广西南宁.期末)如图，四边形ABCD中，若AD=4,DO=OB=3,AC=10, ∠ADB=90°. 6/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ①)A0= (②)求证：四边形ABCD是平行四边形： 3)求BC的长和四边形ABCD的面积. 25.(24-25八年级下·广西钦州·期末)活动探究：矩形的折叠. D E M 图1 图2 I)如图1，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，M,N分别是AD,BC上的点，且 BN=DM,将△EDM沿着EM折叠，点D的对应点为G;将△BFN沿FN折叠，点B的对应点为H,点 G,H都在矩形内部. ①求证：∠DEG=∠BFH: ②判断四边形FGEH的形状，并说明理由. (2)如图2，在矩形ABCD中，E是边CD上的一个动点，将ADE沿着AE折叠，点D的对应点为F,已知 AB=4,AD=2,若以F,C,B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出DE的长 26.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，在口ABCD中： (I)尺规作图：作AB的垂直平分线，垂足为E,交BC于点F,连接AF;(要求：保留作图痕迹，不写作 法，标明字母) (②)在(1)的条件下，若AD=4,AB=3,求四边形AFCD的周长. 27.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE, 7/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)尺规作图：作BC的垂直平分线GF,交BC于点F.(不写做法，保留作图痕迹) ②)连接AF,DF,EF.求证：AF,DE互相平分. 目地 城点03 特殊的平行四边形 一、选择题 28.(24-25八年级下·广西河池期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,连接对角线AC,将 △ACD沿AC所在的直线折叠，得到△ACE,AE交BC于点F.则EF的长是() A.5 B.4 C.3 D.2.4 29.(24-25八年级下·广西河池期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=3,以AB为 一条边向三角形外部作正方形ABMN,则这个正方形的面积是() M B A.34 B.36 C.40 D.44 30.（24-25八年级下·广西百色·期末)如图，在矩形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE,按以下 步骤作图：①分别以点A和点E为周心，以大于号AE的等长为半径作弧，两五相交于点M和点N,②作直 线MN,且直线MN刚好经过点B.若AB=2,则AD的长度是() 8/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.1 B.3 C.2 D.5 31.(24-25八年级下·广西百色·期末)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=60°， 点A2,0,则点C的坐标为() A.1,2 B.2,2 C.1,3 D.2,3 32.(24-25八年级下·广西百色·期末)如图，有一个角为60°的一张直角三角形纸片，沿图中的中位线剪 开后，不能拼成的四边形是() K60° A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 33.(24-25八年级下·广西河池期末)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, ∠OAD=65°，则∠ODC等于() B A.120° B.45 C.30° D.25° 34.(24-25八年级下·广西来宾期末)如图，正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上，且DE=CF, AF与BE相交于点G.若AB=8,DE=2,则AG的长为() 9/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D G 号 B. c号 D. 阳 35.(24-25八年级下·广西来宾期末)如图，正方形ABCD中，若△MBC是等边三角形，则∠AMD= () A.120° B.135° C.150 D.165° 36.(24-25八年级下·广西贵港期末)如图，在菱形ABCD中，AB=8,动点M从A点出发，以每秒1个 单位长度的速度沿AB向B点运动：动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CD向D点运动.若 运动t秒后，四边形AMND是平行四边形，则t的值为() D B A.2 B. 2-3 C.4 D. 3 37.(24-25八年级下·广西钦州期末)如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE,CE, 若∠BCE=70°，则∠EAD的大小为() A.15° B.20° c.25° D.30° 10/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.(24-25八年级下·广西钦州期末)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的边长是4m,∠BAD=60°， 则花坛的面积等于() B A.83m2 B.8m2 C.4V3m2 D.4m2 39.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，矩形ABCD的顶点A,B在数轴上，点A表示-1，AB=3, AD=1.若以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点M,则点M所表示的数为() -10 3 A.V10+1B.V10 c.V10-2 D.V10-1 二、填空题 40.(24-25八年级下·广西南宁·期末)如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD边上，DE=2,过点E 作EF‖BC,分别交AC,AB于点G,F,点M,N分别是AG,BE的中点，则MN的长是， D M G E B 41.(24-25八年级下广西钦州期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO,OA分别在x轴、 y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边CO上的点F处.若OA=8,CF=4,则点 F的坐标是 C F O 42.(24-25八年级下·广西钦州·期末)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE, 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE,若∠ABE=35°，则∠CEB的度数为 E B 43.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，AD=8, 以AD为边在第一象限作正方形ABCD,连接OB,则OB的最大值为一· D B A 44.(24-25八年级下·广西桂林期末)如图，△ABC是等边三角形，四边形DEFG和四边形GHMN是 边长相等的正方形，点F,M分别在AC,AB上，边DE在BC上，点F,G,H三点共线.若CE=1, 则等边△ABC的边长是 三、解答题 45.（24-25八年级下·广西钦州期末)综合与探究. 【问题背景】 (1)数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为口ABCD的边AD上一点，连接BE,CE,请 探究△BCE的面积与口ABCD面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：口ABCD的面积等于 △BCE面积的2倍.请你写出完整的解答过程。 【尝试应用】 12/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，长方形ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD右侧一点，∠AEF=∠EFD=90°，若 AD=10,AE=15,EF=8,求AB的长： 【深入思考】 (3)如图3，口ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，连接DE,BF交于点G,连接 AG,若BF=DE,证明：AG平分∠BGD, G E E 图1 图2 图3 46.(24-25八年级下·广西南宁期末)【问题发现】 (1)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P是矩形ABCD内一点，过点P作EF⊥AD,分别 交AD,BC于点E,F.PE=4,AE=3.则： ①PA=—'PB=—’PC=’PD=— ②PA+PC?—PB+PD填“”“=”或“< 【类比探究】 (2)如图2，点P是矩形ABCD外一点，过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC的反向延长线于点E,F, ②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，P是Rt△ABC外一点，PA=1,PB=3,PC=V5,请 求出BC的最小值. E D 图1 图2 图3 47.(24-25八年级下·广西河池·期末)如图，在矩形ABCD中，AB>BC,AC是对角线. 13/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF,分别交AB,CD于点E,F(在图中标明相应的字母，不写作 法，保留作图痕迹)： (②)在(1)的条件下，连接AF,CE,若AD=3,AB=6,求四边形AECF的周长. 48.(24-25八年级下·广西百色·期末)【问题情景】如图，己知正方形ABCD,AD=3,点M在边CD上， 射线AM交BD于点E,交射线BC于点F,点P是MF的中点，连接EC,PC. 【证明与探究】 (I)求证：△ADE≌△CDE; (②)请判断EC与PC的位置关系，并说明理由： 3)作DM的中点N,连接PN,若PN=2,求CF的长 49.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，已知正方形ABCD,点E在边BC上，连接AE. E B (I)尺规作图：在正方形ABCD内部作∠DCF,使∠DCF=∠BAE,点F是∠DCF的边CF与线段AD 的交点（不写作法，保留作图痕迹）： (2)求证：四边形CAE是平行四边形. 50.(24-25八年级下广西钦州期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，点E是AD边的 中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合），连接ME并延长交CD的延长线于点N,连接MD,AN. 14/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)证明：四边形AMDN是平行四边形： (②)当AM=1时，证明：四边形AMDN是矩形. 51.（24-25八年级下·广西南宁.期末)综合与探究 G 图1 图2 图3 (1)【课本再现】人教版八年级数学下册第48页详细介绍了中位线定理的证明过程，方法如下：如图1， D,E分别是AB,AC中点，延长DE到F,使EF=DE,连接CF,先证明△ADE≌△CFE,再证四 边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为一， (②)【初步运用】如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G,F分别在边AB,CD上，且AG=3, DF=4,∠GEF=90°，求GF长. 3)【拓展延伸】如图3，四边形ABCD中，∠A=100°，∠D=110°，E为AD中点，G,F分别为 AB,CD边上的点，若AG=4,DF=23,∠GEF=90°，求GF长. 15/15 专题03 四边形 3大高频考点概览 考点01四边形及多边形 考点02平行四边形 考点03特殊的平行四边形 一、选择题地 城 考点01 四边形及多边形 1．（24-25八年级下·广西百色·期末）游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（   ） A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 D．每段直路要长 【答案】A 【分析】此题主要考查了求正多边形外角的度数．根据题意可知封闭的图形是正九边形，求出正九边形的每个外内角的度数即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知，从起点走九段相等直路之后回到起点的封闭图形是正九边形， ∵正九边形的每个外角的度数为： ∴每走完一段直路后沿向右偏方向行走， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广西百色·期末）只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此结合各正多边形的度数可得出答案． 【详解】解：∵这种正多边形的内角是， ∴与之对应的外角为：， ∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形． 故选：A． 3．（24-25八年级下·广西崇左·期末）若一个平面多边形的内角和为，则它是一个平面（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和，平面多边形的内角和公式为，其中为边数，据此列出方程进行求解即可． 【详解】解：设边数为，则：， 两边同时除以，得：， 解得， 因此该多边形为八边形， 故选：C． 2、 填空题 4．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图所示，图1中用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．在图2中，的度数为______．          【答案】/108度 【分析】此题考查的是多边形的内角和的计算．求出正五边形各个内角的度数，即可得到的度数． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·广西河池·期末）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有__________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 【答案】(1)；； (2)①③ (3)或 (4)； 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据正n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数的整数倍是即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； （4）根据正五边形每一个内角的度数即可求解． 【详解】（1）解：正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可求， 正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：由题意，得， 其正整数解为或． （4）解：∵正五边形的内角为， ∴，． 地 城 考点02 平行四边形 一、选择题 6．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在中，E是边的中点，F是对角线的中点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、平行四边形性质等知识，熟记三角形中位线判定与性质、平行四边形性质是解决问题的关键．由题意，根据三角形的中位线定理可得，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：在中，是边的中点，是对角线的中点，则是的中位线， ∴，解得， 在中，， 故选：A． 7．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 8．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在中，已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，点D、F分别为的边的中点，连接，平分交于点P．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，因为为的中位线，进而得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，推出，即可得出结论． 【详解】解：∵点D、F分别为的边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴； 故选：A． 10．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，菱形的边长为，，，分别是，边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到．连接，过作于，判定是等腰直角三角形，求出，由垂线段最短得到，由三角形中位线定理推出，即可得到的最小值． 【详解】解：连接，过作于 ，菱形的边长为， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 的最小值是， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 的最小值为． 故选：A． 11．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在中，对角线，相交于点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形对角线性质，是解题的关键． 根据平行四边形的性质“对角线互相平分”可直接求解． 【详解】∵在中，对角线，相交于点． ∴对角线被点O平分， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 12．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边． 根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．（24-25八年级下·广西防城港·期末）在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．根据平行四边形对角相等即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴（平行四边形的对角相等）． 故选：A． 14．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图， 在中，的平分线交于点E， 若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质．熟练掌握平行四边形的性质以及角平分线的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再结合角平分线的定义，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，     ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B 15．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，若点E是的中点，且，则的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．根据矩形的性质可得，从而得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 16．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，平行四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得出，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：C 17．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在菱形 中，，对角线， 交于点 O，E为的中点，连接 ，则的度数是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得，，根据三角形中位线定理得到，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，O为的中点， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 18．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，过点D作于点T．证明，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点T． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别为的中点， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在中，已知，则的度数为________． 【答案】/108度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是关键；由平行四边形的性质知，，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 故答案为：． 3、 解答题 20．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，延长的边到点，使，延长到点，使，分别连接点，和点，，求证：是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，，进而由，得到，即得到，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，，， ∵，， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 21．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键． （1）在中，可求得，结合条件可判定四边形为平行四边形； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ，且， 四边形为平行四边形； （2）解： ，， ∴的面积． 22．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）证明是的中位线，得出，，再推出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先求出、的长，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后由平行四边形的性质和三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 是的中位线， ，， 延长至点，使得， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：点是的中点， ， 由（1）得：， ， ， 是直角三角形， 由（1）得：四边形是平行四边形， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 23．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据平行四边形的性质求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， E、F、G、H分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ∵， 的周长． 24．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，四边形中，若，，，． (1)________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)求的长和四边形的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，四边形的面积为 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键 （1）在中，根据勾股定理，即可求解； （2）可求得，结合条件，根据“对角线相互平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形； （3）由平行四边形的性质可求得，利用平行四边形的面积公式可求得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， （2）证明：∵，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，且， ∴． 25．（24-25八年级下·广西钦州·期末）活动探究：矩形的折叠． (1)如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部． ①求证：； ②判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)①见解析②四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或2 【分析】（1）①利用矩形性质证明，得到，再结合折叠的性质即可证明； ②连接，结合矩形性质证明，进而得到由折叠性质可知 ，即可证明四边形的形状； （2）根据以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，分情况：①当时，②当时，过点F作，垂足为M，交于N，③若，结合勾股定理，矩形性质和判定，分析求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：在矩形中， E、F分别是的中点， ， 又， ， ， 由折叠的性质可知，，， ． ②四边形是平行四边形 理由：连接， 四边形是矩形 ， ， 由①知． ， 即， ， 由折叠性质可知， ， 四边形是平行四边形； （2）解：或2， 理由如下： ①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知， 即， 又， 点F在上，且为中点， 又， ， ， ， ， ； ②如图，当时， 是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N， 四边形是矩形， ，， ， ， 又， ， 同理易知，四边形是矩形， 设， ，， ，解得， ； ③如图，若，则，， 这样，， 所以不成立． 综上所述，或2． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行四边形判定，掌握相关知识是解题的关键． 26．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中： (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为E，交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由（1）可知：直线为的垂直平分线，得出，在中，得出，．根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段即为所作图形； （2）解：由（1）可知：直线为的垂直平分线， ， 在中，，， ，． ． 27．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点F．（不写做法，保留作图痕迹） (2)连接，，．求证：，互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明点F为的中点，则都是的中位线，则，据此证明四边形是平行四边形，则可证明，互相平分． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵垂直平分， ∴点F为的中点， 又∵D，E分别是，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，互相平分． 一、选择题地 城 考点03 特殊的平行四边形 28．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F．则的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，证明．根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠性质，得，， ， 设，则， 在中， 则， 解得， 的长为3， ， ． 故选：C． 29．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，图形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理得到正方形边长，再根据正方形面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得中，，， ∴， 四边形是正方形， ． 故选：A． 30．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．通过线段垂直平分线的性质得到是解题的关键．先根据作图步骤得出是的垂直平分线，进而得到，再利用矩形的性质和勾股定理求出的长度． 【详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线， 连接 又直线经过点B， ， 又点E是的中点， ， 在矩形中，， 在中，， ． 故选：B． 31．（24-25八年级下·广西百色·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、含有角的直角三角形以及勾股定理，过点作轴于点，求即可． 【详解】解：过点作轴于点 四边形是菱形 故选：C． 32．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，有一个角为的一张直角三角形纸片，沿图中的中位线剪开后，不能拼成的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的拼接与四边形的判定，关键在于理解中位线性质以及不同四边形的特征，通过实际操作将剪开的直角三角形中位线部分与剩余部分进行拼接，分析能拼成的四边形形状，从而判断不能拼成的四边形． 【详解】解：选项A：将剪开的小三角形与梯形的直角边拼接，可得到矩形， 因为中位线平行于底边，拼接后有三个直角，符合矩形特征； 选项B：将小三角形的斜边与梯形的斜腰拼接（非直角边拼接）， 由于中位线长度是底边的一半，且三角形有一个角为，可拼成菱形（四条边相等）； 选项C：因为原三角形是有一个角为的直角三角形， 无论怎样拼接，都无法得到四个角都是且四条边都相等的正方形； 选项D：将小三角形的一条边与梯形的非平行边拼接， 利用中位线性质和平行关系，可拼成等腰梯形（两腰相等）． 故选：C． 33．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 34．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 35．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C 36．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得，可知当时，四边形是平行四边形，因为，所以，解方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 37．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 38．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，已知某广场菱形花坛的边长是，， 则花坛的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，设交点为O，根据菱形的性质结合含的直角三角形的性质求出长，在利用勾股定理求出长，进而得到的长，然后根据菱形的面积公式计算解题． 【详解】解：设交点为O， ∵四边形是边长为的菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 39．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，矩形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示点数为． 故选D． 2、 填空题 40．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的边长为，点在边上，，过点作，分别交，于点，，点，分别是，的中点，则的长是______． 【答案】 【分析】过点作直线交于点，交于点，连接，，由题意得，可证明四边形，四边形和四边形都是矩形，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得，进而由是等腰直角三角形得，，利用“”得，得到，，可得是等腰直角三角形，即得，由勾股定理求出即可求出的长． 【详解】解：过点作直线交于点，交于点，连接，，如图所示， ∵四边形是正方形，且边长为， ，，， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 同理可得，四边形和四边形都是矩形， ，，，，， 连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ， ，， ∵，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， 点是的中点， ， 在中，，， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 41．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质和勾股定理．设，则，由矩形的性质得到，，由折叠得，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠得， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为： 42．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形外角的性质．根据正方形的性质得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴， 故答案为： ． 43．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 取的中点H，连接，根据正方形的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，再由勾股定理确定，再由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴当点H在上时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 44．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，是等边三角形，四边形和四边形 是边长相等的正方形，点F，M 分别在上，边在上，点 F，G，H 三点共线 ．若，则等边的边长是_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、正方形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：延长交于I，由等边三角形的性质以及正方形的性可得，则，易得、，再运用勾股定理列方程求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：延长交于I， ， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形 是边长相等的正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，解得：， ∴，即等边的边长是． 故答案为． 3、 解答题 45．（24-25八年级下·广西钦州·期末）综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【详解】解：（1）如图，过点E作于点F，    ∴，， ∴； （2）如图，过点D作于点G，连接，    ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，    由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 46．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 【答案】（1）①5，，，；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得问题的答案； 由，，得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：如图， 四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，，，． ，， ， 故答案为：． （2）解：成立，理由如下： 如图， 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． （3）解：如图，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 47．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）根据作垂直平分线的步骤作图即可； （2）如图，记与的交点为，则，证明，则，由，证明四边形为菱形，设，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可求菱形的周长． 【详解】（1）解：如图，垂直平分线，点即为所作； （2）解：如图，与的交点为， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：， ∵， ∴菱形的周长为15． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂直平分线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 48．（24-25八年级下·广西百色·期末）【问题情景】如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，点是的中点，连接，． 【证明与探究】 (1)求证：； (2)请判断与的位置关系，并说明理由； (3)作的中点，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】（1）利用正方形性质找全等条件，用证三角形全等； （2）通过正方形平行关系、等腰三角形性质及全等三角形角的关系，推导角为直角得垂直； （3）借助中位线性质求线段长，再用勾股定理计算． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． 又， ． （2）解：．理由如下： 如图1．四边形是正方形， ，， ． 点是的中点， ， ， ， ． ， ， ，即， ． （3）解：如图2，连接． 点是的中点，点是的中点， 是的中位线． ， ． 在中 ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 49．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，已知正方形，点E在边上，连接． (1)尺规作图：在正方形内部作，使，点F是的边与线段的交点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题； （1）根据题意要求作出图形，即可求解； （2）证明，即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 50．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），连接并延长交的延长线于点，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，证明：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定等知识． （1）先由菱形的性质得出，再证，得出，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出，则，再证是等边三角形，得出，推出，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ，， 又点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是菱形， ， ， 又，， 是等边三角形， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ， 平行四边形是矩形． 51．（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与探究 (1)【课本再现】人教版八年级数学下册第48页详细介绍了中位线定理的证明过程，方法如下：如图1，D，E分别是中点，延长到F，使，连接，先证明 ，再证四边形是平行四边形，从而得到线段与的位置关系和数量关系分别为______，______． (2)【初步运用】如图2，正方形中，E为边中点，G，F分别在边上，且，，，求长． (3)【拓展延伸】如图3，四边形中，，，E为中点，G，F分别为边上的点，若，，求长． 【答案】(1)DEBC， (2)7 (3) 【分析】（1）根据材料提供的思路进行证明即可得出结论； （2）延长交于点H，可证得，结合条件可证明垂直平分，可得，可求得的长； （3）过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，同法可得，结合条件可得到为度的直角三角形，可求得的长，在中，可求得，则可求得的长． 【详解】（1）解：， 如图1，在中，延长、E分别是的中点到点F，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长交于点H， 为中点， ，且， 在和中， ， ， ，， ， 垂直平分， ； （3）如图3，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接， 同（1）可知，， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，，，， 【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等．正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网 www.zxxk.com 专题03 四边形 目目 考点01 四边形及多边形 2 3 A A C 4. 108°108度 5.(1)108°；120°；135° (2)①③ (3)川x=2或(x=4 y=2{y=1 目目 考点02 平行四边形 6 7 8 9 10 11 12 13 A A D A A A A A 182W5 19.108°/108度 20 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ·AD=BC,AB=CD,ADIBC, BE=BA,DF=DC. ·BE=DF, ·AF=EC, ADIBC, ·AFJEC, 四边形AECF是平行四边形. 21. (1)见解析 (2)30 【详解】(1)证明：：AD=12,0D=5,∠ADB=90°， :A0=VAD2+0D2=13, :AC=26, :A0=0C=13,且D0=0B=5, ·四边形ABCD为平行四边形； 1/16 让教与学更高效 (4)108°；36° 14 15 16 17 B A 耐学科网 www.zxxk.com (2)解：：AD=12,0D=0B=5,∠ADB=90° :△A0B的面积=专0B·AD=专×5×12=30. 22 (1)见解析 (2)12 【详解】(1)证明：：D、E分别是BC、AC的中点， :DE是△ABC的中位线， :DEAB,DE=专AB, :延长BA至点F,使得AF=专AB, ·DE‖AF,DE=AF, ·四边形ADEF是平行四边形； (2)解：：点E是AC的中点， ·AE=号AC=号×8=4， 由(1)得：DE=AB=专×6=3， :32+42=52, ÷DE2+AB2=AD2, ·△AED是直角三角形， 由(1)得：四边形ADEF是平行四边形， :四边形ADEF的面积=2S△4BD=2×AE·DE=AE·DE=4×3=12. 23. (1)见解析 (2)28 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :A0=C0,B0=D0, :E、F、G、H分别是AO、BO、C0、DO的中点， ·E0=专0A,G0=专0C,F0=专0B,H0=专0D, ·E0=G0,F0=H0, ·四边形EFGH是平行四边形； 2/16 :教与学更高效 学科网 www.zxxk.com (2)解：：AC十BD=36, ·A0+B0=号×36=18， :AB=10, ÷△AB0的周长=A0+B0十AB=18+10=28 24. 【答案】(1)5 (②)证明见解析 (3)BC=4,四边形ABCD的面积为24 【详解】(1)解：：AD=4,OD=3,∠ADB=90°， :A0=V0D2+AD2=V32+42=5, (2)证明：：A0=5,AC=10, :0C=AC-A0=10-5=5, .A0=0C, DO=0B, .四边形ABCD为平行四边形； (3)解：：四边形ABCD为平行四边形， .:.BC=AD=4, :∠ADB=90°，且BD=DO+OB=6, :S四边形ABcD=AD·BD=4X6=24. 25, (I)①见解析②四边形FGEH是平行四边形，理由见解析 (2)DE=V5或2 【详解】(1)①证明：在矩形ABCD中，AB=CD,∠B=∠D=90° D B F 图1 :E、F分别是AB、CD的中点， ·DE=BF, 3/16 让教与学更高效 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 又：BN=DM, ÷△DME≌△BNF(SAS), ·∠DEM=∠BFN, 由折叠的性质可知，∠DEG=2∠DEM,∠BFH=2∠BFN, ·∠DEG=∠BFH ②四边形FGEH是平行四边形 理由：连接EF, D F 图1 :四边形ABCD是矩形 ·ABJICD,AB=CD, ·∠DEF=∠BFE, 由①知∠DEG=∠BFH ·∠DEF-∠DEG=∠BFE-∠BFH, 即∠GEF=∠HFE, ·GEFH, 由折叠性质可知ED=GE,FB=FH, ·GE=FH, ·四边形FGEH是平行四边形； (2)解：DE=V5或2， 理由如下： ①如图，当BF=BC=2时，△BCF是等腰三角形，根据题意可知AF=AD=2, E F 图2 即AF=BF=2, 又：AB=4, 4/16 耐学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ·点F在AB上，且为AB中点， 又：∠AFE=∠D=90°， ·EF⊥AB, ABIICD, ·FE⊥CD, DAEF, DE=AF=2 ②如图，当CF=BF时，△BCF是等腰三角形.过点F作MN⊥AB,垂足为M,交CD于N, EN C F ◇ M B 图3 :∠NMB=∠MBC=∠BCN=90o ·四边形MBCN是矩形， :CN=BM,MN=BC=2, :Rt△FCN≌Rt△FBM(HL), :FN=FM=1, 又：AF=AD=2, AM =VAF2-FM2=3, 同理易知，四边形MNDA是矩形， 设DE=X, :.EF=DE=x,EN=3-x. :(5-x)2+1=x2,解得x=5, DE=寻5： ③如图，若CF=CB=2,则AF+FC=4,AC=VAD2+DC=V20, 5/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 图4 这样，AF+FC<AC, 所以CF=CB不成立. 综上所述，DE=V3或2. 26 (①)见解析 (2)11 【详解】(1)解：如图，直线EF,线段AF即为所作图形； (2)解：由(1)可知：直线EF为AB的垂直平分线， ·AF=BF, 在□ABCD中，AD=4,AB=3, ·AD=BC=4,DC=AB=3. C四边形AFcD=AF+FC+CD+AD =BF+FC+CD十AD =BC+CD十AD=4+3十4 =11· 27. (1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：如图所示，即为所求； 6/16 耐学科网 www.zxxk.com D (2)解：：GF垂直平分BC, .点F为BC的中点， 又：D,E分别是AB,AC的中点， DF,EF都是△ABC的中位线， .DF‖AC,EF‖AB, :.四边形ADFE是平行四边形， AF,DE互相平分. D 目目 考点03 特殊的平行四边形 28 29 30 31 32 33 34 35 A B c D B 40.34 2 41. (-6,0) 42.80° 43. 45+44+4y5 44. 3+232W3+3 45 (1)见解析；(2)12；(3)见解析 【详解】解：(I)如图，过点E作EF⊥BC于点F, 7/16 让教与学更高效 36 38 39 40 D B A D 命学科网 www.zxxk.com :S□ABcD=BC·EF,SABCE=BC·EF, .S▣ABcD=2S△BCE; (2)如图，过点D作DG⊥AE于点G,连接DE, :∠AEF=∠EFD=90o, 四边形DGEF是矩形. :.DG=EF=8. :AD=10,DG⊥AE, :AG=AD2-DG2=6, .GE=AE-AG=9. ∴DE2=DG2+GE2=82+92=145 :四边形ABCD是矩形， ∠B=∠BCD=90°，AB=CD,BC=AD=10, 设BE=x,则EC=BC-BE=10-x, :.AB2 CD2. ·AE2-BE2=DB2-EC2, :152-x2=145-(10-x)2. x=9, BE=9, :AB=AE2-BE2 =12 (3)如图，连接AE,AF,过点A作AM⊥BF于点M,作AN 8/16 让教与学更高效 DE于点N, 命学科网 www.zxxk.com 由(1)知SAB CD=2S△4BF=2S△4DE, S△4BF=S△ADE,即告BF·AM=号DE·AN, BF=DE, .AN=AM, 点A在∠BGD的平分线上，即AG平分∠BGD, 46. (1)①5，√13，V29,41:②=；(2)成立，理由见解析；(3) 【详解】(1)解：①如图1， :四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, ·AD=BC=8,∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， :过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC于点E,F, ·∠AEF=∠DEF=90°， :四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形， ·EF=AB=6,BF=AE=3,∠AEF=∠DEF=90°， :CF=DE=AD-AE-8-3-5, "PE=4, :PA=VAE2+PE2=5,PD=DE2+PE2=52+42=V41, :PF=EF-PE=6-4=2, .PB=VBF2+PF2=V13,PC=VCF2+PF2=V29, 故答案为：5,13,29，V41, ②PA2+Pc2=52+(V292=54,PB2+PD2=(V13+(N41)月 ·PA2+PC2=PB2+PD2, 故答案为：= (2)解：成立，理由如下： 9116 让教与学更高效 V13-1 54, 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 如图2， :四边形ABCD是矩形， ·∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， ·∠EAB=∠FBA=90o, :过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC反向延长线于点E,F, ·∠E=90°， :四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形， ·AE=BF,DE=CF, PD2=DE2+PE2=CF2+PE2,PA2=AE2+PE2=BF2+PE2. :PD2-PA2=CF2-BF2; PC2=CF2+PF2,PB2=BF2+PF2, P C2-PB2=CF2-BF2, 4.PC2-PB2=PD2-PA2, .PA2+PC2=PB2+PD2. (3)解：如图3，作PM⊥CA交CA的延长线于点M,则∠PMC=90°， :PC2=PM2+CM2,PA2=PM2+AM2, 作BN⊥PM交PM的延长线于点N,作CT⊥NB交NB的延长线于点T,连接AT、PT, 图3 :∠BAC=90°， ·∠BAM=90o, :∠AMN=∠N=∠CTN=90°， ·四边形ABNM和四边形CTNM都是矩形， :TN=CM,BN=AM, ..PT2=PN2+TN2=PN2+CM2,PB2=PN2+BN2=PN2+AM2, :PT2-PC2=PN2-PM2,PB2-PA2=PN2-PM2, ÷PT2-PC2=PB2-PA2, PA=1,PB=3,PC=V5, 10/16 学科网 www.zxxk.com P7=V9+5-1=V13, :TA十PA≥PT, :TA+1≥V13, :TA≥V13-1, ABMN, ∠ABT=∠N=90°， ·四边形ABTC是矩形， :.TA=BC, :BC≥V13-1, :BC的最小值为V13-1. 47. (1)见解析 (2)15 【详解】(1)解：如图，垂直平分线EF,点E,F即为所作： (2)解：如图，EF与AC的交点为0， :EF垂直平分AC, ..OC=0A,AF=CF,AE=CE, :四边形ABCD为矩形， .∠B=90°，DCAB,BC=AD=3, ∴∠FC0=∠EAO, :∠FC0=∠EA0,∠F0C=∠E0AOC=OA, △FOC≌△EOA(ASA, ..CF=AE, ∴AF=CF=AE=CE, 11/16 上教与学更高效 耐学科网 www.zxxk.com .四边形AECF为菱形， 设AE=x,则CE=X,BE=6-X, 由勾股定理得，BE2+BC2=CE2, 即(6-x)2+32=x2, 解得：x=望， :4×9=15, .菱形AECF的周长为15. 48 (①)证明见解析 (2)EC⊥PC.理由见解析 3v5 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ·AD=CD,∠ADE=∠CDE. 又：DE=DE, ·△ADE≌△CDE(SAS). (2)解：EC⊥PC.理由如下： 如图1.：四边形ABCD是正方形， A D 4 57 图1 ·AD II BC,∠BCD=∠DCF=∠5 ·∠1=∠3. :点P是MF的中点， PC=PF ·∠4=∠3， ·∠4=∠1， ÷∠5+∠1=90°. :△ADE≌△CDE, 12/16 让教与学更高效 ∠4=90°， 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .∠1=∠2 :∠5十∠2=90°，即∠ECP=90°， ·EC⊥PC (3)解：如图2，连接DF. A I E 2 B 4 3 C 图2 :点P是MF的中点，点N是DM的中点， :PN是△MDF的中位线， :PN=2, ·DF=2NP=4. 在Rt△DCF中 :CR=VDF2-CD2=V42-32=V16-9=V7, 49 (1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】(1)解：图形如图所示： D E B (2)证明：四边形ABCD是正方形， ∠D=∠B=90o,CD=AB,AD‖BC,AD=BC, :∠DCF=∠BAE, .△CDF≌△ABE(ASA), .DF=BE, ∴AF=CE :AF‖CE, 13/16 耐学科网 :.四边形CFAE是平行四边形. 50 (1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， NDLAM, :∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME, 又：点E是AD边的中点， ·DE=AE, 在△NDE和△MAE中， I∠NDE=∠MAE ∠DNE=∠AME DE-AE ·△NDE≌△MAE(AAS), :ND=AM, ·四边形AMDN是平行四边形； (2)证明：：四边形ABCD是菱形， ·AD=AB=2, ·AE=克AD=1, 又：∠DAM=60°，AM=1, ·△EAM是等边三角形， :EM=1, 由(1)得：四边形AMDN是平行四边形， ∴.NM=2EM=2, ·NM=AD=2, ·平行四边形AMDN是矩形， 51 (1)DEIBC,DE=BC (2)7 (3)213 ww.zxx k.com 14/16 让教与学更高效 学科网 www .zxxk.com 【详解】(1)解：DE‖BC,DE=BC. 如图1，在△ABC中，延长DE(D、E分别是AB、AC的中点)到点F, B 图1 在△ADE和△CFE中， AE=CE ∠AED=∠CEF DE-EF ·△ADE≌△CFE(SAS), ·AD=CF,∠A=∠ECF, AD‖CF, AD BD, :BD=CF, :BD‖CF, :四边形DBCF是平行四边形， :DEI‖BC,DF=BC, :DE=专DF=专BC, 故答案为：DEI‖BC,DE=BC; (2)如图2，延长GE、FD交于点H, H 图2 :E为AD中点， ·EA=ED,且∠A=∠EDH=90°， 在△AEG和△DEH中， 15/16 让教与学更高效 使得EF=DE,连接CF, 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠A=∠EDH EA-ED 、∠AEG=∠DEH :△AEG≌△DEH(ASA), ·AG=HD=2,EG=EH, :∠GEF=90°， :EF垂直平分GH, :GF=HF=DH十DF=4十3=7； (3)如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H,过H作CD的垂线，垂足为P,连接HF, H B 图3 同(1)可知△AEG兰△DEH,GF=HF, :∠A=∠HDE=100°，AG=HD=4, :∠ADC=110°， ÷∠HDF=360°-100°-110°=150°， :∠HDP=30°， "∠DPH=90 ·PH=2,PD=2W3, :DF=2W5, :PF=PD+DF=2W5+2W5=45, 在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=2,PF=4V5, :HF=VPH2+PF2=V22+(43)2=213 GF=FH=2V13. 16/16