专题02 勾股定理（2大考点期末真题汇编，广西专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 广西各地市八年级下期末真题汇编，聚焦勾股定理两大核心考点，通过基础计算、实际应用与创新模型构建梯度，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|25|勾股定理计算、逆定理判断、面积验证|含《九章算术》“折竹抵地”文化题，数轴表示无理数几何直观题| |填空|3|四边形计算、坐标距离、航行问题|结合实际情境，如轮船航行距离计算| |解答|13|模型应用、分割拼接、测量问题|设计“一线三垂直”模型探究、正方形分割拼接等创新题，关联真题命题趋势|

专题02 勾股定理 2大高频考点概览 考点01勾股定理及其应用 考点02勾股定理的逆定理及其应用 一、选择题地 城 考点01 勾股定理及其应用 1．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可． 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 2．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到，可以得到，即可写出点D所表示的数． 【详解】解：由图可得，， ∵，， ， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据吸管露出杯口外的长度最少，则需在杯内最长，然后用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为， 故选：． 5．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与8，10组成一组勾股数的是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，需逐一验证选项中的数是否与8、10构成勾股数 【详解】解：勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）。 选项A（5）：三个数为5、8、10，最大数为10， ，不符合条件； 选项B（6）：三个数为6、8、10，最大数为10， ，符合条件； 选项C（8）：三个数为8、8、10，最大数为10， ，不符合条件； 选项D（12）：三个数为8、10、12，最大数为12， ，不符合条件； 故选B 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，原点到点的距离可通过勾股定理计算． 【详解】解：∵点P的横坐标为5，纵坐标为12，原点O的坐标为， ∴横坐标差为，纵坐标差为． ∵两点间距离为直角三角形的斜边长度， ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级下·广西来宾·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， 折断处离地面的高度为3.2尺， 故选：B． 8．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 9．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（   ）． A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误； B、1.5，2.5为小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误； C. 6，8，12为整数，但，不满足勾股定理条件，选项错误； D. 9，40，41为整数，且，符合勾股数定义，选项正确； 故选：D． 10．（24-25八年级下·广西梧州·期末）如图，为了求出湖两岸、两点之间的距离，观测者在湖边找到一点，并分别测得，，又量得，则、两点之间的距离为（   ） A． B．50 C． D．25 【答案】A 【分析】本题考查了30度角的性质，勾股定理，二次根式的化简． 先根据30度角的性质得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ， 故选：A． 11．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（    ） A．1.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，然后根据勾股定理求出长，结合A点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， 且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：D． 12．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，李明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了度直角三角形的性质，勾股定理，及等腰三角形的性质，熟练掌握度直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．过点作于点，有度直角三角形的性质得，再勾股定理得，从而即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 13．（24-25八年级下·广西柳州·期末）把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理． 根据勾股定理，将梯子、地面和墙面构成的直角三角形中的已知边长代入公式求解． 【详解】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边． 设梯子顶端到地面的垂直距离为米， 由勾股定理得： （米） 因此，梯子顶端到地面的距离为3米， 故选：B． 14．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（   ） A．18 B． C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴“希波克拉底月牙”的面积是：． 故选：C 15．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两条直角边平方和的平方根求解即可． 【详解】解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 设斜边长为．根据勾股定理： ， 故选：A． 2、 填空题 16．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，，，，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质．连接，先判定是等边三角形，是直角三角形，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，如图． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：4． 17．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理．根据勾股定理可求得，，再根据点M在原点的右侧，从而得出点M所表示的数，即可作答． 【详解】解：如图： 由数轴得，， 则， ∵点M在原点的右侧， ∴点M表示的实数是， 故答案为： 18．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级下·广西百色·期末）【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【知识运用】 (1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)点，是线段的勾股分割点．理由见解析 (2)的长为12或13 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设，分为斜边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 以线段，，为边的三角形是一个直角三角形， 点，是线段的勾股分割点． （2）设，则． 点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ①当为斜边时，则，即 ， 解得； ②当为斜边时，则，即 ， 解得． 综上所述，的长为12或13． 20．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，在中，于点，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解： 在中，， 在中，． 21．（24-25八年级下·广西防城港·期末）已知：如图，是的角平分线，， 求的面积． 【答案】cm2 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据等腰三角形三线合一的性质得出，，然后再利用勾股定理求出，进而得出的长，可得三角形面积． 【详解】解：是的角平分线， ，， 在中，，， ， ， ． 22．（24-25八年级下·广西防城港·期末）在 中，，，，，求： (1)已知 ， ，求； (2)已知 ， ，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边． （1）由于所求边是斜边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值； （2）由于所求边是直角边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值． 【详解】（1）解：在 中，， ， ， ∴； （2）解：在 中，， ， ∴． 23．（24-25八年级下·广西来宾·期末）（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 【答案】（1）中线，；（2）． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的实际应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，再由勾股定理求解高，最后由三角形面积公式即可求解； （2）先证明为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，为等边的中线，， ∴，， ∴由勾股定理得:， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 24．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         25．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)结论还能成立，见解析 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过O点作垂直与分别交于点，设，根据勾股定理分别表示出，， ，，即可证明； （2）结论仍成立，同（1）思路即可证明． 【详解】（1）证明：过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， 即． （2）解：结论仍成立，证明如下： 过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 所以． 26．（24-25八年级下·广西钦州·期末）实践与操作：如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理． （1）根据垂直平分线的作图步骤作出图形即可； （2）在中，利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P为所作； ； （2）解：∵，， 在中，， ∵的垂直平分线， ∴． 27．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 28．（24-25八年级下·广西南宁·期末）问题背景：如图1，如何把两个边长为1的小正方形分割后，拼接成一个大的正方形（各部分图形之间无重叠无缝隙）呢?我们可以设大正方形的边长为．拼接后所得大正方形的面积与原来两个小正方形的面积之和相等，则有，解得．由此可得大正方形的边长等于原来小正方形的对角线的长． (1)类比探究：现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图2，要求把它们分割后拼接成一个大正方形（各部分图形之间无重叠无缝隙）． ①设大正方形的边长为，根据拼接后所得大正方形的面积与原来5个小正方形的面积之和相等，则有________，解得________． ②用直尺在图2中画出符合要求的分割线，并在图3中画出拼成的大正方形． (2)拓展延伸：图4所示是由边长相等的等边三角形排列组成的图形，要求把它们分割后拼接成一个大的等边三角形（各部分图形之间无重叠无缝隙），请在图4中画出分割线，并在图5中画出拼成的大等边三角形． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的拼接，勾股定理与网格问题，算术平方根的应用，数形结合是解题的关键； （1）①根据图5的边长求出长方形的面积．然后再求出正方形的边长； ②根据题意拼接图形，即可求解． （2）根据（1）的方法完成拼接，即可求解． 【详解】（1）解：①设新正方形的边长为． ∴，解得：； 故答案为：，； ②如图所示： （2）如图所示： 地 城 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 一、选择题 29．（24-25八年级下·广西来宾·期末）下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，7，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，构成的三角形是直角三角形，不符合题意； B、，构成的三角形是直角三角形，不符合题意； C、，构成的三角形不是直角三角形，符合题意； D、，构成的三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 30．（24-25八年级下·广西防城港·期末）分别以为边长作一个三角形，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形分类，勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理判断三角形类型． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故该三角形为直角三角形． 故选：B． 31．（24-25八年级下·广西钦州·期末）由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，4，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，4，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为2，3，5的三条线段不可以组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 32．（24-25八年级下·广西河池·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．13，12，5 B．3，3，4 C．3，6，4 D．4，8，5 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理判定直角三角形的计算，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】解：选项A、 最大边为13，验证：，满足勾股定理，能构成直角三角形； 选项B、最大边为4，验证：，不满足勾股定理； 选项C、最大边为6，验证：，不满足勾股定理； 选项D、最大边为8，验证：，不满足勾股定理； 综上，只有选项A符合条件， 故选：A． 33．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是（ ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，6，7 D．8，9，10 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理判定直角三角形，根据勾股逆定理，判断各组数是否满足两边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不满足勾股定理； B、，满足勾股定理； C、，不满足勾股定理； D、，不满足勾股定理； 综上，只有选项B符合条件， 故选：B． 34．（24-25八年级下·广西北海·期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形三边关系，先验证是否能构成三角形，再根据勾股定理的逆定理，判断各组数是否满足“较小两数的平方和等于最大数的平方”，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴无法构成三角形，故该选项不符合题意； B、∵，∴无法构成直角三角形，故该选项不符合题意； C、∵，∴无法构成直角三角形，故该选项不符合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 35．（24-25八年级下·广西梧州·期末）下列3个数能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．5，6，7 C．6，8，11 D．1，1， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足（为最长边），则该三角形为直角三角形．据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．最长边为4，验证：，而，，不满足勾股定理． B．最长边为7，验证：，而，，不满足勾股定理． C．最长边为11，验证：，而，，不满足勾股定理． D．最长边为，验证：，而，满足勾股定理，故能构成直角三角形． 故选D． 36．（24-25八年级下·广西钦州·期末）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．，，2 C．6，8，14 D．，2， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，无理数，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项正确； C、，不能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项错误； 故选：B． 37．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列各组数作为一个三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，2 B．3，3，3 C．3，4，5 D．6，8，9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件，据此进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、三边都相等的三角形是等边三角形，故该选项不符合题意； C、，满足最长边的平方等于另两边的平方和，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 38．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1 C．4，5，6 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，则该三角形为直角三角形，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， 不能构成直角三角形，故不符合题意； B、， 能构成直角三角形，故不符合题意； C、∵， 不能构成直角三角形，故不符合题意； D、， 不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 三、解答题 39．（24-25八年级下·广西梧州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，已知格点的三边，，的长分别为，，．请解答： (1)在网格中画出一个； (2)求边上的高． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，二次根式的乘除混合运算； （1）根据网格的特点以及勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 根据勾股定理可得：； （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴； 40．（24-25八年级下·广西钦州·期末）阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，， 求A，B两点间的距离； (2)已知点，，， 判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据两点间距离公式即可求解； （2）根据两点间距离公式得出，，，再根据勾股定理逆定理，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形． 41．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)原来的路线PA的长为8.45千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键； （1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路； （2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：是； 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形， ， 是从村庄P到l的最近路； （2）解：设，则， 在中，， ， 解得：， 答：原来的路线PA的长为8.45千米． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 专题02 勾股定理 目目 考点01 勾股定理及其应用 2 3 4 5 6 7 P 9 10 11 D B A C B B C D A D 16.4 17.5-1 18.12 19. (I)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由见解析 (2)AM的长为12或13 【详解】(1)解：点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： :AM2+BN2=62+82=100,MN2=102=100, :AM2+BN2=MN2, :以线段AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形， :点M,N是线段AB的勾股分割点， (2)设AM=x,则MN=30-AM-BN=30-x-5=25-x. :点M,N是线段AB的勾股分割点，且BN为直角边， ·①当MN为斜边时，则AM2+BN2=MN2,即 x2+52=(25-x)2, 解得x=12; ②当AM为斜边时，则MN2+BN2=AM2,即 (25-x)2+52=x2, 解得x=13。 综上所述，AM的长为12或13. 20.10 21.60cm2 22.(1)17cm (2)8cm 23 (1)中线AD=V5,S△4Bc=5;(2)AB=20V2 1/5 让教与学更高效 12 13 14 15 D B C A 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：(1)如图，AD为等边△ABC的中线，AB=BC=AC=2, .BD=1,AD⊥BC, :由勾股定理得：AD=VAB2-BD2=V3, “SA4Bc=号BCAD=专×2×V3=V5: (2):AC=20,∠A=45°，∠C=90°， .∠A=∠B=45°， ∴AC=BC=20, :在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=VAC2+BC=V202+202=20y2, ⊙ 24.(1)AD+BE=DE,(2)①7，②器 25 (1)见解析 (2)结论0A2+0C2=0B2+0D2还能成立，见解析 【详解】(1)证明：过O点作FE垂直BC,FE与BCAD分别交于E、F点， F D AF=BE=x,OF=y,OE=t FD=CE=Z, 在直角三角形A0F中，0A2=AF2+0F2=x2+y2, 在直角三角形0EC中，0C2=CE2+0B2=z2+t2, 所以0A2+0C2=x2+y2+z2+t2, 2/5 命学科网 www.zxxk.com 让 在直角三角形B0E中，0B2=BE2+0E2=x2+t2, 在直角三角形D0F中，0D2=DF2+0F2=z2+y2, 0B2+0D2=x2+y2+z2+t2, 即0A2+0C2=0B2+0D2. (2)解：结论仍成立，证明如下： 过O点作OE垂直BC,OE与BCAD分别交于E、F点， 0 AF=BE=x,OF=y,0E=t FD=CE=Z, 在直角三角形A0F中，0A2=AP2+0F2=x2+y2, 在直角三角形0EC中，0C2=CE2+0B2=z2+t2, 所以0A2+0C2=x2+y2+z2+t2, 在直角三角形B0E中，0B2=BE2+0E2=x2+t2, 在直角三角形D0F中，0D2=DF2+0F2=z2+y2, 所以0B2+0D2=x2+y2+z2+t2, 所以0A2+0C2=0B2+0D2. 26. 】(1)见解析 (2)5 【详解】(1)解：如图，点P为所作： E B (2)解：AC=4,CP=3, 在Rt△ACP中，AP=VPC2+AC2=V32+42=5, :AB的垂直平分线， 3/5 教与学更高效 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .BP=AP=5. 27.(1)①5；②30；(2)1. 28. ①0y2=5,5, ②见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：①设新正方形的边长为y(y>0). y2=5,解得：y=5: 故答案为：y2=5,5; ②如图所示： 图2 图3 (2)如图所示： 图4 图5 目目 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 29 30 3 32 33 34 35 36 37 38 B B A B D D B C B 39. (1)画图见解析 230 【详解】(1)解：如图所示，△ABC即为所求； 4/5 药学科网 www.zxxk.com 根据勾股定理可得：AB=V2,BC=2√2，AC=V10: (2)解：：AB=V2,BC=2V2,AC=V10, AB2+BC2=AC2, △ABC是直角三角形，∠ABC=90°， :S△4Bc=专AC·h=AB·BC, :h=48e= 2x2 AC 2=四 10 5; 40.(035 (②)直角三角形 41. (1)是，理由见解析 (2)原来的路线PA的长为8.45千米 【详解】(1)解：是： 理由是：在△PCB中， :PC2+BC2=62+2.52=42.25,PB2=6.52=42.25, ·PC2+BC2=PB2, :△PCB是直角三角形， ·PC⊥AB, PC是从村庄P到1的最近路； (2)解：设AP=x,则AC=x-2.5, 在Rt△PAC中，：PC2+AC2=PA2, 62+(x-2.5)2=x2, 解得：x=845, 答：原来的路线PA的长为8.45千米. 5/5 让教与学更高效命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 勾股定理 ☆2大高频考点概览 考点01勾股定理及其应用 考点02勾股定理的逆定理及其应用 目目 考点01 勾股定理及其应用 一、选择题 1. (2425八年级下·广西贺州期末)下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是() S=4 S2= =4 S2=3 S3=6 A B. S=5 S2=5 S3=5 S2=4 S3=10 S=3 C. D 2.(24-25八年级下·广西百色期末)如图，数轴上的点A表示的数是1，点B表示的数是5，CB⊥AB于 点B,且BC=3,以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴正半轴于点D,则点D表示的数是() B D. 1012345 A.6.5 B.6 c.V34 D.5.8 3.(24-25八年级下·广西南宁·期末)如图，等腰Rt△ACD,斜边AD=4,分别以的边ADAC、CD为 直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是() 1/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E, G D A.4 B.4T C.2Tt D.罗 4.（24-25八年级下·广西南宁·期末)如图，玻璃杯的底面直径为8cm,高为6cm,有一根长13cm的吸 管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为() A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 5.(24-25八年级下·广西河池期末)下列各数中，能与8,10组成一组勾股数的是() A.5 B.6 C.8 D.12 6.(24-25八年级下·广西南宁期末)已知点P的坐标为(5,12)，则坐标原点0与点P之间的距离为() A.5 B.12 C.13 D.17 7.(24-25八年级下·广西来宾期末)《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地， 去根六尺.问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹 梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是() A.3.6尺 B.3.2尺 C.3尺 D.2.4尺 8.(24-25八年级下·广西贵港·期末)如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正 方形，面积分别记为S1S2S3·若S3+S2-S1=10.则图中阴影部分的面积为() A.6 B.5 C. D. 9.（24-25八年级下·广西贺州期末)下列各组数构成勾股数的是()· A.寺，，B.1.5,2,2.5 C.6,8,12 D.9,40,41 2/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25八年级下·广西梧州·期末)如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者在湖边找到 一点C,并分别测得∠BAC=90°，∠ABC=30°，又量得BC=100cm,则A、B两点之间的距离为() A.50W5 B.50 c.255 D.25 11.(24-25八年级下·广西软州期末)如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数 为一1·现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E(E在A的右侧)，则点E表示 的数为() B E -4-3-2-101T234 A.1.5 B.V3 c.5-1 D.6-1 12.(24-25八年级下广西南宁期末)如图，李明想利用“∠A=30°，AB=6cm,BC=4cm”这些条 件作△ABC.他先作出了∠A和AB,在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长 是() B 6cm 30°\ C A.V万cm B.5cm C.10cm D.2W万cm 13.(24-25八年级下·广西柳州期末)把5m长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4m,则梯子顶端到地 面的距离() A.2m B.3m C.4m D.5m 14.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数 学史上被称为希波克拉底月牙”.当AC=8,BC=6时，“希波克拉底月牙的面积是() 3/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B A.18 B.4y10 C.24 D.48 15.(24-25八年级下·广西南宁期末)已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长是() A.5 B.6 C.7 D.以上都不对 二、填空题 16.(24-25八年级下·广西河池期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3,∠A=60°，BC=5, ∠ADC=150°，则CD=· D 17.（24-25八年级下广西来宾期末)如图，认真观察作图的过程，点M表示的实数是 M 0 18.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，甲、乙两艘轮船同时从港口0出发，甲轮船以9海里/时的速 度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距15海里，则乙轮船每小时航 行 海里· A北 三、解答趣 19.(24-25八年级下广西百色期末)【问题背景】定义：如图，点M,N把线段AB分割成线段AM, 4/10 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 MN,NB,若以线段AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分 割点 B 【知识运用】 (I)已知点M,N把线段AB分割成线段AM,MN,NB,若AM=6,MN=10,BN=8,则点M,N是 线段AB的勾股分割点吗？请说明理由： (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且BN为直角边，若AB=30,BN=5,求AM的长. 20.(24-25八年级下广西防城港期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=17,BD=15, DC=6,求AC的值. B D 21.(24-25八年级下广西防城港期末)已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13cm, AD=12cm.求△ABC的面积. D 22.(24-25八年级下广西防城港期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c, 求： (1)已知a=8cm,b=15cm,求c; (2)已知c=10cm,a=6cm,求b. 23.（24-25八年级下·广西来宾期末)(1)等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； (2)数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C,测得 AC=20,∠A=45°，∠C=90°，如图所示，求A,B之间的距离. 5/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 24.(24-25八年级下·广西贺州期末)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的 度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中 必定存在全等三角形. 【模型呈现】 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D, BE⊥DE于点E,请直接写出AD、BE与DE之间的数量关系： 【模型应用】 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CD,过点A作AD⊥CD 于点D,过点B作BE⊥CD于点E,AD=5,BE=12: ①求DE的长： ②如图3，延长BE,交AC于点F,求EF的长度.、 B B 图1 图2 图3 25.(24-25八年级下·广西崇左期末)如图1，已知点O是矩形ABCD的AD边上一点，求证： 0A2+0C2=0B2+0D2, 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行 求证 证明：过O点作OE垂直BC,垂足为E, 0A=BE=x,OE=y,OD=EC=z, 在直角三角形BE0中，0B2=BE2+0E2=x2+y2 在直角三角形0CD中，0C2=CD2+0D2=y2+z2 6/10 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以0A2+0C2=x2+y2+z2 0B2+0D2=x2+y2+z2 即0A2+0C2=0B2+0D2得证 请您模仿以上方法完成以下问题： A 图1 图2 图3 (1)如图2，己知点O是矩形ABCD内任意一点，求证：0A2+0C2=0B2+0D2: (2)如图3，己知点O在矩形ABCD的外部，结论0A2+0C2=0B2+0D还能成立吗？请给予证明. 26.(24-25八年级下·广西钦州期末)实践与操作：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°. C B (I)作AB的垂直平分线，交BC于点P,交AB于点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (2)连接AP,若AC=4,CP=3时，求BP的长. 27.（24-25八年级下·广西桂林期末)探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式a2+b2=c2(其中α，b为直角 三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边)与乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2进行了“联合”探究. 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的α，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上 两个公式可以得出另外的等式：(a+b)2=c2+2ab,在这个等式里，可以将a+b,c,ab分别看成三 个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②己知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形ACBD中，己知∠C=∠D=90°，AC+BC=3,AD2+BD2=5,求Rt△ABC的 面积. 7/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 28.(24-25八年级下广西南宁期末)问题背景：如图1，如何把两个边长为1的小正方形分割后，拼接 成一个大的正方形（各部分图形之间无重叠无缝隙）呢？我们可以设大正方形的边长为x(x>0).拼接后 所得大正方形的面积与原来两个小正方形的面积之和相等，则有x2=2,解得x=V2.由此可得大正方形 的边长等于原来小正方形的对角线的长 →X 图1 图2 图3 图4 图5 (I)类比探究：现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图2，要求把它们分割后拼接成一个大正方形（各 部分图形之间无重叠无缝隙)· ①设大正方形的边长为y(y>0),根据拼接后所得大正方形的面积与原来5个小正方形的面积之和相等， 则有 ,解得y= ②用直尺在图2中画出符合要求的分割线，并在图3中画出拼成的大正方形。 (2)拓展延伸：图4所示是由边长相等的等边三角形排列组成的图形，要求把它们分割后拼接成一个大的等 边三角形（各部分图形之间无重叠无缝隙），请在图4中画出分割线，并在图5中画出拼成的大等边三角 形. 目目 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 一、选择题 29.(24-25八年级下·广西来宾·期末)下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是() A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,7,10 D.1,5,2 30.(24-25八年级下广西防城港期末)分别以6cm,8cm,10cm为边长作一个三角形，则这个三角形是 () 8/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 31.(24-25八年级下·广西软州期末)由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是() A.3,4,4B.3,4,5 C.3,4,6 D.2,3,5 32.(24-25八年级下广西河池·期末)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A.13,12,5B.3,3,4 C.3,6,4 D.4,8,5 33.(24-25八年级下·广西南宁期末)下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是() A.1,2,3 B.3,4,5 C.5,6,7 D.8,9,10 34.（24-25八年级下·广西北海期末)下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的 一组是() A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,6 D.3,4,5 35.（24-25八年级下·广西梧州期末)下列3个数能构成直角三角形三边长的是() A.2,3,4 B.5,6,7 C.6,8,11 D.1,1,2 36.(24-25八年级下·广西钦州期末)以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A.4,5,6 B.2,2,2 C.6,8,14 D.3,2,5 37.(24-25八年级下·广西南宁期末)下列各组数作为一个三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A.1,2,2 B.3,3,3 C.3,4,5 D.68,9 38.(24-25八年级下·广西南宁期末)下列各组数中，能构成直角三角形的是() A.1,2,3 B.1,1,V2 C.4,5,6 D.寺，月 三、解答题 39.(24-25八年级下广西梧州期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的 顶点叫做格点，已知格点△ABC的三边AB,BC,AC的长分别为V2,2V2,√10.请解答： (1)在网格中画出一个△ABC; (2)求AC边上的高h. 40.(24-25八年级下·广西钦州期末)阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 式：如果平面直角坐标系内有两点M(xy1),N(x2y2),那么两点间的距离 MN=Vx1-x2+(y1-y2),例如：若点M(3,5),N(2,1),则 MN=V(3-2)2+(5-1)2=V17. 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点A(8,2),B(2,-1),求A,B两点间的距离： (2)已知点C(2,3),D(-2,0),E(0,-1),判断△CDE的形状， 41.（24-25八年级下·广西钦州期末)如图，在一条东西走向的省级干线公路1的一侧有一村庄P,由P 原有两条笔直小路PB、PA与1相连接，其中AP=AB,由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该 村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路PC(A,C,B在同一 条直线上)，测得PB=6.5千米，BC=2.5千米，PC=6千米。 (1)问是否为从村庄P到公路1的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线PA的长。 10/10