2026年河北省中考数学模拟测试卷二十一（三模）

2026年河北省九年级巩固练习（二十一) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 题号 12 3 45 6 9 10 1112 答案DD CAB 0 B C D 二、（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 14.4(答案不唯一) 15.85 16.3+V5 4 三、17.解：(1)第一步；第三步；… …（4分) (2)原式=-2.… …(7分) 18.解：(1)270；…（2分) (2)小北给出的三位数为100a+10(a-3)十b,……(3分) 则交换后的三位数为100(a-3)十10a+b,…………(5分) ,100a+10(a-3)+b-[100(a-3)+10a+b]=100a+10a-30+b-100a+300-10a-b=270,为定值，.无论小北写的 数是几，小河都能猜中结果。…(8分) 19.解：（1)AE;…（1分) 证明：，∠ABC=∠BAD=90°，∴.∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠AEB=90°，∴.∠FBC=∠AEB. [∠AEB=∠FBC, 在△ABE和△FCB中，，∠BAE=∠CFB,.△ABE≌△FCB,.AE=BF;…(5分) BE=CB, (2)由(1)知，BF=AE=8,CF=AB=6. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=10,∴EF=BE-BF=2,tan∠ECR=即= .…(8分) C℉3 20.解：（1)a的值为-0.2，m的值为5；……………………(2分) （2)①x的最小值为5；…(5分) ②根据题意，得4.8+4.9x+5×5.0+5.1（13-x)+5.2≥20×5，解得x≤6.5，.x=6.…(8分) 21.解：（1）(4,8)；3；6；…(3分) (2)将(2,6》代入yex+1x中，得6-168，解得a=,二抛物线的解折式为y-x+x 2 令x,解得名50合》，此时y×号-吕，即点A的垒标为(，日)：（6分 428 2’8 yt6t后)+ 0，当t0时，y的最大值为 10 0 由题意，得二8，解得v40(负值合去)，。-402回 …（9分) 20 10105 数学（二十一）第1页（共3页） 22.解：（1)①如图；…(2分) E ②四边相等的四边形是菱形；…(4分) (2)设DE=x,则BE=x,AE=4-x,在Rt△ABE中，2+(4-x)=x,解得x= 2 22题图1 “嘉嘉所作菱形的周长为4×5 =10：…(8分) （3)如图，直线1即为所求作.…(9分) B 23.解：(1)如图；…（2分) D 1890 22题图2 C 1400 B 90 A 1020304050607080901001101201301401507 23题图 10k+b=0, k=20, (2)①设s与t的函数解析式为s=kt+b,将(10,0)，(80,1400)代入，得 解得 80k+b=1400, b=-200, S与t的函数解析式为S=20t-200:…(5分) ②理由：令20t-200=1890,解得t=104.5,当t=104.5时，D路口为红灯；…(7分) ③根据题意，当汽车恰好过(100,1890)时，p值最大，列方程，得20p+25(20-p)=1890-1400,解得 p-2;…（10分) (3)2.… …（11分) 【精想博考：根据题意，得800(1B-号)=2001-0），整理，得3+nn均为整数，且≤5， 2 n=4,m=6】 24.解：(1)①在正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC= 2 ∠DAB=45°，∴.DP是扇形A0P所在圆的直径. ∠DPF=∠DAC=45°；…（4分) ②在正方形ABCD中，D=AD-DC-4,C∥AB,∴△3C∽△PEA,AP:C-Ae:EC-1:5,AR. 3, tan∠ADp=AP=V3 AD号，∠AP-30°，∠A0P2∠ADP=60°.0A=0R,△0aP为等边三角形，OA=AP-4 3 :“扇形A0P(阴影的面积为360-60m×(45)-40 …（7分) 360 3 9 (2)如图1，当点P在边AB上，且与边BC相切时，设切点为G, D 连接G0并延长，交AD于点H,则∠OGB=90° 0 0 又，∠HAB=∠GBA=90°，四边形ABGH为矩形，AH=BG,HG=AB, H OH⊥AD,AH=AD=2. K 24题图1 24题图2 数学（二十一）第2页（共3页） 0G三，则0H4r,在Rt△DM中，(4T）+2=,解得工 过点0作OK⊥AB,则AK=KP.在矩形OHAK中，AK=OH=4- 号=)，AP=2AK=3,即x3: 如图2，当点P在边BC上，且与边BC相切时，同理可得BP=AI=2,∴x=4+2=6;…（10分) (3)90°；……… …（11分) (4)以的值为2√5-2.…(12分) 【精思博考：如图3，将△EFP沿FP折叠，其顶点E恰好落在边BC的点Q处 D 由(1D知∠FPD-45°，则∠EQ=90°，易i证△APD∽△B0R,则D-DP:4 BP PQ 4-x 由()知AD△E,则吧必：4哭：4+区，职：4+区，x4 pAPx’px,“PQx Q A 解得x=2V5-2(负值舍去)】 24题图3 数学（二十一）第3页（共3页）2026年河北省九年级巩固练习（二十一） 总分 核分人 数学 市、区、乡 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟， 学校 班 级 '作pNN八N////////☑ 三 题号 二 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 姓 名 1.对于-(-2)，下列说法不正确的是( ) A.表示-2的相反数 B.结果是正数 考 场 C.结果与-2相同 D.结果与--2相同 2.图1是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，它的左视图是( 考 号 A B. 座位号 D 正面 图1 3. 下列计算正确的是( A.V2+V3=V5 B.2V3-V3=2 C.V2×V3=V6 D.0.0002=2×103 米 4.如图2，用量角器测∠AOB的度数，顶点O没有对准量角器的 中心，则实际度数比测量度数40°( A.小 B.大 O 图2 C.相等 D.无法判断 溶 5.如图3，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段 CD,其中点A的对应点是点C,则旋转中心是() A.点E B B.点F C.点G D.点H 图3 数学（二十一）第1页（共8页） 6.如图4，整数x的值为() A.10 B.9 .8 D.7 图4 7.如图5，若整式2x-(3x-1)的值落在数轴上的区间①内，则x的值可能是() A.V8 B.V3 ①②③④ c.27 D.V2 8.已知一元二次方程x2-x=x-3,则该方程的根的情况是( )-1.40.60.211.8◆ 图5 A.两根之和为-2 B.两根之和为2 C.两根之积为3 D.没有实数根 9.在平面直角坐标系xOy中，将点P(-2,a2+a)向上平移(a+2)个单位长后，得到点P,则点P所 在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.若A=2×6×10,则下列不是A的因数的是( ) A.62 B.152 C.2x33 D.2×53 11.如图6，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6,AB∥CD,AC平分∠DAB.设AB=x,AD=y,则y关 于x的函数关系用图象大致可以表示为( D C 1/率 图6 1--- B. 01 01 C D.1 01 ·01 12.如图7，某智能农场里，一块试验田被规划成正六边形ABCDEF.将滴灌系统的管道DC延伸出 一条管线CG,D,C,G在一条直线上，且CG=2CD,连接EG交BC于点H,已知△GCH区域的 灌溉面积为6，则五边形A BHEF区域的作物种植面积为() A.10V3 B H B.12 C.12V3 G C D.24 图7 数学（二十一）第2页（共8页） 分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.我国古代“宫、商、角、徵、羽”五声音阶蕴含着丰富的数学智慧.在河北的非遗“蔚县秧歌”表演 中，歌手需从这五个音阶中随机抽取一个进行开场定调，且每个音阶被抽取的可能性相同，则 歌手恰好抽中“徵”音阶的概率是 14若分式A=G-2a+12 -6一.1一a的结果为整数，则a的值可以是 (写出一个即可)》 15.如图8，在四边形ABCD中，∠A=110°，∠BCD=80°，点E在AB上，F为BC的中点，将△BEF沿EF 翻折得到△GEF,已知EG∥AD,CG平分∠BCD,则∠B= B F 图8 图9-1 图9-2 图9-3 16.把一张矩形纸片按照如图9-1所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼 成如图9-2或图9-3所示的正方形.已知矩形纸片的长为m,宽为n(m>n),图9-2中阴影部 分的面积记为S,图9-3中阴影部分的面积记为S.若S,=3S2,则m的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 阅读下面甲、乙两位同学计算V(-2)P÷2-(-1)×(-3)的过程，解决问题 甲：解：原式=-2÷2-(-1)×(-3)第一步 乙：解：原式=2：2-(-1)×(-3)第一步 =-1-3……第二步 =1-(-1)×(-3)…第二步 =一4……第三步 =2×(-3小…第三步 =一6…第四步 (1)甲同学开始出现错误的步骤是 ;乙同学开始出现错误的步骤是 (2)请你写出正确的解答过程。 数学（二十一）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 如图10，小河和小北在做数学游戏 任意写一个三位 用上述较大的三 只要你给出的数符合我 数，百位数字比十 位数减去较小的 说的规则，无论你写的三 位数字大3.且交 换百位数字与十位 三位数，得到一 位数是几，我都可以猜中 数字后，仍得到一 个结果 最后的结果。 密 个三位数」 小河 小河 小河 小北 图10 (1)若小北给出的数是520，则得到的结果是 (2)假设小北给出的三位数的百位数字为，个位数字是b,请解释其中的原因. 封 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 如图11，已知∠ABC=∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相 交于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F (1)写出图中与线段BF相等的一条线段 ;并证明； (2)连接CE,若AB=6,AE=8,求tan∠ECF的值. 、E 线 图11 数学（二十一）第4页（共8页）》 ■ 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 河北曲阳石雕是国家级非物质文化遗产.当地某非遗文创公司为了更好地满足客 户需要，把手工石雕作品进行了礼盒包装.公司从标准质量为5kg的A级精品石雕礼 盒中抽查了20盒（单位：kg,精确到0.1），测得样品的单盒质量统计表（不完整）如下所 示，根据抽样数据绘制了A级产品的不完整统计图如图12所示 (1)写出a和m的值； 质量(kg) 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 密 (2)设质量为4.9kg的礼盒有x箱 与标准质量的差 -0.1 0 0.1 0.2 ①若样本的中位数为5.0kg,求x的最小值； 数量（箱） m ②若使样本数据的平均值最接近标准质量，且 不低于标准质量，求x的值 中数量/箱 8 6 2 得分 评卷人 04Q1 21.(本小题满分9分) 4.84.95.05.15.2质量kg 图12 【学科融合】如图13，某物理社团开展抛体运动探究实验，同学们研究物体斜向抛出 封 后的运动规律。 素材1：实验观测坡面斜坡可以用正比例函数)y广子x的图象刻画； 素材2：实验中将物体从实验台起点O斜向上抛出，物体的飞行高度y(米)与飞行的水平 距离x(米)可以用二次函数y=ax+4x(a<0)的图象刻画；物体的飞行高度y(米)与飞行时 间t(秒)满足关系：y=-52+t; 素材3：物体飞行的水平距离x(米)，飞行时间（秒）与物体飞行的高度y(米)的变化规 律如下表所示 0 2 5 6 7 0 0 7 15 15 7 线 2 2 2 2 (1)观察表格回答问题：抛物线y=ax+4x(a<0)的顶点坐标为 :m= n= 来y/米 (2)物体在斜坡上的落点是A,求点A的坐标； 物体 (3)物体的飞行高度y(米)与飞行时间（秒）满足关系 y=-5+t,分别求v以及物体到达最高点时o的值. 「斜坡 x/米 图13 数学（二十一）第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 【综合与实践】在综合实践活动课上，同学们开展了对特殊四边形的研究. 【发现】在矩形纸片ABCD中，AD=4,AB=2,要在矩形纸片内画出一个菱形，现有下列两种可 行方案 如图14-1，嘉嘉的方案如下： 如图14-2，淇淇的方案如下： 1.连接BD; 1.利用尺规找到四条边的中点E,F,G,H; 2.作BD的垂直平分线，交 2.顺次连接E,F,G,H,四边形EFGH即为所 AD,BC,BD于点E,F,O; 作的菱形 A 6 B 图14-1 图14-2 (1)①在图14-1中用尺规补全嘉嘉的作法；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②淇淇的证明思路如下：证明△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,得到EH=HG=GF=EF,进而得到 四边形EFGH为菱形，他得到四边形EFGH为菱形的依据是 (2)求嘉嘉所作菱形的周长； 【拓展】(3)如图14-3，在菱形纸片ABCD中，∠D=60°，E是该菱形的中心.将纸片中的△ABE 剪掉后，剩余凹五边形AEBCD,利用尺规在图14-3中画一条直线，要求：沿着这条直线剪开凹五 边形纸片后，能拼成矩形.（保留作图痕迹，不要求写作法） B 图14-3 数学（二十一）第6页（共8页） 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 【背景】“绿波控制系统”是一种智能化的城市交通管理手段.它的核心目标是让车辆在一条主 干道上，以特定速度行驶时，能连续遇到绿灯，就像一路畅通的“绿色波浪”一样。 【素材】某学习小组在一段设置了“绿波控制系统”的道路进行测量，发现在笔直的道路上依 次有A,B,C,D四个路口，已知这四个路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，其余因素忽略不计 已知路口A的绿灯亮起10秒后路口C,D的绿灯亮起；亮起30秒后路口B的绿灯亮起.路口B, C,D和路口A的距离分别为900米，1400米，1890米。 【任务一】(1)请在图15的直角坐标系中画出路口B在0到150秒的交通信号；（用实线表示 绿灯的时间，虚线表示红灯的时间) D 1890 C 1400 力 900 A 102030405060708090100110120130140150 图15 【任务二】当路口A的绿灯亮起10秒时，一辆汽车从路口A匀速向路口D行驶，汽车在=80 时，恰好到达路口C.汽车离A路口的距离s与时间t之间的图象为图15中的射线1. (2)①求s与t的函数解析式（不写自变量的取值范围）； ②学习小组的同学发现该汽车到达路口D时碰到了红灯，通过计算说明理由； ③若该汽车到达C后用原来的速度行驶了p秒，之后以25米/秒的速度继续向路口D匀速行驶， 若汽车在路口D碰到绿灯，求p的最大值； 【任务三】(3)以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比，直接写出“绿 波控制系统”优化前后的红灯等待减少的次数为 指标 行程总时长 红灯等待次数 单次红灯平均等待时长 行驶速度 优化前 18分钟 m次 30秒 800米/分钟 优化后 11分钟 n次(n≤5) 15秒 1200米/分钟 数学（二十一）第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图16-1，图16-2，在正方形ABCD中，AB=4,动点P从点A出发，沿折线AB-BC 运动，到达点C停止（不与点A和点C重合），作扇形AOP(阴影)，且扇形AOP的弧过点 D,交AC于点F,OP与AC交于点E.设点P的运动路程为x. (1)如图16-1，当点P在边AB上运动时. ①连接PD,PF,说明DP是扇形AOP所在圆的直径，并求∠FPD的度数； 密 ②当AE:EC=1：V3时，求扇形AOP的面积； (2)当扇形AOP与正方形ABCD的边相切时，求x的值； (3)在点P整个运动过程中，当BO取得最小值时，∠BOA的度数为 (4)当点P在边AB上运动时，将△EFP沿FP折叠，若其顶点E恰好落在正方形ABCD的 边BC上，直接写出此时x的值. ⊙ F 0 A P 图16-1 封 D . A B 图16-2 线 B 备用图 数学（二十一）第8页（共8页） ■6. 如 2026年河北省九年级巩固练习（二十一） 总分 核分人 B. 数学 D 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟 7. 如 市、区、乡 又 题号 学校 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 8 A. 班级 舟 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 交 9. 姓 名 在 1. 对于-(-2)，下列说法不正确的是( ) A.表示-2的相反数 B.结果是正数 考 场 C.结果与-2相同 D.结果与--2相同 10.若 2. 图1是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，它的左视图是( c. 考号 11.如 A B 于 座位号 D 正面 3. 下列计算正确的是( 图1 A. A.V2+V3=V5 B.2V3-V3=2 C.V2×V3=V6 D.0.0002=2×103 B 4.如图2，用量角器测∠AOB的度数，顶点O没有对准量角器的 中心，则实际度数比测量度数40°( 科 C. 线 A.小 B.大 A 图2 C.相等 D.无法判断 12.如f 容 5.如图3，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段 CD,其中点A的对应点是点C,则旋转中心是() 灌 A.点E A B.点F B C.点G D.点H 图3 u 数学（二十一）第1页（共8页） 图4，整数x的值为( 10 8 7 图4 图5，若整式2x-(3x-1)的值落在数轴上的区间①内，则x的值可能是() V8 B.V3 ①②③ ④ V27 D.V2 1 知一元二次方程2-x=x-3,则该方程的根的情况是(）-1.4-0.60211.8 图5 两根之和为-2 B.两根之和为2 两根之积为3 D.没有实数根 平面直角坐标系xOy中，将点P(-2,d+a)向上平移(a+2)个单位长后，得到点P',则点P所 的象限是( 第一象限 B.第二象限 第三象限 D.第四象限 4=2×62×10,则下列不是A的因数的是( ) 62 B.152 2+×3 D.2×53 图6，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6,AB∥CD,AC平分∠DAB.设AB=x,AD=y,则y关 的函数关系用图象大致可以表示为( o 图6 1 01 D. 01 01 图7，某智能农场里，一块试验田被规划成正六边形ABCDEF.将滴灌系统的管道DC延伸出 条管线CG,D,C,G在一条直线上，且CG=2CD,连接EG交BC于点H,已知△GCH区域的 既面积为6，则五边形ABHEF区域的作物种植面积为() 10V3 12 12V3 24 图7 数学（二十一）第2页（共8页） 得分 评卷人 得分 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.我国古代“宫、商、角、徵、羽”五声音阶蕴含着丰富的数学智慧.在河北的非遗“蔚县秧歌”表演 如图 中，歌手需从这五个音阶中随机抽取一个进行开场定调，且每个音阶被抽取的可能性相同，则 任意写 歌手恰好抽中“徵”音阶的概率是 数，百 位数字 14.若分式A= -6一.1一a的结果为整数，则a的值可以是 (写出一个即可) d2-2a+12 换百位》 数字后， 15.如图8，在四边形ABCD中，∠A=110°，∠BCD=80°，点E在AB上，F为BC的中点，将△BEF沿EF 个三位 翻折得到△GEF,已知EG∥AD,CG平分∠BCD,则∠B= A 小河 B F (1若小北 图8 图9-1 图9-2 图9-3 (2)假设小 16.把一张矩形纸片按照如图9-1所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼 成如图9-2或图9-3所示的正方形.已知矩形纸片的长为m,宽为n(m>n),图9-2中阴影部 分的面积记为S,图9-3中阴影部分的面积记为S.若S,=3S2,则m的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 如图 阅读下面甲、乙两位同学计算V(-2)2÷2-(-1)×(-3)的过程，解决问题. 交于点E 甲：解：原式=-2÷2-(-1)×(-3)第一步 乙：解：原式=2：2-(-1)×(-3)第一步 (1)写出图 =-1-3…第二步 =1-(-1)×(-3)…第二步 (2)连接( =一4……第三步 =2×(-3)…第三步 =一6…第四步 (1)甲同学开始出现错误的步骤是 ;乙同学开始出现错误的步骤是 (2)请你写出正确的解答过程。 数学（二十一）第3页（共8页） 评卷人 18.(本小题满分8分) 10,小河和小北在做数学游戏。 一个三位 用上述较大的三 只要你给出的数符合我 立数字比十 说的规则，无论你写的三 大3.且交 位数减去较小的 字与十位 三位数，得到一 位数是几，我都可以猜中 仍得到一 个结果 最后的结果 密 2 小河 小河 小北 图10 给出的数是520，则得到的结果是 北给出的三位数的百位数字为α，个位数字是b,请解释其中的原因. 评卷人 19.(本小题满分8分) 11,已知∠ABC=∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相 连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F 中与线段BF相等的一条线段 ;并证明； : E,若AB=6,AE=8,求tan∠ECF的值 E A 线 图11 数学（二十一）第4页（共8页） ■ 得分 评卷人 得 20.(本小题满分8分) 河北曲阳石雕是国家级非物质文化遗产，当地某非遗文创公司为了更好地满足客 户需要，把手工石雕作品进行了礼盒包装.公司从标准质量为5kg的A级精品石雕礼 盒中抽查了20盒（单位：kg,精确到0.1），测得样品的单盒质量统计表（不完整）如下所 行方多 示，根据抽样数据绘制了A级产品的不完整统计图如图12所示 (1)写出a和m的值； 质量(kg) 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 密 (2)设质量为4.9kg的礼盒有x箱 与标准质量的差 a -0.1 0 0.1 0.2 ①若样本的中位数为5.0kg,求x的最小值； 数量（箱） 1 m ②若使样本数据的平均值最接近标准质量，且 不低于标准质量，求x的值 中数量/箱 8 6 得分 评卷人 0 21.(本小题满分9分) 4.84.95.05.15.2质量/kg 图12 (1)① 【学科融合】如图13，某物理社团开展抛体运动探究实验，同学们研究物体斜向抛出 ②淇 封 后的运动规律 四边引 素材1：实验观测坡面斜坡可以用正比例函数)y广子x的图象刻画； (2)求 素材2：实验中将物体从实验台起点O斜向上抛出，物体的飞行高度y(米)与飞行的水平 距离x(米)可以用二次函数y=ax+4x(a<0)的图象刻画；物体的飞行高度y(米)与飞行时 间（秒）满足关系：y=-52+t; 素材3：物体飞行的水平距离x(米)，飞行时间（秒）与物体飞行的高度y(米)的变化规 律如下表所示 0 4 5 7 0 7 7 线 0 15 15 2 2 （1)观察表格回答问题：抛物线y=x+4x(a<0)的顶点坐标为 ；m= 剪掉 n= y/米 边形 (2)物体在斜坡上的落点是A,求点A的坐标； 物体 (3)物体的飞行高度y(米)与飞行时间（秒）满足关系 y=-5P+t,分别求v以及物体到达最高点时o的值. 斜坡 x/米 图13 数学（二十一）第5页（共8页） ■ 分 评卷人 22.(本小题满分9分) 综合与实践】在综合实践活动课上，同学们开展了对特殊四边形的研究 发现】在矩形纸片ABCD中，AD=4,AB=2,要在矩形纸片内画出一个菱形，现有下列两种可 如图14-1，嘉嘉的方案如下： 如图14-2，淇淇的方案如下： 1.连接BD; 1.利用尺规找到四条边的中点E,F,G,H; .作BD的垂直平分线，交 2.顺次连接E,F,G,H,四边形EFGH即为所 AD,BC,BD于点E,F,O; 作的菱形. D B C 图14-1 图14-2 在图14-1中用尺规补全嘉嘉的作法；（保留作图痕迹，不要求写作法） 其的证明思路如下：证明△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,得到EH=HG=GF=EF,进而得到 形EFGH为菱形，他得到四边形EFGH为菱形的依据是 嘉嘉所作菱形的周长； 拓展】(3)如图14-3，在菱形纸片ABCD中，∠D=60°，E是该菱形的中心.将纸片中的△ABE ,剩余凹五边形AEBCD,利用尺规在图14-3中画一条直线，要求：沿着这条直线剪开凹五 天片后，能拼成矩形.（保留作图痕迹，不要求写作法） 图14-3 数学（二十一）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 得分 23.(本小题满分11分) 【背景】“绿波控制系统”是一种智能化的城市交通管理手段.它的核心目标是让车辆在一条主 如图 干道上，以特定速度行驶时，能连续遇到绿灯，就像一路畅通的“绿色波浪”一样。 运动，到 【素材】某学习小组在一段设置了“绿波控制系统”的道路进行测量，发现在笔直的道路上依 D,交AC 次有A,B,C,D四个路口，已知这四个路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，其余因素忽略不计 (1)如图 已知路口A的绿灯亮起10秒后路口C,D的绿灯亮起；亮起30秒后路口B的绿灯亮起.路口B, ①连接PL C,D和路口A的距离分别为900米，1400米，1890米. ②当AE 【任务一】(1)请在图15的直角坐标系中画出路口B在0到150秒的交通信号；（用实线表示 (2)当扇开 绿灯的时间，虚线表示红灯的时间) (3)在点 As (4)当点 D 1890 边BC上 C 1400 小 900 A 0102030405060708090100110120130140150 图15 【任务二】当路口A的绿灯亮起10秒时，一辆汽车从路口A匀速向路口D行驶，汽车在=80 时，恰好到达路口C.汽车离A路口的距离s与时间t之间的图象为图15中的射线. (2)①求s与t的函数解析式（不写自变量的取值范围）： ②学习小组的同学发现该汽车到达路口D时碰到了红灯，通过计算说明理由； ③若该汽车到达C后用原来的速度行驶了p秒，之后以25米/秒的速度继续向路口D匀速行驶 若汽车在路口D碰到绿灯，求p的最大值； 【任务三】(3)以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比，直接写出“绿 波控制系统”优化前后的红灯等待减少的次数为 指标 行程总时长 红灯等待次数 单次红灯平均等待时长 行驶速度 优化前 18分钟 m次 30秒 800米/分钟 优化后 11分钟 n次(n≤5) 15秒 1200米/分钟 数学（二十一）第7页（共8页） ■ 评卷人 24.(本小题满分12分) 16-1,图16-2，在正方形ABCD中，AB=4,动点P从点A出发，沿折线AB-BC 点C停止（不与点A和点C重合），作扇形AOP(阴影)，且扇形AOP的弧过点 于点F,OP与AC交于点E.设点P的运动路程为x. 6-1,当点P在边AB上运动时. ),PF,说明DP是扇形AOP所在圆的直径，并求∠FPD的度数； EC=1:V3时，求扇形AOP的面积； AOP与正方形ABCD的边相切时，求x的值； 整个运动过程中，当BO取得最小值时，∠BOA的度数为 在边AB上运动时，将△EFP沿FP折叠，若其顶点E恰好落在正方形ABCD的 直接写出此时x的值。 C F P B 图16-1 D 0 B 图16-2 C 线 B 备用图 数学（二十一）第8页（共8页） ■ 2026年河北省九年级巩固练习（二十一) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 题号 12 3 45 6 9 10 1112 答案DD CAB 0 B C D 二、（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 14.4(答案不唯一) 15.85 16.3+V5 4 三、17.解：(1)第一步；第三步；… …（4分) (2)原式=-2.… …(7分) 18.解：(1)270；…（2分) (2)小北给出的三位数为100a+10(a-3)十b,……(3分) 则交换后的三位数为100(a-3)十10a+b,…………(5分) ,100a+10(a-3)+b-[100(a-3)+10a+b]=100a+10a-30+b-100a+300-10a-b=270,为定值，.无论小北写的 数是几，小河都能猜中结果。…(8分) 19.解：（1)AE;…（1分) 证明：，∠ABC=∠BAD=90°，∴.∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠AEB=90°，∴.∠FBC=∠AEB. [∠AEB=∠FBC, 在△ABE和△FCB中，，∠BAE=∠CFB,.△ABE≌△FCB,.AE=BF;…(5分) BE=CB, (2)由(1)知，BF=AE=8,CF=AB=6. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=10,∴EF=BE-BF=2,tan∠ECR=即= .…(8分) C℉3 20.解：（1)a的值为-0.2，m的值为5；……………………(2分) （2)①x的最小值为5；…(5分) ②根据题意，得4.8+4.9x+5×5.0+5.1（13-x)+5.2≥20×5，解得x≤6.5，.x=6.…(8分) 21.解：（1）(4,8)；3；6；…(3分) (2)将(2,6》代入yex+1x中，得6-168，解得a=,二抛物线的解折式为y-x+x 2 令x,解得名50合》，此时y×号-吕，即点A的垒标为(，日)：（6分 428 2’8 yt6t后)+ 0，当t0时，y的最大值为 10 0 由题意，得二8，解得v40(负值合去)，。-402回 …（9分) 20 10105 数学（二十一）第1页（共3页） 22.解：（1)①如图；…(2分) E ②四边相等的四边形是菱形；…(4分) (2)设DE=x,则BE=x,AE=4-x,在Rt△ABE中，2+(4-x)=x,解得x= 2 22题图1 “嘉嘉所作菱形的周长为4×5 =10：…(8分) （3)如图，直线1即为所求作.…(9分) B 23.解：(1)如图；…（2分) D 1890 22题图2 C 1400 B 90 A 1020304050607080901001101201301401507 23题图 10k+b=0, k=20, (2)①设s与t的函数解析式为s=kt+b,将(10,0)，(80,1400)代入，得 解得 80k+b=1400, b=-200, S与t的函数解析式为S=20t-200:…(5分) ②理由：令20t-200=1890,解得t=104.5,当t=104.5时，D路口为红灯；…(7分) ③根据题意，当汽车恰好过(100,1890)时，p值最大，列方程，得20p+25(20-p)=1890-1400,解得 p-2;…（10分) (3)2.… …（11分) 【精想博考：根据题意，得800(1B-号)=2001-0），整理，得3+nn均为整数，且≤5， 2 n=4,m=6】 24.解：(1)①在正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC= 2 ∠DAB=45°，∴.DP是扇形A0P所在圆的直径. ∠DPF=∠DAC=45°；…（4分) ②在正方形ABCD中，D=AD-DC-4,C∥AB,∴△3C∽△PEA,AP:C-Ae:EC-1:5,AR. 3, tan∠ADp=AP=V3 AD号，∠AP-30°，∠A0P2∠ADP=60°.0A=0R,△0aP为等边三角形，OA=AP-4 3 :“扇形A0P(阴影的面积为360-60m×(45)-40 …（7分) 360 3 9 (2)如图1，当点P在边AB上，且与边BC相切时，设切点为G, D 连接G0并延长，交AD于点H,则∠OGB=90° 0 0 又，∠HAB=∠GBA=90°，四边形ABGH为矩形，AH=BG,HG=AB, H OH⊥AD,AH=AD=2. K 24题图1 24题图2 数学（二十一）第2页（共3页） 0G三，则0H4r,在Rt△DM中，(4T）+2=,解得工 过点0作OK⊥AB,则AK=KP.在矩形OHAK中，AK=OH=4- 号=)，AP=2AK=3,即x3: 如图2，当点P在边BC上，且与边BC相切时，同理可得BP=AI=2,∴x=4+2=6;…（10分) (3)90°；……… …（11分) (4)以的值为2√5-2.…(12分) 【精思博考：如图3，将△EFP沿FP折叠，其顶点E恰好落在边BC的点Q处 D 由(1D知∠FPD-45°，则∠EQ=90°，易i证△APD∽△B0R,则D-DP:4 BP PQ 4-x 由()知AD△E,则吧必：4哭：4+区，职：4+区，x4 pAPx’px,“PQx Q A 解得x=2V5-2(负值舍去)】 24题图3 数学（二十一）第3页（共3页）2026年河北省九年级巩固练习（二十一) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 题号 12 3 45 6 8 10 1112 答案DD CAB 0 B C D 二、（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 14.4(答案不唯一) 15.85 16.3+V5 4 三、17.解：(1)第一步；第三步；… …（4分) (2)原式=-2.… …(7分) 18.解：(1)270；…（2分) (2)小北给出的三位数为100a+10(a-3)十b,…(3分) 则交换后的三位数为100(a-3)十10a+b,…(5分) .100a+10(a-3)+b-[100(a-3)+10a+b]=100a+10a-30+b-100a+300-10a-b=270,为定值，.无论小北写的 数是几，小河都能猜中结果…(8分) 19.解：（1)AE;…（1分) 证明：，∠ABC=∠BAD=90°，∴.∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠AEB=90°，∴.∠FBC=∠AEB. 「∠AEB=∠FBC, 在△ABE和△FCB中，{∠BAE=∠CFB,.△ABE≌△FCB,AE=BF;…(5分) BE=CB, (2)由(1)知，BF=AE=8,CF=AB=6. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=10,∴BF=肥-BF=2,tan∠BCF=即= .…(8分) C℉3 20.解：（1)a的值为-0.2，m的值为5；………………………(2分) (2)①x的最小值为5；…(5分) ②根据题意，得4.8+4.9x+5×5.0+5.1(13-x)+5.2≥20×5，解得x≤6.5，∴.x=6.…(8分) 21.解：（1）(4,8)；3；6；…(3分) (2)将(2,6)》代入yx+4x中，得6=168，解得a=,抛物线的解折式为y-x+x 2 令x,解得名50（合》，此时y×号-吕，即点A的坠标为(5，日)：（6分 428 2’8 8》5品)，分当时.7商限大省 10 20 由题意，得8，解得40（负值舍去），t。-420 …（9分) 20 10105 数学（二十一）第1页（共3页） 22.解：（1)①如图；…(2分) E ②四边相等的四边形是菱形；…(4分) 5 (2)设DE=x,则BE=x,AE=4-x,在Rt△ABE中，2+(4-x)=x,解得x= 2 22题图1 嘉嘉所作菱形的周长为4X5=10:…(8分) (3)如图，直线1即为所求作.…(9分) B 23.解：(1)如图；…（2分) D 1890 22题图2 C 1400 B 90 A 102030405060708090100110120130140150 23题图 10k+b=0, k=20, (2)①设s与t的函数解析式为s=kt+b,将(10,0)，(80,1400)代入，得 解得 80k+b=1400, b=-200, .S与t的函数解析式为s=20t-200;…(5分) ②理由：令20t-200=1890,解得t=104.5,当t=104.5时，D路口为红灯；…(7分) ③根据题意，当汽车恰好过(1001890)时，p值最大，列方程，得20p+25(20-p)=1890-1400,解得 p=2;…(10分） (3)2.……… …(11分) 【精思博考：根据题意，得800(18-m)=1200(11-n),整理，得m-3+3n:,n均为整数，且n≤5， 4 .n=4,m=6】 24.解：(1)①在正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC= ∠DAB=45°，∴.DP是扇形AOP所在圆的直径. ∠DPF=∠DAC=45°；…（4分) ②在正方形ABCD中，=AD=D0-4,C∥B,△EC∽△PaA,∴AP:DC-AE:EC-1:5,A.4 , tan∠ADp=AP=V3 AD号，∠AP=30°，∠A0P-2∠ADP=60°.0A=0P,△0AP为等边三角形，0A=AP-4 3 :“扇形A0P(阴影)的面积为360-60T×(45)二40 3 …（7分) 360 9 (2)如图1，当点P在边AB上，且与边BC相切时，设切点为G, 0 D 连接G0并延长，交AD于点H,则∠OGB=90° 0 又，∠HAB=∠GBA=90°，.四边形ABGH为矩形，AH=BG,HG=AB, H 、 OH LAD,∴AH=AD=2. 2 24题图1 24题图2 数学（二十一）第2页（共3页） 设0G=x,则0H4-x,在Rt△0M中，(4-r)+2=r,解得r 2 过点0作OK⊥AB,则AK=KP.在矩形OHAK中，AK=OH=4- 5=，AP=2AK=3,即x=3: 如图2，当点P在边BC上，且与边BC相切时，同理可得BP=AI=2,.x=4+2=6;…（10分) (3)90°；… …（11分) (4)x的值为2√5-2.…(12分)） 【精思博考：如图3，将△EFP沿FP折叠，其顶点E恰好落在边BC的点Q处 D 由(1)知∠FPD=45°，则∠EPQ=90°，易i证△APDn△B0R,则D-DP:4 BP PQ 4-x 由D知△0∽△EA,则吧心-4.吧：+区，e4+,4x4 Q A 解得x=2V5-2(负值舍去)】 24题图3 数学（二十一）第3页（共3页）2026年河北省九年级巩固练习（二十一) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 题号 12 3 45 6 9 10 1112 答案DD CAB 0 B C D 二、（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 14.4(答案不唯一) 15.85 16.3+V5 4 三、17.解：(1)第一步；第三步；… …（4分) (2)原式=-2.… …(7分) 18.解：(1)270；…（2分) (2)小北给出的三位数为100a+10(a-3)十b,……(3分) 则交换后的三位数为100(a-3)十10a+b,…………(5分) ,100a+10(a-3)+b-[100(a-3)+10a+b]=100a+10a-30+b-100a+300-10a-b=270,为定值，.无论小北写的 数是几，小河都能猜中结果。…(8分) 19.解：（1)AE;…（1分) 证明：，∠ABC=∠BAD=90°，∴.∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠AEB=90°，∴.∠FBC=∠AEB. [∠AEB=∠FBC, 在△ABE和△FCB中，，∠BAE=∠CFB,.△ABE≌△FCB,.AE=BF;…(5分) BE=CB, (2)由(1)知，BF=AE=8,CF=AB=6. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=10,∴EF=BE-BF=2,tan∠ECR=即= .…(8分) C℉3 20.解：（1)a的值为-0.2，m的值为5；……………………(2分) （2)①x的最小值为5；…(5分) ②根据题意，得4.8+4.9x+5×5.0+5.1（13-x)+5.2≥20×5，解得x≤6.5，.x=6.…(8分) 21.解：（1）(4,8)；3；6；…(3分) (2)将(2,6》代入yex+1x中，得6-168，解得a=,二抛物线的解折式为y-x+x 2 令x,解得名50合》，此时y×号-吕，即点A的垒标为(，日)：（6分 428 2’8 yt6t后)+ 0，当t0时，y的最大值为 10 0 由题意，得二8，解得v40(负值合去)，。-402回 …（9分) 20 10105 数学（二十一）第1页（共3页） 22.解：（1)①如图；…(2分) E ②四边相等的四边形是菱形；…(4分) (2)设DE=x,则BE=x,AE=4-x,在Rt△ABE中，2+(4-x)=x,解得x= 2 22题图1 “嘉嘉所作菱形的周长为4×5 =10：…(8分) （3)如图，直线1即为所求作.…(9分) B 23.解：(1)如图；…（2分) D 1890 22题图2 C 1400 B 90 A 1020304050607080901001101201301401507 23题图 10k+b=0, k=20, (2)①设s与t的函数解析式为s=kt+b,将(10,0)，(80,1400)代入，得 解得 80k+b=1400, b=-200, S与t的函数解析式为S=20t-200:…(5分) ②理由：令20t-200=1890,解得t=104.5,当t=104.5时，D路口为红灯；…(7分) ③根据题意，当汽车恰好过(100,1890)时，p值最大，列方程，得20p+25(20-p)=1890-1400,解得 p-2;…（10分) (3)2.… …（11分) 【精想博考：根据题意，得800(1B-号)=2001-0），整理，得3+nn均为整数，且≤5， 2 n=4,m=6】 24.解：(1)①在正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC= 2 ∠DAB=45°，∴.DP是扇形A0P所在圆的直径. ∠DPF=∠DAC=45°；…（4分) ②在正方形ABCD中，D=AD-DC-4,C∥AB,∴△3C∽△PEA,AP:C-Ae:EC-1:5,AR. 3, tan∠ADp=AP=V3 AD号，∠AP-30°，∠A0P2∠ADP=60°.0A=0R,△0aP为等边三角形，OA=AP-4 3 :“扇形A0P(阴影的面积为360-60m×(45)-40 …（7分) 360 3 9 (2)如图1，当点P在边AB上，且与边BC相切时，设切点为G, D 连接G0并延长，交AD于点H,则∠OGB=90° 0 0 又，∠HAB=∠GBA=90°，四边形ABGH为矩形，AH=BG,HG=AB, H OH⊥AD,AH=AD=2. K 24题图1 24题图2 数学（二十一）第2页（共3页） 0G三，则0H4r,在Rt△DM中，(4T）+2=,解得工 过点0作OK⊥AB,则AK=KP.在矩形OHAK中，AK=OH=4- 号=)，AP=2AK=3,即x3: 如图2，当点P在边BC上，且与边BC相切时，同理可得BP=AI=2,∴x=4+2=6;…（10分) (3)90°；……… …（11分) (4)以的值为2√5-2.…(12分) 【精思博考：如图3，将△EFP沿FP折叠，其顶点E恰好落在边BC的点Q处 D 由(1D知∠FPD-45°，则∠EQ=90°，易i证△APD∽△B0R,则D-DP:4 BP PQ 4-x 由()知AD△E,则吧必：4哭：4+区，职：4+区，x4 pAPx’px,“PQx Q A 解得x=2V5-2(负值舍去)】 24题图3 数学（二十一）第3页（共3页）2026年河北省九年级巩固练习（二十一） 总分 核分人 数学 市、区、乡 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟， 学校 班 级 '作pNN八N////////☑ 三 题号 二 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 姓 名 1.对于-(-2)，下列说法不正确的是( ) A.表示-2的相反数 B.结果是正数 考 场 C.结果与-2相同 D.结果与--2相同 2.图1是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，它的左视图是( 考 号 A B. 座位号 D 正面 图1 3. 下列计算正确的是( A.V2+V3=V5 B.2V3-V3=2 C.V2×V3=V6 D.0.0002=2×103 米 4.如图2，用量角器测∠AOB的度数，顶点O没有对准量角器的 中心，则实际度数比测量度数40°( A.小 B.大 O 图2 C.相等 D.无法判断 溶 5.如图3，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段 CD,其中点A的对应点是点C,则旋转中心是() A.点E B B.点F C.点G D.点H 图3 数学（二十一）第1页（共8页） 6.如图4，整数x的值为() A.10 B.9 .8 D.7 图4 7.如图5，若整式2x-(3x-1)的值落在数轴上的区间①内，则x的值可能是() A.V8 B.V3 ①②③④ c.27 D.V2 8.已知一元二次方程x2-x=x-3,则该方程的根的情况是( )-1.40.60.211.8◆ 图5 A.两根之和为-2 B.两根之和为2 C.两根之积为3 D.没有实数根 9.在平面直角坐标系xOy中，将点P(-2,a2+a)向上平移(a+2)个单位长后，得到点P,则点P所 在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.若A=2×6×10,则下列不是A的因数的是( ) A.62 B.152 C.2x33 D.2×53 11.如图6，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6,AB∥CD,AC平分∠DAB.设AB=x,AD=y,则y关 于x的函数关系用图象大致可以表示为( D C 1/率 图6 1--- B. 01 01 C D.1 01 ·01 12.如图7，某智能农场里，一块试验田被规划成正六边形ABCDEF.将滴灌系统的管道DC延伸出 一条管线CG,D,C,G在一条直线上，且CG=2CD,连接EG交BC于点H,已知△GCH区域的 灌溉面积为6，则五边形A BHEF区域的作物种植面积为() A.10V3 B H B.12 C.12V3 G C D.24 图7 数学（二十一）第2页（共8页） 分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.我国古代“宫、商、角、徵、羽”五声音阶蕴含着丰富的数学智慧.在河北的非遗“蔚县秧歌”表演 中，歌手需从这五个音阶中随机抽取一个进行开场定调，且每个音阶被抽取的可能性相同，则 歌手恰好抽中“徵”音阶的概率是 14若分式A=G-2a+12 -6一.1一a的结果为整数，则a的值可以是 (写出一个即可)》 15.如图8，在四边形ABCD中，∠A=110°，∠BCD=80°，点E在AB上，F为BC的中点，将△BEF沿EF 翻折得到△GEF,已知EG∥AD,CG平分∠BCD,则∠B= B F 图8 图9-1 图9-2 图9-3 16.把一张矩形纸片按照如图9-1所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼 成如图9-2或图9-3所示的正方形.已知矩形纸片的长为m,宽为n(m>n),图9-2中阴影部 分的面积记为S,图9-3中阴影部分的面积记为S.若S,=3S2,则m的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 阅读下面甲、乙两位同学计算V(-2)P÷2-(-1)×(-3)的过程，解决问题 甲：解：原式=-2÷2-(-1)×(-3)第一步 乙：解：原式=2：2-(-1)×(-3)第一步 =-1-3……第二步 =1-(-1)×(-3)…第二步 =一4……第三步 =2×(-3小…第三步 =一6…第四步 (1)甲同学开始出现错误的步骤是 ;乙同学开始出现错误的步骤是 (2)请你写出正确的解答过程。 数学（二十一）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 如图10，小河和小北在做数学游戏 任意写一个三位 用上述较大的三 只要你给出的数符合我 数，百位数字比十 位数减去较小的 说的规则，无论你写的三 位数字大3.且交 换百位数字与十位 三位数，得到一 位数是几，我都可以猜中 数字后，仍得到一 个结果 最后的结果。 密 个三位数」 小河 小河 小河 小北 图10 (1)若小北给出的数是520，则得到的结果是 (2)假设小北给出的三位数的百位数字为，个位数字是b,请解释其中的原因. 封 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 如图11，已知∠ABC=∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相 交于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F (1)写出图中与线段BF相等的一条线段 ;并证明； (2)连接CE,若AB=6,AE=8,求tan∠ECF的值. 、E 线 图11 数学（二十一）第4页（共8页）》 ■ 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 河北曲阳石雕是国家级非物质文化遗产.当地某非遗文创公司为了更好地满足客 户需要，把手工石雕作品进行了礼盒包装.公司从标准质量为5kg的A级精品石雕礼 盒中抽查了20盒（单位：kg,精确到0.1），测得样品的单盒质量统计表（不完整）如下所 示，根据抽样数据绘制了A级产品的不完整统计图如图12所示 (1)写出a和m的值； 质量(kg) 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 密 (2)设质量为4.9kg的礼盒有x箱 与标准质量的差 -0.1 0 0.1 0.2 ①若样本的中位数为5.0kg,求x的最小值； 数量（箱） m ②若使样本数据的平均值最接近标准质量，且 不低于标准质量，求x的值 中数量/箱 8 6 2 得分 评卷人 04Q1 21.(本小题满分9分) 4.84.95.05.15.2质量kg 图12 【学科融合】如图13，某物理社团开展抛体运动探究实验，同学们研究物体斜向抛出 封 后的运动规律。 素材1：实验观测坡面斜坡可以用正比例函数)y广子x的图象刻画； 素材2：实验中将物体从实验台起点O斜向上抛出，物体的飞行高度y(米)与飞行的水平 距离x(米)可以用二次函数y=ax+4x(a<0)的图象刻画；物体的飞行高度y(米)与飞行时 间t(秒)满足关系：y=-52+t; 素材3：物体飞行的水平距离x(米)，飞行时间（秒）与物体飞行的高度y(米)的变化规 律如下表所示 0 2 5 6 7 0 0 7 15 15 7 线 2 2 2 2 (1)观察表格回答问题：抛物线y=ax+4x(a<0)的顶点坐标为 :m= n= 来y/米 (2)物体在斜坡上的落点是A,求点A的坐标； 物体 (3)物体的飞行高度y(米)与飞行时间（秒）满足关系 y=-5+t,分别求v以及物体到达最高点时o的值. 「斜坡 x/米 图13 数学（二十一）第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 【综合与实践】在综合实践活动课上，同学们开展了对特殊四边形的研究. 【发现】在矩形纸片ABCD中，AD=4,AB=2,要在矩形纸片内画出一个菱形，现有下列两种可 行方案 如图14-1，嘉嘉的方案如下： 如图14-2，淇淇的方案如下： 1.连接BD; 1.利用尺规找到四条边的中点E,F,G,H; 2.作BD的垂直平分线，交 2.顺次连接E,F,G,H,四边形EFGH即为所 AD,BC,BD于点E,F,O; 作的菱形 A 6 B 图14-1 图14-2 (1)①在图14-1中用尺规补全嘉嘉的作法；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②淇淇的证明思路如下：证明△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,得到EH=HG=GF=EF,进而得到 四边形EFGH为菱形，他得到四边形EFGH为菱形的依据是 (2)求嘉嘉所作菱形的周长； 【拓展】(3)如图14-3，在菱形纸片ABCD中，∠D=60°，E是该菱形的中心.将纸片中的△ABE 剪掉后，剩余凹五边形AEBCD,利用尺规在图14-3中画一条直线，要求：沿着这条直线剪开凹五 边形纸片后，能拼成矩形.（保留作图痕迹，不要求写作法） B 图14-3 数学（二十一）第6页（共8页） 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 【背景】“绿波控制系统”是一种智能化的城市交通管理手段.它的核心目标是让车辆在一条主 干道上，以特定速度行驶时，能连续遇到绿灯，就像一路畅通的“绿色波浪”一样。 【素材】某学习小组在一段设置了“绿波控制系统”的道路进行测量，发现在笔直的道路上依 次有A,B,C,D四个路口，已知这四个路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，其余因素忽略不计 已知路口A的绿灯亮起10秒后路口C,D的绿灯亮起；亮起30秒后路口B的绿灯亮起.路口B, C,D和路口A的距离分别为900米，1400米，1890米。 【任务一】(1)请在图15的直角坐标系中画出路口B在0到150秒的交通信号；（用实线表示 绿灯的时间，虚线表示红灯的时间) D 1890 C 1400 力 900 A 102030405060708090100110120130140150 图15 【任务二】当路口A的绿灯亮起10秒时，一辆汽车从路口A匀速向路口D行驶，汽车在=80 时，恰好到达路口C.汽车离A路口的距离s与时间t之间的图象为图15中的射线1. (2)①求s与t的函数解析式（不写自变量的取值范围）； ②学习小组的同学发现该汽车到达路口D时碰到了红灯，通过计算说明理由； ③若该汽车到达C后用原来的速度行驶了p秒，之后以25米/秒的速度继续向路口D匀速行驶， 若汽车在路口D碰到绿灯，求p的最大值； 【任务三】(3)以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比，直接写出“绿 波控制系统”优化前后的红灯等待减少的次数为 指标 行程总时长 红灯等待次数 单次红灯平均等待时长 行驶速度 优化前 18分钟 m次 30秒 800米/分钟 优化后 11分钟 n次(n≤5) 15秒 1200米/分钟 数学（二十一）第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图16-1，图16-2，在正方形ABCD中，AB=4,动点P从点A出发，沿折线AB-BC 运动，到达点C停止（不与点A和点C重合），作扇形AOP(阴影)，且扇形AOP的弧过点 D,交AC于点F,OP与AC交于点E.设点P的运动路程为x. (1)如图16-1，当点P在边AB上运动时. ①连接PD,PF,说明DP是扇形AOP所在圆的直径，并求∠FPD的度数； 密 ②当AE:EC=1：V3时，求扇形AOP的面积； (2)当扇形AOP与正方形ABCD的边相切时，求x的值； (3)在点P整个运动过程中，当BO取得最小值时，∠BOA的度数为 (4)当点P在边AB上运动时，将△EFP沿FP折叠，若其顶点E恰好落在正方形ABCD的 边BC上，直接写出此时x的值. ⊙ F 0 A P 图16-1 封 D . A B 图16-2 线 B 备用图 数学（二十一）第8页（共8页） ■ 2026年河北省九年级巩固练习（二十一) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 题号 12 3 45 6 8 10 1112 答案DD CAB 0 B C D 二、（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 14.4(答案不唯一) 15.85 16.3+V5 4 三、17.解：(1)第一步；第三步；… …（4分) (2)原式=-2.… …(7分) 18.解：(1)270；…（2分) (2)小北给出的三位数为100a+10(a-3)十b,…(3分) 则交换后的三位数为100(a-3)十10a+b,…(5分) .100a+10(a-3)+b-[100(a-3)+10a+b]=100a+10a-30+b-100a+300-10a-b=270,为定值，.无论小北写的 数是几，小河都能猜中结果…(8分) 19.解：（1)AE;…（1分) 证明：，∠ABC=∠BAD=90°，∴.∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠AEB=90°，∴.∠FBC=∠AEB. 「∠AEB=∠FBC, 在△ABE和△FCB中，{∠BAE=∠CFB,.△ABE≌△FCB,AE=BF;…(5分) BE=CB, (2)由(1)知，BF=AE=8,CF=AB=6. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=10,∴BF=肥-BF=2,tan∠BCF=即= .…(8分) C℉3 20.解：（1)a的值为-0.2，m的值为5；………………………(2分) (2)①x的最小值为5；…(5分) ②根据题意，得4.8+4.9x+5×5.0+5.1(13-x)+5.2≥20×5，解得x≤6.5，∴.x=6.…(8分) 21.解：（1）(4,8)；3；6；…(3分) (2)将(2,6)》代入yx+4x中，得6=168，解得a=,抛物线的解折式为y-x+x 2 令x,解得名50（合》，此时y×号-吕，即点A的坠标为(5，日)：（6分 428 2’8 8》5品)，分当时.7商限大省 10 20 由题意，得8，解得40（负值舍去），t。-420 …（9分) 20 10105 数学（二十一）第1页（共3页） 22.解：（1)①如图；…(2分) E ②四边相等的四边形是菱形；…(4分) 5 (2)设DE=x,则BE=x,AE=4-x,在Rt△ABE中，2+(4-x)=x,解得x= 2 22题图1 嘉嘉所作菱形的周长为4X5=10:…(8分) (3)如图，直线1即为所求作.…(9分) B 23.解：(1)如图；…（2分) D 1890 22题图2 C 1400 B 90 A 102030405060708090100110120130140150 23题图 10k+b=0, k=20, (2)①设s与t的函数解析式为s=kt+b,将(10,0)，(80,1400)代入，得 解得 80k+b=1400, b=-200, .S与t的函数解析式为s=20t-200;…(5分) ②理由：令20t-200=1890,解得t=104.5,当t=104.5时，D路口为红灯；…(7分) ③根据题意，当汽车恰好过(1001890)时，p值最大，列方程，得20p+25(20-p)=1890-1400,解得 p=2;…(10分） (3)2.……… …(11分) 【精思博考：根据题意，得800(18-m)=1200(11-n),整理，得m-3+3n:,n均为整数，且n≤5， 4 .n=4,m=6】 24.解：(1)①在正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC= ∠DAB=45°，∴.DP是扇形AOP所在圆的直径. ∠DPF=∠DAC=45°；…（4分) ②在正方形ABCD中，=AD=D0-4,C∥B,△EC∽△PaA,∴AP:DC-AE:EC-1:5,A.4 , tan∠ADp=AP=V3 AD号，∠AP=30°，∠A0P-2∠ADP=60°.0A=0P,△0AP为等边三角形，0A=AP-4 3 :“扇形A0P(阴影)的面积为360-60T×(45)二40 3 …（7分) 360 9 (2)如图1，当点P在边AB上，且与边BC相切时，设切点为G, 0 D 连接G0并延长，交AD于点H,则∠OGB=90° 0 又，∠HAB=∠GBA=90°，.四边形ABGH为矩形，AH=BG,HG=AB, H 、 OH LAD,∴AH=AD=2. 2 24题图1 24题图2 数学（二十一）第2页（共3页） 设0G=x,则0H4-x,在Rt△0M中，(4-r)+2=r,解得r 2 过点0作OK⊥AB,则AK=KP.在矩形OHAK中，AK=OH=4- 5=，AP=2AK=3,即x=3: 如图2，当点P在边BC上，且与边BC相切时，同理可得BP=AI=2,.x=4+2=6;…（10分) (3)90°；… …（11分) (4)x的值为2√5-2.…(12分)） 【精思博考：如图3，将△EFP沿FP折叠，其顶点E恰好落在边BC的点Q处 D 由(1)知∠FPD=45°，则∠EPQ=90°，易i证△APDn△B0R,则D-DP:4 BP PQ 4-x 由D知△0∽△EA,则吧心-4.吧：+区，e4+,4x4 Q A 解得x=2V5-2(负值舍去)】 24题图3 数学（二十一）第3页（共3页）6. 如 2026年河北省九年级巩固练习（二十一） 总分 核分人 B. 数学 D 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟 7. 如 市、区、乡 又 题号 学校 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 8 A. 班级 舟 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 交 9. 姓 名 在 1. 对于-(-2)，下列说法不正确的是( ) A.表示-2的相反数 B.结果是正数 考 场 C.结果与-2相同 D.结果与--2相同 10.若 2. 图1是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，它的左视图是( c. 考号 11.如 A B 于 座位号 D 正面 3. 下列计算正确的是( 图1 A. A.V2+V3=V5 B.2V3-V3=2 C.V2×V3=V6 D.0.0002=2×103 B 4.如图2，用量角器测∠AOB的度数，顶点O没有对准量角器的 中心，则实际度数比测量度数40°( 科 C. 线 A.小 B.大 A 图2 C.相等 D.无法判断 12.如f 容 5.如图3，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段 CD,其中点A的对应点是点C,则旋转中心是() 灌 A.点E A B.点F B C.点G D.点H 图3 u 数学（二十一）第1页（共8页） 图4，整数x的值为( 10 8 7 图4 图5，若整式2x-(3x-1)的值落在数轴上的区间①内，则x的值可能是() V8 B.V3 ①②③ ④ V27 D.V2 1 知一元二次方程2-x=x-3,则该方程的根的情况是(）-1.4-0.60211.8 图5 两根之和为-2 B.两根之和为2 两根之积为3 D.没有实数根 平面直角坐标系xOy中，将点P(-2,d+a)向上平移(a+2)个单位长后，得到点P',则点P所 的象限是( 第一象限 B.第二象限 第三象限 D.第四象限 4=2×62×10,则下列不是A的因数的是( ) 62 B.152 2+×3 D.2×53 图6，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6,AB∥CD,AC平分∠DAB.设AB=x,AD=y,则y关 的函数关系用图象大致可以表示为( o 图6 1 01 D. 01 01 图7，某智能农场里，一块试验田被规划成正六边形ABCDEF.将滴灌系统的管道DC延伸出 条管线CG,D,C,G在一条直线上，且CG=2CD,连接EG交BC于点H,已知△GCH区域的 既面积为6，则五边形ABHEF区域的作物种植面积为() 10V3 12 12V3 24 图7 数学（二十一）第2页（共8页） 得分 评卷人 得分 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.我国古代“宫、商、角、徵、羽”五声音阶蕴含着丰富的数学智慧.在河北的非遗“蔚县秧歌”表演 如图 中，歌手需从这五个音阶中随机抽取一个进行开场定调，且每个音阶被抽取的可能性相同，则 任意写 歌手恰好抽中“徵”音阶的概率是 数，百 位数字 14.若分式A= -6一.1一a的结果为整数，则a的值可以是 (写出一个即可) d2-2a+12 换百位》 数字后， 15.如图8，在四边形ABCD中，∠A=110°，∠BCD=80°，点E在AB上，F为BC的中点，将△BEF沿EF 个三位 翻折得到△GEF,已知EG∥AD,CG平分∠BCD,则∠B= A 小河 B F (1若小北 图8 图9-1 图9-2 图9-3 (2)假设小 16.把一张矩形纸片按照如图9-1所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼 成如图9-2或图9-3所示的正方形.已知矩形纸片的长为m,宽为n(m>n),图9-2中阴影部 分的面积记为S,图9-3中阴影部分的面积记为S.若S,=3S2,则m的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 如图 阅读下面甲、乙两位同学计算V(-2)2÷2-(-1)×(-3)的过程，解决问题. 交于点E 甲：解：原式=-2÷2-(-1)×(-3)第一步 乙：解：原式=2：2-(-1)×(-3)第一步 (1)写出图 =-1-3…第二步 =1-(-1)×(-3)…第二步 (2)连接( =一4……第三步 =2×(-3)…第三步 =一6…第四步 (1)甲同学开始出现错误的步骤是 ;乙同学开始出现错误的步骤是 (2)请你写出正确的解答过程。 数学（二十一）第3页（共8页） 评卷人 18.(本小题满分8分) 10,小河和小北在做数学游戏。 一个三位 用上述较大的三 只要你给出的数符合我 立数字比十 说的规则，无论你写的三 大3.且交 位数减去较小的 字与十位 三位数，得到一 位数是几，我都可以猜中 仍得到一 个结果 最后的结果 密 2 小河 小河 小北 图10 给出的数是520，则得到的结果是 北给出的三位数的百位数字为α，个位数字是b,请解释其中的原因. 评卷人 19.(本小题满分8分) 11,已知∠ABC=∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相 连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F 中与线段BF相等的一条线段 ;并证明； : E,若AB=6,AE=8,求tan∠ECF的值 E A 线 图11 数学（二十一）第4页（共8页） ■ 得分 评卷人 得 20.(本小题满分8分) 河北曲阳石雕是国家级非物质文化遗产，当地某非遗文创公司为了更好地满足客 户需要，把手工石雕作品进行了礼盒包装.公司从标准质量为5kg的A级精品石雕礼 盒中抽查了20盒（单位：kg,精确到0.1），测得样品的单盒质量统计表（不完整）如下所 行方多 示，根据抽样数据绘制了A级产品的不完整统计图如图12所示 (1)写出a和m的值； 质量(kg) 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 密 (2)设质量为4.9kg的礼盒有x箱 与标准质量的差 a -0.1 0 0.1 0.2 ①若样本的中位数为5.0kg,求x的最小值； 数量（箱） 1 m ②若使样本数据的平均值最接近标准质量，且 不低于标准质量，求x的值 中数量/箱 8 6 得分 评卷人 0 21.(本小题满分9分) 4.84.95.05.15.2质量/kg 图12 (1)① 【学科融合】如图13，某物理社团开展抛体运动探究实验，同学们研究物体斜向抛出 ②淇 封 后的运动规律 四边引 素材1：实验观测坡面斜坡可以用正比例函数)y广子x的图象刻画； (2)求 素材2：实验中将物体从实验台起点O斜向上抛出，物体的飞行高度y(米)与飞行的水平 距离x(米)可以用二次函数y=ax+4x(a<0)的图象刻画；物体的飞行高度y(米)与飞行时 间（秒）满足关系：y=-52+t; 素材3：物体飞行的水平距离x(米)，飞行时间（秒）与物体飞行的高度y(米)的变化规 律如下表所示 0 4 5 7 0 7 7 线 0 15 15 2 2 （1)观察表格回答问题：抛物线y=x+4x(a<0)的顶点坐标为 ；m= 剪掉 n= y/米 边形 (2)物体在斜坡上的落点是A,求点A的坐标； 物体 (3)物体的飞行高度y(米)与飞行时间（秒）满足关系 y=-5P+t,分别求v以及物体到达最高点时o的值. 斜坡 x/米 图13 数学（二十一）第5页（共8页） ■ 分 评卷人 22.(本小题满分9分) 综合与实践】在综合实践活动课上，同学们开展了对特殊四边形的研究 发现】在矩形纸片ABCD中，AD=4,AB=2,要在矩形纸片内画出一个菱形，现有下列两种可 如图14-1，嘉嘉的方案如下： 如图14-2，淇淇的方案如下： 1.连接BD; 1.利用尺规找到四条边的中点E,F,G,H; .作BD的垂直平分线，交 2.顺次连接E,F,G,H,四边形EFGH即为所 AD,BC,BD于点E,F,O; 作的菱形. D B C 图14-1 图14-2 在图14-1中用尺规补全嘉嘉的作法；（保留作图痕迹，不要求写作法） 其的证明思路如下：证明△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,得到EH=HG=GF=EF,进而得到 形EFGH为菱形，他得到四边形EFGH为菱形的依据是 嘉嘉所作菱形的周长； 拓展】(3)如图14-3，在菱形纸片ABCD中，∠D=60°，E是该菱形的中心.将纸片中的△ABE ,剩余凹五边形AEBCD,利用尺规在图14-3中画一条直线，要求：沿着这条直线剪开凹五 天片后，能拼成矩形.（保留作图痕迹，不要求写作法） 图14-3 数学（二十一）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 得分 23.(本小题满分11分) 【背景】“绿波控制系统”是一种智能化的城市交通管理手段.它的核心目标是让车辆在一条主 如图 干道上，以特定速度行驶时，能连续遇到绿灯，就像一路畅通的“绿色波浪”一样。 运动，到 【素材】某学习小组在一段设置了“绿波控制系统”的道路进行测量，发现在笔直的道路上依 D,交AC 次有A,B,C,D四个路口，已知这四个路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，其余因素忽略不计 (1)如图 已知路口A的绿灯亮起10秒后路口C,D的绿灯亮起；亮起30秒后路口B的绿灯亮起.路口B, ①连接PL C,D和路口A的距离分别为900米，1400米，1890米. ②当AE 【任务一】(1)请在图15的直角坐标系中画出路口B在0到150秒的交通信号；（用实线表示 (2)当扇开 绿灯的时间，虚线表示红灯的时间) (3)在点 As (4)当点 D 1890 边BC上 C 1400 小 900 A 0102030405060708090100110120130140150 图15 【任务二】当路口A的绿灯亮起10秒时，一辆汽车从路口A匀速向路口D行驶，汽车在=80 时，恰好到达路口C.汽车离A路口的距离s与时间t之间的图象为图15中的射线. (2)①求s与t的函数解析式（不写自变量的取值范围）： ②学习小组的同学发现该汽车到达路口D时碰到了红灯，通过计算说明理由； ③若该汽车到达C后用原来的速度行驶了p秒，之后以25米/秒的速度继续向路口D匀速行驶 若汽车在路口D碰到绿灯，求p的最大值； 【任务三】(3)以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比，直接写出“绿 波控制系统”优化前后的红灯等待减少的次数为 指标 行程总时长 红灯等待次数 单次红灯平均等待时长 行驶速度 优化前 18分钟 m次 30秒 800米/分钟 优化后 11分钟 n次(n≤5) 15秒 1200米/分钟 数学（二十一）第7页（共8页） ■ 评卷人 24.(本小题满分12分) 16-1,图16-2，在正方形ABCD中，AB=4,动点P从点A出发，沿折线AB-BC 点C停止（不与点A和点C重合），作扇形AOP(阴影)，且扇形AOP的弧过点 于点F,OP与AC交于点E.设点P的运动路程为x. 6-1,当点P在边AB上运动时. ),PF,说明DP是扇形AOP所在圆的直径，并求∠FPD的度数； EC=1:V3时，求扇形AOP的面积； AOP与正方形ABCD的边相切时，求x的值； 整个运动过程中，当BO取得最小值时，∠BOA的度数为 在边AB上运动时，将△EFP沿FP折叠，若其顶点E恰好落在正方形ABCD的 直接写出此时x的值。 C F P B 图16-1 D 0 B 图16-2 C 线 B 备用图 数学（二十一）第8页（共8页） ■