精品解析：河北省唐山市路南区友谊中学2024-2025学年下学期九年级三模数学试卷

2024-2025学年度第二学期九年级第二次校内学业评估 数学试卷 注意事项： 1.本次考试共4页，共24题，满分120分，考试时间为120分钟． 2.用2B铅涂选择题答案，用黑色签字笔在答题卡上答卷． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点后，测得，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 12 4. 节肢动物是种类最多的动物类群，目前已命名的种类有120万种，占所有已知动物种类的左右，则所有已知动物的种类数用科学记数法表示为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 20 6. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ） A. 8 B. 12 C. D. 10. 如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ） A B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：___________ 14. 嘉淇爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为_____． 15. 如图是二次函数的图象，已知关于x的方程的一个根为，则另一个根为______． 16. 如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交于点，量得长为，六边形的边长为． （1）长为______； （2）为圆上一点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算． （2）如果计算结果等于6，求被污染数字． 18. 有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… （1）求整式A； （2）写出原习题正确的解答过程． 19. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生次引体向上的有效次数整理成如图的折线统计图、其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①通过计算补全折线统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少次才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的组数据合在一起，发现乙同学次引体向上测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学第次测试成绩的最小值为_____次． 20. 如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． （1）求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） （2）求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； （3）求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 21. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按如图1所示的方式剪成4块小纸片（其中）进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按，的尺寸剪成4块，认为可以拼成如图2所示的无缝隙的矩形．老师从面积出发，指出前后两个图形的面积不同，所以不能拼成如图2所示的矩形．并让同学们尝试从其他角度来推翻甲的结论． （1）经过思考，乙同学提出了下面的解题思路，请你补充完整． 在拼接前的图形中，如图3，过点Q作垂足为F． 假设能拼成如图2所示的矩形，则， 在图中，∵，∴， 又∵，∴____________， ∵____________，即显然不成立， ∴不能拼成如图2所示的矩形． 【探究二】 丙同学也将一张边长为8的正方形纸片进行操作．如图4，在拼图时让点A，H，D在一条直线上，点B，K，C也在一条直线上，这样拼成了一个内部重叠的矩形． （2）若这个矩形内部重叠部分的面积为1，求剪开的三角形纸片的短边a的长； 【探究三】 （3）丁同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也不重叠，则的值为 ． 22. 如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 23. 嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． （1）求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． （2）若点G距离水平地面高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． （3）已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 24 中，． （1）如图1，沿过点的直线折叠使点落在上的点处，折痕与BC交于点．通过尺规作图确定点，点的位置，并直接写出，的长度（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）将折叠后的中的点在边上滑动，记为点，点在边上滑动． ①如图2，当时，求点到的距离； ②如图3，点在边上时，求的长度； ③直接写出点与点距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级第二次校内学业评估 数学试卷 注意事项： 1.本次考试共4页，共24题，满分120分，考试时间为120分钟． 2.用2B铅涂选择题答案，用黑色签字笔在答题卡上答卷． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多重符号，负整数指数幂，零指数幂． 先分别计算多重符号，负整数指数幂，零指数幂，进而判断即可． 【详解】解：A． ，与不相等，不符合题意； B． ，与不相等，不符合题意； C． ，与不相等，不符合题意； D． ，与相等，符合题意； 故选：D． 2. 图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点后，测得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平角的定义，平角为，已知的度数，用平角减去的度数得到的度数．本题主要考查了平角的定义，熟练掌握平角为是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 3. 如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，求出，相距的距离，结合题意可得直尺中是数轴上两个单位长度，即可得解． 【详解】解：∵数轴上点，分别在直尺的，处． ∴，相距， ∵点对应，直尺的0刻度位置对应， ∴直尺中是数轴上两个单位长度， ∴点对应的数为， 故选：C． 4. 节肢动物是种类最多的动物类群，目前已命名的种类有120万种，占所有已知动物种类的左右，则所有已知动物的种类数用科学记数法表示为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴所有已知动物的种类数为万种， 万， 故选：C． 5. 已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则；根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形公式求解． 【详解】解：已知方程 的两个根为 和 ， 由根与系数的关系可得：， ∵， ∴． 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，在平行四边形中，，，得出，结合平分，证明，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视力，在俯视图中标出相应正方体的个数可得答案． 【详解】解：如图所示： 或 ， 故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）． 故选：B． 8. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ） A. 8 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键. 过点作，垂足为，先求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点作，垂足为，如图， 四边形为矩形， ， ， ， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 10. 如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，先求出直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）的整点个数，即的值，再根据每个选项确定的值，判断即可． 【详解】解：令，则，令，则， 则直线与x轴交于，与y轴交于， 围成三角形区域，内部整点需满足：取（整数），满足（正整数）， 逐一代入计算：时，无解； 时，（1个）； 时，（2个）； 时，（3个）； 时，（4个）． 总计． 计算双曲线区域整点数m， A、当时，满足正整数对有： 时，（3个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． B、当时，满足的正整数对有： 时，（4个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． C、当时，满足的正整数对有： 时，（5个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与相等．符合题意． D、当时，满足的正整数对有： 时，（6个）； 时，（3个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与不相等．不符合题意． 综上，当时，， 故选：C． 12. 如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 14. 嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求简单事件的概率，选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个， ∴嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为， 故答案为：． 15. 如图是二次函数的图象，已知关于x的方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的对称性求出点关于对称轴轴的对称点即可． 【详解】解：根据图象知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点为，则另一个交点为， 所以，关于x的方程的另一个根为， 故答案为：． 16. 如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交于点，量得长为，六边形的边长为． （1）长为______； （2）为圆上一点，则的最小值为______． 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理 ，熟练掌握知识点是解决问题的关键． （1）根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系即可求出答案； （2）当A、Q、D三点共线时，最小，此时，根据面积法即可求出． 【详解】（1）如图，连接、、，则， 六边形是正六边形， ，， ， 在 中，，， ， 故答案为：7． （2） 连接，过O作的垂线，设圆的半径为R， ∵， ∴当A、Q、D三点共线时，最小，此时， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算． （2）如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】（1）-9 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 18. 有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… （1）求整式A； （2）写出原习题正确的解答过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生次引体向上的有效次数整理成如图的折线统计图、其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①通过计算补全折线统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少次才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的组数据合在一起，发现乙同学次引体向上测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学第次测试成绩的最小值为_____次． 【答案】（1）①补图见解析；②中位数为次，众数为次 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）①根据平均数的定义求出乙同学第次测试成绩，进而补全折线统计图即可；②根据中位数和众数的定义解答即可； （）根据方差、中位数和众数的意义说理即可； （）根据中位数的定义解答即可； 本题考查了折线统计图，平均数、方差、中位数和众数，掌握平均数、方差、中位数和众数的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①设乙同学第次测试成绩为， 由题意得，， 解得， ∴乙同学第次测试成绩为次， ∴补全折线统计图如下： ②乙同学次引体向上测试成绩由低到高排列为，，，，， ∴中位数为，众数为； 【小问2详解】 解：选择嘉嘉的说法，由折线统计图可知，甲同学数据的波动较小，方差小，测试成绩较为稳定，所以选择甲同学； 选择淇淇的说法，由于乙同学的中位数是次，众数也是次，获胜的可能性较大，而甲同学的中位数是次，众数也是次，均低于次，所以选择乙同学； 【小问3详解】 解：∵乙同学前次的成绩排列为，，，，，要使中位数不变，则排名第和排名第的成绩应均为， ∴第次成绩的可为或， ∴第次成绩的最小值为， 故答案为：． 20. 如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． （1）求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） （2）求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； （3）求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； 【小问2详解】 解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 【小问3详解】 解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 21. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按如图1所示的方式剪成4块小纸片（其中）进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8正方形纸片按，的尺寸剪成4块，认为可以拼成如图2所示的无缝隙的矩形．老师从面积出发，指出前后两个图形的面积不同，所以不能拼成如图2所示的矩形．并让同学们尝试从其他角度来推翻甲的结论． （1）经过思考，乙同学提出了下面的解题思路，请你补充完整． 在拼接前的图形中，如图3，过点Q作垂足为F． 假设能拼成如图2所示的矩形，则， 在图中，∵，∴， 又∵，∴____________， ∵____________，即显然不成立， ∴不能拼成如图2所示的矩形． 【探究二】 丙同学也将一张边长为8的正方形纸片进行操作．如图4，在拼图时让点A，H，D在一条直线上，点B，K，C也在一条直线上，这样拼成了一个内部重叠的矩形． （2）若这个矩形内部重叠部分的面积为1，求剪开的三角形纸片的短边a的长； 【探究三】 （3）丁同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也不重叠，则的值为 ． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，反证法，一元二次方程的应用，正方形的性质等知识点； 探究一：结合图形根据题目推理过程上下逻辑关系填空即可； 探究二：根据矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积列方程求解即可； 探究三：参考探究二的过程和图形，矩形面积等于原正方形面积得到关于的方程求解即可． 【详解】解：（1）在拼接前的图形中，如图3，过点Q作垂足为F． 假设能拼成如图2所示的矩形，则， 在图中，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即显然不成立， ∴不能拼成如图2所示的矩形． 故答案为：，，； （2）探究二：由题意可得， ∴， ∵矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴； （3）∵丁同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠，如图： ∴矩形的面积等于正方形的面积， 根据题意可得拼成的矩形长为，宽为， 由矩形的面积等于正方形的面积可得， 整理得， 解得， ∵a，b为正数， ∴， ∴． 22. 如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：如图1，连接，则有． 在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图2，连接 ，由（1）可知， ． 当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，连接，设，则， ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 23. 嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． （1）求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． （2）若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． （3）已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，点D的坐标为 （2）9米 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再设滑道所在抛物线的解析式为，将代入，求出，即可得出抛物线的解析式，再求出点D的坐标即可； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，求出抛物线的解析式为，然后求出顶点坐标，即可得出答案； （3）先根据题意得出点M的坐标为，然后求出当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，，再求出当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方，此时，最后求出d的取值范围即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴， 设滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得，解得（负值已舍去）． ∴滑道所在抛物线的解析式为， 把代入得： 解得：或， ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意知点G的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 对于，当时，， ∴， ∴滑道所在抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 对于，当时，， ∴， 答：车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度是9米． 【小问3详解】 解：由题意知点M的坐标为，点N的横坐标为， 由题意知，当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，， 当点N与点F重合时，， 解得：， 当时，点M的纵坐标为， ∴点M，N的高度差为， ∴当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方， 对于，当时，， 令， 解得：（不合题意的值已舍去）， 分析可知，符合题意的d的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次函数的性质． 24. 中，． （1）如图1，沿过点的直线折叠使点落在上的点处，折痕与BC交于点．通过尺规作图确定点，点的位置，并直接写出，的长度（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）将折叠后的中的点在边上滑动，记为点，点在边上滑动． ①如图2，当时，求点到的距离； ②如图3，点在边上时，求的长度； ③直接写出点与点距离的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）①点到的距离为12，②，③点与点距离最大值为 【解析】 【分析】（1）以点A 为圆心，的长为半径画弧，交于一点D，再作的垂直平分线，与的交点，即为点E，根据勾股定理算出，结合等面积法算出的长度，即可作答． （2）①先整理得，则，根据且，则，结合折叠性质得，则，代入数值计算，即可作答． ②同理设，则，整理得，证明，故，所以，由（1）得，，即可作答． ③结合圆周角定理得，故，所以中，，，证明，，代入数值得，分别运用勾股定理算出，，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，点D，E即为所求的点，连接， ∵， ∴， 由作图得， 则， ∴， 则， ∴，． 【小问2详解】 解：①如图1，过点作于点，过点作于点， 设，则 在中，， 则在中，， ∴， ∵且， ∴， ∵将折叠后的中的点在边上滑动，记为点， ∴， 由（1）得， ∴， 则， ∴， ∴当时，点到的距离为12， ②如图2，过点D作于点，过作于点 ， 设，则， ∵将折叠后的中的点在边上滑动，记为点， ∴图2的等于（1）中的，图2的等于（1）中的， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 则 故， ∴， ∵由（1）得， ∴； ③如图3，作的外接圆，过作于点，连接，， ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理得， ∴在中，，， ∵， ∵， ∴， ∴ 由（1）得出， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴， 当D，P，C在同一直线上时与距离最大，且为 ∴最大距离， 即点与点距离最大值为 【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，折叠的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $