精品解析：2026年河北省唐山市迁西县汉儿庄镇初级中学二模数学试题

唐山市迁西县汉儿庄中学九年级第二次模拟考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 2. 平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可； 【详解】连接，则． 如图1，当点在线段上时，； 如图2，当点在的延长线上时，， ∴的取值范围为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出． 3. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可． 【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化； 在滚动过程俯视图会发生变化； 在滚动过程左视图不会发生变化； 故选：A． 【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识． 4. 如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程． 【详解】解：设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒， ∵， ∴， 根据题意，得． 故选：A． 5. 图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF=∠EFB，根据图形折叠的性质得出∠EFC的度数，进而得出∠CFG即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=α， 由折叠可得：∠EFC=180°-α， ∴∠CFG=180°-α-α=180°-2α， 故选C. 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 6. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐3元的同学后来又追加了a元．追加后的数据与之前的5个数据相比，中位数和众数均没有发生变化，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2或3 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求出追加前的中位数和众数，根据追加后中位数和众数均没有发生变化得出新数据最小的数据为或，即可得出答案．熟练掌握中位数和众数的求法是解题关键． 【详解】解：把追加前这组数据从小到大排列为：、、、、， ∵正中间的数据为，出现最多的数据是， ∴中位数为，众数为， ∵追加后中位数和众数均没有发生变化， ∴追加后的新数据最小的数据为或， ∴a的值为或， 故选：D． 7. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况， 因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为． 故选：C． 8. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】C 【解析】 【分析】连接BE、CE，CF 根据正多边形的性质求得BE，CE；由平行线分线段成比例求得MN，再由三角形的边长关系得出BE＞ME＞CE即可解答； 【详解】解：如图所示，连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心， ∵正六边形的每个中心角都是60°， ∴每条边和中心构成的三角形都是等边三角形， ∴EB=4， ∵正六边形的每个内角都是120°， ∴△DEC中，∠CDE=120°，∠DCE=∠DEC=30°， ∴∠BCE=120°-30°=90°， ∴Rt△BCE中，BC=2，则， ∵∠OFE=∠AOF=60°，∴AB∥EF， ∵∠OFE=∠OCB=60°，∴BC∥EF， ∴EF∥AD∥BC， ∵BE=2OB，∴ME=2MN， ∵CE＜ME＜BE，即， ∴． 故选： C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，三角形的边长关系，平行线分线段成比例定理，掌握正多边形内角和中心角是解题关键． 9. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A. m≤4 B. m≥2 C. 2≤m≤4 D. 2＜m＜4 【答案】C 【解析】 【分析】先将点代入可得一个关于的等式，再根据“二次函数的图象上有且只有一个和谐点”可得与有且只有一个交点，从而可得一个关于的等式，解方程组求出的值，然后根据二次函数的图象与性质分析最大值与最小值即可得出答案． 【详解】解：将点代入得：，即， 二次函数的图象上有且只有一个和谐点， 二次函数与有且只有一个交点， 关于的一元二次方程只有一个实数根， 此方程根的判别式，即， 联立，解得， 则函数为， 当时，，解得或， 画出二次函数的图象如下： 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取得最大值，最大值为1， 当时，函数的最小值为，最大值为1， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 10. 如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 11. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图像获取信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差； ②乙到达地时对应的值减去乙出发时对应的值即乙追上甲所用的时间； ③根据速度路程时间求出甲的速度，由时间路程速度求出甲到达地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间路程速度求出乙到达地所用时间，从而求出乙到达地时对应的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点； ④由③可知点的横坐标，根据路程速度时间求出点时甲距地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即的纵坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：乙每分钟比甲多走（米， ①正确，符合题意； 乙用（分钟）追上了甲， ②不正确，不符合题意； 甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟）， 乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟）， 当时乙到达地， 乙比甲早（分钟）到达终点， ③正确，符合题意； 由③可知，点的横坐标为23， 甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米， 点的坐标为， ④正确，符合题意． 综上，①③④正确． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且，或 D. 且，或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键； 根据题意，分为直角，为直角，两种情况分别求出的长即可得到答案； 【详解】解：如图1，当垂直于x轴时，为直角，此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点B和点O重合时，围不成三角形，所以． 如图2，当为直角时，过点A作x轴的垂线，垂足为H， 已知，点到轴的距离为，则， 则， ∴， ∴， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 14. 已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根于系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设其中一个根为，另一个根为， ， 解得：， 故答案为：4． 15. 如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，如图所示，先由已知三角形面积得到，再由等腰直角三角形的判定与性质，结合三角形面积公式求出，过点作，如图所示，再由、分别为的三等分点，由相似三角形的判定与性质，数形结合求出，最后根据反比例函数的图象交线段于点，将代入函数表达式即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 与以上所在边为底，则高相同，均为， 、分别为的三等分点， ， 的面积为3， ， 在中，，，则是等腰直角三角形， ，解得， 过点作，如图所示： ， ， ， ， 、分别为的三等分点， ，则，， ，， ， 反比例函数的图象交线段于点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形面积公式、三等分点性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象与性质等知识．找准三角形面积之间的关系，数形结合，求出点坐标是解决问题的关键． 16. 光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，如图，连接，作于．解直角三角形求出正六边形的半径即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于． 由题意， ∴是等边三角形， ∴， 设,则, 在中，则有， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程． （1）在的计算结果中，有错误的是_____（填序号）；为了区分和，请直接写出_____，_____； （2）对于这道作业题，请给出正确的计算过程． 【答案】（1）②④；4； （2）计算过程见解析 【解析】 【分析】此题考查了乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据有理数的乘方，绝对值的性质，零指数幂和特殊角的三角函数值判断即可； （2）根据有理数的乘方，绝对值的性质，零指数幂和特殊角的三角函数值求解，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在的计算结果中，有错误的是②④； ，； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． （1）若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________； （2）若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，分式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，求出的长即可得到答案； （2）根据题意可得，据此结合所给条件可求出a的值，再把所求分式变形为，再把分子合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵点B为原点，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵a、b、c为三个连续的正整数， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴原式． 19. 如图，中，． （1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴． 20. 某大型汽车销售店最近在销售甲、乙两款新能源汽车，现将该店在某一周前五天的销售量（单位：台）情况绘成如下两幅不完整的统计图． （1）通过计算补全条形统计图； （2）求周一到周五甲款新能源汽车销售量的平均数； （3）销售店想做一个车主回馈活动，从周五购车的车主中随机选取两名赠送小礼品，请用画树状图或列表的方法求出所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率． 【答案】（1）见解析； （2）4； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、平均数和利用画树状图或列表的方法求概率．熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意分别求得周三乙款新能源汽车的销售量，周四甲款新能源汽车的销售量，然后补全统计图，即可求解； （2）根据周一到周五甲款新能源汽车销售总量除以5，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：周二销售量为8台，该周前五天的总销售量为（台）， 周三销售量为（台），周四销售量为（台）， 周三乙款新能源汽车的销售量为（台），周四甲款新能源汽车的销售量为（台）． 补全的条形统计图如下所示． ； 【小问2详解】 解：甲款新能源汽车销售量的平均数为台 【小问3详解】 解：由题意列表如下所示： 甲1 甲2 乙1 乙2 乙3 甲1 - （甲1，甲2） （甲1，乙1） （甲1，乙2） （甲1，乙3） 甲2 （甲2，甲1） - （甲2，乙1） （甲2，乙2） （甲2，乙3） 乙1 （乙1，甲1） （乙1，甲2） - （乙1，乙2） （乙1，乙3） 乙2 （乙2，甲1） （乙2，甲2） （乙2，乙1） - （乙2，乙3） 乙3 （乙3，甲1） （乙3，甲2） （乙3，乙1） （乙3，乙2） - 根据列表可得，从周五购车的车主中随机选取两名车主可能出现的结果有20种，满足所选的车主购买的车恰好是同一款车的结果有8种， （所选的车主购买的车恰好是同一款车）． 21. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）画出反比例函数的图象； （3）将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】（1） （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【小问1详解】 解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：三个整数点，如图所示： 【小问3详解】 解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 22. 【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 【答案】【情景导入】；【尝试探索】；【实际应用】不能得以生存 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意确定出二次函数的解析式是解题的关键，注意实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义． [情景导入]依据表格中的数据进行计算，即可得到的值，进而得到与的关系式； [尝试探索]把代入关系式，即可得到的值； [实际应用]根据楼高的值，得到的值，进而得出结论． 【详解】解：[情景导入]根据题意，当时， ，解得 与的关系式为． [尝试探索] 当时， 下落点到地面的距离为． [实际应用]当时，， 解得 不能得以生存． 23. 【问题提出】 （1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）；（3）存在，最小值为米 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得到，即可得到的面积； （2）证明，进一步得到，则证明点P在矩形内部以为直径的上运动，连接， 交于点，进一求出，则，由，即可得到的最小值； （3）证明得到，则，再证明得到，证明点H在的劣弧上运动，求得，进一步求得米，勾股定理可得米，记与相交于点，则米，求出米，由米，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：5 （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴点P在矩形内部以为直径的上运动， 连接， 交于点， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值； （3）连接，作的外接圆，连接，如图3， ∵四边形是菱形， ∴米，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴点H在的劣弧上运动， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，米，，过点O作于点M，如图， 则米， ∴米， ∴米， ∴米， 记与相交于点，则米， ∴米， ∵米， ∴的最小值为的长，即的最小值为米 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、特殊平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 【答案】（1），； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得； （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； ∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为， 将代入解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线和抛物线的交点， 令，解得：，（舍去）， 故点的坐标为， ∴， ∵点是直线和直线m的交点， 令，解得：， 故点的坐标为， ∴， ． 即的最小值为． 【小问4详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： ∵点的坐标为，准线， ∴点的横坐标为，代入解得， 即，， 则的面积为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市迁西县汉儿庄中学九年级第二次模拟考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 3. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 4. 如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐3元的同学后来又追加了a元．追加后的数据与之前的5个数据相比，中位数和众数均没有发生变化，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2或3 D. 1或2 7. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 8. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 9. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A. m≤4 B. m≥2 C. 2≤m≤4 D. 2＜m＜4 10. 如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且，或 D. 且，或 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：____． 14. 已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为___________． 15. 如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为___________． 16. 光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程． （1）在的计算结果中，有错误的是_____（填序号）；为了区分和，请直接写出_____，_____； （2）对于这道作业题，请给出正确的计算过程． 18. 如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． （1）若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________； （2）若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 19. 如图，中，． （1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 20. 某大型汽车销售店最近在销售甲、乙两款新能源汽车，现将该店在某一周前五天的销售量（单位：台）情况绘成如下两幅不完整的统计图． （1）通过计算补全条形统计图； （2）求周一到周五甲款新能源汽车销售量的平均数； （3）销售店想做一个车主回馈活动，从周五购车的车主中随机选取两名赠送小礼品，请用画树状图或列表的方法求出所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率． 21. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）画出反比例函数的图象； （3）将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 22. 【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 23. 【问题提出】 （1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $