专题02 三角函数与解三角形（7大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形7大高频考点，精选黑龙江多校期末试题，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖函数性质、定理应用及实际测量问题，适配高中期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15题|三角函数图像变换、正弦定理应用、三角形解的个数|基础巩固，如已知终边上点求正切值| |多选题|8题|三角形形状判断、面积范围、外接圆性质|能力提升，如结合余弦定理判断钝角三角形| |填空题|1题|外接圆半径计算|简洁考查核心公式应用| |解答题|15题|函数解析式求解、中线长度计算、实际测量问题|综合应用，如结合角平分线求周长及面积最大值|

专题02 三角函数与解三角形 07大高频考点概览 考点01三角函数 考点02正弦定理/余弦定理 考点03三角形形状与解的个数问题 考点04中线类/角平分线问题 考点05周长/面积问题 考点06周长面积范围问题 考点07解三角形实际应用 地 城 考点01 三角函数 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D．3 二、解答题 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知函数，. (1)求的最小正周期及的值； (2)设函数，求的零点和单调递增区间. 5．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值． 地 城 考点02 正弦定理/余弦定理 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（   ） A． B． C．或 D． 2．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 6．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形，已知，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)在中，，则外接圆的半径为__________． 地 城 考点03 三角形形状与解的个数问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 3．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)在中，已知，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)（多选）已知的内角的对边分别为，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若的面积，则 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．已知，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)（多选）在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则是等边三角形 C．若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D．若是锐角三角形，则的取值范围是 7．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则是钝角三角形 地 城 考点04 中线类/角平分线问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)在中，角所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的面积为，且，求的最小值. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)在中，角，，的对边分别为，，，已知且. (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 地 城 考点05 周长/面积问题 一、解答题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角C； (2)若△的面积，且，求△的周长． 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且. (1)求； (2)若O为的内心，求的面积. 4．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点在边上，且，求的周长． 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值. 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知在中，，，． (1)求； (2)若为边上一点且，求的面积． 地 城 考点06 周长面积范围问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知的内角所对的边为，其面积为，若且的外接圆半径为，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小； (2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知，，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知，，，函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围． 5．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)记斜的内角的对边分别为，已知，且． (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角和； (2)已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 8．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知中，角的对边分别为，. (1)是边上的中线，，且，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 地 城 考点07 解三角形实际应用 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)（多选）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02三角函数与解三角形 ☆07大高频考点概览 考点01三角函数 考点02正弦定理/余弦定理 考点03三角形形状与解的个数问题 考点04中线类/角平分线问题 考点05周长/面积问题 考点06周长面积范围问题 考点07解三角形实际应用 目目 考点01 三角函数 一、单选题 1.B 2.B 3.D. 二、解答题 4.【详解】(1)因为f(0)=-,-号<p<,所以f(p)=-专→p=-晋，最小正周期为2π. (2)由(1)可知：f(x)=sin(x-),所以 g(x)=sin(x-舌)+cosx=号sinx+告cosx=s血(x+号)： 令g(x)=sin(x+若)=0→x+晋=km→x=-吾+kπ(k∈Z), 令-罗+2km≤x+若≤罗+2km→-弯+2kT≤x≤号+2kT(k∈Z), 所以g(x)的零点为x=-晋+kπ(kEZ),单调增区间为[-弯+2kπ，等+2kT](k∈Z) 5.【详解】(1)由图象知A=2,号=钙-（-蛋)=罗，·恶=元，即ω=2. 由图象过点（变，-2），代入函数f(x), 即ξ+p=-号+2km,kEZ,因为0<p<元，则p=弯， 所以f(x)=2sin(2x+等)： (2)令2km-号≤2x+弯≤2kπ+号，kEZ, 1/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得kπ-晋≤x≤kT-五，kEZ, 故函数f(x)的单调递增区间为[kT-5,kπ-玉]，k∈Z (3)因为x∈[我，]，所以2x+等∈[，要]， 当2x+等=时，即x=亞时，f(x)取最大值，最大值为f(吾)=1， 当2x+弯=要时，即x=晋时，f(x)取最小值，最小值为（晋）=-2， 所以f(x)的最大值为1，最小值为一2 目目 考点02 正弦定理/余弦定理 一、单选题 1.c 2.C. 3.D. 4.D 5.D 6.A. 7.A 二、填空题 8.2 目目 考点03 三角形形状与解的个数问题 一、单选题 1.D 2.C 3.C 二、多选题 4.BCD 5.CD 6.BD 7.BCD 2/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.ABD 目目 考点04 中线类/角平分线问题 一、单选题 1.D 二、多选题 2.BC 三、解答题 3.【详解】(I)在△ABC中，由bcosA-号asnB=0及由正弦定理，得sinBco3A-号sin AsiB=0, 而sinB>0,则tanA=5,又Ae(0,T), 所以A=哥 (2)由(1)知A=,由AD为△ABC的角平分线，得S△4BD十S△An=S△ABC, 即c·ADsin若+b·ADsin晋=专bcsin号，而b=4,c=6, 所以AD=-2 (3)由(1)知A=背，由S△4Bc=be.sinA=V5,得bc=4, 又a=2,由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,得b2+c2-bc=4, 即(b+c)2-3bc=4,解得b+c=4, 所以△ABC的周长为a+b十c=2+4=6 4.【详解】(1)由正弦定理得(b+c)(b-c)=(a-c)a, 即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理可得c0sB=器=器=， 因为B∈(0，π)， 所以B=晋 (2)由已知Sa4Bc=专acsinB=3辈，所以ac=3 因为A=2D元，所以AD=A元， 可得BD=BA十AD=BA+号AC=BA+号AB+号BC=青BA+号BC, 所以(BD)=(BA)+(BC)+2·号(BA·BC) 3/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =c2+号a2+号accosB=c2+号a2+号， 又c2+号a2+号22c号a+号=2， 当且仅当a=与，c=V6时取等号， 所以BD的最小值为2 5.【详解】(1)因为(b+c)cosA=a(cosB-cosC),所以 sinAcosB-cosAsinB sin CcosA+cosCsinA, 所以sin(A-B)=sin(A+C)=sinB, 而AB∈(0，T)→A-B∈(-TT),sin(A-B)=sinB>0, 从而A-B∈(0，)， 所以A-B=B或A-B十B=A=T（舍去)， 所以A=2B: (2)(i)因为△ABC为锐角三角形， 0<A=2B< 0<B<号 所以 0<C=-A-B=元-38<登，解特号<B<登， 所以sin8的取值花围为（专号）： (i)由已知a2=CD2+1-2CD·cos∠BDC,b2=CD2+1-2CD·cos∠ADC, 而coS∠BDC+cos∠ADC=0, 从而CD2=号(a2+b2)-1, b 2 2 由正弦定理有sn西=西=π-=n3西， 所以a-器=評2a= 2sin2B 2sin2B 2sinB(1-sin B)H(1-2sin'B)sinB 4sinBcosB 4c0s8 =3mB-4n8=4n, b=器- 2snB 2 3n8-4n万=34n百， 所以a2+b2=16c0s8+=45-4ma (3-4simB)9 (3-4smB2, 设t=5-4sin2Be(3,4), 所以4sin2B=5-t,所以a2+b2=45 4t -2=4+4=， 4/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由对勾函数性质可知，u(t)=t+在(3,4)上递增， 所以t+-4e(3,1), 所以a2+b2∈(4,12)，所以CD的取值范围是(1，V5) 6.【详解】(1)由正弦定理可得(a+c)(a-c)=b(a-b), 即a2+b2-c2=ab, 由余弦定理可得c0sC=品2=器=， 因为CE(0,T),所以C=号： (2)点D为AB的中点，则CD=专(CA+C), CD2CA+2CA.CB+CB)=(b2+a2+2abcos)=(b2+a2+ab). 因为c=2,由(1)可知a2+b2-4=ab,即a2+b2=4+ab, 因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立， 故ab+4≥2ab,求出ab≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立， 放CD2=(2ab+4)≤3，当且仅当a=b=2时，等号成立， 故c≤5，又ab>0,故CD=(2ab+4)>1, 故1<C≤5，即CD的取值范围为(1,5] 7.【详解】(1)因为(sinC-sinA)(c+a)=2bsin(C-A), sinC-sinA)(c+a)=2bsinCcosA-2bsinAcosC, 由正弦定理得(c-a)(c+a)=2 occosA-2 bacosC, 所以c2-a2=2bc.-2ba, 即a2=c2,可得c=a, 所以△ABC是等腰三角形； (2)因为点D满足C方=2D克，所以C⑦=C克： 所以A=AC+C⑦=AC+号C=AC+(A-AC)=A+AC, 所以AD=音c2+b2+号bccos∠BAC, 在△ABC中，由余弦定理可得a2=c2+b2-2 bccos∠BAC, 又由(1)知c=a, 5/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以c2=c2+b2-2 bccos∠BAC,整理得2cCoS∠BAC=b,C=2 OSZBAC, 因为SAABC=bcsin∠BAC=18,所以bc=n8ac,所以b2=72器是 36 sinBAC b2 18 c2=4m3BAc=co8☑BACan☑BAc' 由(1)中c=a可知∠BAC为锐角，则sin∠BAC>0,cos∠BAC>0, +2 所以AD=8mASt2AC=8(影AS+4e影9 ≥8×2器 4co8∠BAC sin/BAC sinZBAC =32, sin/BACcos.∠BAC Cos/BAC 当且仅当sin∠BAC= 6 5 cos_BAC= 2时取等号， 所以线段AD的最小值为4V2 目目 考点05 周长/面积问题 解答题 1.【详解】1)因为b=a2十b2-c2,由余弦定理，得到c0sC=能=于， 2ab 又0<C<m,所以C=号： (2)因为△ABC的面积8=9，且c=2i,C=青 所以有S=absinG=9ab=零，ab=a2+b2-21, ab=5 联立{a2+b2=26,则a+b=V(a+b)2=Va2+b2+2ab=6, 所以△ABC的周长为a+b+c=6+V21 2.【详解】(1)因为sin2A=sin2B+sin2c+-sinBsinC, 由正弦定理得a2=b2+c2+bc 再由余弦定理得cosA==-, 2bc 又因为AE(0,,所以A=要. (2)因为a-3,b=2,A=罗 代入a2=b2+c2+bc得c2+2c-5=0, 解得c=V6-1 故△4BC的面积S=bcsinA=-35,5 3.【详解】(1)因为bsinA+V3 acosB=0, 6/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据正弦定理得sinAsinB+V3 sinAcosB=0 因为0<A<π，所以sinA≠0， 所以sinB=-V3cosB,所以tanB=-V5, 又0<B<π，所以B=等 根据余弦定理b2=a2+c2-2 accosB=9+25-2×3×5×(-)=49, 所以b=7 (2)因为O是△ABC的内心，所以点O到三边的距离相等，设为h, 则S△4Bc=S△oBc+S△oAc+S△oAB=支(a+b+c)h=acsinB, 所以(3+5+7)h=3×5×与，解得h= 所以Sa0c=×3×号=9 4Γ 4.【详解】1)由c0sC(ac0sB+bc03A）=号c及正弦定理得 3 cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC, 所以cosCsin(A+B)=号sinC, 所以cosCsinC=号sinC 因为sinC>0,所以cosC=马，ce(0,),所以C=云. (2)在△ADC冲，县=c0sC=签，解得b=5, 2b2 在△ABC冲，c2=b2+9-2b39=12-9=3,所以c=5, 所以周长=V5+V3+3=3+2W3. 5.【详解】(1)：AB,C为△ABC的内角，且B=背，cosA=, :C=ξ-A sinA=, ∴sinC=sin(停-A)=-9cosA+sinA=9×鲁+×昌= 10; (2》由1)知sinA=昌shc=。 又：B=5,b=V5, 7115 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ABC中，由正弦定理，得=器 :△ABC的面积5=支absinG=-支×鲁×5×4-365 50 (3)因为cosC=c0s(弯-A)=-coA+9sinA=-×鲁+9×昌=5是. 10 所以ACCB=-CACB=-bacsC=-5×号×3号=-2729 25 íA+C=5B 6.【详解】1)由{A十C+B=π，得B=, 由余弦定理得b=V42+(V5)2-2×4×V5×cos号=V万， 所以cosC= 444-三>0， 2x4x/7 2W7 则c为锐角，且snC=V-cos2c=-第-是=婴 2万 14 (2)由于cos∠CAD=号>0，所以∠CAD为锐角， 且sin∠CAD=V-COS%4CAD=V-希=9. 所以sinADC=sin(∠CAD+C)=sin∠CADcosC+cos∠CADsinC -9×+×--。 AC CD 在三角形ACD中，由正弦定理得n2c=n2D, 2CD=号 所uSa0c=×AcxcDxshc-=号x行x号×号=9 目目 考点06 周长面积范围问题 一、单选题 1.A 二、解答题 2.【详解】(1)6cosC-asinC=V5b,a=2V5, 所以y3 acosC-asinC=V3b, 8/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由正弦定理得V5 sinAcosC-sinAsinC=V5sinB=V5sim(A+C, 3 sinAcosC-sinAsinC=3 sinAcosC+3 sin CcosA. 得-sinAsinC=V3 sinCcosA,又sinC>0, 所以-sinA=V5cosA,即tanA=-5,又0<A<T, 所以A=牙： (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA 即b2+c2+bc=12,而b≥0，c≥0， :12=b2+c2+bc≥3bc,即bc≤4， SAABG=-bcsinA=bc≤5当且仅当b=c=2取等号 此时∠ABC=∠C=若，则∠ABD=,∠ADB=罩， 在△ABD中，由正弦定理得m品丽=品， 即品=器，解得BD=6 3.【详解】(1)由a=（-1,25),6=(sin2x-cosx,sinxcosx), 则函数f(x)=a.i=cos2x-sin2x+2V3 sinxcosx=V3sin2x+cos2x=-2sin(2x+晋)； (2)由(1)得f(x)=2sin(2x+), 则f(帝+)=2sn(a+等)=-25， 即sin(c+)=-号， 又ξ<<π，所以ξ<a+号<誓， 所以cos(a+5)=-5, 则sina=sin((a+号)-)=sin(a+号)cos号-cos(ax+号)sin背 =-厚-（-9)9-5， 9115 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)由(1)f(B)=2sin(2B+若)=1，即sin(2B+)=克， 又Be(0,),2B+晋Ee(晋，)， 所以2B+晋=，即B=晋， 又在△ABC中，由正弦定理可知品=品=益， a =2sinA,b=2sinC=2sin(A+B)=sinA+3 cosA, 则三角形△ABC的周长为a+b+c=3sinA+V3cosA+V3=2V3sim(A+)+V3, 【0<A< 又{0<π-号-A<号，即若<A<登， 所以号<A+晋<牙， 则sin(A+)∈(9,1]， 即a+b+c=23sim(A+)+3e(3+V3,33], 即△ABC周长的取值范围为(3+V5,3V5] 4.【详解】(1)因为a=(sinωx,COSwX),i=(coswx3 COSWX),w>0, 则a·b=(sinwx,COSwX)·(COSwX,V3 COSWX) sin wxcoswx+3 cos2wx=sin2wx+ C+g四-sin2ax+号cos2wx+号 2 =sim(2wx+)+9, 故f(x)=言-弓-9=sin(2wx+写)： 因为f(x)的最小正周期为r,所以T=惡=元，所以ω=1，故f(x)=sin(2x+号). 由2kT+罗≤2x+号≤2kT+要，k∈Z,解得kπ+≤x≤kT+,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为[kT+亞，kπ+变]，keZ 2)由1)知f(号)=sin(A+)= 又AE(0,晋)，则<A+号<钙，所以A+号=罗，得A=号. 10/15 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 0<B<罗 0<B< 又△ABC为锐角三角形，所以0<π-A-B<号，即0<等-B<吾，解得号<B<号. 由正弦定理品=品=益c可得b+c=品(sinB+sinC) =品sn8+sn(等-B)】=(sm8+号cas8+snB)-2V5smg+2cos8 =4sin(B+晋)， 又君<B<受，所以肾<B+晋<等，所以9<sin(8+)≤1， 所以b+c∈(2V3,4],故2+2W3<a+b+c≤6， 所以△ABC周长的取值范围为(2+2W3,6]。 5.【详解】(1)在△ABC中，由acosC+V3 asinC-b-c=0及正弦定理得 sinAcosC+3 sinAsinC-sinC=sinB, sinAcosC+3 sinAsinC-sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 整理得V3 sinAsinC=cosAsinC+sinC,而sinC>0,则V3sinA=1+cosA, 于是(1+cosA)2=3sin2A=3(1-cos2A),整理得2cos2A+cosA-1=0, 即(2cosA-1)(cosA+1)=0,而0<A<π，解得cosA=, 所以A=胃 (2)(①由余弦定理得3=a2=b2+c2-2bcc0sA=(b+c2-3bc≥(b+c2-3(空)=b+c)月， 当且仅当b=c=V5时取等号，因此b+c≤2W5,而b+c>a=5, 则V5<b+c≤2W3,所以25<a+b+c≤3V3, 所以△ABC周长的取值范围是(2V3,3V3] (i)由(i)知3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c=3时取等号， 所以bc≤3， 因此SMABG=bcsinA=9bcs3辈 所以△ABC面积的最大值为39 11/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.【详解】(1)利用余弦定理化简(b2+c2-P)sin8cosB=号bcos(B+C),得 2bccosAsin BcosB bccos(B+C). 在斜△ABC中，得cos(B+C)=-cosA,cosA≠0， 故上式可化为2 bccosAsin BcosB=- bccosA. :bc≠0，可得2 2imB09B=-9,利用二倍角公式可得5in2B=-号 :B<平，0<2B<要，即2B=誓，B= (2):E为边AC的中点，根据向量的平行四边形法则，得B它=号(BA+BC),两边同时平方得， |=(BA2+2BA元+d2), :8E=号，b=5,得特=(c2+2acc0s8+a2), 由(1)可知B=牙，即3=(c2-2ac+a2),c2-ac十a2=2, 由余弦定理得c0sB=。→c0s号=器→-支=2器3，解得ac=方， :△ABC的面积为5 acsin B=支×专×与=写 BC AC (3):b=V5,·在△ABC中，由正弦定理可得，=Bc= 5=2,即BC=2sin9 在△ADC中，由正弦定理可得，品=品c-日 CD =2,即CD=2sin6, :四边形ABCD的内角和为2T,且∠ABC+∠ADC=T,∠BCD=T-26, 在△BCD中，由余弦定理可得，BD2=BC2+CD2-2BC×CD×coS∠BCD =4sin28+4sin28-2×2sin6×2sin6×cos(π-26) =8sin20(1+cos26)=8sin20(1+2cos20-1)=8sin26×2cos20=16sin29cos20, 即BC=4sin6cos6, f(0)=BC+CD+BD 2sin0+2sine+4sinecose=4sine+4sinecos0, f() ·sim0 =4n4n8co盟=4+4cos日，在△ABC中，0<6<背，∴克<c0s0<1, sine 6<4+40s0<8,故盟的取值范围为(6,8) 7.【详解】(1)因为器-号，由正弦定理可得器-盖， cosB cosB 12/15 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 又sinA>0,所以点=高，则an8=器-9，又B∈(0，T),所以B=舌： 因为2=6+bc,由余弦定理可得c0sA=2=装=尝， 即c-b=2 bcosA,由正弦定理可得sinC-sinB=2 sinBcosA, 所以sin(A+B)-sinB=2 sinBcosA, sinAcosB+cosAsinB-sinB 2sin BcosA, 所以sinAcosB-sinB=sinBcosA, 即sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A-B)=sinB=支，即sin(A-晋)=克， 又AE(0,),所以A-晋E(-晋，)，所以A-晋=晋，则A=背： (2)①由(1)可知C=, 因为b=2,由正弦定理品=品=品=圣=4，所以c=4sinC=4,a=4sinA=25, 在△ACM中，由余弦定理可得CM2=AC2+AM2-2AC·AM·cOsA =22+12-2×2×1×寺=3，则CM=V3, 因为AC2=AM2+CM2,所以CM⊥AM, ZMCN=音，MN=CMan装=V5x号=1， CN=2MN=2,÷△MNC的周长为1+2+5=3+5 ②设∠ACM=6(0<6<号)， 在△CAN中，∠ANC=π-(+晋+6)=号-6， 由正孩定理器==品，有CN=品 又在△ACM中，由正弦定理可得器=n+,得CM=? 所以SANNG=-CM.CN:sin唔=4Gcs雨 3 3 =4sn9cos号+cos9sin号)cos日 2m8c0s0+2W3c0s28 3 2g++2i284号+5， 所以当且仅当26+青=季，印8=最时，△MNC的面积取最小值为2行=3(2-5) 13/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.【详解】(1)V5 bsinC-ccosB=c, 由正弦定理得：V3 sinBsinC-sinCcosB=sinC, 因为0<C<元sinC>0,所以V3simB-cosB=1, 所以si(B-君)=，因为0<B<π，所以B-晋=晋，解得B=晋， 因为Bi=(BA+BC),所以4=(BA+2BA.BC+BC), 16=c2+2a.ccosB+a2=c2+a.c+a2, 又因为c2+a2=10,所以a·c=6, 在△ABC中，由余弦定理可得： b2=a2+c2-2 a.ccosB=a2+c2-a·c=10-6=4, 所以b=2,即AC=2; (2)由题收S=支acsiB=号c=号品si血C= V3sinc sinA -5_-+ sinA 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<A<号，0<C=弯-A<5,从而陪<A<, 可得anA>厚，所以0<点<9， 则面织的取值花围是(9,25)】 目目 考点07 解三角形实际应用 一、单选题 1.A. 2.A 3.D 二、多选题 4.ABD 14/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15/15 专题02 三角函数与解三角形 07大高频考点概览 考点01三角函数 考点02正弦定理/余弦定理 考点03三角形形状与解的个数问题 考点04中线类/角平分线问题 考点05周长/面积问题 考点06周长面积范围问题 考点07解三角形实际应用 地 城 考点01 三角函数 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据两角和的正切公式得出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】由诱导公式，三角函数图象平移变换可得答案. 【详解】，又， 则将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：B 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由终边过点，可得，再利用二倍角公式化解，再根据齐次式可解. 【详解】根据三角函数定义，可得， 则． 故选：D. 二、解答题 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知函数，. (1)求的最小正周期及的值； (2)设函数，求的零点和单调递增区间. 【答案】(1)最小正周期为， (2)零点为，单调增区间为 【分析】（1）根据正弦函数的性质得出最小正周期，由求出； （2）把化简成，再根据正弦函数的性质得出零点和单调区间. 【详解】（1）因为，，所以，最小正周期为. （2）由（1）可知：，所以 ， 令， 令， 所以的零点为，单调增区间为. 5．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)，； (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）由“五点法”，结合图象分别求出即可求解； （2）利用整体代换法计算即可求解； （3）结合正弦函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）由图象知，，，即． 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以； （2）令，， 解得， 故函数的单调递增区间为，； （3）因为，所以， 当时，即时，取最大值，最大值为， 当时，即时，取最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为． 地 城 考点02 正弦定理/余弦定理 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 又因为， 所以或. 故选：C. 2．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，利用余弦定理求得，再由同角的三角函数关系式求出. 【详解】已知，，的周长为9，则， 则， 又，则. 故选：C. 3．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系，再通过余弦定理建立关于的等式，从而求解的值. 【详解】因为，所以. 根据正弦定理可得，所以. 因为，所以根据余弦定理，可得：， 化简可得，所以. 因为为的边，，所以. 故选：D. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 6．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算. 【详解】，∴，∴， ∴ ， 所以， 故选：A． 7．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形，已知，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求解，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】因为用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形， 所以，，，且设， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 因为，所以是等边三角形，故， 可得， 由正弦定理得，解得， 设，由余弦定理得，解得（负根舍去），故A正确. 故选：A 二、填空题 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)在中，，则外接圆的半径为__________． 【答案】2 【分析】正弦定理的直接求解. 【详解】因为，可得， 由正弦定理得外接圆的半径． 故答案为：2. 地 城 考点03 三角形形状与解的个数问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 2．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 3．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)在中，已知，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状. 【详解】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以 , 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)（多选）已知的内角的对边分别为，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若的面积，则 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理结合余弦定理判断A，根据角的范围计算判断三角形形状判断B，应用正弦单调性判断C，应用面积公式结合余弦定理结合角的范围判断D. 【详解】对于A：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，A错误； 对于B：由得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，又因为在单调递增，所以，C正确； D选项，因为面积，即，所以， 即，因为，所以，故D正确， 故选：BCD． 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．已知，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】CD 【分析】对于A，由正弦定理求得的外接圆的半径即可验算；对于B，由余弦定理验算即可；对于C，由正弦定理、余弦定理得为钝角即可判断；对于D，由锐角三角形性质得，结合正弦函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则的外接圆的半径为，的外接圆的面积为，故A错误； 对于B，已知，则， 即，所以， 则，故B错误； 对于C，若，则，所以， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则， 所以，则，故D正确. 故选：CD. 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)（多选）在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则是等边三角形 C．若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D．若是锐角三角形，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】由可得. 对于A，由余弦定理可得；对于B，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由正弦定理可得，R为外接圆半径，然后积化和差公式可得，据此可得外接圆半径最小值；对于D，由正弦定理边角互化可得，然后由是锐角三角形可得 ，据此可得取值范围. 【详解】由，可得 ，则由正弦定理边角互化可得， 对于A，由余弦定理可得，又，则，故A错误； 对于B，因，则，，则，结合，可得是等边三角形，故B正确； 对于C，因的面积为，结合，则. 由正弦定理，，R为外接圆半径，则， 对于，由积化和差公式，，当且仅当时取等号，则，故C错误； 对于D，由正弦定理边角互化可得： ， 因是锐角三角形，则，则， ，则，故D正确. 故选：BD 7．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，有大边对大角结合余弦函数单调性判断即可；对于B，由余弦定理化简得即可判断；对于C，由正弦定理化简得，故只需求得的范围并验算即可；对于D，由正弦定理判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，所以，则为等腰三角形，故B正确； 对于C，， 因为， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以，而， 所以， 由题意直线和的图象有两个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角函数的单调性判断选项的正确性. 【详解】因为，所以， 根据正弦定理可知因为，则. 根据大边对大角小边对小角可知，，所以A正确； 对于选项B： 因为是锐角三角形，则，，即. 又因为在上单调递增，所以，所以B正确； 对于选项C： 根据正弦定理，解得， 所以值不存在，所以满足这组条件的三角形有0个，所以C错误； 对于选项D： 根据正弦定理可得，， 所以根据余弦定理，又， 所以，即是钝角三角形，故D正确. 故选：ABD. 地 城 考点04 中线类/角平分线问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长. 【详解】为边上的中线，， 即，即， 即，. 因为，， ， ， 为平分线，，故， 又，所以， 即，解得， 故选：D 二、多选题 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 【答案】BC 【分析】利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断. 【详解】对于A：由和正弦定理，可得 移项得，即 因，则，代入上式，得， 因，则，故， 又因为，则，故A错误； 对于B：由正弦定理，，即三角形的外接圆半径为故B正确； 对于C：由余弦定理得，， 因为，所以，， 又因为，则， 可知三角形的面积为，故C正确； 对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等号， 因为边上的中线，则有， 两边取平方，可得， 则，当且仅当时的最大值为 ，故D错误． 故选：BC. 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解. （2）利用三角形面积公式列式求解即得. （3）利用余弦定理及面积公式列式求出，即可求得周长. 【详解】（1）在中，由及由正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）由（1）知，由为的角平分线，得， 即，而，， 所以. （3）由（1）知，由，得， 又，由余弦定理，得， 即，解得， 所以的周长为. 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)在中，角所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的面积为，且，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求； （2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为. 【详解】（1）由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以. （2）由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证； （2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 而，， 从而， 所以或（舍去）， 所以； （2）（i）因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围为； （ii）由已知，， 而， 从而， 由正弦定理有， 所以 ， ， 所以， 设， 所以，所以， 由对勾函数性质可知，在上递增， 所以， 所以，所以的取值范围是. 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)在中，角，，的对边分别为，，，已知且. (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）由，两边平方，再结合即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）点为的中点，则， ， 因为，由（1）可知，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，求出，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 故，又，故， 故，即的取值范围为. 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得出结论； （2）根据题意可知，再结合余弦定理计算可得，，代入计算可得，再利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 即，可得， 所以是等腰三角形； （2）因为点D满足，所以； 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又由（1）知， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 由（1）中可知为锐角，则，， 所以 ， 当且仅当，时取等号， 所以线段的最小值为. 地 城 考点05 周长/面积问题 一、解答题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角C； (2)若△的面积，且，求△的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得的值，进而求得角C的值； （2）依据题给条件得到关于的方程组，求得的值，进而求得△的周长． 【详解】（1）因为，由余弦定理，得到， 又，所以； （2）因为△的面积，且， 所以有， 联立，则， 所以△的周长为 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cosA，结合范围A∈（0，π），可求A． （2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得. 再由余弦定理得， 又因为 ，所以 ． （2）因为a=3，， 代入得, 解得 . 故△ABC的面积. 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且. (1)求； (2)若O为的内心，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理求出，然后利用余弦定理求出. （2）根据三角形面积和内心的性质求出内心到的距离，从而求出的面积. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得. 因为，所以， 所以，所以， 又，所以. 根据余弦定理， 所以. （2）因为是的内心，所以点到三边的距离相等，设为， 则， 所以，解得. 所以. 4．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点在边上，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． （2）在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由同角三角函数关系式由可得，由诱导公式和两角和差公式可得． （2）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积． （3）由两角差的余弦公式求得，由数量积的运算公式求解即可. 【详解】（1）∵为的内角，且，， ∴， ∴； （2）由（1）知， 又∵， ∴在中，由正弦定理，得． ∴的面积； （3）因为， 所以. 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知在中，，，． (1)求； (2)若为边上一点且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，然后依次求得和. （2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得的面积. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得， 所以， 则为锐角，且. （2）由于，所以为锐角， 且， 所以 ， 在三角形中，由正弦定理得， 所以.      地 城 考点06 周长面积范围问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知的内角所对的边为，其面积为，若且的外接圆半径为，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得 ，再由正弦定理可得 ，所以周长为，再由结合三角函数恒等变换公式和角的范围可求得答案 【详解】由题意可知，在中，因为， 因为，所以，所以， 则由余弦定理可得，，又，所以 ， 则， 在中，由正弦定理可得，， 则 ，所以周长 ， 因为，所以 ，所以， 则周长， 故选：A 二、解答题 2．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小； (2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由（1），根据余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面积公式知当且仅当时满足题意，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）， 所以， 由正弦定理得， 即， 得，又， 所以，即，又， 所以； （2）由余弦定理得 即，而， ，即， .当且仅当取等号 此时，则， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知，，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简即可； （2）结合同角三角函数关系式及两角差的正弦公式化简可得解； （3）根据函数解析式可得，再由正弦定理及三角函数性质可得取值范围. 【详解】（1）由，， 则函数； （2）由（1）得， 则， 即， 又，所以， 所以， 则 ； （3）由（1），即， 又，， 所以，即， 又在中，由正弦定理可知， 即，， 则三角形的周长为， 又，即， 所以， 则， 即， 即周长的取值范围为. 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知，，，函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求出的值，然后利用正弦型函数的单调性可求得函数的减区间； （2）由结合角的取值范围可得出角的值，由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，再利用正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为，，， 则 ， 故． 因为的最小正周期为，所以，所以，故． 由，，解得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）知． 又，则，所以，得． 又为锐角三角形，所以，即，解得． 由正弦定理可得 ， 又，所以，所以， 所以，故， 所以周长的取值范围为． 5．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，利用同角三角函数的关系式求解. （2）（i）（ii）由（1）的结论，利用余弦定理，借助基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即， 整理得，而，则， 于是，整理得， 即，而，解得， 所以. （2）（i）由余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，而， 则，所以， 所以周长的取值范围是. （ii）由（i）知，当且仅当时取等号， 所以， 因此， 所以面积的最大值为. 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)记斜的内角的对边分别为，已知，且． (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值； （2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案； （3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围. 【详解】（1）利用余弦定理化简，得， 在斜中，得，， 故上式可化为， ，可得，利用二倍角公式可得， ，，即，. （2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，， ，得， 由（1）可知，即，， 由余弦定理得，解得， 的面积为 （3），在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 四边形的内角和为，且，， 在中，由余弦定理可得， ， 即， ， ，在中,，， ，故的取值范围为. 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角和； (2)已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1)， (2)①；②当，的面积取最小值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； ②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； （2）①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 8．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知中，角的对边分别为，. (1)是边上的中线，，且，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正弦定理求出，对两边平方求出中，再由余弦定理可得答案； （2） ，根据为锐角三角形求出的范围，再由的范围可得答案. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，因为，所以，解得， 因为，所以， ， 又因为，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，即； （2）由题设 ， 因为为锐角三角形，所以 ，从而， 可得，所以， 则面积的取值范围是. 地 城 考点07 解三角形实际应用 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长． 【详解】，， ，，， ，； 中，由余弦定理得 ， ； 即两山顶A，C之间的距离为． 故选：A． 2．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，再结合角的关系求得，最后在直角中求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 在中，， 所以山高. 故选：A 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m 【答案】D 【详解】根据题意，结合在中，求得,再在中，由正弦定理，求得的长，最后在直角中，结合，即可求解. 【分析】由， 由题意知，所以， 在中，可得, 在中，由正弦定理得， 所以， 在直角中， 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)（多选）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 【答案】ABD 【分析】利用三角形相似即可求解判断AB，由判断C，分别求出即可判断D. 【详解】作出图形如图所示， 由题意可知，， 易知， 设，则， 化简得， 所以A,B正确， 因为，不变，所以若仅的测量值偏大（其它测量值准确）， 则计算出的建筑物高度值会增大，故C错误； 因为，所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $