专题03 复数（5大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 专题03复数试题汇编，覆盖复数四则运算、共轭复数/模长等5大高频考点，精选黑龙江多地高一下期末真题，题型多样，适配期末复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约15题|共轭复数/模长（8题）、实部虚部（6题）等|基础题为主，如复数象限判断| |多选题|5题|复数几何意义、方程根问题|综合考查概念辨析，如模长性质判断| |填空题|4题|纯虚数定义、模长最值|结合运算能力，如纯虚数参数求解| |解答题|2题|四则运算、方程根应用|分层设计，如复数方程实根求解|

专题03 复数 5大高频考点概览 考点01复数四则运算 考点02共轭复数/模长 考点03复数坐标/象限 考点04复数实部虚部纯虚数 考点05复数范围内方程根的问题/复数的几何意义 地 城 考点01 复数的四则运算 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知是虚数单位，则___________． 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)计算： (1)； (2)； (3)． 地 城 考点02 共轭复数/模长 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)已知，则（   ） A．5 B． C．25 D．4 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)设（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)复数的共轭复数为（   ） A． B．1 C． D． 5．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)已知复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨松雷中学校·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知，则（   ） A． B．1 C． D．2 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 9．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)复数满足：，则（   ） A． B．6 C． D． 10．(24-25高一下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知复数，则（   ） A． B．2 C． D．4 12．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．0 B． C． D．2 二、多选题 13．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则中至少有一个为0 C． D．若，则 地 城 考点03 复数坐标/象限 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(24-25高一下·黑龙江绥化肇东第四中学·期末)已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)若复数，则（    ） A． B．的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第四象限 地 城 考点04 复数实部虚部纯虚数 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)设复数的共轭复数为，则的虚部为（   ） A．4 B．5 C． D．3 2．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知复数，则的实部与虚部的差为（    ） A． B．1 C． D． 3．(24-25高一下·黑龙江绥化肇东第四中学·期末)若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)若复数满足，则的虚部是（    ）． A． B． C． D． 5．(24-25高一下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)若复数z满足(1－i)z＝3－2i，则z的虚部为（    ） A．－ B．－i C． D． 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知复数z满足，以下说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 三、填空题 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知复数z为纯虚数，满足，则__________. 9．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知复数，且为纯虚数，其中是虚数单位，则_______ 地 城 考点05 复数范围内方程根的问题/复数的几何意义 一、多选题 1．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C．在复平面上对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 2．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 3．(24-25高一下·黑龙江绥化肇东第四中学·期末)已知复数：， ，则下列说法正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．设，复数z满足，则的最大值为 D．复数对应的点不可能在第一、三象限的角平分线上 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知，，，则的最大值为______. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知复数，满足，（i是虚数单位），则的最小值是_____. 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是_________． 7．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知，，则的取值范围为______. 三、解答题 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 专题03 复数 目目 考点01 复数的四则运算 一、 单选题 1.A 二、填空题 2.0 三、解答题 3.【详解】(1)原式=1-2+2+(3+1-3)i=1+i. (2)(4-16+2i)-(7-i(4+31) =24+8i-6i-2i2-(28+21i-4 =26+2i-(31+171 =-5-15i 3)共= (7+i以3-41 =21-28i+31-41 9升16 =2525=1-i. 25 目目 考点02 共轭复数/模长 一、单选题 1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B. 1/3 让教与学更高效 1-3的 命学科网 11.D 12.B 二、多选题 13.AD 14.BC 15.BCD 目目 考点03 一、单选题 1.C. 2.A 3.A 二、多选题 4.AC 目目 考点04 一、单选题 1.D. 2.A 3.D 4.c 5.c 6.D 二、多选题 7.BD 三、填空题 8.tV2 9.月 目目 考点05 一、多选题 www.zxxk.com 让教与学更高效 复数坐标/象限 复数实部虚部纯虚数 复数范围内方程根的问题/复数的几何意义 2/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.BD 2.BCD 3.AC 二、填空题 4.7 5.3-2 6.1. 7.[5-1,5+1] 三、解答题 8.【详解】(1)复数z=1-2i(1为虚数单位)，z·20=2z+2o, ÷2(z-1)=2z,“20=A=22=2+i 复数2o的共轭复数Z0=2一1； |zl=22+12=5 (2):z=1-2i是关于x的方程x2-mx十5=0的一个虚根， :(1-2i-(1-2i)m+5=0,整理得：2-m+(2m-4)i=0, 则2-m=0,且2m-4=0, 解得：m=2 313 专题03 复数 5大高频考点概览 考点01复数四则运算 考点02共轭复数/模长 考点03复数坐标/象限 考点04复数实部虚部纯虚数 考点05复数范围内方程根的问题/复数的几何意义 地 城 考点01 复数的四则运算 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A 二、填空题 2．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知是虚数单位，则___________． 【答案】0 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【详解】（1）原式． （2） =. （3） ． 地 城 考点02 共轭复数/模长 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】共轭复数的概念. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：B. 2．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)已知，则（   ） A．5 B． C．25 D．4 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则求出复数，再利用复数的模的公式即可求解. 【详解】，， . 故选：A. 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)设（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等式求出复数，然后根据共轭复数的概念求出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)复数的共轭复数为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念直接求解即可. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：C 5．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)已知复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模公式求解. 【详解】由题，， 所以. 故选：C. 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨松雷中学校·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算表示，结合复数的模长公式可得结果. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：A. 7．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用复数的运算性质得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意得， 由复数的模长公式得，故C正确. 故选：C 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算先求复数，最后求复数的模即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 9．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)复数满足：，则（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先利用复数的除法运算求出复数，再写出它的共轭复数进行加法运算找到实部虚部再计数模即可. 【详解】， ，，. 故选：C. 10．(24-25高一下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的运算结合共轭复数的概念可得. 【详解】由题意可得，所以. 故选：B. 11．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知复数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算法则求出，进而求出共轭复数，再求解. 【详解】 ，则 . 所以 . 故选：D 12．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先运用除法运算进行化简，再结合共轭复数概念,减法计算即可. 【详解】，则， 故选：B. 二、多选题 13．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由共轭复数的定义及复数的性质及乘法运算判断各项的正误即可. 【详解】由题设，则，A对； 由，，而复数不能比较大小，B错； 由，C错； 由，D对. 故选：AD 14．(24-25高一下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 15．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则中至少有一个为0 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例即可求解A，根据模长的性质即可求解BC，根据模长公式，即可求解D. 【详解】对于A,若，满足，但，故A错误， 对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确， 对于C，，C正确， 对于D，设，,故，故，，故D正确， 故选：BCD 地 城 考点03 复数坐标/象限 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 2．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数模的定义及复数除法求出即可. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A 3．(24-25高一下·黑龙江绥化肇东第四中学·期末)已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先化简复数，即可得到共轭复数，从而求出在复平面内对应的点，进而得到答案． 【详解】因为， 所以，则在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)若复数，则（    ） A． B．的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【分析】先对两个复数进行化简，再利用公式计算其模长，最后根据共轭复数的定义和复数对应点在复平面的位置即可得到答案. 【详解】对于选项，由题意得，，则，故正确． 对于选项，的实部与虚部之和为，的实部与虚部之和为，故错误． 对于选项，根据共轭复数的定义可得，的共轭复数为，故正确. 对于选项，在复平面内对应的点位于第二象限，故错误． 故选：. 地 城 考点04 复数实部虚部纯虚数 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)设复数的共轭复数为，则的虚部为（   ） A．4 B．5 C． D．3 【答案】D 【分析】由共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由可得，则的虚部为3， 故选：D． 2．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知复数，则的实部与虚部的差为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算得出复数的实部及虚部即可求解. 【详解】化简复数，得到．所以复数z的实部为，虚部为． 则的实部与虚部的差为． 故选：A. 3．(24-25高一下·黑龙江绥化肇东第四中学·期末)若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】．所以的虚部为， 故选：D． 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)若复数满足，则的虚部是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法法则计算后，再根据复数的定义确定． 【详解】∵， ∴，虚部为． 故选：C． 5．(24-25高一下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)若复数z满足(1－i)z＝3－2i，则z的虚部为（    ） A．－ B．－i C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法法则计算求得后可得． 【详解】由已知，虚部为． 故选：C． 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知，解得，故，其虚部为， 故选：D. 二、多选题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知复数z满足，以下说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【答案】BD 【分析】由复数的虚部概念判断A；利用复数代数形式的乘除运算判断B；由复数的几何意义判断C；利用复数模的公式判断D 【详解】由，得， 复数z的虚部是，故A错误；B正确， 在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故C错误； ，故D正确． 故选：BD 三、填空题 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知复数z为纯虚数，满足，则__________. 【答案】 【分析】设，，根据模长得到，求出答案. 【详解】设，，因为，所以，故. 故答案为： 9．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知复数，且为纯虚数，其中是虚数单位，则_______ 【答案】 【分析】根据为纯虚数列方程来求得. 【详解】依题意，为纯虚数， 所以，解得. 故答案为： 地 城 考点05 复数范围内方程根的问题/复数的几何意义 一、多选题 1．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C．在复平面上对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 【答案】BD 【分析】A选项，结合复数代数形式的乘除法运算，即可求解；B选项，由复数模的公式可得；C选项，结合复数的几何意义即可；对于D，将，代入到二次方程中，即可判断． 【详解】因为，所以， 故，故A 错误，B正确； 复平面内表示复数的点，位于第一象限，故C错误； 因为，所以， 复数是方程的一个根，故D正确． 故选：BD 2．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【分析】根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中表示复数对应的点在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有；选项B涉及复数的平方，若，则必须是正实数，进一步判断选项正误；选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积. 【详解】选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数， 如，满足，但，故A错； 选项B：设（），则. 若，则必为正实数，需满足：， 若，由，此时，矛盾. 故，即，故B对； 选项C：把代入方程， 则 即等式成立，故是方程的根，故C对. 选项D：复数满足， 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）. 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对. 故选：BCD. 3．(24-25高一下·黑龙江绥化肇东第四中学·期末)已知复数：， ，则下列说法正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．设，复数z满足，则的最大值为 D．复数对应的点不可能在第一、三象限的角平分线上 【答案】AC 【分析】利用复数的概念、复数的四则运算计算判断AB；利用复数的几何意义分析判断CD作答. 【详解】复数， ， 对于A，，由为纯虚数，得，A正确； 对于B，，而，因此不能为实数，B错误； 对于C，，，令复数在复平面内所对点分别为，则， 令坐标原点为，有， 而，解得，当且仅当点在线段上时取等号， 所以的最大值为，C正确；      对于D，，当时，对应的点在第一、三象限的角平分线上，D错误. 故选：AC 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知，，，则的最大值为______. 【答案】7 【分析】由复数的模、几何意义将转换为关于的三角函数即可求解. 【详解】因为，所以设， 而，从而 ， 其中，等号成立当且仅当， 所以的最大值为7. 故答案为：7. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知复数，满足，（i是虚数单位），则的最小值是_____. 【答案】 【分析】首先求出，可得在复平面上对应的点的轨迹，根据复数的几何意义可得的最小值. 【详解】因为，两边取模得：， 已知，则， 因此，在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆， 而表示点到点的距离， 问题转化为：圆心在原点、半径为的圆上的点到点的距离的最小值， 即. 故答案为：. 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是_________． 【答案】1 【分析】首先确定复数对应点的轨迹，然后根据点到直线的距离求出最小值. 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故答案为：1. 7．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解. 【详解】∵， ∴， 即的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2） 是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $