精品解析：四川省资中县第二中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

资中二中高2028届第二学期5月月考 数学试卷 本试卷共2页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题作答时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效． 5．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为. 2. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式， 且，得， 根据正弦和角公式. 4. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，，所以. 5. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 6. 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】方法一： 已知是锐角，固定角、边，画： 把角固定，一边固定射线，另一边为线段且. 过点向作高， ，这是点到直线的最短距离， 边是的长， ：以为圆心、为半径画圆， 和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为 ， 计算 ， 所以 的取值范围为 . 方法二： 已知，，由余弦定理：， 代入得，整理为：， 有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为，满足：， 解得: . 两根之和：，恒成立， 两根之积： ⇒ ⇒ ， 综上所述，的取值范围：. 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内所对应的点位于第二象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】化简复数 选项A：的虚部为，不是，A错误； 选项B：复数的共轭复数为，的共轭复数为，B正确； 选项C：对应复平面内的点为，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，C正确； 选项D：先求， ， ， ，D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若的标准差为2，则的标准差为4 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数和方差计算公式分析A，由百分位数计算公式分析B，由方差与标准差的性质分析C，由分层抽样方法分析D，综合可得答案． 【详解】对于A，数据的平均数为4，则有，解可得， 则这组数据的方差，故A错误； 对于B，将数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，由于， 则数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23，故B正确； 对于C，若样本的标准差为2，则方差为4， 则的方差为，则的标准差为4，故C正确； 对于D，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人， 则抽取的比例为，高二年级应抽取人，故从高三年级学生中抽取的人数为人，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，在中，M为BC边上的动点，N为AC边上的动点，线段AM、BN相交于点P．则下面说法正确的是（ ） A. 若M、N分别为BC与AC中点，则 B. 若点O是平面内任意一点，且满足，．则点P的轨迹一定过三角形的内心． C. 若，，则实数的值为． D. 若，，M为BC中点，则的最大值为． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得为的重心，根据重心的性质求解后即可判断；对于B，由题意可得点在的平分线上，即可判断；对于C，由向量的线性运算，即可判断；对于D，由向量的线性运算、余弦定理及基本不等式，即可判断. 【详解】对于A，当M、N分别为BC与AC中点时， 则为的重心， 则, 同理可得, 所以，故A正确； 对于B，因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以表示的向量在的平分线上， 又因为，． 所以， 即． 所以点在的平分线上， 所以点P的轨迹一定过三角形的内心，故B正确； 对于C，因为三点共线， 所以存在实数，使得， 又因为， 所以， 又因为， 所以，解得，故C错误； 对于D，由题意可得, 所以， 由余弦定理可得， 所以， 又因为，当且仅当时，等号成立， 即， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最大值为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知且，则向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为 14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由利用面积公式和数量积可得，由利用正弦定理结合三角恒等变换可得，由可得，由三点共线的可得，设，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解. 【详解】设角所对的边分别为， 因为，则，可得， 且，所以， 因为，即，可得， 由正弦定理可得， 又因为 且， 可得 ， 则， 因为，则，可得， 且，则，可得，可得， 则，可知为等腰直角三角形， 由，可得， 因为， 且为线段上一点，则，且， 设， 则， 且， 可得，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，且为非零向量，故存在实数，使得，故， 故，故，故，故. 【小问2详解】 因为，故， 而，故，故，故， 故. 16. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【答案】（1） （2）众数为，平均数为，中位数为. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解即可； （2）根据众数、平均数、中位数的定义，结合频率直方图计算可得. 【小问1详解】 由频率直方图可得，解得. 【小问2详解】 由图可知，第三组的矩形最高，所以众数为； 平均数， 因为前2组的频率之和， 前3组的频率之和， 所以中位数位于区间内，则中位数为. 17. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，； ①求的面积； ②已知为角A的角平分线，求线段的长． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式化简即可求解； （2）①利用余弦定理结合已知求出，然后可得面积；②根据求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理和得， 整理得， 因为，所以，所以，所以. 【小问2详解】 ①因为，，， 所以， 解得，所以； ②由题可知， 即，即， 又，所以. 18. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及函数单调递增区间； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围； （3）将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题干图象结合正弦函数的最值、周期可得函数解析式，由正弦函数的单调递增区间可得函数的单调递增区间； （2）求出，化简得出，结合三角函数的值域求出. （3）由图象的平移可得函数的解析式，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由图象可得，，所以， 所以，又， 所以，又，所以， 故. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意得，则， 因为为锐角三角形，所以，则， 则，得， 则， 由，得，则， 则， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可得， 因为对于任意的，都有成立， 即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得， 故实数m的取值范围为. 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用仿射坐标系等价于直角坐标系的性质，直接对向量进行坐标线性运算求出对应坐标，再由向量模长公式直接算出模的值. （2）先在直角坐标系下写出基底的坐标表示，再依据仿射坐标系向量分解规则把向量转化为直角坐标形式，接着利用向量夹角余弦公式列出等式，化简方程后求解cos并结合题意舍去不合理解，最终求出夹角的值. （3）先在给定基底夹角的直角坐标系中写出两个基底的坐标，用参数表示的坐标，借助余弦定理由得到的约束等式，再利用中点向量公式表示出，展开数量积并化简为含的表达式，接着在三角形中用正弦定理把转化为角的三角函数，通过降幂公式化简，再用辅助角公式整理成正弦型函数，结合的范围求出最大值，最后代回数量积式子算出最大值. 【小问1详解】 仿射坐标系即为直角坐标系，所以， 所以 ； 【小问2详解】 在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 整理得. 解得（舍去）或，所以； 【小问3详解】 在直角坐标系中，，， 设，，，，，即， ， 则，所以， ，分别为，的中点， 则， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， . 其中为锐角，且， 因为，则 ， 故当时，取得最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资中二中高2028届第二学期5月月考 数学试卷 本试卷共2页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题作答时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效． 5．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内所对应的点位于第二象限 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若的标准差为2，则的标准差为4 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 11. 如图，在中，M为BC边上的动点，N为AC边上的动点，线段AM、BN相交于点P．则下面说法正确的是（ ） A. 若M、N分别为BC与AC中点，则 B. 若点O是平面内任意一点，且满足，．则点P的轨迹一定过三角形的内心． C. 若，，则实数的值为． D. 若，，M为BC中点，则的最大值为． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________. 13. 已知且，则向量在向量上的投影向量为_______. 14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 16. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 17. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，； ①求的面积； ②已知为角A的角平分线，求线段的长． 18. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及函数单调递增区间； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围； （3）将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $