上海市吴淞中学2025-2026学年高二下学期中考试数学试卷

**基本信息** 高中数学期中试卷以梯度化问题设计和真实情境创设为特色，综合考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/60|函数单调性、立体几何体积计算、概率统计应用|结合新能源汽车续航数据考查数据意识，分层设问体现从基础运算到逻辑推理的思维进阶|

2026年吴淞中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分） 1． 2．2 3． 4． 5． 6． 7．0.8 8． 9． 10．0.2 11． 12． 二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分） 13．D 14．C 15．A 16．C 二、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17．【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得，， 则，所以数列的通项公式为，． （2）解：由（1）知：，可得， 则，且， 所以数列是以4为首项，公比为16的等比数列， 所以． 18．【解析】（1）因为平面，平面，所以， 因为，分别为棱，的中点，所以，且，所以， 又，，平面，所以平面，又平面，则， 又，易得，，则，所以， 又，，平面，所以平面． （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则，，，，，， 则，由（1）知平面的一个法向量为， 又，，易得平面的法向量为， ，设平面与平面的夹角为， 则，又，所以， 则平面与平面的所成锐角的大小． 19．【解析】（1） （2）根据全概率公式知第二次摸到白球的概率为． （3）的取值为0，1，2， 则， ， ， 则的分布为， 期望． 20．【解析】（1）实轴长，离心率 （2），直线的方程为， 由消去得， 则， 的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小， 平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小， 设切线方程为，由消去得， ，解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此， 因此点到直线的距离， 所以求的面积的最小值为． （3）证明：由知，设，的坐标分别为，． 当直线的斜率为时，，，则，， 当时，，解得，则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， 由，知 解得或， 当时，直线过点，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线过定点． 21．【解析】（1）因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”． （2）因为，， 则，， 因为函数是函数的“-控制函数”， 所以对任意的，，则， 令， 则， 且， 故当时，，当时，， 即在上严格减，在上严格增， 所以，所以， 若函数是函数的“-控制函数”， 则实数的取值范围是． （3）充分性：若存在常数使得恒成立， ，， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，， 因，， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，，则 ， 则为偶函数，又是偶函数，则，， 当时，，，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年吴淞中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分） 1．已知集合，，则________． 2．1和3的等差中项是________． 3．不等式的解为________． 4．双曲线的渐近线方程是________． 5．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为________． 6．已知，则的最小值为________． 7．设随机变量服从正态分布，若，则________． 8．若的二项展开式中，第5项为常数项，则________． 9．已知函数，则曲线在点处的切线方程为________． 10．已知、为互斥事件，且，，则． 11．已知i为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为________． 12．已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且．设点是球面上异于A、B、P的动点，若点满足，则点运动所形成的曲线周长为________． 二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分） 13．已知，，，则向量与向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 14．设，．下列各项中，能推出的一项是（ ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 15．已知点，，点在曲线：上，则的面积（ ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 16．若有穷整数数列：，，…，满足：，且，则称具有性质．则正确的是（ ） A．存在具有性质的 B．不存在具有性质的 C．若具有性质，则，，…，中至少有两项相同 D．对于任意正整数，对任意具有性质的，有，，…，中任意两项均不相同 二、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17．记等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18．如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小． 19．有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球． （1）若从罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率； （2）若从罐不放回地摸2个球，求第二次摸到白球的概率； （3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和期望． 20．已知双曲线：的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； （1）求双曲线的实轴长与离心率； （2）求面积的最小值； （3）设直线与双曲线交于，两点，且．证明：直线过定点； 21．若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“-控制函数”．（已知和定义域均为）． （1）证明：函数是函数的“1-控制函数”； （2）若函数是函数的“-控制函数”，求的取值范围； （3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“-控制函数”，当时，求证“”的充要条件是“为常值函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $