上海市吴淞中学2025-2026学年高二下学期中考试数学试卷

**基本信息** 高中数学期中试卷以梯度化问题设计和真实情境创设为特色，综合考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/60|函数单调性、立体几何体积计算、概率统计应用|结合新能源汽车续航数据考查数据意识，分层设问体现从基础运算到逻辑推理的思维进阶|

2026年吴淞中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分） 1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={2,3,6,8},则A∩B= 【解析】{2,3} 2.1和3的等差中项是 【解析】2 3.不等式文<0的解为 x-1 【解析】(0,1) 4双曲线女-少=1的渐近线方程是 916 4 【解析】y=±一x 5.已知圆锥的高为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为 【解析】15π 6.已知lga+lg2b=1,则a+b的最小值为 【解析】2√5 7.设随机变量X服从正态分布N(2,o2),若P(X≤1)=0.2，则P(X<3)= 【解析】0.8 8.若x+二 的二项展开式屮，第5项为常数项，则n= 【解析】n=8, 9.己知函数f(x)=è3x,则曲线y=f(x)在点(0，f(o)处的切线方程为」 【解析】y=3x+1 10.己知A、B为互斥事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.2,则P(A∩B)= 【解析】0.2 11.己知i为虚数单位，若复数，和复数22满足，-1-≤1，z2=zi,名，-2的最大值为 【解析】√2+2 12.已知球O的半径为2，AB是球O的一条直径，点P是球面上一个定点，且PB=2.改点Q是球面上异 于A、B、P的动点，若点Q满足(P四+PB(PA+PB)=2P☑，则点Q运动所形成的曲线周长为一· 【解析】2V3π 以O为同心，OB所在白线为X轴，以△PAB所在平面为x0z平面，建立如图所示的空间白角坐标系， 则0(00,0，A(-2,0☑，B(20,O☑，P(1,03 PB=(1,0,-√5)，PA=(-3,0,-V5) 设点Q(x,y,z),则x2+y2+z2=4,PQ=(x-1,yz-V③， 所以PQ+PB-(x,y,z-W③， P+P8=(-20-2W③，P@=(x-)2+y2+(z-V③， 所以-2x-2W(z-2同=2L(x-)2+y+(2-V同月=2(x2+y+z2-2x-2+),整理得x+ √3z-2=0, 即点Q的轨迹为平而x+√z-2=0截球所得创的圆的圆周， 而球心0到平面x+√z-2=0的距离d=1 所以截而圆半径为r=VR2一d=V2必-严=3，其巾R为球0的半径， 所以点Q运动所形成的曲线周长为2πr=3m.枚芥案为：W3m. 二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分） 13.已知d=V2,=1,a6=-1,则向量ā与向量的夹角为( A.30°B.60°C.90°D.135 【解析】D 1 14.设a>0,S>0.下列各项中，能推州log。S>二的-项是() A.a>1,且S>1B.a>1,且S<aC.0<a<1,且S<aD.0<a<1,且S<1 【解析】C 15.已知点40，)，B(2,0),点C在曲线r:因+yb=-1上，则△1BC的面秋() 4 A.有最大估，但没有最小值B.没有最大位，但有最小估 C.既有最人侦，也有最小位D.既没有最人位，也没有最小侦 【解析】A 16.若有穷整数数列A,:a,a,…an(n≥3)满足：a-g,∈{-l,2i=l,2,…,n-),且a=an=0,则称A,具 有性质T则正确的是（) A.存在具有性质T的A B.不存在具有性质T的A, C.若Ao具有性质T，则a,42,…,4,中至少有两项相同 D.对于任意正整数n≥3，对任意其有性质T的An,有4,42，…，4w1中任意两项均不相同 【解析】C 对A:证明假设存在数列a,42,a,a,a5其有性质T,则a=a5=0, 且a41-a,∈{-l,2(i=1,2,…,4), 设a+1-a,∈{-1,2(i=1,2,…,4)中有m个-1，则有4-m个2， 则有∑(a-a,)=(a-a,)+(a,-a)+(a,-a4)+(a-a)=4-4 =mx-)+(4-m小x2=8-3m=0,即m-, 其与m为整数矛盾，枚假设错误，故A错误； B:反例0,2,4,3,2,1,0 C：从最大项到0，每个数都取到，除A,外，从An:4,4,…an(n≥3)中最大至0，取遍所有正整数，而从 0到最大，两者肯定有重复C对 D:对A4,它可以是0210，没有重复的。 二、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a=9,S,=25. (1)求数列{an}的通项公式： (2)记bn=4°，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d, 3 a+4d=9 因为a=9,S=25,可得 5a+10d=25’解得a=1,d=2, 则an=1+(n-1)×2=2n-1,所以数列{an}的通项公式为a。=2n-l,n∈N°. (2)解：由（1)知：an=2n-1,可得bn=4“.=42m-1, 则=421 64m=16,且么=4=4， 所以数列{bn}是以4为首项，公比为16的等比数列， 所以T,=0-9=4x0-16_4-06-D 1-q 1-16 15 18.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,AB L AC,AB=AC=2AA=4,E,F分别为 棱AB,BC的中点。 A C (1)证明：B,E⊥平iA,EF: B (2)求平面AEF与平面ACC4,所成锐二面角的大小. 【解析】 (1)因为A4⊥平面ABC,EFc平面ABC,所以A4,⊥EF, 因为E,F分别为棱AB,BC的中点，所以EF∥AC,且AB⊥AC,所以EF⊥AB, 又A4∩AB=A,A4,ABC平面ABB,4,所以EF⊥平面ABB,4,又B,EC平面ABB,A,则EF⊥B,E, 又AB=AC=2AA=4,易得AE=B,E=V22+2=2W2,AB=4,则A,B=AE2+BE2,所以AE1BE, 又AEOEF=E,AE,EFc平面AEF,所以B,E⊥平面AEF A (2)以A为坐标原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标 系，如图所示， B 因为AB=AC=2A4=4,则 E B A(0,0,2),E(2,0,0)F(2,2,0),B(4,0,0).B,(4,0,2),C(0,4,0), 则B,E=（-2,0,-2),由(1)知平面A,EF的一个法向量为m=B,E=（-2,0,-2), 又BB,=(0,0,2),BC=(-4,4,0)，易得平面ACC4的法向量为， i=(（1,0,0),设平面AEF与平面ACCA的夹角为0， 则cos0=cos(m,= 9 m_迈 所以0=子， 则平面4EF与平面BCC,B的所成锐角的大小灭 19.有两个罐子，A罐中放有3个白球和2个黑球，B罐中放有5个白球. (1)若从A罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率； (2)若从A罐不放问地摸2个球，求第二次摸到白球的概率； (3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记A罐屮黑球的个数为X,求X的分布和期望. 【解析】 房 （2)根据全机率公式知第=次摸到白球的腾率为子+号号-} (3)X的取值为0,1,2， 2 148 则P(X=0)=二×I×二×二=： 555125' 3 2 .2 442 P(X=1)=2×1×2×1+二x1×4×二+ 1.164 二×1×× 5 5 555 55125' P(x=2)=3x1x2x1+2x1x4x1 32 4153 5 5 555-125' 0 1 2 则X的分布为 8 64 53 125 125 125 期望K-x高+1+2品若 12525 5 20.已知双曲线C:_上=1的右顶点为A,左焦点为F,过点F且斜率为2的直线1与双曲线C的左支交 3 于D,E两点，P为双曲线C右支上的一动点； (1)求双曲线C的实轴长与离心率： (2)求△DEP面积的最小值： (3)设直线I,与双曲线C交于M,N两点，且AM⊥AN.证明：直线l2过定点： 【解析】 (1)实轴长2，离心率2 (2)F(-2,0),直线DE的方程为y=2(x+2), 由2到消去y8产416+9-0… 则1DE=30, △DEP的面积最小，当且仅当点P到直线DE的距离最小， 平移直线DE与双曲线C的右支相切的切点P。到直线DE的距离最小， [y=2x+m 设切线方程为y=2x+m,由 3x2-y=3消去y得x2+4mx+m2+3=0 △=0，解得m=±1， 当m=1时，直线DE与双曲线C的左支相切，不符合题意，因此m=-1, 因此点乃到直线DE的距离d=√5， 所以求△DEP的面积的最小值为S=DE1d=IS5. (3)证明：由知A(山，0)，设M,N的坐标分别为(，)，(x2,) 当直线2的斜率为0时，为=-，2=，则AM=(:-1,),AN=(x-1,2)=(-x-1,), 当1时，孤=伤--小+片=1-+=1（答++=2等=0，解得男=0，则以N 中一个点与A重合，此时AM⊥AW不成立，所以直线I2的斜率不为0： 设直线，的方程为my=x+n, x-上=1 联立方程 3，消去x后整理，得(3m2-1)y2-6my+3n2-3=0, my=x+n 6 6mn 3n2-3 则%+⅓=3m-=3m- 由AM1w,知4N=(x-l,)(x2-l,)=(x-1(x-)+y =xx-(x+x)+1+yy2=(my-n)(my2-n）-[(my-nm）+(my,-n)]+1+y2 =my-mn(0+为)+-m0y+y)+2n+1+y=m(3m-3_6nm 3m2-13m2-1 +m2-6mn+2n+1+3n-=3 3m2-1 3m2-1 2(m2-n-2_2(+n-2）=0解得n=-1或2， 3m2-1 3m2-1 当n=-1时，直线/2过点(1,0)，不合题意；当n=2时，直线3的方程为my=x+2,所以直线过定点(-2,0) 21.若对于函数y=f(x)和y=g(x),，对任意实数x,都存在常数n,使f'(x)≥ng'(x)成立，则称函数 y=f(x)是函数y=g(x)的“n-控制函数”.（己知y=f(x)和y=g(x)定义域均为R). (1)证明：函数f(x)=x+1是函数g(x)=cosx的“1-控制函数”： (2)若函数f(x)=-x-4x-12.x2-20x是函数g(x)=e*的“n-控制函数”，求n的取值范围： (3)若p(x)=log(2+)+x,其中a>0且a≠1，函数y=g(x)为定义在R上的偶函数，函数y=p(x)是函 数y=q)的“m控制函数”，当n=-1附，求证“a=巨”的充要条件是“y=px)+9问)为常值函数 2 【解析】 (1)因为f(x)=x+1,g(x)=cosx,所以∫'(x)=l,g(x)=-sinx,则g(x)∈[-l,], 故f'(x)-g(x)=1+sinr20,即f'(x)≥g'(x)恒成立， 枚函数f(x)=x+1是函数g(x)=cosx的“1-控制函数”. (2)因为f(x)=-x-4xr-12x2-20x,g(x)=e, 则f(x)=4x2-12x2-24x-20,g'(x)=e>0, 因为函数f(x)是函数g(x)的“n-控制函数”， 所以对征意的x∈R,f)≥g),则n≤因 8'(x)' 令h()=f儿图-4-12x-24x-20 g'(x) 则hy)-2r-24x-24刘(4w-12r-24x-20_4-4-l+*+】 故当x∈(-o,l)时，h(x)<0,当x∈(L,+o)时，h'(x)>0, 即h(x)在(-0，)上严格减，在(1，+o)上严格增， 所以（以=h-公所以s-公 e 若函数f(x)=-x-4x3-12x2-20x是函数g(x)=e的“n-控制函数”， 则实数n的取值范闹是 (3)充分性：若存在常数c使得y=p(x)+qx)=c恒成立， ..q(x)=c-p(x)=c-log.(2*+1)-x,..q(-x)=c-log.(2*+1)+x, 因为y=g(x)为偶函数，则c-(x)=c-log.(（2*+1)x=c-log(2+1)+x, 可2+e2=0,得g-要则P:5g0,p肉=21 2 因-cog20,=2器 当n-1时因tg2+1+21=020恒废立，则充分性得证 -+1+ 必要性：当a=5时，p(=1ogs(2++x,则 p(-x)-p(x)=log运(2+-x-log运(2+-x=1og运2-2x=0, 8 则p(x)为偶函数，又y=q(x)是偶函数，则p'(x)=-p(-x,9(x)=-9(-x), 当n=-1时，p'(x)≥-g(x),·.-p'(-x)≥g(-x),则-p'(x)≥g(x), 则-p'(x)=g(x),即p'(x)+g(x)=0,则p(x)+g(x)=c: 综上可得，当n=-1时，“a=5,的充要条件是“y=p+9(为常俏函数” 22026年吴淞中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分) 1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={2,3,6,8},则A∩B= 2.1和3的等差中项是 3.不等式 <0的解为 x-1 4双曲线Xy2 =1的渐近线方程是 916 5.已知圆锥的高为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为 6.已知lga+lg2b=1,则a+b的最小值为 7.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X≤1)=0.2，则P(X<3)= 8.若 的二项展开式屮，第5项为常数项，则n= 9.已知函数f(x)=e3”,则曲线y=f(x)在点(0，f(O)》处的切线方程为】 10.已知A、B为互斥事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.2,则P(A∩B)= 11.已知i为虚数单位，若复数，和复数2满足名-1-≤1,2=z1,名-z的最大值为 12.已知球0的半径为2，AB是球0的一条直径，点P是球面上一个定点，且PB=2.设点2是球面上异 于A、B、P的动点，若点2满足(P☑+P丽)(PA+P丽)=2P@,则点Q运动所形成的曲线周长为一 二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分） 13.已知d=2,=l,a3=-1,则向量a与向量方的夹角为( A.30°B.60°C.90°D.135° 14.设a>0,S>0.下列各项中，能推出1og。S>2的-项是（） A.a>1,且S>1B.a>1,且S<ac.0<a<1,且S<aD.0<a<1,且S<1 15.已知点40，)，B(2,0),点C在曲线r:型+y=-1,则△BC的面积（) 4 A.有最大仲，但没有最小位B.没有最大仇，但有最小值 C.既有最人估，也有最小值D.既没有最人值，也没有最小估 16.若有穷整数数列An:a,a2,…an(n23)满足：a1-a∈{-1,2(=1,2，…，n-),且a,=an=0,则称An具 有性质T则正确的是() A.存在具有性质T的A B.不存在具有性质T的A, C.若A。具有性质T,则a,a2,,4中至少有两项相同 D.对于任意正整数n≥3，对任意其有性质T的An,有4,4，，a中任意两项均不相同 二、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17.记等差数列{am}的前n项和为Sn,as=9,S,=25. (1)求数列{an}的通项公式： (2)记b,=4,求数列{b,}的前n项和T。 18.如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=2AA=4,E,F分别为 棱AB,BC的中点」 (1)证明：B,E⊥平面AEF: (2)求平面AEF与平面ACC4所成锐二面角的大小. 19.有两个罐子，A罐中放有3个白球和2个黑球，B罐中放有5个白球 (1)若从A罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率： (2)若从A罐不放问地摸2个球，求第二次摸到白球的概率： (3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记A罐中黑球的个数为X,求X的分布和期望， 20.已知双曲线C:X-上=1的右顶点为A,左焦点为F,过点F且斜率为2的直线1与双曲线C的左支交 3 于D,E两点，P为双曲线C右支上的一动点： (1)求双曲线C的实轴长与离心率： (2)求△DEP而积的最小值： (3)设直线2与双曲线C交于M,N两点，且AM⊥AN.证明：直线I,过定点： 21.若对于函数y=f(x)和y=g(x),对任意实数x,都存在常数n,使f'(x)≥g'(x)成立，则称函数 y=f(x)是函数y=g(x)的“n-控制函数”.（已知y=f(x)和y=g(x)定义域均为R). (1)证明：函数f(x)=x+1是函数g(x)=cosx的“1控制函数"”： (2)若函数f(x)=-x-4x2-12x2-20x是函数g(x)=c的“n控制函数”，求n的取值范围： (3)若p(x)=log(2+)+x,其中a>0且a≠1，函数y=g(x)为定义在R上的偶函数，函数y=p(x)是函 数y=9)的“n控制函数”，当n=-1时，求证“a=5”的充要条件是“y=p)+g)为常值函数”. 2