考点78 找次品&考点79 数形结合-【王朝霞小升初】2026年小升初数学重点中学招生5年真题分类集训

专题十二数学思考 0 王朝鼠 考点78 找次品 满分：45分得分： 答案：P154 一、选择题。（每题2分，共10分） 1.〔2025山东青岛〕如图，4个乒乓球中有1个是次品，根据称重情况可知次品球是( )号，它的质量( ①② ③④ 3 4 A.③ B.② C.轻一些 D.重一些 2.〔2025山东济南〕有25盒月饼外表完全相同，其中有一盒不合格，是次品。已知次品月饼比合格月饼 轻，如果用没有砝码的天平找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼 分成( )。 A.3份(8、8、9) B.3份(10、10、5) C.3份(10、8、7) D.2份(12、13) 3.〔2025广西南宁〕有15块巧克力外表完全相同，其中一块稍轻一些，用没有砝码的天平最少称( 次，一定能找出稍轻的巧克力。 A.2 B.3 C.4 D.5 四部分 4.〔2025安徽合肥〕有19个玻璃球外表完全相同，其中18个质量相同，有1个偏重。用没有砝码的天平 至少称( )次就一定能找出这个偏重的玻璃球。 数学思考 A.3 B.4 C.6 D.9 5.〔2025湖南湘潭〕有10个零件外表完全相同，其中有1个是不合格品，已知不合格品的质量与其他零 件不同，在不知道不合格品的质量是偏轻还是偏重的情况下，用没有砝码的天平至少要称( )次 才能保证找出这个不合格品。 A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题。（每空2分，共8分) 1.〔2025海南海口〕有7个贝壳外表完全相同，其中只有一个是次品（次品贝壳比其他贝壳略重一些）。 现在要用没有砝码的天平去找出这个次品贝壳，至少称( )次才能保证找出这个次品贝壳。 2.〔2025辽宁大连〕有5瓶外表一样的酸奶，其中有1瓶质量不足。如果用有砝码的天平称，每次称1 瓶，需要称( )次才能保证找到这瓶质量不足的酸奶；如果用没有砝码的天平称，每次称2瓶， 至少称( )次才能保证找到这瓶质量不足的酸奶。 3.〔2024河北邯郸〕在21件产品中混进了1件不合格产品（不合格产品略重一些）。用没有砝码的天平 称，至少称( )次就一定能找出这件不合格产品。 90 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 三、〔2025福建厦门〕盒子里有18颗外表完全相同的珍珠，已知有一颗轻一些，是假的，现在要用天平找出 假珍珠。下面是乐乐和天天设计的两种方案，但都不完整，请你将它们补充完整。（16分) 乐乐的方案 天天的方案 ①将18颗珍珠分为2份(18=9+9)。天平两①将18颗珍珠分为3份(18=6+6+6)，任取2 边各放1份，( )的一边有假珍珠。 份放在天平上，若两边平衡，则( )的一份 ②再将有假珍珠的1份分为()份，称有假；若不平衡，则( )的1份有假。 )次就可以找到有假珍珠的1份，判断② 过程是 ③ ③ ④共称了( )次。 ④共称了( )次。 四、解决问题。（11分) 1.〔2025陕西西安〕9个乒乓球里有一个是次品，它与其他乒乓球外表相同、质量不同。已知次品比正品 轻，用没有砝码的天平，至少称几次才能保证找到这个次品？请用你喜欢的方式说明。(5分) 2.〔2025河北张家口〕有101枚外表相同的硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币。现不知假币比真币 重还是轻。 (1)利用天平，至少称几次就可以判断假币比真币重还是轻？说说你的称法。(3分) (2)在上题的基础上，至少再称几次就能找出那枚假币？(3分) 专题十二数学思考 王朝霞 考点79 数形结合 满分：41分得分： 答案：P157 一、选择题。（每题2分，共6分) 1.〔2025广东湛江〕下面每个图中，O、△、口各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数的 关系，第4个图表示的两位数是( )。 (35) (45) (53) 第4个图 A.54 B.43 C.34 D.45 +4+8 2024渐江杭州)下面各图都表示"“T”,涂色部分的大小及间号表示的长度可以用)++表示 + ()个。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.〔2024河南郑州〕一些正六边形卡片按下图的方式摆放。如果用n表示第几个图形，用y表示正六边 形的个数，下面式子可以表示第几个图形与正六边形个数之间的关系的是( )。 8 A.y=1+2+…+n B.y=1+n C.y=2n-1 D.y=n2-1 二、填空题。（每空2分，共14分） 1.〔2023四川广元〕小明按照下图的方式摆图形。 摆1个八边形需要8根小棒，摆5个八边形需要( )根小棒。如果小明有260根小棒，可以摆 )个这样的八边形。 2.〔2024广东深圳)〕用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个蝴蝶图案，第⑦个 蝴蝶图案中有( )块白色地砖。 3.〔2024山东济南〕古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”。 几名同学在受到启发后决定研究用多少个点能排列成不同 的正多边形，组成美丽的图案。右图是他们研究多少个点 可以组成正五边形的过程，第⑤个图案由( )个点组 ① 成，第⑥个图案由( )个点组成。 4.〔2023浙江绍兴〕如图，从图( )可知，(a-b)2=(a+b)2-4ab成立（填序号）。在图③中，a是 15cm,b是10cm,图③中涂色部分的周长是( )cma a a ② ③ 三、数学思考。(21分) 1.〔2024湖北黄冈〕四边形ABCD是由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形以及两个长、宽分 别为a、b的长方形拼成的正方形。(7分) Ab a B (1)请写出两种用字母a、b表示正方形ABCD面积的式子；(2分) 6 (2)观察图形，根据规律写出一个等式；(2分) e (3)根据规律计算6.32+2×6.3×3.7+3.72。(3分) Db a C 四部分 2.〔2025黑龙江哈尔滨·探究性试题)数形结合是一种常见的数学思想，数学中的许多计算结合图形进行 于思考 思考会变得简便，以正方形为例，我们进行如下探究：(14分) (1)分别观察图1三个图形中的小正方形的排列规律，完成下列计算：(10分) 1+2+1=22=4; 1+2+3+2+1=( )2=( 1+2+3+4+3+2+1=()2=(); 根据你发现的规律尝试计算：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=( (2)把正方形按照图2的方式进行分割，可简便计算：(4分) 113111 2+4=42+4+8=（ ); 银据你发现时现非尝试计第：号+日+6力+d=( )。 1 4 1 1 16 8 1 32 图1 图2 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 9113(分)； 要求的是把四匹马都赶到对岸去，最少需要多 爸爸再开车到快递中心邮寄物品：3+20+12= 少分钟。 35(分)； 第2步分析与解答 爸爸邮寄完物品开车到十字路口的同时，毛毛和 要使过河时间最短，应注意以下两点：①同时过 妈妈游玩结束然后步行到十字路口，三人在十字 河的两匹马所用时间相差尽可能小，才能使花 路口集合：20分钟； 时间少的马在过河时少浪费时间；②过河后应 爸爸从十字路口开车带上毛毛和妈妈回家：10 骑需要时间最少的马回来。 分钟。 赶马顺序： 13+35+20+10=78(分) 第3步回顾与反思 骑甲马带乙马，用时3分钟 在解决此类问题时，要考虑有序性 第1次过河 和全面性，哪些事情得先做，哪些事 骑甲马，用时2分钟 情可以同时做，从而计算至少所需 的时间。 骑丙马带丁马，用时7分钟 答：至少需要78分钟。 第2次过河 骑乙马，用时3分钟 4.【明考点】易错考点：过河问题。 【3步图解应用题】 骑甲马带乙马，用时3分钟 第1步阅读与理解 第3次过河 小刚骑马过河。 所需时间：3+2+7+3+3=18（分） 有甲、乙、丙、丁四匹马。 第3步回顾与反思 甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过 河需6分钟，丁马过河需7分钟。 过河时“慢者结伴”，速度相差不大 每次只能两匹马同时过河。 的两者结伴过河；回头时“快者先 行”，速度最快的单独回头。 返回时需要骑一匹马。 四匹马都要过河。 答：最少需要18分钟。 专题十二考点78找次品 快速对答案 -、1.BC2~5ABAC 一次便可知哪颗是假珍珠。3 二、1.2 没称轻将有假的1份平均分成3份(6= 2.42 2+2+2),称其中任意两份，天平平衡，则没 3.3 称的1份有假；不平衡，则轻的1份有假。 用天平称有假的1份中的两个，轻的一个是 三、轻31称其中任意两份，天平平衡，则 假的。3 没称的1份有假；不平衡，则轻的1份有假。 四、1.2次 将有假的1份再平均分成3份，每份1个，称 2.(1)2次(2)4次 222022222； 超详解答案mmMmmmmmmmmmmmmm -、1.BC 次品，次品在①和②中。观察第一幅图和第二 【明考点】基础考点：找次品。 幅图，②和③不平衡，②比③轻，说明次品是②， 【解思路】根据题意可知4个乒乓球中有1个是 它的质量轻一些。 次品，但不知道是轻还是重。观察图片，由第三 2.A3.B4.A 幅图可知③和④是平衡的，说明③和④都不是5.C 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 154 【明考点】重难考点：不知轻重找次品。 3.3 【解思路】10个零件中有1个是不合格品，在不知 之归纳总结找次品的次数 道不合格品是偏轻还是偏重时，需要分类讨论。 用天平找次品时，所测物品数目与保证能找 10(3,3,4) 出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含 (3,3) 第 1个次品，已知次品比正品重或轻) 不平衡，根据天平 平衡，次品在剩下 要辨别的物品数目 保证能找出次品至 次 的4个中，把这4个 倾斜情况把(3,3， 少需要称的次数 称 4)分别记作3轻、3 记作A、B、C、D。 重、4好。 2-3 第 (A,B) (3轻，3好) 4~9 2 二 平衡，次不平衡， 平衡，次不平衡， 10~27 3 品在C 次品在 品在3次品在3 28~81 4 称 和D中。 A和B中。 重中。 轻中。 82-243 5 (A,C) (1,1) 。 第 平衡，剩 平衡，剩 平衡，D 平衡，B 下的一 下的一 三 次 是次品。 是次品； 个是次 个是次 乐乐的方案 苏 不平衡， 不平衡， 品；不平 品；不平 ①将18颗珍珠分为2份(18=9+9)。天平 C是次品。 A是次品。 衡，重的 衡，轻的 两边各放1份，（轻）的一边有假珍珠。 是次品。 是次品。 ②再将有假珍珠的1份分为(3)份，称(1) 综上所述，至少要称3次才能保证找出这个不合 格品。 次就可以找到有假珍珠的1份，判断过程是 二、1.2 称其中任意两份，天平平衡，则没称的1份有 2.42【明考点】基础考点：找次品。 假；不平衡，则轻的1份有假。 【解思路】本题分为有砝码的天平和没有砝码的 ③将有假的1份再平均分成3份，每份1个 天平两种称量情况。 有砝码的天平称量情况： 称一次便可知哪颗是假珍珠。 每次用砝码称其中1瓶，最差的情况是前4瓶正 ④共称了(3)次。 常，最后1瓶质量不足，所以需要称4次才能保 天天的方案 证找到这瓶质量不足的酸奶。 没有砝码的天平称量情况： ①将18颗珍珠分为3份(18=6+6+6)，任 第一次称量2瓶，两边各1瓶，若左右不相等，则 取2份放在天平上，若两边平衡，则（没称）的 质量不足的就是这两瓶中较轻的那一个；若左 一份有假；若不平衡，则（轻）的1份有假。 右相等，则说明质量不足的在剩下的3瓶中，再 ②将有假的1份平均分成3份(6=2+2+ 从剩下的3瓶中拿出2瓶，天平两边各放1瓶，若 天平平衡，则剩下的1瓶就是质量不足的，若天 2),称其中任意两份，天平平衡，则没称的1 平不平衡，较轻的那瓶就是质量不足的。 份有假；不平衡，则轻的1份有假。 ≈归纳总结找次品的方法（已知次品较轻） ③用天平称有假的1份中的两个，轻的一个 把所称物品分成尽可能平均的三组，先称其 是假的。 中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品 ④共称了(3)次。 在剩下一组里；如果天平不平衡，那么次品在 四、1.【明考点】基本考法：找次品。 天平上翘的一组里；据此逐步分析次品所在 【3步图解应用题】 的组，直到最后找出次品，根据分析过程准确 第1步阅读与理解 找出所称次数。 有9个乒乓球，其中有1个是次品。 155 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 次品比正品轻。 (2)①把33分成(11,11,11)三组： 用没有砝码的天平称量。 1111 要求的是至少称几次才能保证找到这个次品。 第2步分析与解答 平衡 不平衡 把9个乒乓球平均分成3组，每组3个。 剩下一组11 9(3,3,3),称其中2组 其中一组11 （4,4,3) （4,4,3) 平衡，次品在剩下一组 不平衡，次品在天平 44 44 里面 上翘的一组里面 △ 3(1,1,1),称其中2组 3(1,1,1),称其中2组 平衡 不平衡 平衡 不平衡 平衡，剩不平衡， 平衡，剩不平衡， 利下一组共中-组 剩下一组其中一组 下的一个天平上翘 下的一个天平上翘 3(1,1,1)4(2,2) 3(1,1,1)4(2,2) 为次品 的一端为 为次品 的一端为 1 1 22 11 22 次品 次品 由上可知，至少称2次才能保证找到这个次品。 找出次品 找出次品 第3步回顾与反思 (1,1) （1,1) 在已知轻重的找次品中，要把所 11 1 称物品分成尽可能平均的三组。 分析时可以用文字分析，也可以 找出次品 找出次品 用画图的方式分析。 ②把34分成(11,11,12)三组： 答：至少称2次才能保证找到这个次品。 1111 △ 2.【明考点】基本考法：找次品。 【3步图解应用题】 平衡 不平衡 第1步阅读与理解 剩下一组12 其中一组11 ①有101枚硬币：100枚质量相同，1枚是假币。 （4,4,4) (4,4,3) ②不知假币比真币重还是轻。 44 44 要求的是至少称几次就可以判断假币比真币重 还是轻；至少再称几次就能找出假币。 第2步分析与解答 平衡 不平衡 平衡 不平衡 剩下一组其中一组 剩下一组其中一组 把所称物品分成尽可能平均的三 4(2,2) 4(2,2) 3(1,1,1)4(2,2) 组，先把101枚硬币分成(34,34,33) 三组。 22 22 11 22 不 分析过程如下： 找出次品 (1) 3434 (1,1) (1,1) (1,1) 平衡 不平衡 11 11 11 假币在33 取出轻的 找出次品找出次品 找出次品 一组中 一组34 由上可知，至少再称4次就能找出那枚假币。 34-133 17 17 第3步回顾与反思 △ 解答此题的关键是将所给物品进 33一组重 33一组轻 平衡 不平衡 行合理的分组，逐次称量，即可找 假币重 假币轻 假币重 假币轻 出次品。 由上可知，至少称2次就可以判断假币比真币重 答：至少称2次就可以判断假币比真币重还是 还是轻。 轻；至少再称4次就能找出那枚假币。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 156 专题十二 考点79数形结合 快速对答案 -、1~3BCA (3)6.32+2×6.3×3.7+3.72=(6.3+3.7)2 二、1.36372.223.35514.①60 =102=100 三、1.(1)S=(a+b)2S=a2+2ab+b2 (2)(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(1)3941636 (2)763 864 222超详解答案22 -、1.B2.C3.A 等式，可知6.32+2×6.3×3.7+3.72=(6.3+3.7)2 二、1.3637 =102=100。 2.22 ≈知识延展完全平方公式 3.3551【明考点】基础考点：数形结合+找规律。 两数和的平方等于它们的平方和加上它们的 【解思路】图案之间的规律如下： 积的2倍。 (a+b)2=a2+2ab+b2 图 两数差的平方等于它们的平方和减去它们的 积的2倍。 点 5=1+1 12=5+ 22=12+ (a-b)2=a2-2ab+b2 数 +3×1 1+3×2 1+3×3 2.(1)3941636 以此类推，第⑤个图案的点数：22+1+3×4= eg器 35;第⑥个图案的点数：35+1+3×5=51。 【明考点】重难考点：数形结合+找规律+计算 4.①60 能力。 三、1.(1)S=(a+b)2S=a2+2ab+b2 【解思路】(1)观察图1可知，第一个图中小正方 (2)(a+b)2=a2+2ab+b2 形的个数为(2×2)，第二个图中小正方形的个 (3)6.32+2×6.3×3.7+3.72=(6.3+3.7)2= 数为(3×3)，第三个图中小正方形的个数为(4 102=100 ×4),由此可得1+2+1=2=4；1+2+3+2+ 【明考点】重难考点：数形结合+找规律+计算 1=32=91+2+3+4+3+2+1=42=16;根据 能力。 发现的规律，1+2+3+4+5+6+5+4+3+2 【解思路】(1)正方形的面积=边长×边长，所以 +1=62=36。(2)观察图2可知，把大正方形看成 正方形ABCD的面积S=(a+b)2。还可以根据 单位1时+1-子+好+日1 组合图形面积的计算方法，先求出各个部分的面 积，最后相加可得，S=a2+2ab+b。(2)根据(1) 日以此表拉写+好+日+名+京石-1 17 中两个表示正方形ABCD面积的式子，可列出等 163 式(a+b)2=a2+2ab+b2。(3)结合(2)中得出的 64=64 专题十二 考点80分类数图形 快速对答案 1.62.103.6 9.53310.6 4.(1)21(2)55.106.3 11.1212.913.18 7.(1)12(2)24(3)12 14.1815.3516.101744 8.3610 (n+1)(n+2) 3 17.2118.112 157 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学