考点70 排列组合&考点71 集合-【王朝霞小升初】2026年小升初数学重点中学招生5年真题分类集训

①排列是把给定个数的元素按照一定的顺序排列，不同的顺序被视为不同的排列， 统计符合要求的排列可能出现的情况总数。排列与顺序有关。 ②基本方法：先确定第一个位置，再确定第二、第三…个位置，有几种情况，就有 简单的排列 几种排列。 ①组合是把给定个数的元素按任意顺序分组，统计符合要求的组合可能出现的情 简单的组合 况总数。组合与顺序无关。 ②基本方法：有序地、不重不漏地把搭配的事物相连，有几条线就得到几个组合。 解答容斥问题常用的表示方法 集合涉及一个重要原 如图，如果用a表示含A的数量，b表示 理—一包含与排斥原 理，也叫容斥原理。 含B的数量，c表示既有A又有B的数 既有 量。那么，a-c表示只有A,b-c表示 只有A 又有B 只有B 只有B,总数就等于a+b-c 从鸡的数量是总只数，兔是0只开始，有序列出数据。鸡的只数递减， 列表法 免的只数递增，同时计算脚数，直到符合题意。 假设全是鸡。 假设全是免 假设法 免=（总脚数-2×总头数）÷(4-2) 鸡=(4×总头数-总脚数)÷(4-2)》 鸡=总头数-免的只数 免=总头数-鸡的只数 设免（或鸡）的只数是x只，则鸡（或免）的只数是（总头数-x)只，根 方程法 据免的脚数+鸡的脚数=总脚数，列方程解答。 两端都栽：棵数比间隔数多1。 两端都不栽：棵数比间隔数少1。 不封闭路线植树问题 一端栽、一端不栽：棵数与间隔数相等。 棵数等于间隔数。 封闭路线植树问题 锯木头问题、爬楼问题等。 变形问题 ①把(n+1)个物体任意放进n个空抽屉中(n为非0自然数)，那么总有一个抽屉 至少放了2个物体。 ②把多于n(k是正整数)个物体任意放进n个空抽屉中(n为非0自然数)，那么 总有一个抽屉至少放进了(k+1)个物体。 鸽巢问题又称 计算方法：物体数÷抽屉数=…b 抽屉原理。 b>0,总有一个抽屉里至少有(a+1)个物体。 通过数线段的方式，求出有多少种票价； 注意求多少种车票时，需要考虑往返。 车票问题 握手次数=人数×（人数-1）÷2 握手问题 运用画图、列表的 方式寻找规律。 报名参加比赛的几支球队，一共需要进行 比赛的场数是n×(n-1)÷2。 比赛场次 第四部分 数学思考 专题十二数学思考知识导图 逻辑推理是指根据已知假设法：假设给定的诸多条件中的某一个条件是正确的，然后结合其他条件合理地推 事实和逻辑规则，推理出理及判断，如果推理导致矛盾，说明原假设不正确，重新提出假设再推理，直到问题解决。 一个结论的思考方式。 可以通过假设法、矛盾 矛盾法：矛盾关系是指两个条件之中非此即彼的关系，即除了我们所表述的两种情况外没 考点70 排列组合 考点76 法、列表法进行解答。 有其他情况。要先找出矛盾，再看其余的。 逻辑推理 列表法：先将题目条件给出的关系填在表里，然后再依次将分析推理出的关系填在表里。 烙饼问题 每次在锅中放尽可能多的饼，减少烙的次数，以达到节省时间的目的。 烙的次数=（烙的张数×每张需要烙的面数）÷一次最多烙的张数 至少需要的时间=烙的次数×烙一面所需时间 考点71 考点77 沏茶问题 集合 优化 明确沏茶的顺序，哪些事情要先做，哪些事情可以同时做。 过河问题 ①同时过河的两匹马所用时间相差尽可能小，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间； ②过河后应骑需要时间最少的马回来。 策略问题 在对方先出手的情况下，取胜策略是以弱对强，以强对中，以中对弱。 考点72 先把待测的物品分成3份，能够平均分成3份的就平 保证能找出 要辨别的物品数目 次品至少需 鸡兔同笼 均分成3份，如果不能平均分，要使多的1份与少的1 要称的次数 份只相差1。 2-3 取出次品所在的那一份 (3+1)49(3×3) 2 考点78 把待测物品 天平 (3×3+1)10-27(3×3×3) 3 数 找次品 平衡次品在第 尽可能平均 取相等的 三份中 (3×3×3+1)28~81(3×3×3×3) 4 分成3份(m, 2份称 次品在重轻 思考 m,m)或(m, 天平 的那份中 四部分 不平衡 (3×3×…×3+1)ab(3×3×…×3) m,m±1) (n-1)个3 n个3 考点73 数学思考 植树问题 (1)利用长方形模型来理解分数乘法的算理。 考点79 把数与形结合起来解决问题，可使复杂 (2)利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理。 数形结合 的问题变得更简单，使抽象的问题变得 更直观。 (3)利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理 乘法分配律、完全平方公式等。 考点80 先弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个，再数出由基本图形组成的新图形，最后求出它们的和。 分类数图形 位值原理 同一个数字在数中的位置不同，表示的数值不同。在进位制数中，每一个数字除了有它本身的值 考点74 外，还有一个“位置值”。例如：“3”写在个位上，就表示3个一；写在十位上，就表示3个十；写在百位 鸽巢问题 上，就表示3个百。 考点81 错中求解 解答这类题一般用“将错就错”的逆向思维，通过分析计算过程中出现的错误，结合错误结果与正确 数字问题 幻方与 结果的差异，反推出正确的数值或算式。 幻圆 幻方是将若干个自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使每行、每列和每条对角线上的几个数 的和相等。幻圆是将自然数排列在多个同心圆或多个相互交叉的圆上，使得在各个圆周上、某些 考点75 数字谜 特定区域的数字之和都相等。 计数原理 数字谜通常是在算式中，用字母、汉字、符号等代替部分数字，要求根据运算规则和已知条件，推 理出这些字母、汉字、符号等所代表的数字，使算式成立。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 81 专题十二数学思考 0 王朝 考点70 排列组合 满分：37分 得分： 答案：P138 一、填空题。（每空1分，共10分) 1.〔2025重庆〕妈妈计划准备豆浆、牛奶和油条、包子、烧麦、馒头、面包作为早餐的可选内容，一份早餐 含一种饮品和一种主食，妈妈准备的食物一共可以有( )种不同的搭配。 2.〔2025四川成都〕有8名同学参加乒乓球比赛，每两个人之间都要比赛一场，一共要赛( )场。 3.〔2025吉林长春〕从甲地到乙地，一共有6个汽车站（包括起点和终点），单程需要准备( )种不同 的车票。 4.〔2023广东佛山〕同学聚会，甲班来了6人，每两人握一次手，他们共握了( )次手；乙班来了5 人，每人和甲班的每位同学握一次手，共握了( )次手 5.每次从3,4,5,10,12,21中任取两个数，可以组成( )个最简真分数。 6.〔2025陕西咸阳〕甲、乙、丙三名同学排队进入景区，已知入口处有两个队伍，他们共有( )种不 同的排队方法。 7.〔2025陕西西安)右面是某城市局部街道示意图，某人想从街道口A到街道 北 口B,只能向东走或向南走，有( )种不同的走法。 8.〔2023山西晋城〕如图，在一个田字形土地的四个区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求 A B 同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有3种不同的植物可供 D C 选择，那么共有( )种不同的栽种方案 四部分 9.〔2025陕西宝鸡〕一些数字可以颠倒过来看，例如0,1,8颠倒过来还是本身，6颠倒过来是9,9颠倒过 来是6，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如： 数学思考 106颠倒过来是901。假设某个城市的车牌号只由3位数字组成，每一位都可以取0到9。 请问这个城市最多有( )个车牌号颠倒过来恰好还是原来的车牌号。 二、选择题。（每题2分，共12分) 1.〔2025重庆XNDXFZ)一条线段上除了两个端点还有4个点，那么这条线段上一共有( )条线段。 A.5 B.15 C.21 D.28 2.〔2025宁夏银川)〕笑笑所在的卫生值日小组有6名成员，要从中选出2名成员负责擦玻璃，共有( 种不同的选法。 A.3 B.6 C.15 D.30 3.〔2025广东广州)已知0,1,2这三个数字可以重复使用，现在用它们组成6个互不相同的两位数，则这 6个两位数的最小公倍数为( A.4620 B.4400 C.2110 D.1001 4.〔2024安徽铜陵〕用三种颜色给图中甲、乙、丙、丁四个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色，共有 ( )种不同的涂色方法。（三种颜色都要用）》 A.8 甲 B.6 丙 C.4 D.3 82 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 5.〔2023江苏无锡〕如果图中的①②③④⑤分别表示自然数2、4、6、8、10，那么用这样的一个方格图，最 多能表示出( )个不同的非零自然数。 A.22 B.23 C.24 ①) D.25 ③ ③ (④ ⑤ 6.〔2025重庆〕从长分别为2cm,3cm,4cm,5cm,6cm的5根木棍中选出3根，首尾相接，拼成三角形， 可以拼出( )个形状不同的三角形。（注：旋转、平移、轴对称后能重合的视为形状相同） A.8 B.7 C.6 D.5 三、解决问题。（15分) 1.〔2025安徽芜湖〕有红、黄、蓝三种颜色的上衣和裤子，同学们任意选择一种颜色的上衣和一种颜色的 裤子穿上，至少有几名学生才能保证有两名学生穿的上衣颜色相同，裤子颜色也相同？(5分) 2.〔2025陕西西安〕徐老师想给方老师打电话，但忘了电话号码中的最后两个数字，只记得号码是： 138079166○口（○、口表示忘记的最后两个数字）。徐老师还记得○是奇数，☐是偶数。徐老师要 拨对方老师的电话，最多需要试打几次？(5分) 3.〔2025江苏宿迁)2024年江苏省普通高考实行“3+1+2”模式。“3”是指语文、数学、外语三门科目为必 考科目，“1”是指考生在物理和历史两门科目里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思 想政治、地理四门科目中选择两科。这种高考模式中最多出现多少种考试科目组？(5分) 专题十二数学思考 王朝假 考点71集合 满分：35分得分： 答案：P140 一、填空题。（每空1分，共8分） 1.〔2024重庆〕三(1)班有42人，喜欢音乐和美术的情况是：喜欢 喜欢音乐的喜欢美术的 音乐的有30人，喜欢美术的有20人，两项都喜欢的有8人。 )人 )人 )人 (1)填写右图。 (2)三(1)班只喜欢美术的有( )人 两项都喜欢的 2.〔2025浙江宁波·热点素材)“哪吒”和“机器人”迎开学。2025年新学期，许多学校为同学们精心策划了 别开生面的“开学礼”。小亮调查了本班学生分别对“哪吒”和“机器人”迎开学主题感兴趣的人数。 有42人参与调查，每人至少选一种主题。其中有34人对“哪吒”主题感兴趣，有28人对“机器人”主 题感兴趣，( )人对两种主题都感兴趣。 3.〔2023河南漯河〕水果中含有多种人体需要的维生素、膳食纤维和矿物质等。实验小学周一午饭后提 供的水果是苹果和香蕉，班里有45人，有29人选择吃苹果，28人选择吃香蕉，13人两种水果都吃。 两种都没吃的有( )人。 4.〔2025河南郑州)同学们，小学马上就结束了，你想利用暑假时间参加一些什么活动呢？六(1)班计划 跟父母外出旅游的有25人，计划参加科技活动的有15人，既计划跟父母外出旅游又计划参加科技 活动的有7人，这两项活动都没有计划参加的有8人。那么这个班一共有( )名学生。 5.〔2024陕西宝鸡]在1~500中，不能被2整除、不能被3整除、又不能被7整除的数有( )个。 二、选择题。（每题2分，共10分） 1.〔2025河南三门峡〕某班调查学生喜欢两种球类活动的情况如图，下面说法错误的是( )。 A.喜欢足球的有13人 喜欢足球喜欢篮球 B.只喜欢篮球的有6人 12人(1人 6人 C.一共调查了18人 D.喜欢篮球的有7人 既喜欢足球又喜欢篮球 2.〔2024湖北武汉〕“大江大湖大武汉，好山好水好黄陂。”一个旅行团到黄陂旅游，游览木兰山的有24 人，游览木兰天池的有29人，两个景点都游览的有17人，这个旅行团一共有( )人。（每人至少 游览这两个景点中的一个) A.53 B.36 C.47 D.70 3.〔2024陕西汉中〕运动会即将到来，六年级一班每一个学生都至少报名参加跳绳和跳远中的一个项 目。如果参加跳绳的有40人，参加跳远的有31人，两个项目都参加的有21人，则只参加其中一个项 目的有( )人。 A.26 B.50 C.28 D.29 4.[2024安徽合肥〕三个小朋友比赛写成语，每个小朋友写出的成语数 名字 静静 晶晶 豆豆 量如右表。静静写的成语中有6个和晶晶写的相同，晶晶写的9个 成语个数 7 9 14 成语豆豆全写出来了。静静和晶晶一共写了( )个不同的成语。 A.7 B.9 C.16 D.10 5.〔2025河南濮阳〕六年级四班订购期刊，全班共43人，订购《红领巾》的有25人，订购《脑力大挑战》的 有22人，这两种都没订购的有3人，这两种期刊都订购的有()人。 A.5 B.2 C.7 D.10 三、〔2025江苏南通〕为了优化课后服务课程的设置，学校开展了对学生喜欢的课后服务课程的调查。下 面是六(1)班部分同学喜欢的课后服务课程的情况。(7分) 喜欢陶艺课 赵晓 刘光 王小刚 李丽 吴小霞 乔巧 王军 喜欢手工课 王军 舒展 刘青 王小刚 刘光 张大虎 赵晓 1.把喜欢陶艺课和手工课的同学填在相应位置。(3分) 喜欢陶艺课 喜欢手工课 两种课程都喜欢 2.喜欢陶艺课的有( )人，喜欢手工课的有( )人，两种课程都喜欢的有( )人，一共 调查了( )人。(4分) 四、解决问题。(10分) 1.〔2024河南三门峡〕甲、乙、丙三所大学选派部分学生参加开幕式表演，已知甲、乙两校共有194人参 加，甲、丙两校共有198人参加，乙、丙两校共有196人参加。甲、乙、丙三校各有多少人参加开幕式 表演？(5分) 四部分 数学思考 2.〔2024陕西西安〕田径运动会中，参加短跑比赛的人数情况如下： ①参加100m短跑的共有156人，比参加200m短跑的少40人，比参加50m短跑的多26人； ②同时参加100m和50m短跑的有74人； ③同时参加200m和100m短跑的有80人，是同时参加50m和200m人数的2倍； ④同时参加50m、100m、200m短跑的有30人。 那么这次运动会中参加50m、100m、200m短跑的共有多少人？(5分) 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 83要求的是如果一个工人照此钟表工作8小时，他 四 12 11 实际上应得到的工资。 不准确的钟表走8小时，实际上用的时间：9× 第2步 分析与解答 根据题意先求出正常钟表的时针和 分针重合一次需要的时间，再求出 应得工资：12×8+18×(83-8)=103.8（元） 30 不准确的钟表走8小时，实际上所 第3步 回顾与反思 走的时间… 本题解题关键点是求出不准确的钟 正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间： 表走8小时实际用的时间。 12÷(2-10=(时) 答：他实际上应得到工资103.8元。 第四部分 数学思考 专题十二 数学思考 考点70排列组合 快速对答案 -、1.102.283.154.1530 二、1~6 BCABCB 5.86.247.108.189.15 三、1.10名2.25次3.12种 WWWW超详解答案 -、1.102.283.15 数的分母一定要比分子大且分子和分母互质， 4.1530 根据题中数据可得出如下不同的最简真分数： 【明考点】基础考点：握手问题+排列组合。 333445510 【解思路】在解决本题时，采用画图法比较直接。 4510'521'122721共8个。 6.2 甲班来了6人，每两人握一次手，可以画图如下： 【明考点】经典试题：复杂的排列组合。 【解思路】本题采用列表法比较简便。 3人都去队伍一 1人去队伍一、2人去队伍二 队伍一3人队伍二0人 队伍一1人队伍二2人 可知他们共握了5+4+3+2+1=15（次）手。 甲-乙-丙 甲 乙-丙 乙班来了5人，每人和甲班的每位同学握一次 甲-丙-乙 甲 丙-乙 乙-甲-丙 甲一丙 手，可以画图如下： 乙-丙-甲 乙 丙一甲 丙-甲-乙 丙 甲-乙 丙-乙-甲 型 乙-甲 3人都去队伍二 1人去队伍二、2人去队伍一 队伍一0人队伍二3人 队伍一2人 队伍二/1人 甲-乙-丙 乙-丙 甲 可知他们共握了5×6=30（次）手。 甲-丙-乙 丙-乙 甲 甲-丙 乙 5.8 乙-甲-丙 乙-丙-甲 丙-甲 之 【明考点】基础考点：稍复杂的排列组合+最简 丙-甲-乙 甲-乙 两 真分数的认识。 丙-乙-甲 乙-甲 丙 【解思路】本题采用列举法比较简便。最简真分 共有24种不同的排队方法。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 138 7.10 6.B 8.18 【明考点】经典试题：稍复杂的排列组合。 【明考点】经典试题：复杂的排列组合。 【解思路】依据题意可知，利用三角形任意两边 之和大于第三边，结合题中数据找出符合要求 【解思路】本题可分情况考虑。如图 AB ,情 DC 的三角形。解答此题时，可以按照最短边长度 况一：当A、C种同一种植物，则A、C有3种栽种 分类（也可按最长边长度分类）。列表如下： 方案，B、D都有2种栽种方案，共有3×2×2= 最短边 长度 构成三角形的三边 个数 12(种)栽种方案；情况二：当A、C种不同的植 物，则A、C有3×2=6（种）栽种方案，B、D有1 2 (2、3、4),(2、4、5),(2、5、6) 3个 种栽种方案，共有3×2×1=6（种）栽种方案。 3 (3、4、5),(3、4、6),(3、5、6) 3个 所以共有12+6=18（种）栽种方案。 4 (4、5、6) 1个 9.15 共3+3+1=7（个）。 【明考点】重难考点：复杂的排列组合。 三、1.【明考点】基础考点：稍复杂的排列组合。 【解思路】颠倒后不变的：①两端都为0的有 【3步图解应用题】 000、010、080,共3个；②两端都为1的有101 第1步阅读与理解 111、181,共3个；③两端都为8的有808、818、 三种颜色的上衣和裤子，同学们任意选择一种 888,共3个；④两端为6和9的有609、906、619、 颜色的上衣和一种颜色的裤子穿上。 916、689、986共6个。故一共有3+3+3+6= 要求的是至少有几名学生才能保证有两名学生 15(个)。 穿的上衣颜色相同，裤子颜色也相同。 二、1.B 第2步分析与解答 【明考点】重难考点：复杂的排列组合。 【解思路】根据题意画出线段图：ABCDEF, 穿同一种颜色的：红+红、黄 +黄、蓝+蓝，共3种。 按左端点分类统计：以A为左端，点有AB、AC、AD、 列出所 AE、AF,共5条；以B为左端，点有BC、BD、BE、BF, 有可能 穿不同颜色的：红+黄、红+ 共4条；以C为左端，点有CD、CE、CF,共3条；以 蓝、黄+红、黄+蓝、蓝+红、 D为左端，点有DE、DF,共2条；以E为左端，点有 蓝+黄，共6种。 EF,共1条。则一共有5+4+3+2+1=15（条）。 可知所有可能共有3+6=9（种） 2.C 那么至少要有9+1=10（名）学生。 3.A 第3步 回顾与反思 4.B 【明考点】经典试题：稍复杂的排列组合。 解决这道题的关键是要 分情况考虑哟！ 【解思路】图中甲区域有3种涂法，相邻区域涂 不同颜色，那么乙区域有2种涂法，丙区域有1 答：至少有10名学生才能保证有两名学生穿的 种涂法，丁区域有1种涂法，共有3×2×1×1= 上衣颜色相同，裤子颜色也相同。 6(种)不同的涂色方法。 2.【明考点】重难考点：复杂的排列组合。 5.c 【3步图解应用题】 【明考点】易错考点：复杂的排列组合+逻辑推 第1步阅读与理解 理能力。 方老师的电话号码是1380791660☐(O、☐表 【解思路】结合题图可知图中左边的一个●表 示忘记的最后两个数字)，O是奇数，☐是偶数。 示1，右边的一个●表示5，所以这样的一个方格 要求的是最多试打几次能拨对方老师的电话。 图可以表示1、2、3…24，共24个不同的非零 第2步分析与解答 自然数。 用列表法列出O、☐的所有可能，如下： 139 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 ■ 3 5 7 9 一科。 0 10 30 50 70 90 “2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地 2 12 32 52 72 92 理四门科目中选择两科。 4 14 34 54 74 94 要求的是这种高考模式中最多出现多少种考试 6 16 36 56 76 96 科目组。 8 18 38 58 78 98 第2步分析与解答 “3”是指语文、数学、外语三门科目为必考科目。 由表可知，共25种可能的号码。 →有1种选择。 第3步 回顾与反思 “1”是指考生在物理、历史两门科目里面必须选 解决这道题的关键是要按一定的顺 一科。→有2种选择。 序列表，避免重复或遗漏。 “2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地 答：最多需要试打25次。 理四门科目中选择两科。→有6种选择。 3.【明考点】经典试题：稍复杂的排列组合+计算 可列式为1×2×6=12（种）。 能力。 第3步 回顾与反思 【3步图解应用题】 还可以采用列举法或列 第1步阅读与理解 表法哟！ “3”是指语文、数学、外语三门科目为必考科目。 答：这种高考模式中最多出现12种考试科目组。 “1”是指考生在物理、历史两门科目里面必须选 专题十二考点71集合 快速对答案 -、1.(1) 喜欢音乐的喜欢美术的 三、1.喜欢陶艺课 喜欢手工课 22)人 (8)人) (12)人 李丽 赵晓刘光 舒展刘青 吴小霞 王小刚王军 张大虎 两项都喜欢的 乔巧 (2)12 两种课程都喜欢 2.203.1 2.77410 4.415.143 四、1.甲校有98人，乙校有96人，丙校有100人。 二、1~5 CBDDC 2.318人 2mmm超详解答案m222w -、1.(1) 喜欢音乐的喜欢美术的 吃苹果的 吃香蕉的 22)人( 8)人)(12) 16人 13 15人 两项都喜欢的 两种水果都吃的 (2)12 可知选择吃苹果和香蕉的共有16+13+15=44 2.20 （人)或29+28-13=44（人），从而可知两种都 3.1 没吃的有45-44=1（人）。 【明考点】基础考点：集合的应用。 4.41【明考点】基础考点：集合的应用。 【解思路】根据题意可画集合图如下： 【解思路】计划跟父母外出旅游的有25人，计划 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 140