考点68 页码问题&考点69 钟表问题-【王朝霞小升初】2026年小升初数学重点中学招生5年真题分类集训

第2步分析与解答 一头拴在一个等边三角形的一个顶点处。 要求剩下自然数的最大值，那么擦去的数应该 等边三角形的边长是6cm。 尽量小。找到规律： 小蚂蚁的初始位置与三角形一边在同一条直线上 首先擦去1、3，写上2； 小蚂蚁沿逆时针方向跑。 擦去2、2，写上2； 要求的是小蚂蚁能跑的最长路线。 擦去2、4，写上3； 第2步分析与解答 擦去3、5，写上4； 分析题意画出小蚂蚁 擦去4、6，写上5； 跑的路线图，如右图。 … 12 擦去2006、2008，写上2007； 小蚂蚁跑的两个较小 6 cm 故剩下自然数的最大值是2007。 孤对应的圆心角都是 180°-60°=120°，较 同理可知，剩下自然 大孤对应的圆心角是 数的最小值是2。 360°-60°=300°。 所以最大值和最小值的差是2007-2=2005。 180°-60°=120 第3步 回顾与反思 360°-60°=300 通过尝试找出规律，进而找到剩下 2x314×12×00+2×314×12-6x120 360 360 自然数的最大值和最小值。 ×2=87.92(cm) 答：这个数可能的最大值和最小值的差是2005。 第3步 回顾与反思 3.【明考点】重难考点：最值问题。 本题的解题关键是确定小蚂蚁跑 【3步图解应用题】 的路线。结合圆的周长计算公式 第1步阅读与理解 进行解答 一条长12cm的绳子，一头系着一只小蚂蚁，另 答：它能跑的最长路线是87.92cm。 专题十一 考点68页码问题 快速对答案 -、1.5162.3536 二、1~5 CCCDB 3.①9②90180③13031393282 三、1.(1)31和30(2)10天 4.2005.68 2.603.16个4.208页 lW超详解答案W1 -、1.516 【解思路】 2.3536【明考点】基础考点：页码问题。 次数 【解思路】1260=2×2×3×3×5×7，因为每张 个位上，每10个数出现 纸正、反两面的页码相差1，根据1260的质因数 500÷10=50(次) 1次。 可得这两个数应为5×7=35与2×2×3×3=36。 十位上，每100个数出现 500÷100×10= 3.①9②90180 10次 50(次) ③13031393282 4.200 百位上，仅在100-199出 100次 【明考点】基础考点：页码问题。 现过。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 134 由上表可知，数字1在页码中共出现了50+505.B【明考点】基础考点：页码问题 +100=200(次)。 【解思路】因为第8页和第21页在同一张纸上， 5.68【明考点】基础考点：页码问题。 第8页前面还有7页，所以与之相对应的第21页 【解思路】1+2+3+…+61=1891，与2008相 后面也应有7页，则这份杂志共有21+7=28 差117。设原来的两个两位数是ab和cd,则 (页)。 (10b+a)-(10a+b)+(10d+c)-(10e+d)= 三、1.(1)(61-1)÷2=3030+1=31 117,即b+d=a+c+13。因为10a+b+10c+ 答：笑笑刚读完的那一页与前一页的页码分别 d=10(a+c)+(b+d)=11(a+c)+13,所以要 是31和30。 使这两个两位数的和最大，即a+c最大。又因 (2)(231-31)÷20=10(天) 为a+c=b+d-13,所以如果a+c最大，则需要 答：剩下的10天能读完。 b+d最大，最大是9+9=18，故a+c最大是18 2.1+2+.+79+80=3240 -13=5。所以这两个两位数的和的最大值是 3300-3240=60 11×5+13=68。 答：这个被多加了一次的页码是60： 二、1.C 3.【明考点】基础考点：页码问题。 之归纳总结页码与数字的关系 【3步图解应用题】 页码范围 数 数字 第1步阅读与理解 19页 9个 9×1=9(个) 页码原先用了9个数字。 又增加了8页。 10-99页 90个 90×2=180(个) 要求的是编页码增加的数字个数。 100~999页 900个 900×3=2700(个) 第2步分析与解答 2.C 19页 共9页 每页用1个数字 3.C【明考点】基础考点：页码问题。 10～99页 共90页 每页用2个数字 【解思路】这9天日期数之和恰好等于117，中间 的日期数是这9个日期数的平均数，即117÷9= (69-9×1)÷2=30(页) 30+9=39(页) 13,再加上(4+1)就是王老师回家的日期数，即 13+4+1=18。故王老师回家这天是6月18日。 原先画册编到39页，增加了8页是从 4.D【明考点】基础考点：页码问题。 第40页到第47页。 【解思路】如果一本书的总页数是两位数，那么 去掉9个一位数页码，(N-9)一定不大于180且 2×8=16(个) 是2的倍数，据此判断选项A;如果一本书的总 第3步回顾与反思 页数是三位数，那么去掉9个一位数和90个两 1×9+(47-10+1)×2-69=16(个) 位数的页码，(N-189)一定不大于2700且是3 答：还要增加16个数字。 的倍数，据此判断选项B、C和D。 4.【明考点】基础考点：页码问题。 选项 分析 统计数据 【3步图解应用题】 是否正确 第1步阅读与理解 A (157-9)÷2=74 是 一本书的页码共用了39个0 B (582-189)÷3=131 是 要求的是这本书的页数。 C (1002-189)÷3=271 是 第2步分析与解答 D (2002-189)÷3=604…1 存 我们先分析1~100页。 由上表可知，2002这个统计数据是错误数据。 135 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 10、20、30.90、100.0只在个位 39-11-20=8(次) 上出现了10次，十位上出现了1次， 201~208又出现了8次。 一共出现了11次。 第3步回顾与反思 在想带0的页码时，除了整十、整 接下来分析101200页。 百、几百几十这些数外，不要忘了 几百零几这些数哟！ 除了在110、120…200这些数中 答：这本书共有208页。 出现了11次外，0还出现在101、102 …109中，共出现了9次，一共出 现了11+9=20（次）。 专题十一 考点69钟表问题 快速对答案 -、1~6 BBCACA 6.(1)12(2)①75②125°或85 二、1.90150 三、1.下午3：00 2.圆31.478.5 2.下午4时12分 4 3.40 4.16 12时40分5.40 3.103.8元 222m超详解答案22m22 -、1.B2.B3.C 三归纳总结时针、分针每分钟转动的度数 4.A【明考点】基础考点：钟表问题。 每分钟转动的度数 【解思路】4时27分，时针在4和5之间，分针在5 分针 360°÷60=6 时针 360°÷(12×60)=0.5 和6之间，如图所示： 一大格是30°，此 二、1.90150 时时针和分针夹角的度数大约在30°。 2.圆31.478.5 5.C【明考点】基础考点：钟表问题。 3.40 【解思路】A、B两个时钟对应的指针恰好指向相 416号12时49分 同的位置，说明A的时针至少比B多走一圈，即 【明考点】基础考点：钟表问题+追及问题。 12小时，A每分钟比B多走70-50=20（秒），最 【解思路】分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°， 短是12×60×60÷20=2160（分）。 第一次成90°角，即分针比时针多走90°，90°÷ 6.A【明考点】基础考点：钟表问题+追及问题。 (6-05)=16(分)。时针与分针第二次成 【解思路】上午9时整，时针和分针所成角是 90°角，即分针比时针多走270°，270°÷(6° 90°，当分针与时针在一条直线上且指向相反，则 05)=497分).为12时40片分。 分针和时针所成角是9时之后的第一个180°。 5.40【明考点】重难考点：钟表问题 分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°，根据“时 【解思路】分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。 间=追及路程÷速度差”可得至少再过(180 设兰兰外出到回家用了x分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x度，则6x-0.5x=110×2,x= 90)(6-05)-16分) 40。故兰兰外出共用了40分钟。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 136 6.(1)12 下午3：00 (2)①75②125°或85 下午2：42 下午4：00 【明考点】基础考点：钟表问题。 下午2：51 下午5：00 【解思路】①表盘为圆形，分成12个大格，每分 下午3：00 晚上6：00 钟时针走过的度数为0.5°。8时整，时针刚好落 在刻度8上，30分钟后时针转动0.5°×30=15°， 下午3：09 晚上7：00 则8：30时，分针落在刻度6处，时针在刻度8过 … …… 15°的地方，即∠E0N=15°+2×30°=75°。② 第3步 回顾与反思 分情况讨论，情况一：当射线OF在∠EON内部 9和60的最小公倍数是180，中午12：00过180 3 分钟是下午3：00。 12 16 答：下一次既响铃又亮灯是下午3：00 时，如图：ABOC(N) D,此时 2.【明考点】重难考点：钟表问题+用比例解决问题。 OF 图③ 【3步图解应用题】 ∠B0F=180°-75°+20°=125°。情况二：当 第1步阅读与理解 射线OF在∠EON外部时，如图： 怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟。 怪钟上的5时实际上是中午12时」 12/ 要求的是怪钟上的6时75分对应的实际时间。 A B OEC(N) D,此时∠B0F=180 第2步分析与解答 F 图③ 先求出怪钟的一天时间与实际的 -75°-20°=85°。 天时间的比。 三、1.【明考点】基础考点：钟表问题+最小公倍数 (10×100):(24×60)=25:36 问题。 【3步图解应用题】 再根据怪钟5时到6时75分的经过时 间用比例解答。 第1步阅读与理解 9分钟亮一次灯。 整时响一次铃。 怪钟上的5时到6时75分经过100+75=175（分） 中午12：00响铃又亮灯。 解：设怪钟上经过175分钟时，实际上经过了x 要求的是下一次既响铃又亮灯的时间。 分钟。 第2步 分析与解答 25:36=175:x x=252 中午12时整响铃又亮灯。 实际中午12时经过252分钟是下午4时12分 第3步回顾与反思 之后每次亮灯的时间依次是中午 252÷36×25=175(分) 12:09、中午12：18、中午12：27… 怪钟上的5时经过175分钟是6时75分 答：实际上是下午4时12分。 而每次响铃的时间依次是下午1：00 3.【明考点】重难考点：钟表问题+用比例解决问题。 下午2：00… 【3步图解应用题】 从中午12：00开始亮灯和响铃的时间如下表。 第1步阅读与理解 亮灯 响铃 不准确的钟需要69分钟（标准时间）时针与分针 才能重合一次。 中午12：00 中午12：00 工人每天的正常工作时间是8小时，每小时工资 中午12：09 下午1：00 是12元，若超出规定时间加班，则每小时工资是 中午12：18 下午2：00 18元。 137 重，点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 要求的是如果一个工人照此钟表工作8小时，他 12 11 实际上应得到的工资。 不准确的钟表走8小时，实际上用的时间：69× 第2步分析与解答 8÷7088 根据题意先求出正常钟表的时针和 分针重合一次需要的时间，再求出 应得工资：12×8+18×(813 -8)=103.8(元) 30 不准确的钟表走8小时，实际上所 第3步 回顾与反思 走的时间… 0.0 本题解题关键点是求出不准确的钟 正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间： 表走8小时实际用的时间。 12(2-1=吕时) 答：他实际上应得到工资103.8元。 第四部分 数学思考 专题十二 数学思考 考点70排列组合 快速对答案 -、1.102.283.154.1530 二、1~6 BCABCB 5.86.247.108.189.15 三、1.10名2.25次3.12种 mmmmmmmmmmmmm超详解答案mmmmmmm mmmmm -、1.102.283.15 数的分母一定要比分子大且分子和分母互质， 4.1530 根据题中数据可得出如下不同的最简真分数： 【明考点】基础考点：握手问题+排列组合。 【解思路】在解决本题时，采用画图法比较直接。 品高”共8个 6.24 甲班来了6人，每两人握一次手，可以画图如下： 【明考点】经典试题：复杂的排列组合。 【解思路】本题采用列表法比较简便 3人都去队伍 1人去队伍一、2人去队伍三 队伍一3人队伍二0人 队伍一1人队伍二2人 可知他们共握了5+4+3+2+1=15（次）手。 甲-乙-丙 甲 乙-丙 甲 乙班来了5人，每人和甲班的每位同学握一次 甲-丙-乙 丙-乙 乙-甲-丙 乙 甲-丙 手，可以画图如下： 乙-丙-甲 乙 丙甲 丙-甲-乙 丙 甲-乙 丙-乙甲 丙 乙-甲 3人都去队伍二 1人去队伍二、2人去队伍 队伍一0人 队伍二3人 队伍一2人 队伍二1人 甲-乙-丙 乙-丙 甲 可知他们共握了5×6=30（次）手。 甲-丙-乙 丙-乙 甲 乙-甲-丙 甲-丙 乙 5.8 乙-丙-甲 丙-甲 乙 【明考点】基础考点：稍复杂的排列组合+最简 丙-甲-乙 甲-乙 丙 真分数的认识。 丙-乙-甲 乙-甲 丙 【解思路】本题采用列举法比较简便。最简真分 共有24种不同的排队方法。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 138专题十一典型应用题 朝假 考点681 页码问题 满分：47分得分： 答案：P134 一、填空题。（每空1分，共14分） 1.〔2025河南郑州〕小雪看一本书，今天从第11页看到第15页，一共看了( )页，明天该看第 )页。 2.〔2025浙江温州)把书中某一张纸正、反两面的页码相乘，积正好是1260，则这两个页码分别是( 和( 3.〔2025四川成都〕一本书共有130页，编写这本书的页码一共要用多少个数字？解决这个问题我们可 以这样分析： ①1至9页，共9页，每页页码是1个数字，一共( )个数字； ②10至99页，共( )页，每页页码是2个数字，一共( )个数字； ③100至( )页，共( )页，每页页码是( )个数字，一共( )个数字。 这样算下来，编写这本书的页码一共要用( )个数字。 4.〔2025北京〕一本书有500页，编上页码1、2、3…，数字1在页码中共出现了( )次。 5.〔2025重庆·逆向思维〕一本书共有61页，顺次编号为1、2…61，某人在将这些数相加时， 有两个两位数都错把个位上的数和十位上的数弄反了，结果得到的总和是2008。那么， 这两个两位数的和的最大值是( )。 二、选择题。（每题2分，共10分) 1.〔2025陕西西安)给一本书编页码，一共用了723个数字，那么这本书有( )页。 A.275 B.276 C.277 D.278 2.〔2024福建泉州)在红色经典阅读活动中，佳佳从星期五开始阅读《闪闪的红星》，并把自己每天阅读 到哪一页的页码记录下来（如下表），下面说法正确的是( )。 星期五 星期六星期日 星期一 页码 52 137 198 231 A.佳佳星期六看了137页 B.佳佳星期日从第198页开始看 C.从画的图可以看出，星期六 D.从画的图可以看出，星期一 读的页数最多。 读的页数最多。 五 六 日 一 五六日 52137198 231 052 137198231 3.〔2023广东广州们〕王老师6月份出差在外，回家后一次撕下过去9天的日历，发现这9天日期数之和恰 好等于117，王老师回家这天是6月()日。 A.16 B.17 C.18 D.19 4.一本书的页码共需N个数字来表示，例如，一本书11页，页码1~11就需13个数字表示。小虎统计了 四本书，页码所需数字的个数分别是157、582、1002、2002，这4个统计数据中错误的数据是()。 A.157 B.582 C.1002 D.2002 5.〔2024山东济南)小强手中拿着一份杂志，不经意间从中掉出一张纸，这才发现装订的订书针脱落了， 捡起这张纸发现第8页和第21页在同一张纸上。请你判断一下，这份杂志共有()。 A.27页 B.28页 C.29页 D.以上答案都不对 三、解决问题。（23分) 1.〔2025陕西西安·真实情境〕“书籍是人类进步的阶梯。”我们要多读书，读好书。笑笑是个小书迷，她最 近正在读一本231页的《名人传记》，但她不小心把书合上了，她记得刚读完的那一页与前一页的页 码之和是61。 (1)笑笑刚读完的那一页与前一页的页码分别是多少？(4分) (2)如果笑笑每天读20页，剩下的几天能读完？（4分) 第三部分 统计与概率 2.〔2025重庆〕一本书的页码从1至80，共有80页。在把这本书各页的页码累加起来时，有一个页码被 错误地多加了一次。结果得到的和为3300。问：这个被多加了一次的页码是几？(5分) 3.〔2025河南郑州〕编一本画册的页码原先用了69个数字，后来又增加了8页，那么还要增加多少个数 字？(5分) 4.〔2025江苏徐州)一本书的页码共用了39个0，问：这本书共有多少页？(5分) 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 79 专题十一 典型应用题 朝 考点69 钟表问题 满分：41分 得分： 答案：P136 一、选择题。（每题2分，共12分) 1.〔2024江苏南京〕分针从数字12走到数字5，走了一圈的( a高 3 C.60 2.〔2025河北邯郸〕钟面上分针转动的速度是时针转动速度的( )倍。 A.60 B.12 C.1 3.〔2025重庆)右图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条稍长刻度线位置是时钟整 点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是( )。 A.10~11时 B.7~8时 C.4~5时 4.〔2025江苏苏州·热点素材〕2024年10月30日4时27分，我国神舟十九号载人飞船成功发射，此时钟面 三部分 上时针和分针所形成的夹角的度数可以用下图中的点( )表示。 ABC 0 90 180 270° 360 计与概率 A.A B.B C.C 5.〔2025陕西西安〕有A、B两个损坏的时钟，每分钟A时钟秒针能走70秒，B时钟秒针能走50秒。现在 两个时钟都停留在3时整，一段时间以后，A、B两个时钟对应的指针恰好指向相同的位置，这段时间 最短是( )分钟。 A.36 B.720 C.2160 6.〔2025湖南岳阳〕现在是上午9时整，至少再过( )分钟，分针与时针在一条直线上，而且指向相反。 A16号 B15号 c15号 二、填空题。（每空1分，共12分） 1.〔2025浙江温州〕3时整，时针与分针的夹角是( )°；7时整，时针与分针的夹角是( )°。 2.〔2025辽宁沈阳〕钟面上的分针转动一周形成的图形是( )。如果分针的长是5cm,那么它旋转 一周针尖走过的路程是( )cm,分针扫过的面积是( )cm2。 3.〔2025湖北武汉〕当钟面显示7时30分的时候，小红开始做作业，她做完作业时发现时针转过的角度 正好是20°，小红做作业用了( )分钟。 4.〔2024湖南长沙〕从12时开始，经过( )分钟，时针与分针第一次成90°角；12时之后，时针与分针 第二次成90°角的时间是( )。 5.〔2025重庆)兰兰下午6时多外出购物，表上的时针与分针的夹角恰好为110°，下午近7时回家，发现 表上的时针与分针的夹角又是110°。那么兰兰外出共用了( )分钟。 6.〔2024浙江金华〕琪琪为了更加高效地完成作业，进行了限时训练，她特意去商店买了一块机械手表。 爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题。图①是一块手表，我们可以理解成图②的数学模型（点A 和，点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上)。 80 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 3 12/ 6 120 6 A B OEC(N) D 9 9 图① 图② 图③ (1)已知表盘直径BC为3cm,CD:AB=2:1,若B是AC中点，则AD=（ )cmo (2)在某个时刻，如图③所示，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与0C重合），时针为OE,琪琪 一看现在正好是8：30。 ①8：30时，分针和时针的夹角为( )°。 ②作射线OF,使∠E0F=20°，此时∠B0F=( )。 三、解决问题。(17分) 1.〔2024上海〕有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃。中午12时整，电子钟响铃又亮 灯。问：下一次既响铃又亮灯是几时？(5分) 2.〔2025浙江杭州)某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟（如下图所示）。 当这只钟显示5时时，实际上是中午12时；当这只钟显示6时75分时，实际上是什么时间？(6分) 100 9 10 /8 2 75 25 7 3 6 54 50 3.〔2025浙江金华〕某工厂的一只走时不够准确的钟表需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一 次。工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间，每小时工资是12元，若超出规定时间加班，则每 小时工资是18元。如果一个工人照此钟表工作8小时，那么他实际上应得到工资多少元？(6分)