考点74 鸽巢问题&考点75 计数原理-【王朝霞小升初】2026年小升初数学重点中学招生5年真题分类集训

专题十二数学思考 考点74 鸽巢问题 满分：45分 得分： 答案：P146 一、填空题。（每空1分，共11分） 1.〔2025河南郑州)10只兔子放进3个笼子里，总有一个笼子里至少放( )只兔子。 2.〔2023安徽安庆〕一个公司有49个人，至少有( )个人属相相同。 3.〔2025江苏徐州〕玲玲把3种不同的邮票各5枚放进集邮册里，如果任意取出一些，要保证取到2枚相 同的邮票，至少要取出( )枚：要保证取到3枚相同的邮票，至少要取出( )枚。 4.〔2025河南郑州〕把26条金鱼最多放进( )个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。 5.〔2025山东聊城〕从一副扑克牌中抽去大、小王两张牌后，在剩余的52张牌中任意取牌，至少要取 )张才能保证有3张黑桃。 6.〔2025江苏盐城〕袋子中装有15个红球和15个白球，形状大小均相同。如果优优闭上眼睛，一次最少 要取出( )个球，才能保证其中既有红球又有白球。 7.〔2024河南许昌〕老师把一些图书分发给8名同学，总有1名同学至少分到3本，这些图书至少有 ( )本 8.〔2024湖北武汉)在一个袋子中装有20粒同一种形状的纽扣，其中黑色的有6粒，蓝色的有4粒，红色 的有10粒。摸出11粒时，其中一定有( )色的纽扣。 9.〔2023陕西西安〕小李的袜子筐中有12只黑袜子和20只白袜子。这天，他整理筐中的袜子，每次拿2 只，如果其中有黑袜子就把2只都放到一旁，然后从筐中重拿。那么，他至少拿( )次才 四部分 能保证一定同时拿到2只白袜子。 10.〔2025辽宁鞍山〕一次测验共有10道题，评分标准为：正确得5分，错误或不答得0分。至少有( 学思考 人参赛，才能保证至少有3人得分相同。 二、选择题。（每题2分，共16分) 1.〔2025安徽蚌埠·中华优秀传统文化〕古代将处暑分为三候：“一候鹰乃祭鸟；二候天地始肃；三候禾乃 登。”“鹰乃祭鸟”是指此节气中老鹰开始大量捕猎鸟类。6只老鹰共捕获了34只鸟，总有一只老鹰至 少捕获了( )只鸟。 A.4 B.5 C.6 D.7 2.〔2025广东广州〕一个十二位数中，至少有( )个数位上的数字是相同的。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.〔2024河南信阳〕在任意35个人中，至少有( )人的生日是在同一个月 A.2 B.3 C.4 D.5 4.〔2025浙江丽水〕袋子中装有5个红球、3个白球、2个绿球和1个蓝球，除颜色外球的形状大小均相同。 如果一次摸出7个球，至少能摸到1个( )球。 A.红 B.白 C.绿 D.蓝 5.〔2024陕西西安〕从1、2、3、…、90中，至少取( )个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数 是5的倍数。 A.18 B.72 C.19 D.73 86 重，点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 6.〔2024河南三门峡)某小学有6个年级，每个年级有8个班。一天放学，8名同学同时走出校门。下列 说法中正确的是()。 A.他们中至少有2人的出生月份相同 B.他们中至少有2人是同一个班的 C.他们中至少有2人的属相相同 D.他们中至少有2人是同一个年级的 7.〔2023江苏南京〕学校图书室有文艺、科普、历史三类图书。图书室开放日中，每个学生从中任意借2 本书，那么至少要( )个学生才能保证一定有2人所借的图书种类相同。 A.5 B.6 C.7 D.8 8.〔2025江西南昌〕100个零件中有9个次品，要保证拿出的零件中至少有1个是次品，则至少要拿出 ()个。 A.10 B.91 C.92 D.100 三、〔2024河北石家庄〕在圆圈中画●，把这些●放在两个信封里。使画的●最少，且不管怎么放，总有一 个信封里至少有4个●。(5分) 信封1 信封2 四、解决问题。(13分) 1.〔2023河南洛阳〕张叔叔参加飞镖比赛，投了7镖，成绩是57环。张叔叔至少有一镖不低于9环，为什 么？(6分) 2.〔2024湖北宜昌〕某校新学期开始，六年级一班共有43人投票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐 乐、喜喜、欢欢，得票最多的人当选。开票中途票数统计如下表，乐乐至少还要得多少票才能保证一 定当选？(7分) 候选人 乐乐 喜喜 欢欢 票数 12 10 d 专题十二数学思考 玉朝 考点75 9 计数原理 满分：37分得分： 答案：P148 ≈命题点1车票问题 一、填空题。（每空1分，共5分) 1.〔2025浙江绍兴〕某列往返于南京和上海之间的沪宁动车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。铁路运 营公司要为这列动车准备( )种车票。 2.〔2024湖北武汉〕由襄阳东站到汉口站的某列动车，运行途中停靠的车站依次是：枣阳、随州南、安陆 西、孝感东，那么铁路运营公司要为这条线路准备的车票有( )种。 3.〔2024安徽合肥〕如图，在线段AD上有两点B、C,则图中共有( )条线段；若把A、B、C、D看作车 站的四个站点，则列车在这条线路上往返应该共印制( )种车票。 AB C D 4.〔2025陕西宝鸡〕某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路 上两站之间往返的车票不一样。那么，这样需要增加( )种不同的车票。 二、选择题。（每题2分，共4分)】 1.〔2025四川雅安)某列动车共设北京南、济南西、徐州东、南京南、上海虹桥五站。需要制定a种票价， 设计b种车票，则a、b的值分别是()。 A.5、10 B.6、12 C.8、16 D.10、20 2.〔2023陕西西安〕如图，AB是一段火车行驶路线图，图中字母所示的7个点表示7个车站，某列火车在 这段路线上往返行驶，需印制几种车票？最多有几种票价？()（每种车票都要印上起，点站与终 点站) y E G A.2121 B.4242 C.4221 D.2142 ≈命题点2握手问题 三、填空题。（每空1分，共2分) 1.〔2025陕西西安)小丽过生日邀请了12个好朋友，如果在场的每两人握一次手，则这次生日一共要握 手( )次。 2.〔2025广东广州)有50名同学参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到 会的女生只差1个男生没握手，第三个到会的女生只差2个男生没握手。按照如此规律， 最后一个到会的女生同7个男生握过手。这50名同学中有( )名男生。 四、选择题。（每题2分，共4分) 1.〔2025云南昆明〕蚂蚁之间有一种特殊的信息交流方式，2只蚂蚁碰一次触角就完成了一次信息交流。 现有5只蚂蚁，每2只蚂蚁交流一次信息，它们一共需要碰多少次触角？下列想法错误的是()。 2.〔2024湖北武汉〕参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有( )人参加聚会。 A.6 B.7 C.8 五、〔2025上海〕如图，初次见面的朋友通常以握手示礼。我们可以用点来表示每个人，连接两点的线段 数量表示握手的次数。如果握手的人数是9，那么握手的总次数是多少？(6分)】 握手图示 握手人数 握手次数 2 1 3 3 6 ≈命题点3比赛场次 六、填空题。（每空1分，共4分) 1.〔2024天津〕某校举行围棋大赛，4支围棋队进行单循环赛制（所有参加比赛的队伍，每一队都要与其 他各队比赛一场)，总共比赛( )场。如果是8支围棋队，总共比赛( )场；m支围棋队，总 共比赛( )场。 2.〔2025江苏南京〕某市组织篮球循环比赛，比赛采取主、客场循环赛（每支球队都要与其他队比赛两 场)进行。所有比赛共进行了210场，那么一共有( )支球队参加。 四部分 七、选择题。（每题2分，共4分） 1.〔2025山东青岛〕某学校组织初中围棋比赛，赛制为单循环比赛（即每两个人之间比赛一场），共安排 66场比赛，那么一共有()个人参加比赛。 A.12 B.11 C.66 D.65 2.〔2024江苏苏州〕有40名羽毛球运动员参加淘汰制比赛（即每比赛一场选出一位胜者进入下一场比 赛)，决出最后的冠军，一共要比赛( )场。 A.20 B.39 C.80 D.21 八、〔2025辽宁鞍山)学校举办足球比赛，参加比赛的每一支球队都需要与其他所有的球队各比赛一场。 若报名参加比赛的有4支球队，一共需要进行多少场比赛？若报名参加比赛的有支球队，你能找 到比赛场次与参赛球队支数之间的规律吗？若这些球队一共进行了21场比赛，请你猜想一共有多 少支球队参加比赛，并验证你的猜想。(8分) 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 873.510 第2步分析与解答 【明考点】基础考点：两端都不栽的植树问题。 这类问题相当于植树问题，先求出 【解思路】6根短绳结成一根长绳，可以看成是两 8辆车全长，再求出间隔总长度，用 端都不栽的植树问题，则需要打6-1=5（个） 两者的和与100m比较即可得出结论。 结。也可画图，如下图： XXXX X 8辆大客车全长8×11=88(m) 间隔数：8-1=7 打一个结需要2分钟，则一共需要5×2=10（分）。 总长度：3×7+88=109(m) 七、【明考点】基础考点：植树问题的变形。 100<109 不能停下 【3步图解应用题】 第3步回顾与反思 第1步阅读与理解 8辆大客车想停在校外一条长100m的道路一侧。 你知道植树问题在生活 中还有哪些应用吗？ 每辆大客车长11m。 间隔3m。 要求的是这条路的一侧能否停下这8辆大客车。 答：这条路的一侧不能停下这8辆大客车。 专题十二 考点74鸽巢问题 快速对答案 -、1.42.53.474.65.42 四、1.57÷7=8（环）…1（环） 6.167.178.红9.1310.23 如果都是8环，成绩就是56环。 二、1.C2.B3.B4.A5.D 8+1=9(环) 6.D7.C8.C 则至少有一镖不低于9环。 ●●●0●●● 2.6票 Rummmmmmmmmmmm超详解答案RmmmmmmmmmR -、1.4 7.17【明考点】经典试题：鸽巢问题。 2.5 【解思路】利用抽屉原理最差情况：要使图书的 之归纳总结鸽巢问题 本数最少，只要先使每个同学分2本，再拿出1 ①把(n+1)个物体任意放进n个空抽屉中(n 本就能满足总有一名同学至少分到3本。因此 为非0自然数)，那么总有一个抽屉至少放了 可列式8×2+1=17（本）。 2个物体。 8.红【明考点】经典试题：鸽巢问题。 ②把多于m(k是正整数)个物体任意放进n 【解思路】黑色的有6粒，蓝色的有4粒，红色的 个空抽屉中，那么总有一个抽屉里至少放进 有10粒，11粒超出黑色和蓝色的数量之和。要 了(k+1)个物体。 摸出11粒，其中一定有红色的纽扣。 3.474.6 9.13【明考点】经典试题：鸽巢问题。 5.42【明考点】经典试题：鸽巢问题。 【解思路】最差情况下，每次拿到的都是1只黑 【解思路】剩下的52张牌中有红桃、方块、梅花、 袜子和1只白袜子，在第12次之后，黑袜子全部 黑桃各13张，假设最差情况：先取出红桃、方块、 拿完，只剩下白袜子。再拿一次，就能同时拿到 梅花各13张，需要取13×3=39（张），则再取3 2只白袜子，所以至少拿12+1=13（次）才能保 张一定能取到3张黑桃，即至少要取39+3=42 证一定同时拿到2只白袜子。 (张)才能保证有3张黑桃。 10.23【明考点】经典试题：稍复杂的鸽巢问题。 6.16 【解思路】分析可知有0、5、10、15…45、50，共 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 146 11种得分情况。要满足至少有3人得分相同，最 ①2本文艺类 ②2本科普类 ③2本历史类 坏的打算是每种得分情况都有2人，那么再有1 ④1本文艺类 ⑤1本文艺类 ⑥1本科普类 人，才能保证至少有3人的得分相同，所以至少 1本科普类 1本历史类 1本历史类 有11×2+1=23（人）参加比赛。 考虑极端情况，每种借法都有一个学生借，则至 二、1.C2.B 少要6+1=7（个）学生才能保证一定有2人所借 3.B【明考点】经典试题：鸽巢问题。 的图书种类相同。 【解思路】一年有12个月，把这12个月看作12 8.C【明考点】经典试题：稍复杂的鸽巢问题。 个抽屉，把35个人看作35个元素，35÷12=2 【解思路】考虑最差情况，前面拿到的都是合格 (个)…11（个）。所以每个抽屉需要放2个元 的零件，则需要拿出100-9=91（个），再拿出1 素，剩下的11个元素，无论怎样分配都会出现一 个一定是次品，则要保证拿出的零件中至少有1 个抽屉有3个元素，所以至少有3人的生日在同 个是次品，至少要拿91+1=92（个）。 一个月。 三 ●●●●●●● 4.A【明考点】经典试题：鸽巢问题。 【解思路】白球、绿球、蓝球总个数为3+2+1= 四、1.【明考点】经典试题：鸽巢问题。 6(个)。如果前5个都摸到红球，则后面摸的球 【3步图解应用题】 可能是蓝球、白球或绿球；如果前6个摸到的是 第1步阅读与理解 蓝球、白球和绿球，则第7个摸到的一定是红球。 投了7镖。 成绩是57环。 所以如果一次摸7个球，至少能摸到1个红球。 要求的是张叔叔至少有一镖不低于9环的原因。 摸到的一定有1个是红球。 第2步分析与解答 5.D【明考点】经典试题：鸽巢问题。 由题意画图 【解思路】90÷5=18（个），1~90的数中，有18个 8888888888888888888888888888 5的倍数，则有90-18=72（个）不是5的倍数， 共56个●，还剩1个●，这1个●不论放在哪个格 所以至少取出72+1=73（个）数才能保证所取 子里，都会出现至少有一个格子不少于9个·，即 数中一定有一个数是5的倍数。 9环。 6.D 列式计算为： 【明考点】经典试题：鸽巢问题。 57÷7=8(环)…1（环） 【解思路】本题解题关键在于考虑极端情况。 如果都是8环，成绩就是56环。 选项 分析 结论 8+1=9(环)则至少有一镖不低于9环。 第3步回顾与反思 8名同学可能是8个不同月 A 错误 份出生的。 如果投了5镖，成绩是36环， 8名同学可能分别是同一个 则至少有一镖不低于多少环？ B 错误 年级的8个班的。 36÷5=7(环)…1（环） C 8名同学可能有8个属相。 错误 7+1=8(环) 8名同学6个年级，如果每个 答：至少有一镖不低于8环。 年级有1名同学，则还有2 2.【明考点】经典试题：复杂的鸽巢问题。 D 名同学，可能是6个年级中 正确 【3步图解应用题】 的1个或2个年级，则至少有 第1步阅读与理解 2人是同一个年级的。 共有43人投票选举班长，每人只能选1人。 7.C 得票最多的人当选。 【明考点】经典试题：稍复杂的鸽巢问题。 开票中途乐乐12票，喜喜10票，欢欢8票。 【解思路】借2本，则有如下6种借法： 要求的是乐乐保证一定当选还需要的票数。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 第2步分析与解答 才能保证一定当选。 候选人 乐乐 喜喜 第3步 回顾与反思 欢欢 票数 12 10 8 将计算的结果代入 验算一下是否正确。 由表可知： 还剩43-12-10-8=13（票） 乐乐：12+6=18（票） 乐乐比喜喜多2票，假设剩下的13票给喜喜2 13-6=7(票) 票，两人现有的票数就一样多。 假设剩下的7票都选喜喜 (13-2)÷2=5(票)…1（票） 喜喜：10+7=17（票） 5+1=6(票) 18>17 剩下的根据鸽巢问题可知乐乐至少还要得6票， 答：乐乐至少还要得6票才能保证一定当选。 专题十二 考点75计数原理 快速对答案 -、1.202.303.6124.48 六、1.628m×(m-1)÷2 二、1.D 2.C 2.15 三、1.782.28 七、1.A2.B 四、1.B2.C 五、36次 八、6场 nx(n-1)场 2 7支 2超详解答案22 一、1.20【明考点】基础考点：车票计数。 票价，那么需要制定4+3+2+1=10（种）票价； 【解思路】设南京和上海之间的3个停靠站分别 有多少种车票是需要考虑顺序的，则有10×2= 20(种)车票。 为A、B、C,如图南京A B 上海，由图可 2.C 三、1.78 知从南京到上海单程需要4+3+2+1=10（种） 三归纳总结握手公式 车票，往返是两种不同的车票，所以铁路运营公 握手次数=人数×（人数-1）÷2 司针对此列动车需要准备10×2=20（种）不同 行程的车票。 2.28 2.30 【明考点】基础考点：握手问题。 3.612 【解思路】根据题意，设这50名同学中有n名女 4.48【明考点】基础考点：稍复杂的车票计数。 生，则有(50-n)名男生。 【解思路】经分析可知原来共有车票：(1+2+3 女生 第(n- +…+6)×2=42(种)，新增车站后共有车票： 次序 第1个 第2个 1)个 第n个 (1+2+3+…+9)×2=90(种)，需要增加的车 握手 50-n 50-n- 50-n 50-n 票：90-42=48（种）。 男生 -1 (n-2) (n-1) 二、1.D【明考点】基础考点：车票计数。 由此可得50-n-(n-1)=7,解得n=22,50-n= 【解思路】此题相当于一条线段上有5个点，如图 28。所以这50名同学中有28名男生。 四、1.B E,有多少条线段即有多少种 2.C【明考点】基础考点：握手问题。 【解思路】根据公式：握手次数=人数×（人数 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 148 1)÷2,可知28=人数×（人数-1）÷2，因此人 比赛了210场，所以(n-1)×n=210,故n=15。 数×（人数-1）=56，两个相邻的数相乘结果是 七、1.A 56,由此可知人数为8。 2.B【明考点】基础考点：比赛场次。 五、【明考点】基本考法：握手问题+认识多边形对 【解思路】淘汰赛每赛一场就要淘汰1名运动员， 角线和边长+计算能力。 而且只能淘汰1名，最后只剩下冠军1人，即淘汰 【3步图解应用题】 掉多少名运动员就恰好进行了多少场比赛，所以 第1步阅读与理解 一共要比赛40-1=39（场）。 握手的人数是9。要求的是握手的总次数。 ≈易错点拔单淘汰赛制 第2步 分析与解答 比赛场数=参赛人数-1 八、【明考点】基本考法：比赛场次+找规律+计算 能力。 【3步图解应用题】 第1步阅读与理解 如上图所示，用1个点来表示1个 人，每两点连接一次，线段数量表示 已知报名参加比赛的有4支球队 握手的次数。 4支球队一共需要进行多少场比赛 线段数量表示握手的次数，因此握手的总次数 比赛场次与参赛球队支数之间的规律 是36。 要求 若这些球队一共进行了21场比赛，猜 第3步 回顾与反思 想一共有多少支球队参加比赛并验证 根据图表给出的类比规律，可知当 猜想。 有n个人时，握手次数为n(n-1)÷ 第2步分析与解答 2。代入求值，看看握手的人数是9 报名参加比赛的有4支球队，每支球 时，握手的总次数是否是36次。 队都要与其他3支球队进行比赛，由 9×(9-1)÷2=36(次) 于第1支和第2支与第2支和第1支 答：握手的总次数是36次。 是同一场比赛，因此报名参加比赛的 六、1.628m×(m-1)÷2 4支球队，一共需要进行4×3=6 2 【明考点】基础考点：比赛场次+计算能力。 (场)比赛。 【解思路】4支围棋队每两队都要比赛，那么每队 都要比(4-1)场，用乘法可求出4×(4-1)=12 同理，如果报名参加比赛的有几支球 (场)，这样每两队重复比赛了一场，所以总共比 队，每支球队都要与其他(n-1)支 赛12÷2=6（场）。同理，8支围棋队总共比赛8 球队进行比赛，由于第1支和第2支 与第2支和第1支是同一场比赛，因 ×(8-1)÷2=28(场)。由此可得m支围棋队总 此报名参加比赛的n支球队，一共需 共比赛[m×(m-1)÷2]场。 2.15【明考点】基础考点：比赛场次+计算能力。 要进行几x(n-1》场比赛。若已知 3 【解思路】设有n支球队，根据题中赛制“每支球 共进行了21场比赛，即nx(n-1) 队都要与其他队比赛两场”可以画图如下： 2 2支球队3支球队4支球队 21,得n×(n-1)=42。因为7× 6=42,所以n=7,即一共有7支球 .n支球队 队参加比赛。 2场 6场 12场 第3步 1×2 2×3 3×4 [(n-1)×n场 回顾与反思 由图可知n支球队共比赛[(n-1)×n场。因为共 7×(7-1)=21(场) 2 149 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 行6场比赛；若报名参加比赛的有n支球队， 当有7支球队参加比赛时，比 赛了21场。 共需要进行nx())场比赛；若一共进行了 2 21场比赛，则一共有7支球队参加比赛。 答：若报名参加比赛的有4支球队，一共需要进 专题十二考点76逻辑推理 快速对答案 一、1.书法 2 2.3 3.D FE 6 4.918 二、15 CBCBB 36 2 三、1. 红帽子 白帽子 蓝帽子 6 }5 9 4 6 张老师 王老师 李老师 346825 79 971643852 四、1.丁的职业是工人。 2.他们的身高从高到低的排序是乙、甲、丙、丁。 mmmmmmmmmm超详解答案mmmmmm mmmmm 一、1.书法2.3 综上，皮箱的密码是918。 3.DFE【明考点】重难考点：逻辑推理。 三归纳总结简单的推理方法 【解思路】根据题意可知，每个班每次只有一个 1.直接推理判断。直接利用题目中所包含的 班长参加。结合下表： 已知条件，通过分析、比较、判断、推理得出 A B C D E 结论。 第一次 2.排除法。把不符合题目要求的结论排除 掉，保留合理的结论。 第二次 3.假设法。先假设某种情况成立，并利用条 第三次 件进行推理，推出已知条件和假设矛盾，说 从第一次和第二次看，B和A、C、D、E都同时出 明假设不成立。 现过，B和F未同时出现过，所以B和F同班；从 4.图解法。把条件和推理过程用图示表示出 来，一目了然。 第一次和第三次看，A和B、C、E、F都同时出现 过，A和D未同时出现过，所以A和D同班。还 二、1.C 剩下C和E同班。综上，A和D同班，B和F同 2.B 班，C和E同班。 【明考点】重难考点：逻辑推理。 4.918【明考点】重难考点：逻辑推理。 【解思路】根据题意列表如下： 【解思路】根据题意可知，他们每人都只猜对了 位置不同的一个数字。结合下表： 小王 小张 小李 工人 百位 十位 个位 医生 小光 9/ 5× 4× 军人 小明 3 5× 8 由表格可知，小李是医生。还可以推理出：小张 小亮 2 1V 4× 的年龄>医生（小李）>军人的年龄，将表格进 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 150