考点43 涂色问题&考点44 挖洞问题-【王朝霞小升初】2026年小升初数学重点中学招生5年真题分类集训

专题八立体图形 王朝霞 考点43 涂色问题 满分：50分得分： 答案：P81 一、填空题。（每空1分，共17分） 1.〔2025河南商丘〕如图，在棱长是3cm的正方体的表面涂色，然后把它分割成棱长为1cm的小正方体， 其中： (1)三个面涂色的有( )个。 (2)两个面涂色的有( )个。 (3)一个面涂色的有( )个 (4)六个面都没有涂色的有( )个 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，将六面涂色的长方体拆成6个小正方体，四面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正 方体有( )个。 3.如图，将一个棱长是8dm的大正方体表面涂色，并切成棱长是2dm的小正方体，切开后两面涂色的 小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 4.由343个小正方体组成的大正方体表面涂色后再分开，有( )个三面涂色的，有( )个 两面涂色的，有( )个一面涂色的，有( )个没有涂色的。 5.一个表面涂色的正方体，每条棱都被平均切成相同的份数，其中两面涂色的小正方体有24个，则一 面涂色的小正方体有( )个。 6.把一个长8cm、宽6cm、高5cm的长方体木块的表面涂上红色，再切割成棱长都是1cm的小正方体。 没有涂色的小正方体有( )个 7.〔2025河北保定〕有5个棱长为2dm的正方体硬纸箱堆放在墙角（如图），体积一共是( )dm3。将露 出的表面都涂上颜料，涂颜料的面积是( )dm2。 第7题图 第8题图 8.如图，给这个物体表面涂色，三面涂色的小正方体一共有( )个。 二、判断题。（每题1分，共4分) 1.〔2025江苏苏州)把一个表面涂满颜色的正方体的每条棱平均分成2份，分成的8个小正方体都是三 面涂色的。 () 2.〔2024安徽淮南〕一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余），三面 涂红色的小正方体总是8个。 () 3.先将一个长9cm、宽3cm、高1cm的长方体木块的表面涂上油漆，再切成27个棱长为1cm的小正方 体，则两个面涂油漆的小正方体有7个。 () 4.〔2025江苏南京〕一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色 的小正方体有24个。 ( 三、选择题。（第6题4分，其余每题2分，共14分) 1.一个棱长为8cm的大正方体，由若干个棱长为1cm的小正方体组成，现在要将大正方体表面涂色， 一共有( )个小正方体被涂上了颜色。 A.296 B.324 C.328 D.384 2.〔2024山东烟台〕把一个棱长为9cm的正方体表面涂上油漆，然后全部切割成棱长为3cm的小正方 体，任何一面都没有油漆的小正方体有()个。 A.1 B.3 C.6 D.8 3.〔2024江苏泰州〕如右图，从一个体积是30cm的长方体木块中，挖掉一小块后在表面 涂上颜色，三面都涂色的小正方体有( )个。 A.8 B.9 C.10 D.11 第 4.一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5次，沿着宽边等距离切4次，沿着高边等距离切 部 ( )次，切块后各面上均没有红色的小方块有24块。 图 A.2 B.3 C.4 D.5 与 5.〔2025河北廊坊〕将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1cm的小正方体，其中一面都没 何 有红色的小正方体只有3个，原来长方体的表面积是( )cm2。 A.60 B.66 C.78 D.90 6.〔2025四川德阳〕用18个棱长1cm的小正方体拼成一个体积为18cm3的长方体，表面涂漆后分开，则 3个面涂色的小正方体最多有( )个，最少有()个。 A.18 B.14 C.8 D.0 四、解决问题。（共15分) 1.〔2025湖北黄冈〕把一个正方体的六个面都涂上色，然后按下图方式锯两次，锯成4个同样的小长方 体。如果没有涂色的面积和是64cm,那么涂色的面积和是多少平方厘米？(5分) 2.〔2024湖北荆门〕如下图，30个棱长为1m的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不 一定对齐，即层与层之间摆得不正)，然后喷蓝色油漆（底面和被盖住的地方喷不上）。之后把它们拆 散，这样有的小正方体只有一部分不规则的蓝色，有的一个面是蓝色，有的完全没有喷上蓝色，求这 些蓝色面积的总和。（5分) 3.将27个大小相同的小正方体拼成一个大正方体，现将大正方体各个面上的某些小正方形涂色（如图 所示)，而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同，至少有一个面涂色的小正方体有 多少个？(5分) 重，点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 51 专题八立体图形 王朝 考点44挖洞问题 满分：60分 得分： 答案：P82 一、选择题。（每题4分，共12分） 1.〔2025山东济宁〕有一个长方体零件，从上面挖出一个正方体的洞（如下图）。现在这个零件的体积和 表面积与原来相比，()。 A.体积减少，表面积减少 B.体积不变，表面积不变 第二部分 C.体积增加，表面积减少 D.体积减少，表面积增加 2.〔2025陕西咸阳〕有一个棱长是4dm的正方体零件，从它一个面的正中间向对面挖去一个底面边长是 形 1dm的正方形的小长方体（如图），这个零件的表面积()。 A.增加了14dm2 B.减少了16dm2 何 C.减少了14dm2 D.增加了16dm2 3.在一个圆柱形物体中挖一个最大的圆锥形孔（圆锥的顶，点在圆柱底面圆心上），那么挖去的体积是圆 柱体积的( A写 B C.2倍 D.3倍 二、解决问题。（共48分） 1.〔2025湖北随州)如下图，在一个长方体木块中挖了一个底面直径为10cm的圆柱形孔，求这个物体的表 面积。(5分) 20 cm 30 cm cm 2.〔2025河北邢台〕有一个圆柱形零件，高10cm,底面直径6cm。零件的一端有一个圆柱形的圆洞，圆洞 的底面直径是4cm,洞深5cm(如图)。 (1)这个零件的体积是多少立方厘米？(5分) (2)如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？(5分) 52 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 3.〔2025湖南岳阳〕一个圆柱形金属零件上有9个圆柱形孔（如下图，孔上下贯通）。这个零件的金属用 量大约是多少立方分米？（得数保留两位小数）(5分) 4 cm 3多 2 cm ●) 10 cm 12 cm 4.〔2025浙江温州〕有一个长方体零件，中间挖去一个正方体洞（如下图）。请你算出它的体积和表面积。 (单位：cm)(5分) 6 8 5.如下图，在一个底面半径为5cm、高为6cm的圆柱中挖去一个底面边长为2cm的方形孔，现在这个 物体的表面积是多少平方厘米？(5分) 6 cm 6.〔2024江苏连云港)下图是一个棱长为5dm的大正方体玩具，做这个玩具要分别在大正方体的6个面的 中心位置挖去一个棱长为1dm的小正方体。这个玩具的表面积是多少平方分米？(6分) 7.图A是一个由125个小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出一些小正方体，抽的方法：从 一个面到其对面所涉及到的小正方体都要抽掉。图B中红色部分就是抽出后的情形，则图B中一共 抽出了多少个小正方体？(6分) 8.在一个棱长是4cm的正方体上面的正中间挖一个棱长是2cm的正方体小洞（如图）；接着，在小洞底 面的正中间再向下挖第二个棱长为1c的正方体小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为 0.5cm。那么，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？(3)【明考点】易错考点：长方体、圆柱的体积公 第2步分析与解答 式+完全浸人且溢出问题。 330×3÷(30×10)+9=12.3(dm)12.3>12 【3步图解应用题】 此时水会溢出，所以水面高是12dm。 第1步阅读与理解 高度大于12dm,说明水会溢出，水面 一个底面长30dm、宽10dm、高12dm的长方体 水光，水占圣 高度最高是12dm。 第3步回顾与反思 将3个高11dm、体积330dm3的圆柱放入池中 答：水面高度又变成了12dm。 要求的是水面的高度。 专题八考点43涂色问题 快速对答案 -、1.(1)8(2)12(3)6(4)1 三、1~5 AADBC 2.423.24244.860150125 6.B D 5.246.727.40408.7 四、1.96cm22.56m2 二、1~4VWW× 3.20个 merreenpmnenpnner 超详解答案m -、1.(1)8(2)12(3)6(4)1 三、1.A【明考点】基础考点：涂色问题。 2.42 【解思路】没有涂色的小正方体个数为(8-2)3= 3.2424 216(个)，被涂上了颜色的小正方体个数=小正 三易错点拔大正方体中涂色正方体的个数 方体的总个数-没有涂色的小正方体个数=8 n是每条棱上的正方体个数。 -216=296(个)。 2.A3.D 涂色面数 位置 个数 4.B【明考点】重难考点：涂色问题+锯木头问题。 三面 顶点 8个 【解思路】每个面上等距离切次，那么每条棱上 两面 棱中间 12(n-2)个 有(n+1)个小方块。各面上均没有红色的小方 一面 面中间 6(n-2)2个 块处在长方体的中心，也是一个长方体。 不涂色 内部 (n-2)3个 长 宽 高 切后小方块个数 5+1=64+1=5 4.860150 125 中心未涂色长方 5.246.72 体棱上小方块的 24÷4 6-2=45-2=3 7.4040【明考点】高频考点：涂色问题+正方 ÷3=2 个数 体体积。 求得切块后高上的小方块个数为2+2=4（个），因 【解思路】①5个正方体体积为2×5=40(dm)。 此沿着高边等距离切4-1=3（次）后，各面上均 ②涂颜料的面积就是这堆硬纸箱露在外面的面 积，前面有4个正方体的面露在外面，右面、上面 没有红色的小方块有24块。 都有3个正方体的面露在外面，所以露在外面的 5.C 面积是(4+3+3)×(2×2)=40(dm)。 6.B D 8.7 四、1.64÷4×6=96(cm2) 二、1.V2.√3.√ 答：涂色的面积和是96cm2。 4.×【明考点】基础考点：涂色问题。 2.4×4×12+(1+2+3+4)×12×4=56(m2) 【解思路】两面涂色的小正方体在棱上，每条棱 答：这些蓝色面积的总和是56m2。 上有5-2=3（个）两面涂色的小正方体，12条棱 3.7+6+7=20(个) 上共有12×3=36（个）两面涂色的小正方体。 答：至少有一个面涂色的小正方体有20个。 本题说法错误。 【明考点】新颖考法：涂色问题+空间想象能力。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 【解思路】从上往下数。 要求的是至少有一个面涂色的小正方体的个数。 层数 涂色小正方体的个数 注意：至少有一个面涂色的小正方体的个数也就 第一层 7个 是所有涂色的小正方体的个数。 第二层 6个 第三层 7个 专题八考点44挖洞问题 快速对答案 -、13DAA 3.0.75dm34.232cm3252cm2 二、1.1700cm2 5.385.4cm26.174dm2 2.(1)219.8cm3(2)307.72cm2 7.49个8.117cm2 W超详解答案W -、1.D 753.6cm3=0.7536dm3≈0.75dm 归纳总结挖洞问题（挖小正方体） 答：这个零件的金属用量大约是0.75dm。 4.8×6×5-23=232(cm3) 挖的位置 表面积变化情况 (8×6+8×5+6×5)×2+2×2×4=252(cm2) 答：它的体积是232cm3,表面积是252cm2。 每 在面上挖 增加4个内壁面 5.【明考点】重难考点：圆柱表面积+长方体的侧 面积+计算能力。 在棱上挖 增加2个内壁面 【3步图解应用题】 第1步阅读与理解 圆柱上挖去一个底面边长为2cm的方形孔。 在角上挖 不变 圆柱的底面半径是5cm,高是6cm。 要求的是现在这个物体的表面积是多少。 2.A3.A 第2步分析与解答 二、1.(30×5+30×20+5×20)×2=1700(cm2) 与之前的圆柱相比，圆柱侧面积没有发 1700-3.14×(10÷2)2×2+3.14×10×5= 生变化，但圆柱的中间增加了4个面。 1700(cm2) 答：这个物体的表面积是1700cm。 6 cm 2.(1)3.14×(6÷2)2×10-3.14×(4÷2)2×5= 219.8(cm3) 答：这个零件的体积是219.8cm。 圆柱的上、下底面都减少了一个边 (2)3.14×(6÷2)2×2+3.14×6×10+3.14×4 长为2cm的正方形的面积。 ×5=307.72(cm2) 圆柱的侧面积：2×3.14×5×6=188.4(cm2) 答：一共要涂307.72cm2。 物体上下底面的面积和：(3.14×52-2×2)× 【明考点】基础考点：圆柱的体积+圆柱的表面 2=149(cm2) 积+空间想象能力。 中间新增加的面积：2×6×4=48(cm2) 【解思路】(1)可以先求出大圆柱的体积，再求出 现在这个物体的表面积是188.4+149+48= 圆柱形圆洞的体积，两者相减即可解答。(2)求 385.4(cm2) 第3步 回顾与反思 涂防锈漆的面积也就是求这个零件的表面积。 表面积=大圆柱的表面积+圆柱形圆洞的侧面积。 在解题时，重点在于分析增加的面 3.3.14×(12÷2)2×10-3.14×(4÷2)2×10- 和减少的面。 3.14×(2÷2)2×10×8=753.6(cm3) 答：现在这个物体的表面积是385.4cm2。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 82 6.【明考点】重难考点：正方体的表面积+空间想 序号 图形 被抽出的小正方体个数 象能力。 【3步图解应用题】 ① 5 第1步 阅读与理解 大正方体玩具的棱长是5dm。 ② 15 每个面的中心位置挖去一个棱长为1dm的小正 方体。 ③ 9 要求的是这个玩具的表面积是多少。 第2步分析与解答 (④ 15 每挖一个小正方体，图形 ⑤ 5 就增加4个面，每个面都 是边长为1dm的正方形。 一共抽出了5+15+9+15+5=49（个）小正方体。 整个大正方体一共挖了6个小正 第3步回顾与反思 方体。可以先求出大正方体的表 我们可以通过切割的方式，单独分析并计算每一 面积，再加… 部分包含的小正方体个数。 5×5×6+1×1×4×6=174(dm2) 答：图B中一共抽出了49个小正方体。 第3步 回顾与反思 8.【明考点】重难考点：正方体的表面积+计算能力。 【3步图解应用题】 求此类挖洞面积时，不要一面一面地 第1步阅读与理解 求面积。先整体分析，将分散的小面 积通过转化补全整体图形，最后再单 大正方体的棱长是4cm。 独算独立的面的面积。 三个正方体小洞的棱长分别是2cm、1cm、0.5cmo 答：这个玩具的表面积是174dm2。 要求的是最后得到的立体图形的表面积是多少。 7.【明考点】易错考点：挖洞问题中的抽取问题+ 第2步分析与解答 空间想象能力。 【3步图解应用题】 第1步阅读与理解 图A是由125个小正方体组成的大正方体；抽的 方法：从一个面到其对面所涉及到的小正方体都 先判断是否把正方体挖穿了，再分析 题图中增加或减少的面积。 要抽掉；图B中红色部分就是抽出后的情形。 要求的是图B中一共抽出了多少个小正方体。 2+1+0.5=3.5(cm)3.5<4 第2步分析与解答 没有挖穿大正方体 一共多了12个面的面积，分别是挖的 将大正方体分割成5份，然后单独对 第一个正方体的4个面、第二个正方 各部分进行分析并计数。 体的4个面、第三个正方体的4个面。 立体图形的表面积：4×4×6+2×2×4+1×1 ×4+0.5×0.5×4=117(cm2) 第3步回顾与反思 解答本题时，需要特别注意是否挖穿了大正方体。 答：最后得到的立体图形的表面积是117cm2。 83 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学