考点41 立体图形的测量(二)&考点42 漫入问题-【王朝霞小升初】2026年小升初数学重点中学招生5年真题分类集训

专题八立体图形 王朝 考点41立体图形的测量（二） 满分：52分得分： 答案：P77 ≈命题点④组合图形的表面积和体积 一、填空题。（每空2分，共12分) 1.〔2025湖北黄冈〕如图，用同样大小的小正方体分别堆成甲和乙，则甲的体积( )乙的体积，甲的 表面积( )乙的表面积。（填“大于”“小于”或“等于”) 甲 第1题图 第2题图 2.〔2025辽宁丹东〕如图所示，在长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1cm的小正方体，这个玻璃容器 的容积是( )cm3. 3.〔2024浙江杭州〕如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )dm2。 9 cm 6 dm 2 dm 4 dm 15 cm 20 cm 1.5 dm 2 dm 2.5dm 第3题图 第4题 4.如图，有一个下面是圆柱形、上面是圆锥形的容器，圆柱的高是20cm,圆锥的高是9cm。 器中水面的高度是15cm,如果倒过来放，从圆锥的顶尖到水面的高是( )cmo 5.〔2025浙江杭州〕曼曼和欢欢分别以直角梯形的上底和下底为轴，将直角梯形旋转一周，得到了两个立 体图形，如下图。那么甲、乙两个立体图形的体积的最简单的整数比是( )。 6cm 6 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 二、看图计算。(10分) 1.〔2023福建福州)]求下面立体图形的体积。(5分) 2.求下面图形的表面积和体积。(5分)》 6 cm 30 cm ☑至5cm 8 cm 10 cm 27 cm 30 cm 10 cm 10 cm ≈命题点5不规则物体的体积 三、填空题。（每空2分，共12分)】 1.将石头放入长方体水箱后，水面从5cm上升到6.5cm(如图所示)，这块石头的体积是( )cm3. E1000 mL 三800 )cm 6.5cm 600 -400 400 5 cm 15 cm 15 cm 20 cm 20 cm 200 第1题图 第2题图 第3题图 2.〔2025江苏无锡〕图中土豆的体积是( )cm3,也就是( )dm3。如果把该土豆浸没到一个底 面积是0.4dm2、高1dm的装有适量水的长方体容器中，水面会上升( )dmo 第 3.一个瓶身呈圆柱形的玻璃瓶，里面装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2,那么瓶子的 部 容积是( )cm3。 图 4.〔2025江苏徐州〕三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆，单位：cm),将它们拼成 与 一个新几何体，新几何体的体积是( )cm3 何 四、解决问题。（18分)】 1.〔2025江苏南京〕鱼缸注水。 (1)一根自来水管的内直径是0.2dm,水流的速度是5分米/秒。这根自来水管1分钟可以流出多少 升水？(6分) (2)一个无水的观赏鱼缸尺寸如图，其中放着一块高为2dm、体积为1dm3的假山石。按照第(1)题 中的水流速度向鱼缸中注水，3分钟注入的水可以将假山石淹没吗？(6分) 2 dm 5 dm 2.〔2025河北承德〕一个高18cm的圆柱形容器，盛满水后，按照图①所示倾斜放置，溢出的水正好可以 倒满两个如图②所示的圆锥形容器。求图①中AB的长。(6分) 12 cm 7至4.5cm 图① 图② 重，点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 49 专题八立体图形 王朝食 考点42 浸入问题 满分：54分得分： 答案：P79 ≈命题点1未溢出 一、填空题。（每空3分，共12分） 1.〔2025江苏宿迁〕一个圆柱形容器底面积是50cm2,高是20cm,原来水面高度是8cm,分别往该容器内 完全浸人不同物体后，水面高度均上升到10cm(如下图)。下面说法正确的有( )个。 第 ①圆柱的体积是圆锥体积的3倍 部分 ②水面上升了2cm 8 cm 0 cm .0 cm ③浸没的3个物体的体积一样大 ④正方体的体积最大 何 2.〔2024湖南衡阳〕如图，一个装有水的长方体容器，从里面量长是14cm,宽是9cm,现在把一个圆柱和一个 圆锥放入水里（完全浸入），水面升高了2cm。已知圆柱与圆锥等底、等高，则圆锥的体积是( )cm3。 10 cm cm 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，一个长方体水箱，从里面量长40cm,宽30cm,高30cm,箱中水面高10cm,放进一个棱长为 20cm的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高( )cmo 4.〔2023陕西西安〕一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小 正方体（如图所示），将切割后的铁块放入底面积为2500cm2、高为50cm的圆柱形容器内。 已知原来容器内水面高度为20cm,那么放人铁块后水面高度变为( )cmo 二、解决问题。(12分) 1.〔2025湖北武汉〕如图，一个底面直径是40cm的圆柱形玻璃缸中装有一些水，放入一个底面直径是20cm、 高是12cm的圆锥形铅锤后，玻璃缸里的水上升了多少厘米？(6分) 2.〔2025重庆〕有一个足够深的水槽，底面是长为16cm、宽为12cm的长方形，原本在水槽中盛有6cm 深的水和6cm深的油（油在水的上方），如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm的 铁块，那么油层的层高是多少厘米？(6分) 50 重，点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 ≈命题点2溢出 三、填空题。（每空3分，共9分） 1.〔2024北京〕图中（单位：cm)每个大球的体积是( )cm3。 o98▣ 56 6 2.〔2025江苏扬州)数学实验课上同学们正在测量铁球体积，步骤如下： (1)取一个长20cm、宽15cm的长方体容器，注入部分水（如图①）； (2)放入甲球，完全浸入水中，水面上升4cm(如图②)； (3)再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③）； (4)取出乙球，这时水面距离容器口6cm(如图④)。 3 甲球的体积是( )cm3,乙球的体积是( )cm3。 四、解决问题。(21分) 1.〔2025河北秦皇岛〕一个圆柱形水桶，从里面量水桶的底面半径是2dm,高是6dm,桶内装有一部分水， 空出来部分的高是0.5dm。把一个铁块完全浸人在水中，水桶里的水溢出5.4L。请你求出这个铁块 的体积。(6分) 2知图。-个底面长30dm、宽10dn、高12d血的长方体水池，水袍中存有的水。(15分) (1)将一个高11dm、体积330dm的铁制圆柱竖直放人池中，水面的高度变为多少分米？ 300 (2)如果继续竖直放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？(5分) (3)如果再竖直放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？(5分)专题八考点41立体图形的测量（二） 快速对答案 一、1.大于 等于 体积：858.7cm 2.30 三、1.450 3.31.4 2.200 0.20.5 4.21 3.60 5.5:4 4.226.08 二、1.7558.5cm3 四、1.(1)9.42L(2)可以 2.表面积：605.94cm2 2.12cm W2m超详解答案W2 一、1.大于等于 体积：10×10×10-号×3.14×(6÷2)2×10 2.30 858.7(cm3) 3.31.4【明考点】重难考点：组合图形的表面积。 【明考点】重难考点：组合图形的表面积和体积。 【解思路】 减少两个直径是2dm的圆面积 【解思路】分析题图发现，这个图形的表面积= →减少两个直径是4dm的圆面积 正方体的表面积-两个半圆形的面积一一个长 方形的面积+圆柱侧面积的一半，据此列式计 由题图可知，三个圆柱叠在一起后，表面积减少 算；这个图形的体积=正方体的体积一圆柱体 了[3.14×(4÷2)2+3.14×(2÷2)]×2=31.4 积的一半，据此列式计算。 (dm2)。 三、1.450 4.21【明考点】重难考点：圆锥与圆柱的体积关系。 2.2000.20.5 【解思路】因为圆柱体积是与它等底、等高的圆 ≈解题技巧求不规则物体的体积 锥体积的3倍，所以圆柱内高为3cm的水的体积 等于圆锥内高9cm的水的体积。倒过来放，圆 利用有刻度的量杯记录放入不规 柱内水的体积高15-3=12(cm),从圆锥的顶尖 则物体（完全浸入水中，水未溢出 到水面的高是9+12=21(cm)。 排水法 且不溶于水)前后的水位，水面上 5.5:4【明考点】重难考点：圆柱体积+圆锥体 升的那部分水的体积就是不规则 积+比的应用。 物体的体积。 【解思路】 把不规则物体通过割补等方法造 甲体积：底面半径是3cm、高是 成一个规则图形，根据构造前后 6cm的圆柱体积减去底面半径 构造法 甲 是3cm、高是3cm的圆锥体积。 两者之间的体积关系，进而求出 不规则物体的体积。 甲体积：π×32×6- 3×m×32×(6-3)=45m(cm) 3.60 【明考点】高频考点：用转化法求不规则容 乙体积：底面半径是3cm、高是 器的容积。 3cm的圆柱体积加上底面半径 【解思路】把求瓶子的容积转化为求两个圆柱的 是3cm、高是3cm的圆锥体积。 体积。 乙体积：m×32×3+2xm×32×(6-3)=36m(cm) 瓶子倒置前 3 倒置前：水的形 数量关系：瓶 后水和空气 45π：36π=5：4 状是圆柱。 子的容积=倒 (无水部分) =、1.3×314×(30÷2P×27+30×8×5=7585 置前水的体 的形状变了， 倒置后：空气的 积+倒置后空 (cm3) 但各自的体 2.表面积：10×10×6-3.14×(6÷2)2-10×6+ 积没有变。 形状是圆柱。 气的体积。 3.14×6×10÷2=605.94(cm2) 所以瓶子的容积为10×4+10×(7-5)=60(cm3)。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 4.226.08【明考点】重难考点：不规则物体的体 刚好淹没假山石时水的体积： 积计算。 5×2×2-1=19(dm3) 【解思路】先尝试构造一个学过的立体图形，再 28.26>19可以将假山石淹没 根据学过的立体图形的体积公式，推算出不规则 当水面的高度与假山石的 立体图形的体积。如下图所示： 高度相等时，刚好可以将 4 cm 8cm 假山石淹没。 4 cm 第3步 回顾与反思 8cm 」3分钟注入水的体积大于或等 两个完全相同的几何体，能拼组成一个圆柱，圆 于19dm3,均能淹没假山石。 柱的体积是3.14×(4÷2)2×(4+8)=150.72 答：3分钟注入的水可以将假山石淹没。 (cm3),那么三个这样的几何体拼成的新几何体 2.【明考点】重难考点：不规则物体的体积+圆柱 的体积是150.72÷2×3=226.08(cm3). 圆锥的关系。 四、1.(1)【明考点】基本考法：圆柱体积的应用+ 【3步图解应用题】 计算能力。 第1步阅读与理解 【3步图解应用题】 圆柱形容器的高18cm,盛满水后倾斜放置，溢出 第1步阅读与理解 的水正好可以倒满两个如图②所示的圆锥形容器。 自来水管的内直径是0.2dm。 要求的是图①中AB的长。 水流的速度是5分米/秒。 B 要求的是这根自来水管1分钟可以流出水的体积。 第2步分析与解答 12 cm 1分=60秒 cm 至4.5cm 3.14×(0.2÷2)2×5×60=9.42(dm3) 图① 图② 9.42dm3=9.42L 1秒流出水的体积。 第2步 分析与解答 如图，过B、C两点所在的横截面将圆柱形容器分 要记得换算单位哟！ 割成两个圆柱。 上面圆柱里一半的 第3步 回顾与反思 水正好可以倒满两 个圆锥形容器。 自来水管流出的水是圆柱形。 答：这根自来水管1分钟可以流出9.42L水。 圆锥形容 X2×2 上面圆柱 ÷底面积 上面圆 器的容积 的体积 柱的高 (2)【明考点】基本考法：用排水法求不规则物体的 体积的应用+计算能力。 圆柱形容器的高减去上面圆柱的高就是AB的长。 【3步图解应用题】 3×m×(12÷22×4.5=54m(cm) 第1步阅读与理解 54r×2×2÷[m×(12÷2)]=6(cm) 鱼缸长5dm,宽2dm。 18-6=12(cm) 假山石高2dm,体积1dm。 第3步 回顾与反思 1分钟向鱼缸注水9.42L。 要求的是3分钟注入的水能否将假山石淹没。 注意求出上面圆柱的高之后不要忘 记再用总高减一下哟！ 第2步分析与解答 3分钟注入水的体积：9.42×3=28.26(dm) 答：图①中AB的长是12cm。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 78 专题八考点42浸入问题 快速对答案 -、1.22.633.154.27 四、1.11.68dm3 二、1.1cm2.7cm 2.(1)10dm (2)11.2dm 三、1.302.12001800 (3)12dm mWm超详解答案mmm -、1.2 第1步阅读与理解 2.63 一个水槽，底面是长为16cm、宽为12cm的长方 3.15【明考点】重难考点：长方体体积+计算能力。 形；原本水槽中水深6cm,油深6cm(油在水的 【解思路】放进铁块后，水的体积没有变，但是底 上方)；在水槽中放入一个长、宽、高分别为8cm、 面积变小了，这时水的底面积=原来水箱的底面 8cm、12cm的铁块。 积-铁块的底面积=40×30-20×20=800(cm2), 要求的是放入铁块后油层的层高。 所以这时水面高40×30×10÷800=15(cm)。 第2步分析与解答 4.27【明考点】重难考点：正方体体积+计算能力。 先求出放入铁块后水层的高度， 【解思路】切割后铁块的体积为30×30×30- 再求出铁块放入油层的体积，最 后求出放入铁块后油层的高度。 10×10×10×8=19000(cm3),如果铁块全部浸 入水中，则水面上升19000÷2500=7.6(cm),20+ 水层放入铁块后，水所占水槽的底面积：16×12 7.6=27.6(cm),27.6<30,说明铁块没有全部浸 -8×8=128(cm2) 水的体积：16×12×6=1152(cm3) 入水中。设此时水深为xcm,2500x=2500×20 放入铁块后水层的层高：1152÷128=9(cm) +19000-(302-102×4)(30-x),解得x=27。 铁块在油层的高度：12-9=3(cm) 1 二、1.铅锤的体积：3×3.14×(20÷2P×12=1256 铁块在油层的体积：8×8×3=192(cm3) (cm) 放入铁块后油层层高：192÷(16×12)+6=7(cm) 圆柱形玻璃缸的底面积：3.14×(40÷2)2=1256 放入铁块后水层的层高也是铁块在 (cm2) 水层中的高度。 上升高度：1256÷1256=1(cm) 第3步 回顾与反思 答：玻璃缸里的水上升了1cm 本题解题关键：计算出在油层中的铁块的体积。 【明考点】经典试题：圆锥体积+圆柱体积+计 答：油层的层高是7cm。 算能力。 三、1.30 【解思路】已知：圆柱形玻璃缸底面直径是40cm, 【明考点】基础考点：排水法测量物体体积+计 圆锥形铅锤底面直径是20cm,高是12cm。求： 算能力。 玻璃缸里的水上升的高度。 【解思路】 中溢出水的体积是1个大球 圆锥形铅锤的体积就是 水上升部分的体积。 和3个小球的体积之和 中溢出水的 水上升部分是一个底面直 o88 56 径是40cm的圆柱。 体积是3个大球和3个小球的体积之和，所以 2.【明考点】重难考点：立体图形的计算+推理能力。 1个大球的体积是[(5×6×4)-(5×6×2)]÷ 【3步图解应用题】 2=30(cm3)。 19 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 ≈归纳总结排水法求物体体积 第3步回顾与反思 把铁块的体积看成两部分，你 水不 找对了吗？ 溢出 V实物=V现在的水一】 原来的水 答：这个铁块的体积是11.68dm。 2.(1)【明考点】重难考点：长方体、圆柱的体积公 容器满 式+不完全浸人不溢出问题。 水溢出 V实新=V滋出的水 【3步图解应用题】 水溢出 第1步阅读与理解 容器不满 一个底面长30dm、宽10dm、高12dm的长方体 水溢出 V=V上升的水十V溢的水 木地，水 将一个高11dm、体积330dm3的圆柱放入池中， 2.12001800 【明考点】新颖考法：排水法测量 要求的是水面的高度。 物体体积+计算能力。 第2步 分析与解答 放入甲球 将一个高11dm,体积330dm3的圆 【解思路】 上升的 柱放入池中，水面没有淹没。 ① ② 水的体积就是甲球的体积，是长为20cm、宽为 水池内水深：12×3 =9(dm) 4 15cm、高为4cm的长方体的体积，所以甲球的 圆柱的底面积：330÷11=30(dm2) 体积是20×15×4=1200(cm)。 上升部分水的体积：30×9=270(dm3) 取出乙球 水升高的高度：270÷(30×10-30)=1(dm) 现在水面的高：1+9=10(dm) 第3步回顾与反思 ③ ④ 答：水面的高度变为10dm。 由图可以看出③中的长方体盛满水，水面下降是 (2)【明考点】重难考点：长方体、圆柱的体积公 因为取出了乙球，所以下降的水的体积就是乙球 式+完全浸人不溢出问题。 的体积，是长为20cm、宽为15cm、高为6cm的 【3步图解应用题】 长方体的体积，所以乙球的体积是20×15×6= 第1步阅读与理解 1800(cm3)。 一个底面长30dm、宽10dm、高12dm的长方体 四、1.【明考点】重难考点：圆柱体积+排水法测量 物体体积+计算能力。 水地，水古系 【3步图解应用题】 将2个高11dm、体积330dm3的圆柱放入池中 第1步阅读与理解 要求的是水面的高度。 圆柱形水桶从里面量，底面半径是2dm,高是6dm。 第2步分析与解答 未装水的高度是0.5dmo 继续放入一个同样的圆柱，因为放 放入铁块后，水溢出5.4L。 第一个圆柱后水面上升1dm,那么 要求的是铁块的体积。 再放第二个圆柱时，圆柱会被淹没 第2步分析与解答 用两个圆柱的体积除以水池的底 铁块的体积=圆柱形水桶中空出来 部分的体积+溢出水的体积。 面积就是水面上升的高，然后加 上原来的水深即可。 要统一单位哟 330×2÷(30×10)+9=11.2(dm) 第3步回顾与反思 5.4L=5.4dm33.14×22×0.5+5.4=11.68(dm3) 答：水面高度又变成了11.2dm。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学 80 (3)【明考点】易错考点：长方体、圆柱的体积公 第2步分析与解答 式+完全浸人且溢出问题。 330×3÷(30×10)+9=12.3(dm)12.3>12 【3步图解应用题】 此时水会溢出，所以水面高是12dm。 第1步阅读与理解 高度大于12dm,说明水会溢出，水面 一个底面长30dm、宽10dm、高12dm的长方体 水光，水占圣 高度最高是12dm。 第3步回顾与反思 将3个高11dm、体积330dm3的圆柱放入池中 答：水面高度又变成了12dm。 要求的是水面的高度。 专题八考点43涂色问题 快速对答案 -、1.(1)8(2)12(3)6(4)1 三、1~5 AADBC 2.423.24244.860150125 6.B D 5.246.727.40408.7 四、1.96cm22.56m2 二、1~4VWW× 3.20个 merreenpmnenpnner 超详解答案m -、1.(1)8(2)12(3)6(4)1 三、1.A【明考点】基础考点：涂色问题。 2.42 【解思路】没有涂色的小正方体个数为(8-2)3= 3.2424 216(个)，被涂上了颜色的小正方体个数=小正 三易错点拔大正方体中涂色正方体的个数 方体的总个数-没有涂色的小正方体个数=8 n是每条棱上的正方体个数。 -216=296(个)。 2.A3.D 涂色面数 位置 个数 4.B【明考点】重难考点：涂色问题+锯木头问题。 三面 顶点 8个 【解思路】每个面上等距离切次，那么每条棱上 两面 棱中间 12(n-2)个 有(n+1)个小方块。各面上均没有红色的小方 一面 面中间 6(n-2)2个 块处在长方体的中心，也是一个长方体。 不涂色 内部 (n-2)3个 长 宽 高 切后小方块个数 5+1=64+1=5 4.860150 125 中心未涂色长方 5.246.72 体棱上小方块的 24÷4 6-2=45-2=3 7.4040【明考点】高频考点：涂色问题+正方 ÷3=2 个数 体体积。 求得切块后高上的小方块个数为2+2=4（个），因 【解思路】①5个正方体体积为2×5=40(dm)。 此沿着高边等距离切4-1=3（次）后，各面上均 ②涂颜料的面积就是这堆硬纸箱露在外面的面 积，前面有4个正方体的面露在外面，右面、上面 没有红色的小方块有24块。 都有3个正方体的面露在外面，所以露在外面的 5.C 面积是(4+3+3)×(2×2)=40(dm)。 6.B D 8.7 四、1.64÷4×6=96(cm2) 二、1.V2.√3.√ 答：涂色的面积和是96cm2。 4.×【明考点】基础考点：涂色问题。 2.4×4×12+(1+2+3+4)×12×4=56(m2) 【解思路】两面涂色的小正方体在棱上，每条棱 答：这些蓝色面积的总和是56m2。 上有5-2=3（个）两面涂色的小正方体，12条棱 3.7+6+7=20(个) 上共有12×3=36（个）两面涂色的小正方体。 答：至少有一个面涂色的小正方体有20个。 本题说法错误。 【明考点】新颖考法：涂色问题+空间想象能力。 重点中学招生5年真题分类集训超详解·小升初数学