天津市河西区2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三)数学试卷

河西区2025一2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分45分. 1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.A 7.C 8.A 9.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分. 10.10 11.-160 12. 1015 21:37 13.2 4名号 15.「2-22,2-V2 三、解答题：本大题共5小题，共75分. 16.本小题满分14分 (I)由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA可得：b2+c2-a2=2 bccosA 将上式代入已知面积条件S=5公+c2-)中，得：S=52hc0os4=5 4 ccosA 4 又因为三角形面积公式为S=。bcsinA,两式联立可得：一bcsinA= -bccosA 2 因为在△ABC中，b>0,c>0,所以：sinA=V3cosA 显然cosA≠0两边同除以cosA得：tanA=√3 因为A∈(0，)，所以角A的大小为：A= 4分 3 ()由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA,将a=V3,A=T代入得： 3 13=b2+c2-2×hxcx, )13=9e2+02-3c2,c=4 16 4 由己知得b=3 9分 m在△4BC中，由正孩定遇。eD:n6=sn1子.sn 3-35 sinA sinB aV13213 由（Ⅱ）可知b=3,a=V13,c=4. c0sB=a2+c2-b2=13+16-9、20 5 2ac 2×V13×48V132V13 355155 sin2B=2 sinBcosB=2× 21321326 c0s2B=2c0s2B-1=2× 5 -1=2×25-1=-1 12 213 52 26 11,15551,4511 cos(2B-A)=cos 2B cos A+sin 2Bsin A= 14分 262262525213 17.本小题满分15分 (I)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于E. 因为AD⊥AB,DC∥AB,且AD=DC=1,所以四边形AECD为正方形，可得AE=1,CE=1. 因为AB=2,所以EB=AB-AE=1. 在Rt△AEC中，AC2=AE2+CE2=12+12=2.在Rt△CEB中，BC2=CE2+EB2=12+12=2. 在△ABC中，因为AC2+BC2=2+2=4=AB2,所以∠ACB=90°，即AC⊥BC. 又因为侧棱AA⊥底面ABCD,BCc平面ABCD,所以AA⊥BC. 因为440AC=A,AA,ACc平面ACCA,所以BC⊥平面ACCA· 5分 (Ⅱ)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系A-xyz. B 由题意得相关点坐标： A0,0,0),B2,0,0),D(0,1,0),C1,1,0),A(0,0,2). 由于四棱台，所以C（0.5,0.5,2). 平面ABC:AB=(2,0,-2),BC=（-1,1,0. 设平面ABC的法向量为n=(x,y,3)，则： n,·AB=2x-2z,=0 2·BC=-x+y=0 令x=1,则y=1,21=1,得m=(1,1,1) 平面BC,D：DB=（2,-1,0),DC=(0.5,-0.5,2 设平面BC,D的法向量为n2=x2,y2,z2),则： n2·DB=2x2-y2=0 n2·DC=0.5x2-0.5y2+2z2=0 令22=1，则x2=4,y2=8,得n2=4,8,1) n'n 11×4+1×8+1×1 计算夹角：cos0= 13-13133 →→ VP+1P+1PV42+82+1pV3V819V5=27 即平面4BC与平面8C,D夹角的余弦值为135 27 11分 (I)已知平面BC,D的一个法向量为n2=(4,8,1,平面外一点A0,0,0)· 在平面BC,D上任取一点，D(0,1,0). 所以AD=（0,1,0. AD.n2 10×4+1×8+0×18 点A到平面BC,D的距离d为：d= V81 8 即点A到平面BC,D的距离为 15分 18.本小题满分15分 (I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为g· 1+d+q=5.d=4-q 由题意得方程组： 1+2d+g2=92d=8-g2 得：2(4-q=8-q2即g2-2q=0.因为g≠0，解得g=2.此时d=4-2=2. 所以an=1+(n-1)×2=2n-1;bn=1×2"-=2"-1 4分 (IⅡ)前2n项和T,n可以分为奇数项之和S奇与偶数项之和S偶： 因为奇数项c2-1=ak-b-1=[2(2k-1-1]×22-2=(4k-3)×22-2. S奇=∑(4k-3)×22-2 S奇=1×2°+5×22+9×24+…+(4n-3)×22m-2 4S奇=1×22+5×24+…+(4n-7）×22m-2+(4n-3)×22n -3S奇=1+4×22+4×24+…+4×22m-2-(4n-3×22n -35,-1416-2yr]-4n-3×2 1-4 -3。=1+94p-小-4-3x2 -354=344×2-16-34n-3到×2-13-12n-13×2 3 3 所以，S=12m-13)x2+13 7分 9 3b2 3×22k (22+1+1）-(22-1+11 偶数项c:+4,+1(2+1(2+可(2+2+刊 22-1+122k刊+1 1 s24 11 S偶=321+1 所以.=S4+5-12m-13到×2+13+}1-12n-13)×2+16.1 9 322m+1+1 9 22m+110分 (D由题意，d,=-1)°(2n-) 2m- 由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨. ①记最项为f到=，-禁-keN) +小-刻班3经+34--2+7 22k 22k+ 22+1 因为k≥1，所以-12k+7≤-5<0 故f(k+1)<f(k),即偶数项子数列{d2}是严格递减数列. 因此，在所有偶数项中，最大值为d,=f山=2=2 33 12分 @2车数天为e1到=4一，keN)。 gk+1)-gk=46+1-4k-到-4-1+44-3到12k-13 22k 22k2 22k 22R 当k=1时，12×1-13=-1<0，所以g2)<g1,即d3<d· 当k≥2时，12k-13≥11>0，所以gk+1)>gk),即从第三项起，奇数项子数列严格递增， 有d,<d；<d,<… 因此，在所有合故项中，最小值为d,=名2)名=-} 14分 因为所有偶数项为正，所有奇数项为负， 所以数列{d最大项为d,=),最小项为d,=4 3 5 15分 19.本小题满分15分 (I)将点P C,c 直接代入椭圆方程：C十 9 由于e=C,且b2=a2-c2,转化为离心率e的方程：e+4 a2-c2-1→e2+4e =1, 0 1-e2 整理得：el-e)+e2=1-e→4e21-e+9e2=4l-e)4e-17e+4=0, (4e2-川e2-4=0,因为椭圆的离心率满足0<e<1,故e2=4舍去，e2=} 4 解得离心率e=2 3分 (Ⅱ)由(I)知a2=4c2,b2=3c2.椭圆方程为3x2+4y2=12c2. 设直线I的斜率为k,过定点P(c,1.5c). 直线的方程为：y-15c=(x-py=+传c. 5分 化简得(3+4k2)x2+12k-8k2）cx+(4k2-12k-3c2=0, Xp'Xo 4k2-12k-3c2→cxg 4k2-12k-3c2今x0= 4k2-12k-3 -C, 3+4k2 3+4k2 3+4k2 。=k(x。-c+1.5c=-6k2-6M+45 , 7分 3+4k2 计算线段PQ的中点M的坐标： p+= 4k2-12k-3 Ac+ 1 8k2-12k4k2-6k 3+4k2C 2(3+4k2C=3+42c, C 2 9-6k 4.5-3k 23+4k2)c=3+4k2c, C= 2 3+4k2 中垂线的斜率为一 令其方程y-w=-)中y=0,符：轴裁距 xH=xM+k4二4+42C+k产c=-15 3+4k2 3+4k2C, 9分 s目已，青-是→14-2=15+2=6+2k+15-0-2改+7张+5-0 解得k=-1或k=-2.5.因为直线的斜率为整数 故-2.5舍去，所以k=-1. 10分 D将k-1代回0点得：b64012--3二2方66-6+45=9 4(1+3- 7 14 此时Q点坐标为 921 30 直线PO的斜率：w=4C4_4C 13 、 6 Tc-c 2 直线PQ的方程为：y-1.5c=-2.5(x-c→y=-2.5x+4c. 令y=0,解得交点G 12分 IPOR 7c,h 9 272 10W20,Saeo-700 14分 27c2-2 →c2=1,a2=4c2=4,b2=3c2=3. 7 0 椭圆E的方程为： =1 15分 43 20.本小题满分16分 (I)当a=e时，函数f(x=e-x. 当x=1时，f(1=e'-1=e-1,故切点坐标为1，e-1. 因为f'(x=e-1. 当x=1时，切线的斜率k=f'1)=e-1=e-1. 所以，曲线在点(1，f(1)）处的切线方程为： y-(e-1=(e-1)(x-1) 化简得：y=（e-1x (Ⅱ)对f(x=a-x求导，得f'(x)=alna-1. 令'(x=0,解得唯一极值点，=log。 1 In(Ina Ina Ina 因为当x<x时，f'(x)<0；当x>x时，f'(x)>0. 所以f(x)在x,处取得最小值. In(Ina) fmn=f（(xo)=ana In(Ina) 1 In(Ina)1+In(Ina) 6分 InaIna Ina 要使f(x)存在两个零点，只需其最小值小于0即可 因为a>1,所以lna>0, 1+ln(na<0得到： Ina 1+ln(lna)<0→n(lnal<-l→lna<'→a<eg e 又因为a>1,所以：实数a的取值范围是 9分 (Ⅲ)由题意f(x2)=0,即a=x2·两边取自然对数得x2lna=lnx· 已知M=】,代入上式得：x,=Mnx,: Ina 构造函数gx)=x-Mlnx(x>O).显然x2是方程gx=0的根. 对g)求导：g(x)=1-M.可知g)在(0，M)上单调递减，在(M,+∞)上单调递增 因为x,是较大根，故必有x2>M,即x,落在gx的严格单调递增区间(M,+oo)内. 要证明L<x2<U,只需证明gL)<gx2)=0且g(U)>gx2)=0即可. ①证明左边不等式： 设L=MlnM+M In In M. 首先验证L>M:由于M≥e2,则lnM≥2，InlnM≥ln2>0 显然L=MlnM+In In M>M(2+0)>M,满足单调递增区间条件. g(L=(M In MM InIn M)-M In(M In M +M In In M =M[inM+IinM-In(M (InM+InInM))] M [In M +In In M In M -In (In M +InIn M) =MInIn M-In InM1+ “T平1M =M Inin M-Inin M-In1+M In InM =-MIn1+ InIn M 因为M≥e2,所以lnM>0且InlnM>0. 从而血nM >0,故ln1+ In In M >0 In M In M 因此gL)<0. 因为gx)在(M,+o)上单调递增且gx2)=0,必然有x2>L·左边得证. 13分 ②证明右边不等式： 设U=MlnM+2 M In In M. g(U)=(M In M +2M In In M )-M In(M In M +2M In In M =M In M +2In In M -In M In (In M +2In In M) =M [2nan-af1,2"】 =M 2inInM-Inin M-In1+- 2In In M nM =M In In M-In1+ 2InIn M InM 要使g(U）>0,只需证明InInM>ln1+ 2 In In M 因为对于任意t>0,恒有ln1+t)<t 所以令t= 2In In M >0,则：n1+ 2In In M 2In In M In M InM InM 此时，只需证明21nnM≤nnM In M 由于nlnM>0,不等式两边同除以In In M: 2 -≤1→lnM≥2→M≥e2显然成立 In M 所以8U)）>0. 同理，因为g(x)单调递增且g(x2)=0,必然有x2<U.右边得证. 综上所述，原不等式MlnM+M InIn M<x2<MlnM+2 M In In M成立. 河西区2025—2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至4页，第II卷5至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·球体的表面积公式，其中为球体的半径． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高． ·球体的体积公式，其中为球体的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则 A． B． C． D． 2．设：，：则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，，，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 4．下列函数中，在内单调递增的偶函数为 A． B． C． D． 5．为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次（次/周）与数学模拟测试成绩（分）之间的关系，学校收集了一组成对数据，计算可得样本平均数，，通过数据分析求得经验回归方程为，下列关于这组数据的统计分析中，说法错误的是 A．变量与呈正相关关系 B．经验回归直线必过样本中心点，且 C．若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为 D．若这组数据的残差平方和越小，则决定系数越小，说明经验回归模型的拟合效果越好 6．已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为 A． B． C． D． 7．已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为 A．4049 B． C．4051 D． 8．双曲线：的左、右焦点依次为、，坐标原点为，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线交双曲线的右支于点，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 9．已知正方体中，点，，分别为棱，，的中点，过点，，的平面将正方体分成的两个几何体的体积之比为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知是虚数单位，则_________． 11．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 12．某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个不同的工作组．已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前台引导”组．现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩排．则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为_________；已知在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为__________． 13．已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线上一点位于第四象限，且，以为圆心，且与相切的圆交直线于，两点，若直线过点，且与直线垂直，则_________． 14．已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 15．已知，函数，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分） 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求和的值； （Ⅲ）求的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． （I）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分） 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和； （Ⅲ）设数列满足，求数列的最大项和最小项． 19．（本小题满分15分） 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，半焦距为，已知点在椭圆上，过点且斜率为整数的直线交椭圆的另一点为，线段的垂直平分线与轴交于点． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）求直线的斜率； （Ⅲ）设关于轴的对称点为，直线交轴交于点，若的面积为，求椭圆的标准方程．在天津考生领取更多资料 20．（本小题满分16分） 已知函数，其中． （Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在区间上存在两个零点，求实数的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数较大的零点为，记，当实数满足时，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $